Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni"

Transcript

1 Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre fatta in DUE passi Primo passo: si individua un modello matematico atto a descrivere il problema Secondo passo: si procede al calcolo all interno del modello matematico scelto SEGNALAZIONI DI ERRORI SONO GRADITE Esercizio Data un urna contenente 3 palline bianche e 4 nere, si effettuano 3 estrazioni, senza restituzione, da tale urna Se vengono estratte 2 palline bianche ed nera, il gioco ha termine, altrimenti si reinseriscono le tre palline estratte nell urna, e si ripete la procedura Si determini la probabilità che il gioco termini alla terza prova Soluzione Sia A i {vengono estratte 2 palline bianche ed nera alla i-esima ripetizione della procedura} Gli A i formano una successione di prove di Bernoulli con probabilità di successo P (A ) 2)( (3 4 ) p La probabilità che il gioco termini ( 7 3) alla terza prova è ( p) 2 p Esercizio 2 Da un urna, contenente 7 palline bianche e 6 nere, vengono effettuate 3 estrazioni Dopo ogni estrazione, la pallina estratta viene rimessa nell urna insieme ad un ulteriore pallina dello stesso colore Si determini la probabilità di ottenere 2 palline bianche ed nera Soluzione Indichiamo con B i l evento pallina bianca alla i-esima estrazione, con N i l evento pallina nera alla i-esima estrazione e con A l evento si ottengono 2 palline bianche ed nera nelle 3 estrazioni Allora, A (B B 2 N 3 ) (B N 2 B 3 ) (N B 2 B 3 ), e si tratta di una unione di tre eventi a due a due incompatibili Quindi P (A) è la somma delle probabilità di quei tre eventi Calcoliamo la probabilità del primo P (B B 2 N 3 ) P (B )P (B 2 B )P ((N 3 B B 2 ) Si usa lo stesso procedimento per calcolare la probabilità degli altri due eventi, e si vede subito che sono uguali a quella del primo (i denominatori restano 3, 4 e 5 in questo ordine, ed i numeratori restano 7, 8 e 6 in un ordine diverso Segue che P (A) Esercizio 3 Un urna contiene 2 palline, di cui b bianche e v verdi, con b, v > 0 Consideriamo le possibili composizioni dell urna equiprobabili Un amico estrae, senza farla vedere, una pallina dall urna e ne osserva il colore Poi rimette la pallina nell urna, aggiungendo una pallina dello stesso colore e togliendone una dell altro colore Completata questa operazione, l urna viene aperta e si trovano 5 palline bianche e 7 verdi Calcolare la probabilità che la composizione iniziale fosse di 6 palline bianche e 6 verdi Soluzione Le possibili composizioni dell urna sono riconoscibili dal numero di palline bianche presenti nell urna Poiché b, v > 0, l urna contiene almeno pallina bianca, ma non ne contiene più di Ci sono quindi possibili composizioni dell urna Indichiamo con H i l evento l urna contiene esattamente i palline bianche, i,, Per ipotesi P (H i ) per ogni i,, Solo due di queste composizioni sono compatibili con ciò che si trova nell urna quando

