Cooperazione di Agenti Informatici Corso di Laurea Specialistica in Informatica A.A. 2008/09 Prof. Alberto Postiglione

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1 ooperazione di genti Informatici orso di Laurea Specialistica in Informatica /09 Prof. lberto Postiglione UD.2: Esempi di Giochi Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 ibliografia e Sitografia 06/04/2009 Dia 2 Lucchetti, Roberto Di duelli, scacchi e dilemmi. La teoria matematica dei giochi. runo Modadori Editore, 200 Pagine 25 Lucchetti, Roberto TEORI DEI GIOHI: una scienza bambina. (http:// /archivio/teoriagiochi.htm) Da Matematica, rivista online del gruppo di ricerca PRISTEM - Eleusi dell Università occoni di Milano. M. Guidotti Teoria dei giochi breve introduzione (http://www.galenotech.org/strategie.htm)

2 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 ibliografia e Sitografia 06/04/2009 Dia 3 F. elotti e G. Gambarelli Sistemi elettorali e Teoria dei Giochi (http://matematica.unibocconi.it/archivio/sistemielettorali.htm# ) Da Matematica, rivista online del gruppo di ricerca PRISTEM - Eleusi dell Università occoni di Milano. Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 GIOHI NON OOPERTIVI Vediamo adesso alcuni esempi di Giochi NON OOPERTIVI 06/04/2009 Dia 4 I giocatori non cooperano tra di loro (semplicemente perché non sono interessati a farlo) La teoria dei giochi è nata descrivendo giochi in cui si formano coalizioni (giochi cooperativi) Nash ha poi dato sviluppo al ramo dei Giochi Non ooperativi 2

3 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio : Test scolastico In Italia la valutazione di un compito è assoluta 06/04/2009 Dia 5 Negli US è relativa : il professore assegna Il voto massimo (m) al compito migliore Il voto minimo (p) al compito peggiore Divide poi l intervallo (p,m) in varie parti e assegna ad ogni studente un voto in base a questa scala di valutazione Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio : Test scolastico 06/04/2009 Dia 6 Il sistema adottato negli US tende a scoraggiare gli accordi tra studenti E se gli studenti si accordassero nel rispondere tutti allo stesso numero di domande? Il professore potrebbe assegnare a tutti il voto minimo Senza considerare la presenza di studenti carogna! iutare un collega può significare che il mio compito verrà valutato peggio del suo 3

4 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 7 Esempio : Test scolastico (metodo italiano) Il professore propone un test di 30 domande a una classe di 5 allievi Il suo criterio di valutazione è il seguente: Risposte esatte Voto Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 8 Esempio : Test scolastico (metodo italiano) Ogni studente può studiare Molto (M) bbastanza () Poco (P) Quanto si è disposti a perdere sul voto studiando di meno? Per calcolare il suo grado di soddisfazione sul risultato del test, ogni studente decide di applicare al suo voto un coefficiente k, riportato nella seguente tabella Livello di studio Molto bbastanza Poco oefficiente /2 2/3 4

5 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 9 Esempio : Test scolastico (metodo italiano) Si consideri infine il numero di risposte (e il voto relativo) alle quali ogni studente è in grado di rispondere in base al suo livello di impegno nello studio: Livello di studio Studente Marta Franco Luigi Maria Roberto Molto Domande Voto bbastanza Domande Voto Poco Domande Voto Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 0 Esempio : Test scolastico (metodo italiano) Marta deve cercare il massimo tra (/2*0, 2/3*9, *8), cioè il massimo tra (5, 6, 8) Per Marta studiare poco è più favorevole Maria deve cercare il massimo tra (/2*7, 2/3*4, *2), cioè il massimo tra (3.5, 2.66, 2) Per Maria studiare molto è più favorevole 5

6 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia Esempio : Test scolastico (metodo US) Siano p ed m i risultati peggiori e migliori (cioè il numero minimo e massimo di risposte corrette). La valutazione del compito viene così stabilita (prova con m=0 e p=0): Risposte esatte /0(9m+p) risposte esatte m /0(8m+2p) risposte esatte < /0(9m+p) /0(7m+3p) risposte esatte < /0(8m+2p) /0(6m+4p) risposte esatte < /0(7m+3p) /0(5m+5p) risposte esatte < /0(6m+4p) /0(4m+6p) risposte esatte < /0(5m+5p) /0(3m+7p) risposte esatte < /0(3m+6p) /0(2m+8p) risposte esatte < /0(2m+7p) /0(m+9p) risposte esatte < /0(m+8p) p risposte esatte < /0(m+9p) Voto Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 2 Esempio : Test scolastico (metodo US) Il professore ha diviso l intervallo (p,m) in 0 parti uguali, assegnando 0 al risultato che cade nell intervallo più a destra e a quello che cade nell intervallo più a sinistra Studente Molto Marta 30 Franco 26 Luigi 24 Maria 9 Roberto 6 Livello di studio bbastanza Poco Marta sa che impegnandosi bbastanza riuscirebbe comunque ad ottenere il massimo (26 domande) che può essere ottenuto solo da Franco se si impegnasse Molto. 6

