Lez. 3 Vettori e scalari

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1 Lez. 3 Vettori e scalari Prof. 1 Dott., PhD Dipartimento Scienze Fisiche Università di Napoli Federico II Compl. Univ. Monte S.Angelo Via Cintia, I-80126, Napoli mettivier@na.infn.it

2 Un impiegato americano è in trasferta in un paese in cui i segnali stradali esprimono le distanze in chilometri e il tachimetro delle automobili è calibrato su chilometri orari. Se guida a 90 km/h, qual è la sua velocità espressa in metri al secondo. 90 x 1000 m / 3600 s = 25 m/s Un litro equivale al volume di un cubo avente lato di 10 cm. Se si beve (esattamente) 1 L d acqua, quanto volume occupa nello stomaco, espresso in centimetri cubi e in metri cubi? V = l 3 = (10cm) 3 = 1000 cm cm 3 x (10-2 m) 3 = 10 3 cm 3 x 10-6 m 3 = 10-3 m 3 In 12 g di carbone, si sono N A = 6.02 x atomi di carbone (N A è detto numero di Avogadro). Se si fosse in grado di contare un atomo al secondo, quanto tempo si impiegherebbe a contare gli atomi di 1.00 g di carbone? Si esprima il risultato in anni. Numero atomi = N = 6.02 x /12 g= 5.02 x atomi t = N/R = 5.02 x atomi/1 atomo/s = 5.02 x s 1 anno = n = 365 g x 24h x 3600 s =3.15 x 10 7 s/anno t = 5.02 x s / 3.15 x 10 7 s/anno = 1.59 x anni 3 Uno scalare è una grandezza che è completamente specificata da un numero positivo o negativo espresso in unità appropriate. Invece, un vettore è una grandezza fisica che deve essere specificata in intensità, direzione e verso. Grandezze scalari sono la temperatura, il volume, la massa e gli intervalli di tempo. Per manipolare le grandezze scalari si adoperano le regole dell aritmetica ordinaria esse possono essere sommate o sottratte, moltiplicate o divise liberamente. 4

3 Graficamente un vettore si rappresenta con una freccia. La lunghezza della freccia, in scala, rappresenta l intensità della grandezza vettoriale. La direzione orientata della freccia indica direzione e verso della grandezza vettoriale. 5 Esempio semplice di grandezze vettoriale è lo spostamento di una particella, definito come il cambiamento della sua posizione. Il modulo dello spostamento è la distanza più breve tra i punti estremi. Così, lo spostamento di un punto materiale è completamente noto se sono note le sue coordinate iniziali e finali. Il percorso non va necessariamente specificato. In altre parole, lo spostamento è indipendente dal percorso, se gli estremi del percorso sono fissati. E importante sottolineare che la distanza percorsa da un punto materiale non va confusa con il suo spostamento. La distanza percorsa (che è una grandezza scalare) rappresenta la lunghezza del percorso, che generalmente è maggiore del modulo del vettore spostamento. 6

4 Due vettori A e B per definizione sono uguali se hanno le stesse unità di misura, lo stesso modulo e puntano nella stessa direzione e verso. Questa proprietà permette di traslare un vettore parallelamente a se stesso in un diagramma senza alterarlo. 7 Per sommare il vettore B al vettore A, prima si disegna il vettore A, con il suo modulo rappresentato in una scala opportuna, su una carta millimetrata, e poi si disegna il vettore B nella stessa scala, con il suo inizio a partire dalla punta di A, come in fig. Il vettore risultante R = A + B è il vettore disegnato dalla coda di A alla punta di B. Questo metodo è conosciuto come metodo triangolare della somma, poiché i tre vettori possono essere sistemati geometricamente come i lati di un triangolo. Quando due vettori vengono sommati, la somma è indipendente dall ordine. Ciò può essere visto dalla costruzione geometrica di Fig. ed è noto come proprietà commutativa della somma: A + B = B + A 8

5 Se tre o più vettori vengono sommati, la loro somma è indipendente dal modo, in cui i singoli vettori vengono raggruppati. Una prova geometrica di questa proprietà, nel caso di tre vettori, è data in fig. Questa viene detta proprietà associativa della somma: A + (B + C) = (A+B)+C Le costruzioni geometriche possono anche essere adoperate per sommare più di tre vettori. 9 L opposto di un vettore A è definito come il vettore che sommato ad A da zero per il vettore somma. Cioè, A + (-A) = 0. I vettori A e A hanno lo stesso modulo ma puntano in versi opposti. 10