2 2 questa viene aperta Precisamente, sia A l evento si trovano 5 palline bianche e 7 verdi al termine dell operazione Allora P (A H i ) 0 a meno che i 4 oppure i 6 Inoltre P (A H 4 ) P (l amico estrae pallina bianca H 4 ) 4 2 e P (A H 6 ) P (l amico estrae pallina verde H 6 ) 6 2 Il testo richiede di calcolare P (H 6 A Per il teorema di Bayes e le considerazioni precedenti, P (A H 6 )P (H 6 ) P (H 6 A) i P (A H i)p (H i ) P (A H 6 )P (H 6 ) 6 P (A H 4 )P (H 4 ) + P (A H 6 )P (H 6 ) Esercizio 4 Da un urna, contenente 3 palline bianche, 4 palline nere, e 2 palline rosse vengono estratte 4 palline senza restituzione Si determini la probabilità di ottenere pallina bianca, 2 palline nere ed pallina rossa Soluzione Ci sono ( ( 9 4) modi di estrarre le 4 palline dall urna, e si tratta di 9 ) 4 casi possibili ed equiprobabili Il numero di quaterne di palline che soddisfano la richiesta del testo è ( 3 )( 4 2)( 2 ) ( La probabilità richiesta è quindi 3 )( 4 2)( 2 ) ( 9 4) Esercizio 5 Un urna contiene pallina bianca ed pallina nera A turno due giocatori prelevano a caso una pallina, con restituzione Vince il primo che prende pallina bianca Trovare la probabilità che vinca quello che inizia Soluzione Gli eventi A i {esce pallina bianca alla i-esima estrazione} formano una successione di prove di Bernoulli con probabilità di successo 2 Vince il giocatore che inizia se il primo A i che si verifica ha l indice i dispari In altri termini, vince il giocatore che inizia se si verifica l evento A (A c A c 2 A 3 ) (A c A c 2 A c 3 A c 4 A 5 ) Si tratta di una unione di eventi a due a due incompatibili Inoltre gli eventi all interno di ciascuna parentesi sono indipendenti La probabilità richiesta è quindi 2 + ( 2 )3 + ( 2 ) Esercizio 6 Si tenta di aprire una porta usando un mazzo di chiavi in sequenza, a partire da una chiave scelta a caso (non si ritenta mai con una chiave già provata) Si trovi la probabilità di riuscire al k-esimo tentativo, k n Soluzione Si immaginino le chiavi numerate da ad n Scegliere le chiavi in sequenza equivale a scegliere una permutazione dei numeri {,, n} Siccome la scelta è casuale, le permutazioni sono equiprobabili Ci sono in tutto n! permutazioni La porta viene aperta al k-esimo tentativo se la permutazione scelta ha la cifra k al k-esimo posto Di tali permutazioni ce ne sono (n )! La probabilità richiesta è quindi (n )! n! n Esercizio 7 (Durrett EP, 52) Un piccolo insediamento è costituito da 5 famiglie, ciascuna composta da 4 persone Una certa malattia ha colpito 6 individui Ammesso che la malattia colpisca a caso, calcolare la probabilità che (a) solo due famiglie abbiano almeno un malato; (b) solo una famiglia sia senza malati; (c) tutte le famiglie abbiano qualcuno malato Soluzione Numeriamo le persone e le famiglie, per esempio immaginando che la prima famiglia sia composta dalle persone da a 4, la seconda da quelle da 5 a 8, e così via Consideriamo dapprima le persone Siccome la malattia colpisce a caso, chiamando successo alla prova i-esima l evento A i {la persona i-esima

3 3 viene colpita dalla malattia}, si hanno 20 prove di Bernoulli con probabilitá di successo 6 20 Consideriamo adesso le famiglie e gli eventi B j {la j-esima famiglia ha almeno un malato} Quindi l evento B dipende solo dagli eventi da A ad A 4, l evento B 2 dipende solo dagli eventi da A 5 ad A 8, e così via Siccome gli eventi A i sono indipendenti, ed i B j dipendono da quaterne di A i che non hanno elementi in comune, anche gli eventi B j sono indipendenti Inoltre sono equiprobabili Infatti, P (B j ) P (almeno un successo in 4 prove) P (nessun successo in 4 prove) ( 6 20 )4 p Allora anche gli eventi B j sono prove di Bernoulli Con riferimento ad essi, adesso il successo alla prova j-esima è l evento B j, ed abbiamo quindi 5 prove di Bernoulli con probabilità di successo p Ne segue che P (solo due famiglie abbiano almeno un malato) ( ) 5 P (esattamente 2 successi su 5 prove) p 2 ( p) 3, 2 P (solo una famiglia sia senza malati) ( ) 5 P (esattamente 4 successi su 5 prove) p 4 ( p), 4 P (tutte le famiglie abbiano qualcuno malato) P (5 successi su 5 prove) p 5 Esercizio 8 Una studentessa risponde ad un test che contiene 0 domande, ciascuna con 4 risposte indicate, di cui esattamente una è giusta La studentessa non ha seguito le lezioni e risponde scegliendo a caso, per ciascuna domanda, tra le 4 risposte indicate Qual è la probabilità che dia esattamente 3 risposte giuste? Soluzione Rispondendo a caso, la studentessa fa 0 prove di Bernoulli con probabilità di successo 4 La probabilità richiesta è ( ) 0 3 ( 4 )3 ( 3 4 )7 Esercizio 9 Un dado viene lanciato 8 volte Qual è la probabilità di ottenere esattamente 2 volte il numero 3? Soluzione Gli 8 lanci possono essere visti come 8 prove di Bernoulli con probabilità di successo 6, intendendo per successo l uscita del 3 La probabilità richiesta è ( ) 8 2 ( 6 )2 ( 5 6 )6 Esercizio 0 Due studentesse, Alice ed Elisabetta, frequentano il corso di Statistica Alice va a lezione l 80% delle volte, Elisabetta il 60% delle volte, e le loro assenze sono indipendenti In un dato giorno, calcolare la probabilità che (a) almeno una delle due studentesse sia in classe; (b) esattamente una delle due studentesse sia in classe Soluzione Indichiamo con A l evento Alice è in classe, e con E l evento Elisabetta è in classe Sulla base delle informazioni date dal testo, si può formalizzare la situazione dicendo che P (A) 80 60, P (E), e gli eventi A ed E sono indipendenti Allora poiché A ed E sono indipendenti P (A E) P (A)P (E), e si ottiene P (almeno una delle due studentesse sia in classe) P (A E) P (A) + P (E) P (A E) P (A) + P (E) P (A)P (E),

