Calcolo combinatorio Premessa Calcolo Combinatorio

Transcript

1 Calcolo combiatorio Premessa Calcolo Combiatorio Cosideriamo u isieme di oggetti: G={a1,a2,a3, a} co 0, di atura qualuque ma perfettamete distiguibili l uo dall altro i base a qualche caratteristica, ad esempio pallie di diverso colore; lettere dell alfabeto; umeri diversi; ecc.. Il calcolo combiatorio ha per scopo la costruzioe e la misurazioe del di raggruppameti che, secodo u assegata defiizioe, si possoo formare co ua prefissata quatità degli oggetti di G.

2 Calcolo combiatorio E ua braca della matematica che si occupa di cotare gli oggetti di u isieme fiito. Tipica domada: Quati soo? Per rispodere a domada di questo tipo, utilizziamo vari modelli. Ua volta scelto il modello giusto, i metodi di base soo basati su due pricipi: il pricipio additivo e il pricipio moltiplicativo.

3 Diapositiva sommario Disposizioi semplici Disposizioi co Ripetizioe Permutazioi semplici Permutazioi co oggetti idetici Combiazioi Semplici Combiazioi co Ripetizioe

4 Pricipi fodametali Pricipio additivo: se A e B soo due isiemi fiiti disgiuti, allora la cardialità della loro uioe è la somma delle loro cardialità: i altri termii: Card( A B) Card( A) Card( B).

5 ) ( ) ( ) ( ) Pricipio additivo - Secoda versioe Se però A e B o soo disgiuti, il pricipio o vale più ella stessa forma, i quato el computo di Card(A)+Card(B) gli elemeti dell itersezioe soo cotati due volte. Il pricipio diviee allora il seguete: Se A e B soo isieme fiiti, allora: B Card ( A B Card A Card B Card A

6 Pricipio additivo, secoda versioe: u esempio I figura, A (rettagolo i basso a siistra) ha 10 elemeti, B (rettagolo i alto a destra) e ha 9. A e B hao 4 elemeti i comue (rettagolo verde), per cui l uioe di A e di B ha =15 elemeti

7 Pricipio additivo: u esempio I ua classe di 30 studeti vegoo fatti due test per l ammissioe all ao successivo. E ammesso chi supera almeo u test. Il primo test è superato da 16 studeti Il secodo test è superato da 14 studeti. Solo 8 superao etrambi i test. Quati studeti soo ammessi all ao successivo? Risposta: =22.

8 Il Pricipio moltiplicativo Pricipio moltiplicativo. Il umero delle sequeze a 1,,a dove: a 1 varia i u isieme di k 1 elemeti; a 2 varia i u isieme di k 2 elemeti,, a varia i u isieme di k elemeti è k 1. k2.. k.

9 Pricipio moltiplicativo: illustrazioe grafica a 1 a 2 b 1 b b 3 b 1 b 3 2 b 2 c 1 c 2 c 1 c 2 c 1 c 2 c 1 c 2 c 1 c 2 c 1 c 2 Il primo elemeto varia i due modi (a 1 e a 2 ), il secodo i tre modi (b 1, b 2 e b 3 ). Il terzo i due modi (c 1 e c 2 ). Le sequeze che si leggoo scededo lugo i rami soo =12

10 Il pricipio moltiplicativo: esempi Quate targhe si possoo fare co 2 lettere dell alfabeto iglese seguite da 3 cifre e poi acora 2 lettere dell alfabeto iglese? R = E se si usassero ivece 7 lettere dell alfabeto italiao il umero di targhe aumeterebbe? Risposta. Si, si otterrebbero 21 7 = targhe.

11 Problemi Quate soo le tere di lettere (ache prive di seso) che precedoo la parola LIO ell ordie lessicografico? Risposta: Le possibilità soo: la prima lettera precede L (9 casi) e le altre soo arbitrarie ( casi) oppure la prima è L (1 caso), la secoda precede I (8 casi) e la terza è arbitraria (21 casi) o ifie le prime due soo LI e la terza precede O (12 casi). Totale: =4149 possibilità.

12 Problemi Viee laciato per tre volte u dado. Quati soo gli esiti dei tre laci che hao come somma 13? Risposta: ripartiamo gli esiti a secoda dell esito del primo dado. Se il primo uscito è 1, vi è ua sola possibilità per gli altri 2, cioè 6 e 6. Se il primo è 2 vi soo 2 possibilità per gli atri 2, cioè 5 e 6 oppure 6 e 5. Se il primo è 3 le possibilità soo 3, ossia: 6 e 4, 4 e 6 o 5 e 5. Etc. etc. I totale le possibilità soo =21.