6 L operazione di sottrazione vettoriale fa uso della definizione di opposto di un vettore. Definiamo l operazione A B come la somma del vettore B con il vettore A: A B = A + (-B) 11 Moltiplicazione con uno scalare Se un vettore A viene moltiplicato per una grandezza scalare positiva s, il prodotto sa è un vettore che ha la stessa direzione e verso di A e modulo sa. Se s è una grandezza scalare negativa, il vettore sa è diretto in verso opposto ad A. 12

7 Moltiplicazione con un vettore Due vettori A e B possono essere moltiplicati in due diversi modi per produrre sia una grandezza scalare che vettoriale. Il prodotto scalare AB è una grandezza scalare uguale a ABcosθ, dove θ è l angolo tra A e B. Il prodotto vettoriale A x B è una grandezza vettoriale il cui modulo è uguale ad ABsenθ. 13 I vettori possono essere sommai o sottratti algebricamente se sono espressi mediante le rispettive componenti. La componente di un vettore lungo una data direzione è la proiezione del vettore sull asse che individua quella direzione. La componenti di un vettore si ottengono tracciando per il punto di applicazione e l estremità libera del vettore, due rette perpendicolari alla direzione data. La determinazione delle componenti di un vettore lungo gli assi coordinati x, y, e z è detta scomposizione del vettore. Le componenti x, y e z per un vettore, sono chiamate componenti cartesiane. Si osservi che le componenti di un vettore dipendono dal sistema di coordinate usato, mentre il vettore in se è indipendente dal riferimento. 14

8 Sfruttando le proprietà dei triangoli rettangoli è possibile ricavare le componenti cartesiane di un vettore. Se θ è l angolo tra il verso positivo dell asse e la direzione orientata di A, ed è misurato in senso antiorario, si ha: A x = A cosθ, A y = A senθ dove A è l intensità di A. Se si conoscono A x e A y, si può ricavare l angolo θ tramite l espressione: tgθ = A y /A x e l intensità A con il teorema di Pitagora: A = VA x2 + A 2 y 15 Le componenti possono essere positive o negative. La componente di x di un vettore è positiva se la coordinata x di un ipotetica formica cha va dal punto di applicazione all estremo libero del vettore aumenta. Vale a dire, se A punta verso la direzione positiva dell asse x, la componente x è positiva, mentre se punta verso la direzione negativa dell asse x, è negativa. 16

9 17 Una volta scomposto un vettore nelle componenti cartesiane, si può lavorare con le singole componenti. Consideriamo due vettori A e B che giacciono nel piano xy. Si vede facilmente che le componenti cartesiane di questi tre vettori soddisfano le seguenti equazioni C x = A x + B x C y = A y + B y In alter parole, la somma delle componenti x è uguale alla componente x della risultante, e la somma delle componenti y è uguale alla componente x della risultante. L angolo formato con l asse x e l intensità del vettore risultante possono essere ricavati. 18

10 Un versore è un vettore adimensionale avente intensità esattamente uguale a 1. Il vettore A = A/A è un esempio di versore avente la stessa direzione e verso di A. A volte i versori sono indicati con una lettera dotata di un accento circonflesso (detto cappello). I versori nelle direzioni positivi degli assi x, y e z sono utili per esprimere un vettore in termini delle sue componenti cartesiane. Questi versori sono di solito indicati con i, j, e k rispettivamente. 19 Per esempio, il vettore A x i ha intensità A x ed è diretto nel verso positivo dell asse x se A x è positivo (o nel verso negativo se A x è negativo). Un generico valore A può essere scritto come somma di tre vettori, ciascuno dei quali parallelo a un asse coordinato A = A x i + A y j + A z k La somma di due vettori A e B può essere scritta in termini di versori coordinati come: A+B = (A x i + A y j + A z k) +(B x i + B y j + B z k) =(A x +B x )i + (A y +B y )j + (A z +B z )k 20

11 Trovare la somma di due vettori A e B giacenti ne piano xy e dati da A = 2,00i + 3,00j, B = 5,00i -4,00j Una particella effettua tre spostamenti consecutivi r 1 = (1,50i + 3,00j 1,20k) cm, r 2 = ( 2,30i 1,40j 3,60k) cm, e r 3 = (-1,30i + 1,50j) cm. Determinare le componenti dello spostamento risultante e il suo modulo. Un escursionista inizia una gita di due giorni, camminando prima per 25,0 km esattamente in direzione sud-est dalla sua macchina. Si ferma e monta la sua tenda per la notte. Al secondo giorno, cammina per 40,0 km in una direzione a 60,0 nord-est e trova una tor re della guardia forestale. a) Determinare le componenti degli spostamenti dell escursionista il primo e il secondo giorni. b) Determinare le componenti dello spostamento complessivo dell escursionista. 21