4 4 P (esattamente una delle due studentesse sia in classe) P ( (A E c ) (A c E) ) P (A E c ) + P (A c E) perché l unione è di eventi incompatibili P (A)P (E c ) P (A c )P (E) di nuovo per l indipendenza P (A)( P (E)) + ( P (A))P (E) Sostituendo i valori di P (A) e P (E) si conclude Esercizio Tre studenti hanno ciascuno probabilità /3 di risolvere un certo problema, ed agiscono indipendentemente l uno dall altro Qual è la probabilità che almeno uno risolva il problema? Soluzione Sia A i l evento lo studente i-esimo risolve il problema Le informazioni fornite dal testo permettono di formalizzare la situazione dicendo che gli eventi A i sono indipendenti ed hanno probabilità 3 Allora la probabilità richiesta è P (A A 2 A 3 ) P (A c A c 2 A c 3) P (A c )P (A c 2)P (A c 3) ( 2 3 )3 Esercizio 2 Quanti bambini deve fare una coppia per avere probabilità maggiore di 0, 75 di ottenere almeno 2 femmine? Soluzione Sia A i l evento nasce una femmina all i-esimo tentativo Formalizziamo dicendo che gli eventi A i sono prove di Bernoulli con probabilità di successo 2 Allora, fissato n 2, se la coppia fa n bambini la probabilità che ottenga almeno 2 femmine è P (ne ottiene 0 oppure ne ottiene ) P (0 successi su n prove) P (esattamente successo su n prove) ( ) n 0 ( 2 )n ( ) n ( 2 )n ( 2 )n n( 2 )n f(n) Al crescre di n anche f(n) cresce Il numero di bambini che deve fare la coppia è quindi il più piccolo n tale che f(n) supera 0,75 Viene n Esercizio 3 Un amico lancia 2 volte una moneta e vi dice che almeno una volta è venuto testa Qual è la probabilità che al primo lancio sia venuto testa? Soluzione Sia A i l evento esce testa al lancio i-esimo Gli eventi A i sono prove di Bernoulli con probabilità di successo 2 Il testo chiede di calcolare P (A A A 2 ) In particolare, per l indipendenza degli A i si ha P (A A 2 ) P (A )P (A 2 ) Allora, P (A A A 2 ) P (A (A A 2 )) P (A A 2 ) P (A ) P (A ) + P (A 2 ) P (A A 2 ) P (A ) P (A ) + P (A 2 ) P (A )P (A 2 ) 2 3 Esercizio 4 Un urna contiene 8 palline rosse, 7 palline blu e 5 palline verdi Si estraggono (senza restituzione) 2 palline, che risultano di colori differenti Data quest informazione, qual è la probabilità che si tratti di una pallina rossa e di una blu? Soluzione Sia A rb l evento si sono estratte una pallina rossa ed una blu, e sia B l evento le due palline estratte sono di colori differenti Il testo richiede di calcolare P (A B) Per definizione P (A B) P (A B) P (B) Siccome A B, P (A ( 20 2 ) Indichiamo con A rv l evento si sono estratte una pallina rossa ed una verde, e con A bv l evento si sono estratte una pallina blu ed B) P (A) (8 )( 7 )( 5 0)