13 Problemi Da u ura coteete i umeri da 1 a 90 si estraggoo 3 umeri seza reimbussolameto. Quate soo le estrazioi i cui i primi due estratti soo umeri pari? Risposta: il primo varia i 45 modi (tutti i pari). Il secodo varia i 44 modi (i pari meo il primo). Il terzo i 88 modi (tutti salvo i primi due). Totale: =

14 Le 4 figure fodametali della combiatoria Disposizioi semplici: Ordie SI Ripetizioi NO (L ordie cota; o soo ammesse ripetizioi) Combiazioi semplici: Ordie NO Ripetizioi NO (L ordie o cota e o soo ammesse ripetizioi) Disposizioi co ripetizioi: Ordie SI Ripetizioi SI (L ordie cota e soo ammesse ripetizioi) Combiazioi co ripetizioi: Ordie NO Ripetizioi SI (L ordie o cota e soo ammesse ripetizioi)

15 Calcolo combiatorio Disposizioi semplici Osservazio i Fissiamo u umero k 0 che o superi, si voglioo costruire tutti i possibili raggruppameti distiti che si ottegoo prededo k oggetti di G i modo che valgao le segueti proprietà: i ciascu raggruppameto figurao k oggetti seza ripetizioi; due qualsiasi raggruppameti soo distiti se e solo se o uo di essi cotiee almeo u oggetto che o figura ell altro oppure gli oggetti di u raggruppameto soo gli stessi dell altro raggruppameto ma è diverso l ordie co cui essi soo disposti. I predetti raggruppameti si dicoo disposizioi semplici di oggetti distiti di classe k o presi a k a k. Tale umero si idica co il simbolo D,k e si dimostra che! D,k =(-1)(-2)...(-k+1)= ( k)! Ad esempio si ha: D 7,4 =7654=840 D 9,3 =987=504

16 Osservazioi sulle Disposizioi Semplici I geerale D,k è uguale al prodotto di k umeri aturali, cosecutivi, decresceti a partire da. Cosideriamo per fissare le idee, l isieme G 4 ={1,2,3,4}, costruiamo le disposizioi semplici degli =4 oggetti a k=1 a k=1; si hao i raggruppameti segueti: e pertato D 4,1 = costruiamo le disposizioi semplici degli =4 oggetti a k=2 a k=2; si hao i raggruppameti segueti: sicché resta verificato che D 4, 2 = per costruire le disposizioi semplici degli =4 oggetti a k=3 a k=3 occorre aggregare ai precedeti raggruppameti via via uo degli altri due oggetti che acora o vi figurao:, teedo coto delle regole di composizioe dei raggruppameti per le disposizioi semplici si ha: D 4,3 =432=24 geeralizzado si comprede la validità della formula per il calcolo delle disposizioi semplici.

17 Disposizioi semplici Soo raggruppameti di k oggetti presi da u isieme di oggetti seza ripetizioi ma teedo coto dell ordie. Il umero delle disposizioi di k oggetti di u isieme di oggetti si idica co D(,k). Per il Pricipio Moltiplicativo ha: D(,k)=(-1) (-k+1). Posto!= (-1)., si ha ache: D(,k)=! : (-k)!

18 Esempi Ad ua gara partecipao 10 atleti. Quate soo le possibili salite sul podio (primo, secodo e terzo?) Risposta: D(10,3)= =720 Quati soo i possibili allieameti alla parteza delle 10 cotrade su 17 che parteciperao al Palio del 2020? Risposta: D(17,10)=

19 Problema Quate soo le fuzioi iiettive da u isieme A di m elemeti ad u isieme B di elemeti, co m? Risposta: D(,m). Siao a 1,,a m gli elemeti di A. Per scegliere ua fuzioe iiettiva f da A a B devo determiare f(a 1 ),,f(a m ). f(a 1 ) lo posso scegliere i modi diversi (tati quati gli elemeti di B). f(a 2 ) deve essere diverso da f(a 1 ), quidi lo posso scegliere i -1 modi. f(a 3 ) lo posso scegliere i -2 modi,,f(a m ) lo posso scegliere i -m+1 modi. Per il pricipio moltiplicativo, ho D(,m)=. (-1).. (-m+1) scelte possibili.

20 Permutazioi Soo disposizioi di oggetti a a. Dato che la scelta degli elemeti da ordiare è obbligata (devo sceglierli tutti), le permutazioi di oggetti soo i loro possibili ordiameti. Il umero delle permutazioi di oggetti è quidi D(,)=! : 1!=!

21 Calcolo combiatorio Permutazioi semplici Le permutazioi semplici degli oggetti di G soo le disposizioi semplici dei predetti oggetti a k= a k=. Si deduce che due qualsiasi permutazioi semplici differiscoo solo per l ordie co cui soo disposti gli oggetti distiti i esse coteuti. Il loro è D, ma si preferisce usare il simbolo P Evidetemete si ha: P =(-1)(-2)(- 3) 321=! ee fattoriale. Ad esempio, costruiamo e cotiamo tutti gli aagrammi, ache privi di sigificato, che si possoo formare co la parola APE. APE PAE EAP AEP PEA EPA, soo sei, difatti P 3 =3!=321=6

22 Esempi Quati soo gli aagrammi della parola ASTRO? Risposta: 5!=120. Il 30 maggio soo oti i omi delle 10 cotrade che parteciperao al Palio del 2 Luglio. Quati soo i possibili allieameti alla parteza? E quati gli ordii di arrivo? Risposta i etrambi i casi: 10!= Quate soo le biiezioi da u isieme A di elemeti ad u isieme B di elemeti? Risposta:!

