Proprietà di un triangolo

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1 Poligono con tre lati e tre angoli. Proprietà di un triangolo In un triangolo : I lati e i vertici sono consecutivi fra loro; La somma degli angoli interni è 180 ; La somma degli angoli esterni è 360 Ciascun lato è sempre minore della somma degli altri due lati ed è sempre maggiore della differenza degli altri due lati (AC<BC+AB e AC>AB-BC); Non ha diagonali Classificazione rispetto ai lati TRIANGOLO Triangolo Equilatero Ha i tre lati congruenti cioè tutti della stessa lunghezza Triangolo Isoscele Ha due lati congruenti Triangolo Scaleno Ha i tre lati disuguali cioè di lunghezza diversa 1

2 Classificazione rispetto agli angoli TRIANGOLO TRIANGOLO RETTANGOLO Triangolo avente un angolo retto ( 90 ) TRIANGOLO ACUTANGOLO Triangolo con tutti e tre gli angoli acuti (< di 90 ) TRIANGOLO OTTUSANGOLO Triangolo con un angolo ottuso (> di 90 ma < di 180 Punti notevoli di un triangolo Altezza di un triangolo Si definisce altezza di un triangolo il segmento che parte da un vertice e va a finire al lato opposto in maniera perpendicolare. Dal vertice C tiriamo la perpendicolare al lato opposto AB, CH rappresenta l altezza relativa al lato AB e il punto H è il piede dell altezza. 2

3 Poiché il triangolo ha tre lati, avrà complessivamente tre altezze: CH = altezza relativa al lato AB AK = altezza relativa al lato BC BL = altezza relativa al lato CA In ogni triangolo le tre altezze si incontrano in un punto O detto ORTOCENTRO. Osservazioni Nel triangolo acutangolo le tre altezze sono sempre interne al triangolo quindi anche l ortocentro sarà interno all interno del triangolo ( vedi fig. sopra). Consideriamo invece un triangolo rettangolo: - Il lato AB, che prende il nome di cateto, coincide con l altezza relativa al lato BC. - Il lato BC, chiamato pure cateto, coincide con l altezza relativa al lato AB. - l altezza BD, relativa al lato AC (detto ipotenusa) incontra le altre due altezze nel punto B. Possiamo quindi dire che nei triangoli rettangoli l ortocentro coincide con il vertice dell angolo retto, nel nostro caso con il vertice B. 3

4 Consideriamo invece un triangolo ottusangolo ABC e tracciamo le tre altezze l'altezza AH relativa al lato BC, incontra tale lato nel suo prolungamento e, dunque, risulta essere esterna al triangolo; l'altezza CM relativa al lato AB, incontra tale lato nel suo prolungamento e, dunque, risulta essere esterna al triangolo; l'altezza BK relativa al lato AC, è interna al triangolo e il suo piede è interno al triangolo; L ortocentro O è esterno al triangolo: esso è il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze. MEDIANA La mediana di un triangolo è il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. Disegniamo un qualsiasi triangolo ABC, disegniamo il punto medio del lato BC e lo chiamiamo P, Ora congiungiamo il vertice A con il punto medio P del lato opposto. Quella che abbiamo disegnato prende il nome di mediana e più esattamente essa è la mediana del triangolo ABC relativa al lato BC. Poiché il triangolo ha tre lati e tre angoli, possiamo tracciare tre mediane per ogni triangolo: ognuna di esse unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. Le tre mediane passano tutte per uno stesso punto O detto baricentro.osserviamo che le mediane disegnate sono tutte interne al triangolo. Questa regola vale qualunque sia il tipo di triangolo disegnato. 4

5 BISETTRICE La bisettrice di un triangolo relativa ad un vertice è il segmento che unisce il vertice al lato opposto dividendo a metà l'angolo. Disegniamo il triangolo ABC, disegniamo un segmento che partendo dell'angolo A raggiunga il lato opposto BC, dividendo l'angolo A in due parti aventi la stessa ampiezza, Il segmento AH che abbiamo disegnato prende il nome di bisettrice di vertice A del triangolo. Disegniamo anche la bisettrice del triangolo relativa al vertice B e la bisettrice del triangolo relativa al vertice C: Come possiamo osservare le tre bisettrici si incontrano in un punto detto incentro che nel nostro disegno abbiamo evidenziato con la lettera O. Qualsiasi triangolo noi disegniamo l'incentro è sempre interno al triangolo. 5

6 ASSE Si definisce asse di un triangolo relativo ad un lato quella retta perpendicolare al lato stesso e che passa per il suo punto medio. Consideriamo un qualunque triangolo ed il suo lato AB, mettiamo D punto medio del lato AB e tracciamo una retta a perpendicolare ad AB e passante per il punto medio D. La retta a si chiama asse relativa al lato AB. Poiché un triangolo ha 3 lati, gli assi di un triangolo saranno sempre tre che si incontrano in un unico punto K detto circocentro.. 6

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