5 5 una verde Gli eventi A rb,a rv,a bv sono a due a due incompatibili e la loro unione è B Quindi P (B) P (A rb ) + P (A rv ) + P (A bv ) )( (8 7 )( 5 0) + )( (8 7 0)( 5 ) + 0)( (8 7 )( 5 ) ( 20 2 ) ( 20 2 ) ( 20 2 ) Esercizio 5 In una cittadina il 60% degli abitanti è abbonato al giornale a, il 40% al giornale b, ed il 30% ad entrambi Si prende una persona a caso tra quelle che sono abbonate ad almeno uno dei due giornali Qual è la probabilità che questa persona sia abbonata al giornale a? Soluzione Sia A l evento la persona è abbonata al giornale a, e B l evento la persona è abbonata al giornale b Le informazioni nel testo portano a modellare la situazione dicendo che P (A) 60 calcolare P (A A B) P (A) P (A)+P (B) P (A B) , P (B), P (A B), e che dobbiamo Si ha che P (A A B) P [A (A B)] P (A B) P (A) P (A B) Esercizio 6 Supponiamo che, in un certo paese, la probabilità che un uomo sposato voti sia 0,45, la probabilità che una donna sposata voti sia 0,4, e la probabilità che una donna sposata voti, dato che suo marito vota, sia 0,6 Presa una coppia sposata a caso, calcolare la probabilità che (a) entrambi votino; (b) l uomo voti, dato che sua moglie vota Soluzione Consideriamo la coppia scelta Sia A l evento la donna vot, e B l evento l uomo voti Le informazioni nel testo portano a modellare la situazione dicendo che P (A) 0, 4, P (B) 0, 45, P (A B) 0, 6, e che si deve calcolare (a) P (A B), (b) P (B A) Si ha P (A B) P (A B)P (B) 0, 6 0, 45 e P (B A) P (B A) P (A) 0,6 0,45 0,4 Esercizio 7 Dovete andare a prendere un amico all aereoporto, una certa mattina La vostra esperienza vi dice che l aereo arriva in ritardo il 70% delle volte quando piove, ma solo il 20% delle volte quando non piove Le previsioni del tempo per quella mattina danno pioggia al 40% Qual è la probabilità che l aereo arrivi in ritardo? Soluzione Consideriamo la mattina in questione Sia A l evento l aereo arriva in ritardo, e sia B l evento piove Usando le informazioni del testo si può dire che P (A B) 70, P (A Bc ) 20 40, P (B), e che dobbiamo calcolare P (A) Per il teorema delle probabilità totali P (A) P (A B)P (B) + P (A B c )P (B c ) ( ) Esercizio 8 Il 5% degli uomini e lo 0,25% delle donne è cieco ai colori Si può calcolare la probabilità che una persona cieca ai colori sia un uomo? Soluzione Prendiamo a caso una persona Sia A l evento la persona è un uomo e B l evento la persona è cieca ai colori Il testo ci porta a dire che P (B A) 5, P (B Ac ) 25 00, Si vorrebbe calcolare P (A B) Per il teorema P (B A)P (A) di Bayes, si ha che P (A B) P (A) P (B A)P (A)+P (B A c )P (A c ) 5 5 P (A)+P ( )( P (A), ma non si può concludere il conto perché non conosciamo P (A) Esercizio 9 Il test della proteina alpha fetale viene usato per individuare la spina bifida nei feti La spina bifida è presente in su 000 nati La letteratura sul test indica che nel 5% dei casi un feto normale causa una reazione positiva Assumiamo che il test sia sempre positivo quando la spina bifida c è Ad una donna viene