23 Altri problemi Ad ua gara partecipao 10 atleti, di cui 5 italiai e 5 svizzeri. Quati soo gli ordii di parteza i cui gli italiai precedoo gli svizzeri? Risposta: basta fissare l ordie degli italiai (5! possibilità) e quello degli svizzeri (5! possibilità). Mettedo gli italiai davati agli svizzeri otteiamo l ordie d arrivo completo. Gli ordii degli italiai e degli svizzeri possoo essere scelti idipedetemete. Totale: 5!. 5!=14400.

24 Altri problemi Ad ua tavola rotoda (i seso letterale) si devoo sedere 8 commesali fra cui il Sigor Pedro Gozales. Se cosideriamo le loro posizioi a meo di rotazioi, i quati modi si possoo disporre? Risposta: poiché l ordie è a meo di rotazioi, si può assumere che il primo sia Gozales. Gli altri 7 commesali possoo essere disposti i 7! modi. Quidi le possibilità soo 7!.

25 Altri problemi Ad u altra gara partecipao 8 atleti, fra cui Gearo Esposito (GE) e Ambrogio Brambilla (AB). Quati soo gli ordii d arrivo i cui GE precede AB? Risposta: il umero degli ordii d arrivo co GE davati a AB è uguale al umero di ordii d arrivo co AB davati a BE (si passa da uo all altro scambiado i due). Il umero richiesto è la metà degli 8! possibili ordii di arrivo, ossia 8! : 2=20160.

26 Combiazioi semplici Le combiazioi semplici di k oggetti presi da u isieme di oggetti soo i sottoisiemi di k elemeti dell isieme dato. Quado parliamo di isiemi o di sottoisiemi itediamo che soo escluse ripetizioi e che si prescide dall ordie. Il umero delle combiazioi di k oggetti presi da u isieme di oggetti si idica co C(,k).

27 Calcolo combiatorio Combiazioi Semplici Osservazio i Fissiamo u umero k 0, che o superi ; si voglioo costruire tutti i possibili raggruppameti distiti che si ottegoo prededo k oggetti di G i modo che valgao le segueti proprietà: i ciascu raggruppameto figurao k oggetti seza ripetizioi; due raggruppameti soo distiti se e solo se uo di essi cotiee almeo u oggetto che o figura ell altro. Segue, pertato, che due raggruppameti che differiscoo solo per l ordie co cui i essi soo disposti gli oggetti soo da riteersi idetici. I predetti raggruppameti si dicoo Combiazioi semplici degli oggetti di G di classe k od a k a k. Il umero delle predette combiazioi semplici di oggetti distiti di classe k si idica co il simbolo di C,k Si dimostra che : C D, k k, k! Questa formula è giustificata dal fatto che da ogi combiazioe semplice si possoo otteere, permutado i tutti i modi possibili i k oggetti che la compogoo, k! disposizioi semplici.

28 Osservazioi sulle Combiazioi Semplici 1/3 Cosideriamo ad esempio l isieme G 4 ={1,2,3,4,5} le combiazioi semplici degli =4 oggetti di classe k=1 soo: le combiazioi semplici degli =4 oggetti di classe k=2 si ottegoo dalle precedeti aggregaziodo, via via, solo quegli elemeti che, i G 4 seguoo l oggetto già presete el raggruppameto, ossia: le combiazioi semplici degli =4 oggetti di classe k=3 si ottegoo da quelle di classe 2 aggregado, via via, solo quegli elemeti che i G 4, seguoo l oggetto che figura più a destra del raggruppameto, ossia:

29 Osservazioi sulle Combiazioi Semplici 2/3 Nota: il umero C,k si idia ache co k che si legge su k, deomiato coefficiete biomiale di ordie e di classe k. E abbastaza facile, posto per defiizioe 1 0, dimostrare la validità delle segueti formule: )! (!!, k k C k ; k k ; k k k Può essere utile ricordare la formula del biomio di Newto : k k k b a k b a 0 ) (

30 Osservazioi sulle Combiazioi Semplici 3/3 Sussistoo le segueti proprietà: k k 6. 0,! 1) ( 1) ( k k k k 7. k k k, 1,,, 1 1

31 Calcolo di C(,k) Ua combiazioe semplice geera ua disposizioe semplice per ogi ordiameto della combiazioe stessa. Gli ordiameti di u isieme di k elemeti soo k! Quidi D(,k)=C(,k). k! Ne segue che C(,k)=D(,k)/k!=!/((-k)!. k!) Notazioe: ei testi, ivece di C(,k) si usa di solito la otazioe k

