Grafici delle distribuzioni di frequenza

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1 Grafici delle distribuzioni di frequenza L osservazione del grafico può far notare irregolarità o comportamenti anomali non direttamente osservabili sui dati; ad esempio errori di misurazione 1) Diagramma circolare; in questo diagramma le frequenze percentuali sono rappresentate da settori circolari aventi ampiezze proporzionali alle frequenze stesse; indicando con f la frequenza percentuale e con g l'ampiezza in gradi, si ha f : 100 = g : 360 1

2 Esempio Numero di studenti iscritti ai vari anni di corso di un istituto superiore (frequenze assolute) e le corrispondenti frequenze percentuali. Studenti iscritti ai diversi anni di corso freq. freq. percentuale assoluta classi prime % prime 19% quinte 18% classi % seconde classi terze 5.87% seconde % quarte 18% classi quarte % terze 3% classi quinte % Totale %

3 Grafici delle distribuzioni di frequenza ) Diagramma a barre; Per ciascuna classe si disegna un rettangolo avente base di ampiezza costante e altezza uguale alla frequenza di classe; i rettangoli di solito non sono adiacenti e sono equidistanti fra loro Diagramma relativo alla distribuzione di particelle cosmiche

4 Grafici delle distribuzioni di frequenza 3) Istogrammi: un istogramma consiste in un insieme di rettangoli adiacenti, con base sull asse orizzontale; le basi sono gli intervalli che definiscono le classi. Se le classi hanno tutte la stessa ampiezza le altezze dei rettangoli sono uguali, o proporzionali, alle corrispondenti frequenze assolute. Classe Valori centrali Freq. assoluta 30 Esempio : 5 x < x < x < x < x < x < x < Totale

5 Applicazione Tabella delle lunghezze di 40 sbarrette metalliche; costruire una distribuzione di frequenza assoluta e disegnare il relativo istogramma x x x x x x x 180 5

6 Applicazione Aree dei continenti; disegniamo il grafico dei dati con un diagramma a barre e con un diagramma circolare. Europa Asia Africa 3009 America Nord 403 America Sud Oceania 85 Antartide Europa Asia Africa America Sett. e Centr. America Merid. Oceania Antartide Europa Anta rtide Oceania America Me rid. Europa America S ett. e Centr. Asia Africa Area (migliaia di Kmq) x

7 EXCEL: ANALISI DATI STRUMENTI DI ANALISI è un insieme di strumenti di analisi dei dati che consente di ridurre i passaggi necessari allo sviluppo di complesse analisi statistiche. Forniti i dati e i parametri per ciascuna analisi, lo strumento utilizzerà le funzioni macro statistiche appropriate, visualizzando i risultati in una tabella di output. Per visualizzare un elenco degli strumenti di analisi: scegliere Analisi dati dal menu Strumenti. Se tale comando non è visualizzato, dal menu Strumenti selezionare Aggiunte e scegliere Analisi dati. 7

8 EXCEL: Strumento di analisi Istogramma Consente di calcolare le frequenze individuali e cumulative per un intervallo di celle e di classi di dati. Opzioni della finestra di dialogo Istogramma: intervallo di input: immettere il riferimento di cella per l intervallo di dati da analizzare intervallo di classe (facoltativo): immettere un intervallo di celle contenente un insieme di valori limite che definiscano gli intervalli delle classi intervallo di output: immettere il riferimento della cella superiore sinistra della tabella di output Esercizio: esercizi_lab1 - Esercizio 5-6 8

9 Indici di posizione e di dispersione Le statistiche sono indici numerici utili per descrivere i dati e la loro distribuzione; studieremo media, moda, varianza e scarto quadratico medio o deviazione standard. Si definisce media aritmetica o media campionaria di n dati, x,..., la quantità: n x1 x n Per ogni valore x i della variabile x si definisce lo scarto dalla media si = xi x che indica il grado di scostamento del singolo valore x i dalla media. x = 1 n i= 1 x i 9