6 6 comunicato che il test è positivo Qual è la probabilità che il suo bambino abbia la spina bifida? Soluzione Sia A l evento il feto ha la spina bifida e B l evento il test è positivo Sulla base del testo si può dire che P (A) 0, P (B Ac ) 5, P (B A) Si deve calcolare P (A B) Per il teorema di Bayes P (A B) P (B A)P (A) P (B A)P (A)+P (B A c )P (A c ) ( 0 ) Esercizio 20 Una donna ha un fratello con l emofilia, ma i suoi genitori non hanno la malattia Poiché l emofilia è causata da un gene recessivo h sul cromosoma X, si può dedurre che la madre della donna è una portatrice sana (cioè ha il gene dell omofilia h su uno dei suoi cromosomi X ed il gene sano H sull altro cromosoma X) Poiché la donna ha ricevuto un cromosoma X dalla madre ed uno dal padre, c è probabilità /2 che essa sia portatrice sana, e, in tal caso, c è probabilità /2 che i suoi figli maschi (con padre senza la malattia) abbiano la malattia Se la donna ha due figli maschi senza la malattia, qual è la probabilità che sia una portatrice sana? Soluzione Sia A l evento la donna è una portatrice sana, B i l evento l iesimo figlio maschio ha la malattia, con i, 2 Per la natura del problema, la donna è sana oppure è una portatrice sana, e si può anche dire che B e B 2 sono indipendenti, nell ipotesi che la donna sia portatrice sana Inoltre, P (B A) P (B 2 A) 2, e P (A) 2 Dobbiamo calcolare P (A B B 2 ) Per il teorema di Bayes, P (A B B 2 ) P (B B 2 A)P (A) B B 2 A c )P (A c )+B B 2 A)P (A) P (B A)P (B 2 A)P (A) P (B A)P (B 2 A)P (A)+P (B B 2 A c )P (A c ) Esercizio 2 Una compagnia aerea vende 200 biglietti per un aereoplano con 98 posti, sapendo che la probabilità che un passeggero non si presenti è 0,0 Calcolare la probabilità che ci siano posti per tutti i passeggeri che si presentano Soluzione Anche se non è molto realistico, assumiamo che i passeggeri agiscano indipendentemente l uno dall altro Allora, posto A i (l iesimo passeggero si presenta), gli eventi A i sono 200 prove di Bernoulli con probabilità di successo 0, 99 Sia X il numero di passeggeri che si presentano La distribuzione di X è quella del numero si successi in 200 prove di Bernoulli(0,99), ovvero P (X k) ( ) 200 k (0, 99) k (0, 0) 200 k Allora P (tutti i passeggeri trovano posto) P (X 98) P (X 99) P (X 200) 200(0, 99) 99 0, 0 (0, 99) 200 Esercizio 22 Un uomo gioca alla roulette (una roulette che ha il doppio 0) e punta euro sul nero per 9 volte di seguito Ogni volta vince euro con probabilità 8/38 e perde euro con probabilità 20/38 Qual è il suo guadagno atteso? Soluzione Sia X il suo guadagno complessivo, e sia X i il suo guadagno la i- esima volta che gioca Si ha che E(X i ) , e quindi E(X) E(X + + X 9 ) E(X ) + + E(X 9 )

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio)

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio) Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio 1. Lanciamo due dadi regolari. Qual è la probabilità che la somma delle facce rivolte verso l alto sia pari a 7? 1/6 2. Due palline vengono estratte

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 006 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Calcolo delle probabilità Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si vuole studiare la distribuzione del sesso dei figli nelle famiglie aventi due figli

Dettagli

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Esercizi di Probabilità e statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Proprietà fondamentali Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini

Dettagli

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio Indice 1 Probabilità 1 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio.. 1 1.2 Probabilità condizionata, indipendenza e teorema di Bayes.... 2 1 Probabilità 1.1 Primi esercizi di probabilità

Dettagli

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1 Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1 Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini degli eventi A, B, C. 1. Almeno un evento si verifica. 2. Al più un evento si verifica..

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Esericizi di calcolo combinatorio

Esericizi di calcolo combinatorio Esericizi di calcolo combinatorio Alessandro De Gregorio Sapienza Università di Roma alessandrodegregorio@uniroma1it Problema (riepilogativo) La segretaria di un ufficio deve depositare 3 lettere in 5

Dettagli

1 Probabilità condizionata

1 Probabilità condizionata 1 Probabilità condizionata Accade spesso di voler calcolare delle probabilità quando si è in possesso di informazioni parziali sull esito di un esperimento, o di voler calcolare la probabilità di un evento

Dettagli

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che: Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette

Dettagli

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu 1. Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle 9 caselle di una scacchiera 3x3, ogni intero in ogni casella diversa, in modo

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo.

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. Capitolo 1 9 Ottobre 00 Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. 000, Milano Esercizio 1.0.1 (svolto in classe [II recupero Ing. Matematica aa.00-0-rivisitato]nel

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Esercizi sul calcolo delle probabilità

Esercizi sul calcolo delle probabilità Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità

Dettagli

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y = ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno

Dettagli

Dispense di Probabilità e Statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Dispense di Probabilità e Statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Dispense di Probabilità e Statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Generalità Nel corso di questo libro con la dicitura esperimento aleatorio indicheremo

Dettagli

Test sul calcolo della probabilità

Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità 2 Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità. La probabilità p di un evento E, quando si indica con E il suo complementare, è : a) 0 se E è

Dettagli

Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a:

Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a: TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 2 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Si considerino gli

Dettagli

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento

Dettagli

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI ESERCIZIO 1 Due giocatori estraggono due carte a caso da un mazzo di carte napoletane. Calcolare: 1) la probabilità che la prima carta sia una figura oppure una carta di

Dettagli

Somma logica di eventi

Somma logica di eventi Somma logica di eventi Da un urna contenente 24 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero divisibile per 5 o superiore a 20, b) esce un numero