32 Esempi C(5,3)=( ):(3. 2)=10 C(7,4)=( ) : ( )=35 C(20,2)=(20. 19) : 2=190 C(9,3)=( ):(3. 2)=84

33 Esempi Nel gioco del Poker vegoo distribuite a ciascu giocatore 5 carte su 32. Quate soo le possibilità per ciascu giocatore? Risposta: l ordie i cui il giocatore riceve le carte o importa, e o soo possibili ripetizioi. Quidi le possibilità soo date dalle combiazioi di 5 oggetti presi da u isieme di 32, ossia C(32,5)=

34 Esempi Quate soo le ciquie el gioco del lotto? Risposta: Soo gli isiemi di cique umeri presi dall isieme dei primi 90 umeri. Quidi le ciquie soo C(90,5)= Quate partite si giocao i tutto i u toreo a 18 squadre? Risposta: le partite di adata soo tate quati gli isiemi di 2 squadre prese dalle 18 partecipati. Quidi ell adata si giocao C(18,2)=146 partite. I totale le partite soo 292.

35 Esempi I occasioe di u Palio straordiario, a Siea vegoo sorteggiate 10 cotrade partecipati su 17. Quate soo le possibili scelte? Risposta: C(17,10)= Quate soo le sequeze cresceti di 3 umeri presi da 1 a 20? Risposta: basta predere i sottoisiemi di 3 umeri da 1 a 20 e ordiarli i ordie crescete. Quidi il umero richiesto è C(20,3)=1140.

36 U altro esempio Ad ua corsa partecipao 8 cocorreti fra cui Ambrogio Brambilla, (AB), Gearo Esposito (GE) e Duccio Pecciati (DP). Quati soo gli ordii di arrivo i cui DP precede GE e GE precede AB? Soluzioe. Ua volta fissati i 3 posti i cui si piazzao DP, GE e AB, vi è u solo ordie possibile dei 3 cocorreti. Quidi l ordie d arrivo è determiato dall ordie degli altri 5 cocorreti.

37 Altro esempio La scelta dei 3 posti i cui si piazzao GE, AB e DP varia i C(8,3) modi, metre la scelta degli ordii dei rimaeti 5 cocorreti varia i 5! modi. Per il pricipio moltiplicativo (le due scelte soo idipedeti), abbiamo C(8,3). 5!=6720 possibili ordii d arrivo.

38 Proprietà dei coefficieti biomiali I umeri C(,k) si chiamao coefficieti biomiali. Si ha: C(,k)=0 se k>. Ifatti o ci soo sottoisiemi co più elemeti dell isieme. C(,0)=C(,)=1. Ifatti l uico sottoisieme privo di elemeti è l isieme vuoto, e l uico sottoisieme co lo stesso umero di elemeti è l isieme stesso. C(,1)=. I sottoisiemi di u elemeto soo tati quati gli elemeti stessi.

39 Proprietà dei coefficieti biomiali C(,k)=C(,-k). Ifatti i sottoisiemi co k elemeti soo tati quati i loro complemeti, cioè i sottoisiemi di -k elemeti. C(+1,k+1)=C(,k+1)+C(,k). Ifatti sia A u isieme di +1 elemeti, e sia b u suo elemeto. I sottoisiemi di A di k+1 elemeti (C(+1,k+1) i totale) soo i C(+1,k) isiemi che cotegoo b più i C(,k) sottoisiemi che o cotegoo b. Quidi C(+1,k+1)=C(,k+1)+C(,k).

40 Esercizio Calcolare C(100,98). Ivece di calcolare D(100,98)/98!, ua frazioe i cui sia il umeratore che il deomiatore soo umeri gradissimi, osserviamo che C(100,98)=C(100,100-98)=C(100,2) Quidi C(100,98)=C(100,2)=100.99/2=4950.

41 Il biomio di Newto Le formule di elevameto al quadrato e al cubo di u biomio soo be ote: (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b. Vogliamo geeralizzare la formula trovado u espressioe per (a+b).

42 Biomio di Newto Per calcolare (a+b) 2 =(a+b)(a+b) dobbiamo sommare tutti i prodotti di due lettere i cui ogi fattore è ua a o ua b. tali fattori soo 4: aa, ab, ba, bb. Più i geerale, per calcolare (a+b) =(a+b)(a+b).. (a+b)(a+b) dobbiamo sommare tutti i 2 prodotti di lettere di cui alcue soo a e le altre soo b.