7 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 3 Esempio : Test scolastico (metodo US) E se Marta si impegnasse Poco? In quali condizioni riuscirebbe a raggiungere comunque il massimo? Sarebbe sufficiente che Franco non si impegnasse Molto Oppure che il peggiore studente non rispondesse a più di 5 domande. Infatti in questo case il numero di domande a cui risponderebbe Marta in caso di Poco studio (24) cadrebbe sempre nel primo intervallo (in cui può al più esserci 26). Per calcolare matematicamente il valore di p basta impostare la diseguaglianza /0(9m+p) < 24 on m=26. Quindi /0(234+p)<24. Per cui p< Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 2: il gioco dei fiammiferi 06/04/2009 Dia 4 Stato iniziale: 2 mucchietti di 2 fiammiferi ciascuno Evoluzione: 2 giocatori, a turno, levano o 2 fiammiferi da un solo mucchietto Stato finale: Nessun fiammifero rimanente Risultato: chi toglie l ultimo perde. 7

8 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 2: il gioco dei fiammiferi 06/04/2009 Dia 5 GIOO FINITO Ogni giocatore ha a disposizione un numero finito di mosse Il gioco si conclude dopo un numero finito di mosse INFORMZIONE PERFETT. Infatti entrambi i giocatori conoscono tutta la storia passata, le possibili evoluzioni future e nessuna mossa è segreta per alcuno Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 2: il gioco dei fiammiferi <<INSERIRE LERO DEL GIOO>> 06/04/2009 Dia 6 8

9 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 3: Roulette Russa 06/04/2009 Dia 7 Stato iniziale: 2 giocatori e una rivoltella a sei colpi, con un colpo solo nel tamburo. Evoluzione: ogni giocatore mette euro nel piatto. Se il giocatore passa, mette euro nel piatto, altrimenti ne aggiunge e preme il grilletto. Se sopravvive allo sparo, rigira il tamburo e passa la pistola al secondo. Risultato: se entrambi sono vivi, si dividono il piatto; se sono morti il piatto è perso; se (solo) uno sopravvive, il piatto è suo. Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 3: Roulette Russa 06/04/2009 Dia 8 La struttura ad albero del gioco è descritta nella figura seguente, dove in ogni situazione finale è riportato il corrispondente guadagno del primo giocatore. Mossa del primo giocatore Mossa del secondo giocatore Si noti che in questo gioco ogni giocatore fa una sola mossa. Il grafo sarebbe molto più complesso per giochi con un grande numero di mosse Per curiosità: converrebbe sparare ad entrambi 9

10 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 3: Roulette Russa 06/04/2009 Dia 9 In questo caso oltre alla vincita del gioco sono presenti anche delle vincite in danaro. Il gioco è detto a SOMM ZERO, in quanto ciò che perde uno lo vince l altro. Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 4: La Morra inese 06/04/2009 Dia 20 I giocatori operano una scelta simultanea tra 3 oggetti: RT SSSO FORII arta vince con Sasso ma perde con Forbici Sasso vince con Forbici ma perde con arta Forbici vince con arta ma perde con Sasso 0

11 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 4: La Morra inese 06/04/2009 Dia 2 Il gioco lo si rappresenta utilizzando un formato matriciale, la matrice dei pagamenti nella quale corrisponde a Vincita dell attore che gioca sulle righe, 0 corrisponde Pareggio, - corrisponde a perdita dell attore che gioca sulle righe La mossa del giocatore corrisponde alla scelta di una riga e quella del giocatore 2 corrisponde alla scelta di una colonna Giocatore 2 arta Sasso Forbici arta 0 - Giocatore Sasso - 0 Forbici - 0 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 4: La Morra inese 06/04/2009 Dia 22 Non esiste una scelta a-priori razionale che garantisca la vincita a un qualsiasi giocatore (come avveniva invece per il gioco dei fiammiferi) Non è possibile prevedere, cioè, una scelta razionale da parte dei due giocatori

12 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 4: La Morra inese 06/04/2009 Dia 23 In questo caso spesso intervengono altri fattori a guidare le mosse dei giocatori d esempio, se il primo giocatore non gioca mai Sasso, il secondo potrebbe accorgersene e non giocare mai arta e quindi garantirsi maggiori possibilità di vittoria (avrebbe a disposizione 2 casi favorevoli e solo sfavorevole su 4) Giocatore 2 arta Sasso Forbici arta 0 - Giocatore Sasso - 0 Forbici - 0 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 5: La battaglia dei Sessi 06/04/2009 Dia 24 Laura e Luigi decidono di passare la serata fuori casa Laura preferisce lo Stadio e Luigi preferisce il inema La matrice che rappresenta le preferenze potrebbe essere: Luigi inema Stadio Laura inema Stadio (5, 0) (-, -) (-, -) (0, 5) In questo caso esistono 2 soluzioni possibili che, per i giocatori, non sono equivalenti (come sarebbe per un generico problema di ottimo) Nella teoria dei giochi la presenza di più equilibri costituisce una difficoltà maggiore. 2