Dettagli

Probabilità e statistica

Probabilità e statistica Indice generale.probabilità ed eventi aleatori....come si può definire una probabilità....eventi equiprobabili....eventi indipendenti, eventi dipendenti....eventi incompatibili....eventi compatibili....probabilità

Dettagli

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO 1. Calcolare il numero degli anagrammi che possono essere formati con le lettere della parola Amore. [120] 2. Quante partite di poker diverse possono essere giocate da

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Incompatibilità ed indipendenza stocastica. Probabilità condizionate, legge della probabilità totale, Teorema

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

COMPITO n. 1. 3. Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente

COMPITO n. 1. 3. Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente COMPITO n. 1 a) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva una scala di re (ovvero 9, 10, J, Q, K anche

Dettagli

Tutoraggio di Calcolo delle Probabilità, 2-3 Marzo 2010

Tutoraggio di Calcolo delle Probabilità, 2-3 Marzo 2010 Tutoraggio di Calcolo delle Probabilità, 2-3 Marzo 200 Esercizio. Dati due eventi A e B, scrivete, in termini di operazioni booleane, l espressione dell evento: {si verifica esattamente un solo evento

Dettagli

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R.

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R. 6. I numeri reali e complessi ( R e C ). 6.1 I numeri reali R. Non tratteremo in modo molto approfondito gli ulteriori ampliamenti che dai numeri razionali ci portano a quelli reali, all insieme, e R d

Dettagli

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6

Dettagli

1 Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo

1 Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo. È usuale che in molte situazioni che si presentano concretamente ci sia a priori incertezza su ciò che accadrà nel futuro: il calcolo

Dettagli

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }. ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore

Dettagli

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Esercizi su variabili aleatorie discrete Es.1 Da un urna con 10 pallina bianche e 15 palline nere, si eseguono estrazioni con reimbussolamento fino all estrazione

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Matematica Applicata. Probabilità e statistica

Matematica Applicata. Probabilità e statistica Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Riepilogo: Postulati del calcolo della probabilità (Kolmogorov): Dato un evento A Ω, dove è lo spazio degli

Dettagli

ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1

ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 2/03/205 Primo foglio di esercizi Esercizio 0.. Una classe di studenti è costituita da 6 ragazzi e 4 ragazze. I risultati dell esame vengono esposti in una graduatoria in ordine

Dettagli

Calcolo delle P robabilitá. Esercizi svolti e quesiti per il CdS in Economia e Finanza

Calcolo delle P robabilitá. Esercizi svolti e quesiti per il CdS in Economia e Finanza Calcolo delle P robabilitá Esercizi svolti e quesiti per il CdS in Economia e Finanza Giuseppe Sanfilippo Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli Università degli Studi di Palermo

Dettagli

STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012

STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 Calcolo delle Probabilità Teoria & Pratica La probabilità di un evento è

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità CAPITOLO 12 Calcolo delle Probabilità 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità Una storia d amore Luca abita a Lecco, Bianca a Brindisi. Lui è innamorato perso. Anche lei ama lui, ma, ultimamente,

Dettagli

Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI

Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi ROILITÀ TOTLE TEOREM DI YES LERI E GRFI GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS - 2007 Lezione 3

Dettagli

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Calcolo delle probabilità riassunto veloce Laboratorio di Bioinformatica Corso aa 2005-2006 Teoria assiomatica della probabilità S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

Dettagli

Esercitazioni 2013/14

Esercitazioni 2013/14 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta

Dettagli

Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni

Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni Fabio Spizzichino Associazione Civica XIX Libreria Passaparola, Roma Roma, 11 Aprile 2014 1 Ci sono tre tipi di bugie: le bugie normali,

Dettagli

Appunti di Teoria della Probabilità Università degli Studi di Bari Corso di Laurea in Scienze Statistiche A.A. 2011/2012.

Appunti di Teoria della Probabilità Università degli Studi di Bari Corso di Laurea in Scienze Statistiche A.A. 2011/2012. Appunti di Teoria della Probabilità Università degli Studi di Bari Corso di Laurea in Scienze Statistiche A.A. 2011/2012 Alessio Pollice 2 Capitolo 1 Eventi e probabilità 1.1 Premessa Etimologia e significato

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

Tasso di interesse e capitalizzazione

Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse = i = somma che devo restituire dopo un anno per aver preso a prestito un euro, in aggiunta alla restituzione dell euro iniziale Quindi: prendo

Dettagli

Appunti ed esercizi di combinatoria. Alberto Carraro

Appunti ed esercizi di combinatoria. Alberto Carraro Appunti ed esercizi di combinatoria Alberto Carraro December 2, 2009 01 Le formule principali per contare Disposizioni Sia A un insieme di n 1 elementi distinti Le sequenze di 1 k n elementi scelti senza

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo delle probabilità Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo

Dettagli

PARTE PRIMA PROBABILITA

PARTE PRIMA PROBABILITA i PARTE PRIMA PROBABILITA CAPITOLO I - Gli assiomi della probabilità 1.1 Introduzione........................................................... pag. 1 1.2 Definizione assiomatica di probabilità.......................................