43 Biomio di Newto Per k=0,1,,, raccogliamo tutti gli addedi del tipo a k b -k. Tali addedi soo tati quati i prodotti co k fattori uguali ad a e quidi co -k fattori uguali a b. Di tali fattori ve e è uo per ogi scelta dei k posti (fra gli posti totali) i cui si trova la a. Tali scelte soo tate quati i sottoisiemi di k elemeti di u isieme di elemeti, ossia C(,k), o equivaletemete k

44 Biomio di Newto Pertato (a+b) è la somma di: C(,0) volte a 0 b più C(,1) volte a 1 b -1 più C(,2) volte a 2 b -2 più più C(,) volte a b 0. I formula: ( a b) a k k 0 k b k

45 Esempi (a+b) 4 =C(4,0)a 4 +C(4,1)a 3 b+c(4,2)a 2 b 2 +C(4,3)ab 3 +C(4,4)b 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +6ab 3 +b 4. (a+b) 5 =C(5,0)a 5 +C(5,1)a 4 b+c(5,2)a 3 b 2 +C(5,3)a 2 b 3 +C(5,4)ab 4 +C(5,5)b 5 =a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5.

46 Disposizioi co ripetizioe Le disposizioi co ripetizioe soo raggruppameti di oggetti i cui soo possibili ripetizioi e i cui si tiee coto dell ordie. Le disposizioi co ripetizioe si chiamao ache sequeze o strighe. Il umero delle disposizioi co ripetizioe di k oggetti presi da u isieme di oggetti si idica co D (,k).

47 Calcolo combiatorio Disposizioi co Ripetizioe Osservazio i Fissiamo u umero k 0, seza alcua limitazioe superiore; si voglioo costruire tutti i possibili raggruppameti distiti, prededo k oggetti di G, i modo che valgao le segueti proprietà: i ciascu raggruppameto figurao k oggetti, potedovi uo stesso oggetto figurare, ripetuto, sio ad u massimo di k volte; due qualsiasi raggruppameti soo distiti se e solo se o uo di essi cotiee almeo u oggetto che o figura ell altro, oppure gli oggetti soo diversamete ordiati oppure gli oggetti che figurao i uo figurao ache ell altro ma soo ripetuti u umero diverso di volte. I predetti raggruppameti si dicoo disposizioi co ripetizioe degli oggetti di G, a k a k ( o di classe k). Il delle predette disposizioi co ripetizioe degli oggetti di G, a k a k si idica co D,k= k

48 Osservazioi sulle Disposizioi co Ripetizioe Per fissare le idee cosideriamo l isieme G 4 ={1,2,3,4} le disposizioi co ripetizioe degli =4 oggetti a k=1 a k=1 soo: pertato (1) D 4,1=4 le disposizioi co ripetizioe degli =4 oggetti a k=2 a k=2 si ottegoo dalle (1) aggregado via via ciascuo degli oggetti di G 4, ache se già coteuti el raggruppameto; esse soo: Possiamo osservare che per ogi disposizioe co ripetizioe di classe uo se e ottegoo =4 di classe 2 e pertato D 4,1=4 2 =16

49 Calcolo combiatorio Applicazioi Quate parole ache prive di sigificato, si possoo costruire co 3 lettere dell alfabeto, tutte diverse tra loro? [disp. Semplici =21, k=3 R.7980] 2. I quati modi diversi 7 persoe si possoo sedere su 5 poltroe allieate di u ciema? [D(7,5)] 3. Quati umeri di tre cifre, ache uguali tra loro, si possoo costruire co i primi cique umeri aturali? [D (5,3)] 4. Quate coloe d diverse si possoo compilare el gioco del totocalcio? [D (3,13)]

50 Calcolo di D (,k) Ciascuo dei k oggetti può essere scelto idipedetemete i modi. Quidi per il pricipio moltiplicativo: D (,k)=... (k volte). Quidi: D (,k)= k.

51 Esempi Quate strighe di lughezza 100 si possoo formare co le lettere A, C, G, T? Risposta: = Quate soo le possibili coloe el totocalcio? Risposta: 3 13 =

52 Disposizioi co ripetizioi: applicazioi Quate soo le fuzioi da u isieme A di elemeti ad u isieme B di m elemeti? Siao a 1,,a gli elemeti di A. Per otteere ua fuzioe f da A a B basta scegliere fra gli m elemeti di B gli valori f(a 1 ),,f(a ). Ciascu f(a i ) può essere scelto i m modi. Per il pricipio moltiplicativo, ua fuzioe f da A a B può essere scelta i m.. m = m modi. Quidi le fuzioi da A a B soo m =D (m,).

53 Combiazioi co ripetizioi Co il simbolo C (,k) idichiamo il umero di modi di formare raggruppameti di k elemeti presi da u isieme di elemeti, prescidedo dall ordie e co la possibilità di ripetere più volte lo stesso oggetto. Siao a 1,,a gli oggetti. Ua combiazioe è otteuta dicedo quate volte ciascu oggetto è ripetuto. Se a 1,,a soo ripetuti rispettivamete k 1,,k volte, la combiazioe è rappresetabile co la seguete tabella:

54 Rappresetazioe di ua combiazioe co ripetizioi tramite ua tabella a 1 a 2 a -1 a k 1 k 2 k -1 k

55 Combiazioi co ripetizioi Se a 1 è ripetuto k 1 volte, a 2 è ripetuto k 2 volte,, a è ripetuto k volte, essedo il umero totale di oggetti uguale a k, sarà: k 1 +k 2 + +k =k. Quidi per calcolare C (,k) basta cotare il umero di sequeze k 1, k 2,,k di umeri aturali tali che k 1 +k 2 + +k =k