13 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 6: Una votazione 06/04/2009 Dia 25 3 uomini politici devono decidere come aumentare le entrate Le possibilità sono 3 Diminuire le spese (provvedimento ) umentare le tasse (provvedimento ) Indebitare lo stato (provvedimento ) Politico Paperone Paperino Topolino Preferenze (in ordine decrescente) Nel caso in cui non si trovi un accordo di maggioranza il provvedimento adottato sarà quello del presidente (Paperone) Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 6: Una votazione 06/04/2009 Dia 26 Per analizzare il gioco bisognerebbe costruire una matrice tridimensionale. Noi costruiremo 3 matrici bidimensionali Topolino sceglie Paperino Topolino sceglie Paperino Topolino sceglie Paperino Paperone Paperone Paperone 3

14 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 6: Una votazione 06/04/2009 Dia 27 onsiderazione numero : L assioma della razionalità impone a Paperone di votare per il provvedimento (quello di suo maggior gradimento), perché Se Paperino e Topolino votano entrambi per lo stesso provvedimento (, o ), il voto di Paperone è ininfluente Se Paperino e Topolino non votano entrambi per lo stesso provvedimento (, o ), il voto di Paperone è determinante Ipotizzando quindi che Paperone voti sempre per, ci siamo ricondotti ad una sola matrice Paperone sceglie Paperino Topolino Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 Esempio 6: Una votazione 06/04/2009 Dia 28 onsiderazione numero 2: (eliminazione di strategie dominate) Paperino e Topolino non voteranno per il provvedimento a loro più sgradito ( per Paperino e per Topolino), quindi la matrice si riduce ulteriormente alla seguente: Paperone sceglie Paperino Topolino hiaramente i due uomini politici si accorderanno su che entrambi preferiscono ad 4

15 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 GIOHI OOPERTIVI 06/04/2009 Dia 29 Vediamo adesso alcuni esempi di Giochi OOPERTIVI Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 30 Esempio 7: La suddivisione di una somma 3 fratelli (ldo, Giovanni e Giacomo) devono dividersi Euro, a condizione che si mettano d accordo (a maggioranza) Ogni possibile coppia di fratelli sarebbe vincente (rappresentando la maggioranza) 5

16 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 3 Esempio 7: La suddivisione di una somma ldo e Giovanni decidono inizialmente di dividersi a metà. Prima di concludere, Giacomo va da ldo e gli propone: ad ldo (che incasserebbe di più rispetto a ) a Giacomo ldo torna da Giovanni e gli propone: ad ldo (che incasserebbe di più rispetto a e 2) a Giovanni (meno rispetto a, ma di più rispetto a 2) Giovanni accetta perché altrimenti perderebbe tutto. Ma prima di procedere va da Giacomo e gli propone: a Giacomo a Giovanni E così via, all infinito Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 32 Esempio 7: La suddivisione di una somma (pproccio NON ooperativo) L unica soluzione possibile è che il padre si tenga la somma di danaro, perché i figli non hanno trovato l accordo. (pproccio ooperativo) In alternativa, il buon senso propone di suddividere la somma in 3 parti uguali. 6

17 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 33 Esempio 8: La suddivisione degli utili L esempio che segue spiega perché in alcune condizioni i piccoli partiti presenti in una coalizione ottengano molto di più di quanto la loro forza farebbe ipotizzare, mentre altri possono anche non ottenere nulla. Supponiamo che, all interno di una coalizione omogenea (es centrosinistra o centrodestra), i rapporti di forza siano i seguenti: Partito D Percentuale 0% 2% 30% 39% Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 34 Esempio 8: La suddivisione degli utili In questi casi si applica una tecnica (detta indice di Shapley) che porta alla seguente suddivisione delle poltrone ministeriali: Partito D Ministeri 0 /3 /3 /3 7

18 Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 35 Esempio 8: La suddivisione degli utili Perché questa soluzione è accettata (ci sono partiti che non ottengono nulla, altri che ottengono meno della loro forza e altri che ottengono di più)? Nella coalizione la presenza di non è mai determinante nel prendere le decisioni a maggioranza Ogni altro componente è invece determinante quando si associa ad un altro componente (purchè non sia ) La ripartizione non è moralmente equa, ma riflette il fatto che la presenza di nel prendere decisioni è superflua. Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2 06/04/2009 Dia 36 Esempio 9: Sistemi Elettorali e Teoria dei Giochi 8

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