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il problema di Monty Hill nel film 21 Elementare!! Statistiche, cambio di variabili. 1 Il coefficiente di correlazione tra Indicee Stipendio vale 0,94. E possibile asserire che

Dettagli

Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes

Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes Sessione Live #3 Settimana dal 7 all 11 marzo 2003 Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes Lezioni

Dettagli

1 Calcolo delle probabilità

1 Calcolo delle probabilità 1 Calcolo delle probabilità Lo studio delle leggi del caso va sotto il nome di calcolo delle probabilità. Ci fu un vigoroso sviluppo di questa disciplina a cavallo tra il cinquecento e il seicento e lo

Dettagli

Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011

Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011 Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 200/20 Problemi per esercitazione individuale (non svolti in aula NB: i problemi assegnati per esercitazione

Dettagli

Anteprima Finale Categoria Corsi di Statistica

Anteprima Finale Categoria Corsi di Statistica 1 di 8 08/04/2011 9.01 SiS-Scuola-28-SEZIONE STATISTICA fad TC128STAT Quiz Finale Categoria Corsi di Statistica Tentativo 1 Sei collegato come piero zulli. (Esci) Info Risultati Anteprima Modifica Anteprima

Dettagli

Corso di Probabilità e Statistica

Corso di Probabilità e Statistica Università degli Studi di Verona Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Corso di Probabilità e Statistica (Prof.ssa L.Morato) Esercizi a cura di: S.Poffe sara.poffe@stat.unipd.it A.A.

Dettagli

21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I C.L. in Matematica

21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I C.L. in Matematica 21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I Ogni esercizio vale 5 punti. 1. Si gioca a nascondino in una casa di quattro stanze: cucina, salotto, bagno e camera da letto. Otto bambini

Dettagli

STATISTICA Lezioni ed esercizi

STATISTICA Lezioni ed esercizi Università di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica MARIA GARETTO STATISTICA Lezioni ed esercizi Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 00/00 Quaderno # Novembre 00 M. Garetto - Statistica

Dettagli

= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520:

= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520: Fig. 10.bis.1 Variazioni percentuali Variazione percentuale di x dalla data zero alla data uno: x1 x 0 %x = 100% x 0 = variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del

Dettagli

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A L M T I D I P R O B A B I L I T A CI STORICI Il calcolo delle probabilità si è andato sviluppando piuttosto di recente, intorno al 500 e per lungo tempo solo come una branca della matematica Solo dal secolo

Dettagli

Parte I. Relazioni di ricorrenza

Parte I. Relazioni di ricorrenza Parte I Relazioni di ricorrenza 1 Capitolo 1 Relazioni di ricorrenza 1.1 Modelli Nel seguente capitolo studieremo le relazioni di ricorrenza. Ad esempio sono relazioni di ricorrenza a n = a n 1 + n, a

Dettagli

Esercizio 1. Svolgimento

Esercizio 1. Svolgimento Esercizio 1 Vengono lanciate contemporaneamente 6 monete. Si calcoli: a) la probabilità che si presentino esattamente 2 testa ; b) la probabilità di ottenere almeno 4 testa ; c) la probabilità che l evento

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Laboratorio di dinamiche socio-economiche

Laboratorio di dinamiche socio-economiche Dipartimento di Matematica Università di Ferrara giacomo.albi@unife.it www.giacomoalbi.com 21 febbraio 2012 Seconda parte: Econofisica La probabilità e la statistica come strumento di analisi. Apparenti

Dettagli

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 1. Si lancia una moneta 2 volte: qual è la probabilità che esca TESTA 0 volte? 1 volta? 2 volte? 2. Si lancia una moneta 3 volte:

Dettagli

Inferenza statistica. Inferenza statistica

Inferenza statistica. Inferenza statistica Spesso l informazione a disposizione deriva da un osservazione parziale del fenomeno studiato. In questo caso lo studio di un fenomeno mira solitamente a trarre, sulla base di ciò che si è osservato, considerazioni