56 Calcolo combiatorio Combiazioi co Ripetizioe Fissiamo u umero k 0, seza alcua limitazioe superiore; si voglioo costruire tutti i possibili raggruppameti distiti, prededo k oggetti di G, i modo che valgao le segueti proprietà: i ciascu raggruppameto figurao k oggetti di G, potedovi uo stesso elemeto figurare ripetuto fio ad u massimo di k volte; due raggruppameti soo distiti se e solo se o uo di essi cotiee almeo u oggetto che o figura ell altro oppure gli oggetti che figurao i uo figurao ache ell altro ma soo ripetuti u umero diverso di volte. I predetti raggruppameti si dicoo combiazioi co ripetizioe degli oggetti di G, a k a k o di classe k. Il loro umero si idica co il simbolo C,k. Si dimostra che: ' C, k k k 1

57 Calcolo combiatorio Applicazioi - 3 Esercizio 1: U barma dispoe di 30 liquori diversi. Quati coktails diversi potrà preparare utilizzado, ogi volta, 3 dei predetti liquori? [R. 4060] Esercizio 2: Quati teri si possoo fare co i 90 umeri del gioco del lotto? [R ] Esercizio 3:Quate soo le diagoali di u poligoo covesso di lati? [R. le diagoali di u poligoo soo i segmeti che uiscoo due vertici o cosecutivi. Il umero totale dei ( 1) segmeti defiiti dagli vertici del poligoo è: C,2, 2! ma i questo umero è compreso ache il umero dei lati, pertato va sottratto. Esercizio 4: I u campioato di pallavolo le squadre che si devoo icotrare i 10 campi soo 15. Quato dura il campioato? [R. 21 giori]

58 Esempi U padre decide di ripartire 50 moete d oro fra i suoi 3 figli. I quati modi può farlo? Risposta: devo calcolare il umero di tere di umeri aturali la cui somma sia 50. Tale umero è C (3,50). Ad ua votazioe partecipao 200 persoe, che possoo scegliere fra 3 cadidati o votare scheda biaca. Quati soo gli esisti possibili? Risposta: C (4,200). Vedremo poi come calcolare C (,k).

59 Il modello dei coteitori Le combiazioi co ripetizioi C (,k) possoo essere modellate come segue: Cosideriamo coteitori distiguibili, umerati da 1 a e k biglie idistiguibili. La combiazioe data dalla striga di umeri aturali k 1, k 2,,k co k 1 +k 2 + +k =k può essere rappresetata come l atto di iserire k 1, biglie el coteitore 1, k 2 biglie el coteitore 2,, k biglie el coteitore.

60 Il modello dei coteitori: u esempio Cosideriamo l esempio della votazioe a cui partecipao 200 persoe che possoo scegliere fra 3 cadidati o votare scheda biaca. Dopo lo scrutiio delle schede, mettiamo ell ura 1 le schede a favore del cadidato 1, ell ura 2 quelle a favore di 2, ell ura 3 quelle a favore di 3 e ell ura 4 le schede biache. I totale le schede soo 200, e si tratta di distribuirle fra 4 coteitori distiguibili.

61 Calcolo di C (,k) Si tratta di cotare i modi di distribuire k biglie idistiguibili fra coteitori distiguibili. Ad ogi distribuzioe associamo ua striga di k ui e di -1 zeri come segue: Iiziamo dal coteitore 1. U 1 ella striga sigifica: aggiugi ua biglia. Uo 0 ella striga sigifica: passa al coteitore successivo. Dopo -1 zeri arrivo all ultimo coteitore. Dopo k ui ho fiito di distribuire le biglie.

62 Esempio Suppoiamo che i coteitori siao 3 e che le biglie siao 5. La striga si iterpreta così: I primi due ui sigificao: metti due biglie el coteitore 1. Lo zero successivo sigifica: passa al coteitore 2. Lo zero successivo sigifica: passa al coteitore 3 (il coteitore 2 resta vuoto). I 3 ui fiali sigificao: metti 3 biglie el coteitore 3. Alla fie el primo coteitore vegoo messe 2 biglie, el secodo 0 e el terzo 3.

63 Calcolo di C (,k) Ua sequeza di k ui e di -1 zeri è determiata dalla scelta degli -1 posti fra gli +k-1 possibili i cui la sequeza vale 0 (ovviamete egli altri posti la sequeza vale automaticamete 1). Tali scelte soo tate quati i sottoisiemi di -1 elemeti di u isieme di -k-1 elemeti, ossia: C (,k)=c(+k-1,-1).

64 Esempi Ad ua votazioe partecipao 200 persoe, che possoo scegliere fra 3 cadidati o votare scheda biaca. Quati soo gli esisti possibili? Risposta: C (4,200)=C(203,3)= U padre decide di ripartire 50 moete d oro fra i suoi 3 figli. I quati modi può farlo? Risposta: C (3,50)=C(52,2)=1326.