10 Indici di posizione e di dispersione Si definisce moda di un insieme di n dati il valore o la classe a cui corrisponde la massima frequenza assoluta. x~ La moda è per lo più utilizzata quando si trattano dati di tipo qualitativo, per i quali non è possibile calcolare la media. Nell'insieme di dati: 3, 3, 5, 4, 7, 7, 7, 9,, 1 ho media: 4.8 e moda: 7 Media e moda sono detti indici di posizione o indici di tendenza centrale, perché descrivono attorno a quale valore è centrato l'insieme di dati. 10

11 Indici di posizione e di dispersione Si definisce varianza,o anchevarianza campionaria, la quantità: s 1 = n 1 n ( x ) i x i= 1 Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della varianza. s = n 1 n ( x ) i x Varianza e scarto quadratico medio sono detti indici di dispersione o indici di variabilità, perché misurano la dispersione dei dati attorno alla media 1 i= 1 11

12 Applicazione I seguenti dati sono i tempi di esecuzione di una certa operazione misurati in minuti: 0.6, 1., 0.9, 1.0, 0.6, 0.8 Calcoliamo la varianza e la deviazione standard. xi x i x ( x x) i totale s s = x = = = minuti minuti 1

13 Applicazione Voti in trentesimi riportati da 5 studenti in un esame: quali studenti si discostano dal voto medio per più di una volta lo scarto quadratico medio? numero studente voto numero studente voto x x = 1.40 s = 6.1 s = s = 7.61 x 11 voti non appartengono all'intervallo [ s,+s], ossia si discostano dalla media per più di una volta lo scarto quadratico medio. 13

14 Applicazione Per rappresentare la situazione può essere utile un diagramma nel piano cartesiano con il quale si individuano più facilmente gli studenti che rientrano nella fascia delimitata dai valori s,+s. 35 x med +s 30 5 x med +s 0 x med 15 x med -s 10 x med -s Esercizi: esercizi_lab1 - Esercizio 1 14

15 Forma di una distribuzione Distribuzioni di frequenza: forma a campana. La distribuzione dei dati è simmetrica rispetto a una linea verticale (figura 1); i dati di questo tipo si dicono normali. Se la distribuzione dei dati non è perfettamente simmetrica, i dati si dicono approssimativamente normali (figura )

16 Forma di una distribuzione Una distribuzione asimmetrica può avere una coda a destra (distribuzione obliqua a destra o con asimmetria positiva, figura 3) o a sinistra (distribuzione obliqua a sinistra o con asimmetria negativa, figura 4)

17 Forma di una distribuzione La media e lo scarto quadratico medio forniscono importanti informazioni sulla distribuzione dei dati infatti se la distribuzione dei dati è approssimativamente normale con media x e scarto quadratico medio s, allora vale la seguente regola: : x 1 circa il 68% dei dati è compreso fra e circa il 95% dei dati è compreso fra e 3 circa il 99.7% dei dati è compreso fra e s x s x 3s x + s x + s x + 3s 17

18 Applicazione Per i dati dell esempio si possono calcolare i seguenti valori per la media e lo scarto quadratico: x = s = 300. s = La regola empirica afferma che circa il 68% dei dati cade in ( x s = 13.3, x+ s = 4.55) Verifica: =5 dati in ( ), cioè il % = 65% dei dati. =

19 EXCEL: Strumento di analisi Statistica descrittiva Opzioni della finestra di dialogo Statistica descrittiva: intervallo di input: immettere il riferimento di cella per l intervallo di dati da analizzare intervallo di output: immettere il riferimento della cella superiore sinistra della tabella di output Riepilogo statistiche: genera una tabella di output con le seguenti statistiche:media, Errore standard (della media), Mediana, Moda, Dev. Standard, Varianza, Curtosi, Asimmetria, Intervallo, Min, Max, Somma Conteggio. esercizi_lab3 Esercizi: esercizi_lab - Esercizi

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