Dettagli

Applicazioni di Matematiche e Statistica

Applicazioni di Matematiche e Statistica Università degli Studi di Firenze Dipartimento di Matematica Ulisse Dini Appunti del corso Applicazioni di Matematiche e Statistica Luigi Barletti Dipartimento di Matematica Ulisse Dini Università degli

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità in 4 lezioni Fabio Fagnani Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino fabio.fagnani@polito.it 1 La nascita della probabilità La maggior parte delle teorie scientifiche

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Politecnico di Milano Esercizi di Calcolo delle Probabilità cod. 061195 Per gli allievi ING AUT, ELN, INF e TEL Anno accademico 2008-2009 1

Politecnico di Milano Esercizi di Calcolo delle Probabilità cod. 061195 Per gli allievi ING AUT, ELN, INF e TEL Anno accademico 2008-2009 1 Politecnico di Milano Esercizi di Calcolo delle Probabilità cod. 061195 Per gli allievi ING AUT, ELN, INF e TEL Anno accademico 2008-2009 1 Ilenia Epifani 11 giugno 2009 1 Il contenuto di queste dispense

Dettagli

ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE

ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE 1) Considera la tabella seguente, che descrive la situazione occupazionale di 63 persone in relazione al titolo di studio. Occupazione SI NO Titolo Licenza media 5%

Dettagli

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.

Dettagli

Ulteriori problemi di fisica e matematica

Ulteriori problemi di fisica e matematica Facoltà di Medicina e Chirurgia Università degli Studi di Firenze Agosto 2010 Ulteriori problemi di fisica e matematica Giovanni Romano Perché un raggio di luce proveniente dal Sole e fatto passare attraverso

Dettagli

Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: P(fare ambo con i numeri 7 ed 17 con le prime due estrazioni):

Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: P(fare ambo con i numeri 7 ed 17 con le prime due estrazioni): ESERCIZIO 1 Il signor Felice sta giocando a tombola nel circolo PASSATEMPO e ha deciso di giocare usando la sola cartella di seguito riportata: 7 17 26 40 74 1 14 50 69 87 13 43 57 62 73 Serie 1, n. 1

Dettagli

6 (bac 2005, matematica 3 periodi) * 7. (bac 2000, matematica 5 periodi problema obbligatorio 4)

6 (bac 2005, matematica 3 periodi) * 7. (bac 2000, matematica 5 periodi problema obbligatorio 4) Esercizi tratti dai problemi del Bac delle scuole europee (ordinati per difficoltà: dai più semplici, senza asterisco, a quelli di media difficoltà, con 1 asterisco, a quelli difficili, con due asterischi)

Dettagli

Appunti di Probabilità

Appunti di Probabilità Appunti di Probabilità Bruno Betrò CNR-IMATI, Sezione di Milano bruno.betro@mi.imati.cnr.it www.mi.imati.cnr.it/ bruno Testi di riferimento: Dall Aglio G., Calcolo delle Probabilità, Zanichelli Scozzafava

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( )

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( ) Perché il calcolo combinatorio Basato sulle idee primitive di distinzione e di classificazione, stabilisce in quanti modi diversi si possono combinare degli oggetti E molto utile nell enumerazione dei

Dettagli

Il problema delle parti

Il problema delle parti Il problema delle parti Livello scolare: 1 biennio. Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi dipendenti e indipendenti. Conoscenze Eventi e operazioni

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

Problema del condannato*

Problema del condannato* Problema del condannato* Esempio 35 In un paese orientale un prigioniero è stato condannato a morte da uno sceicco. Prima dell esecuzione, lo sceicco o re una possibilità di salvezza al condannato, mettendogli

Dettagli

Esercitazioni del corso di Statistica Proff. Mortera/Vicard a.a. 2011/2012

Esercitazioni del corso di Statistica Proff. Mortera/Vicard a.a. 2011/2012 Esercitazioni del corso di Statistica Proff. Mortera/Vicard a.a. 2011/2012 Esercizi di calcolo delle probabilità 1. Nel 1980 la popolazione USA era così composta: 10% della California, 6% di origine ispanica,

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità à 1. Introduzione Calcolo delle Probabilità Il Calcolo delle Probabilità nasce dagli studi matematici sui giochi d azzardo. Il Calcolo delle Probabilità è lo strumento che permette all uomo di assumere

Dettagli

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Questa raccolta comprende sia gli esercizi dell esercitazione del 14 febbraio sia gli esercizi di ricapitolazione sulle

Dettagli