65 Permutazioi co ripetizioi Abbiamo visto che ci soo 5! aagrammi (ache privi di sigificato) della parola ASTRO. Quati soo gli aagrammi della parola CARTA? Attezioe: permutado fra loro le due A ottego la stessa parola. Quidi 5! rappreseta gli aagrammi della parola CARTA cotati due volte. Pertato il umero di aagrammi della parola CARTA è 5!:2=60.

66 Calcolo combiatorio Permutazioi co oggetti idetici Ci propoiamo di aagrammare ua parola coteete alcue lettere uguali; se prediamo i esame la parola ALA, otiamo che i suoi possibili aagrammi distiti soo: ALA LAA AAL cioè soltato tre e o sei come accade se le lettere soo tutte diverse. I geerale, voledo permutare oggetti i cui ve e siao idetici tra loro, si ottiee u umero di permutazioi dato da: P ( ) P!!! Nell esempio precedete avevamo =3 ed =2 sicché gli aagrammi distiti P 3! 2! (2) 3 risultavao: 3

67 Calcolo combiatorio Applicazioi - 2 Esempio: il umero di aagrammi distiti che si possoo costruire co la parola MATEMATICA è dato da: P 10! 3! 2! 2! (3,2,2) poiché il di lettere da permutare è =10 tra le quali la lettera A figura 3 volte, la lettera M 2 volte come la lettera T. Esercizio 1: U egoziate deve eseguire 5 cosege di merce acquistata da clieti abitati ciascuo i 5 zoe diverse della città. determiare il di modi differeti di eseguire le cosege. [R. 160] Esercizio 2: Quati umeri aturali diversi di 6 cifre si possoo formare co le cifre del umero [R. 60]

68 Permutazioi co ripetizioi Cosideriamo ora gli aagrammi della parola MAMMA. Stavolta otteiamo lo stesso aagramma i corrispodeza di ogua delle 3! permutazioi delle 3 M e per ogua delle 2!=2 permutazioi delle 2 A. Tali scelte soo idipedeti, e per il Pricipio Moltiplicativo soo 3!. 2!=12. Quidi 5! è il umero degli aagrammi di MAMMA, ciascuo ripetuto 3!2!=12 volte. Il umero degli aagrammi della parola MAMMA è quidi 5!:(3!2!)=120:12=10.

69 Esempio Quate soo le permutazioi della parola MISSISSIPPI? Risposta: MISSISSIPPI ha 11 lettere, fra cui la M compare ua sola volta, la I compare 4 volte, la S compare 4 volte, e la P compare 2 volte. Per calcolare il umero degli aagrammi, dobbiamo dividere 11! per 4!. 4!. 2!, otteedo

70 Permutazioi co ripetizioi I geerale: suppoiamo di avere ua sequeza luga k di oggetti a 1,,a r, i cui a 1 è ripetuto k 1 volte, a 2 ripetuto k 2 volte,, a r ripetuto k r volte (quidi k 1 +k 2 + +k r =k). Il umero delle permutazioi della sequeza è dato da k! : (k 1!. k 2!.. k r!).

71 Esempi Ua striga è formata da 40 caratteri, di cui 10 soo A, 10 soo C, 10 soo G e 10 soo T. I quati modi può essere composta la striga? Risposta. 40! : (10! 4 )= Ache se il umero è gradissimo, esso è molto più piccolo di 4 40 = , il umero di possibilità che avremmo i asseza di iformazioi sulla distribuzioe delle lettere.

72 Esempi Quate strighe di 8 lettere possiamo otteere usado per 3 volte la A, due volte la T, due volte la O e ua volta la S? Risposta: 8! : (3!. 2!. 2!) =1680 Quate soo le strighe biarie di lughezza 20 co lo stesso umero di zeri e di ui? Risposta: 20! : (10!. 10!) =

73 Geeralizzazioi del biomio di Newto Vogliamo trovare ua formula simile a quella del biomio di Newto per la poteza di u triomio (a+b+c). Il ragioameto che seguiamo è simile a quello adottato per il biomio di Newto, vale a dire: Applicado la proprietà distributiva, (a+b+c) risulta uguale alla somma di tutti i prodotti di lettere di cui alcue soo a, altre soo b e le rimaeti soo c.

74 Poteza di u triomio Fissiamo 3 umeri h,k,m la cui somma è. Ci chiediamo quate soo le sequeze di lettere a,b,c co h volte la a, k volte la b e m volte la c, cioè quati soo gli addedi del tipo a h b k c m. Le sequeze di questo tipo soo tate quate le permutazioi co ripetizioi di ua qualuque sequeza di lettere co h volte la a, k volte la b e m volte la c vale a dire!/(h!. k!. m!). Pertato: ( a b c)! h, k, m: hkm h! k! m! a h b k c m

75 Esempio Sviluppare (a+b+c) 3. Soluzioe. Elechiamo tutte le tere (h,k,m) co h+k+m=3. A fiaco di ciascua tera scriviamo il corrispodete termie, ossia (3!/(h!. k!. m!)). a h. b k. c m. Fatto questo, basterà sommare tutti i termii così otteuti.

76 Esempio (0,0,3) (3!/(0!. 0!. 3!) c 3 = c 3. (0,1,2) (3!/(0!. 1!. 2!) b c 2 = 3bc 2. (0,2,1) (3!/(0!. 2!. 1!)) b 2 c= 3b 2 c (0,3,0) (3!/(0!. 3!. 0!) b 3 = b 3. (1,0,2) (3!/(1!. 0!. 2!). ac 2 = 3ac 2. (1,1,1) (3!/(1!. 1!. 1!) abc= 6abc. (1,2,0) (3!/(1!. 2!. 0!)ab 2 = 3ab 2. (2,0,1) (3!/(2!. 0!. 1!). a 2 c=3a 2 c.

77 Poteza di u triomio (2,1,0) (3!/(2!. 1!. 0!)a 2 b= 3a 2 b. (3,0,0) (3!/(3!. 0!. 0!)a 3 =a 3. Pertato si ha: (a+b+c) 3 = c 3 +3bc 2 + 3b 2 c+ b 3 + 3ac 2 + 6abc+ 3a 2 c+ 3a 2 b+ a 3.

78 Esercizi di riepilogo Ua classe di 28 studeti, di cui 13 maschi e 15 femmie deve eleggere 3 rappresetati. Quate soo le scelte possibili? Risposta: C(28,3)= Quate soo le scelte che prevedoo almeo u maschio e almeo ua femmia? Risposta: ci soo C(13,3)= 286 scelte che prevedoo solo maschi e C(15,3)=455 che prevedoo solo femmie. Il umero richiesto è quidi C(28,3)-C(13,3)- C(15,3)= = 2535.

79 Esercizi di riepilogo U auto co la targa italiaa (2 lettere fra le 26 dell alfabeto iglese, 3 cifre e poi acora 2 lettere) viee usata per ua rapia. U testimoe ricorda che la prima lettera era ua T, che la prima cifra era 3, che o vi erao zeri, e che le altre lettere erao ua A, ua F e ua K. Quate soo le targhe possibili? Risposta: le tre lettere rimaeti (A, F e K) possoo variare i 3!=6 modi Le due cifre variao i 9. 9 = 81 modi. I totale, = 486 modi.

80 Esercizi di riepilogo U ura cotiee 40 pallie umerate, e quidi distiguibili. Fra queste, 18 soo colorate di rosso e 22 di ero. Quate soo le ciquie prese fra le 40 pallie che cotegoo 2 pallie rosse e 3 ere? Risposta: dobbiamo calcolare il umero di tere di pallie prese fra le 22 ere (ossia C(22,3)), e il umero delle coppie di pallie prese fra le 18 rosse, (ossia C(18,2)). Le scelte delle 3 pallie ere e delle 2 rosse soo idipedeti. Il umero richiesto è C(22,3). C(18,2)=

81 Esercizi di riepilogo Quati soo i sottoisiemi di u isieme di elemeti? Risposta: vi soo C(,0)=1 sottoisiemi di 0 elemeti, C(,1) sottoisiemi di 1 elemeto, C(,2) di 2 elemeti,,c(,)=1 di elemeti. I totale, il umero dei sottoisiemi è. 2 1) (1 1 1 ), ( i i i i i i i i C

82 Esercizi di riepilogo i i i i x i i ) ( i i i i i i x x x x Calcolare Poiamo Essedo Si deduce Pertato ed ifie

83 Esercizi di riepilogo Ho smarrito il umero segreto della mia tessera Bacomat. Mi ricordo che due cifre erao 0, che la prima cifra era 5 e le altre due erao u 3 e u 9. Qual è il massimo umero di tetativi che devo fare per ricostruire il umero segreto? Risposta: devo determiare le altre 4 cifre. Queste soo permutazioi della striga Tali permutazioi soo 4! : 2! = 12.

84 Esercizi di riepilogo I pizzeria, quattro amici fao le ordiazioi, scegliedo fra 12 tipi di pizza. Quate soo le possibili ordiazioi per il pizzaiolo se ciascuo ordia ua pizza ed ua sola? E se ciascuo e ordia 2? Risposta: al pizzaiolo o importa l ordie delle pizze ma solo quate pizze deve fare per ciascu tipo. Nel primo caso il umero richiesto è C (12,4), el secodo C (12,8).

85 Note Bibliografiche Calcolo Combiatorio e delle probabilità M. Battelli U. Moretti C.P.E. Oggiscuola Modea Lieameti di Matematica Probabilità e statistica. N. Dodero P. Barocii R. Mafredi G.& C. Ghisetti e Corvi Editori ISBN Atlate di Matematica F.Reihardt H. Soeder Hoepli Milao ISBN