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1 A Note storiche A Il calcolo delle probabilità nacque applicato ai giochi d azzardo, in epoca rinascimentale per studiare gli eventi causali, vale a dire gli eventi che, come i giochi d azzardo, hanno un esito imprevedibile a priori e quindi ha un esito casuale. Dallo studio degli eventi casuali nacque la teoria delle probabilità, soprattutto per opera di B. Pascal ( ), P. Fermat ( ) G. Bernoulli( ). Ben presto fu chiaro che questa teoria poteva avere applicazioni molto più vaste di quelle dei giochi d'azzardo per cui era inizialmente nata. Si interessarono di questa disciplina eminenti matematici come T. Bayes ( ) che pose i fondamenti dell interferenza statistica, T. Lagrange ( ) e C. F. Gauss( ) che studiarono la distribuzione degli errori accidentali, P. S. Laplace ( ) che introdusse il metodo per calcolare la probabilità di un evento. Intanto i settori di applicazioni del calcolo delle probabilità si andavano estendendo: A. A. Cournot ( ) applicò il calcolo delle probabilità ai fenomeni economici, L. A. Quetelet ( ) pubblicò un opera sulla teoria delle probabilità applicata alle scienze morali e politiche, mentre altre notevoli applicazioni si ebbero in settori quali: scienze attuariali (assicurazioni), scienze naturali e fisiche(meccanica statistica). Con l estendersi dei campi di applicazione, si era venuto delineando un grosso problema relativo alla definizione di probabilità, in quanto la definizione classica non era sempre applicabile. Nacquero quindi diverse teorie tutte basate su una propria definizione di probabilità: oltre alla teoria classica, si possono ricordare la teoria frequentista, la teoria soggettivista e infine la teoria assiomatica elaborata da Kolmogorov che generalizzò i risultati ottenuti dalle teorie precedenti. A A

2 2 2 Evento Nella nota precedente si è parlato di probabilità del verificarsi di un evento casuale senza chiarire il significato dei termini introdotti. Con iltermine eventosi intende un esperimento descritto da una proposizione che può accadere o non accadere. sottoinsieme è un evento. I sottoinsiemi costituiti da un solo elemento sono eventi elementari; i sottoinsiemi che contengono più elementi sono eventi composti. Ad esempionellancio diundadosono eventi elementari la comparsa delle singole facce, mentre sono eventi composti la comparsa di un numero maggiore di 3. Quando il presentarsi di un evento dipendedalcasotaleeventosidice aleatorio o casuale. Quando siamo certi, ancor prima di effettuare l esperimento, che un dato evento si verificherà, questo evento è detto evento certo. Infine se siamo certi che un evento non si verificherà, tale evento è detto evento impossibile. Consideriamo l esperimento di un lancio di un dado, i cui risultati possibilisonoleseifacce:1,2,3,4, 5, 6. L insieme costituito da tutti i risultati dell esperimento è lo spazio campione; ogni suo Due sottoinsiemi qualsiasi dello spazio campione possono non contenere alcun elemento comune e si dicono eventi incompatibili: il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro. Se invece hanno qualche elemento comune si dicono eventi compatibili. 2 2

3 3 3 Evento Si possono descrivere le relazioni che legano tra loro due eventi mediante le relazioni fondamentali della teoria degli insiemi. Dato un evento E, si definisce E evento complementare di E, l evento che si verifica se non si verifica E e che non si verifica se si verifica E. - si definisce evento intersezione A B l evento che si verifica se si verifica sia l evento A che l evento B. - si definisce evento unione AUB l eventochesiverificasesi verifica l evento A o l evento B. DatidueeventiAeB: Linguaggio degli eventi Linguaggio degli insiemi Rappresentazione grafica Evento Certo Spazio Campione Ω Ω Evento Impossibile Ø Ω Evento E E Ω Evento Intersezione A B A B Ω Evento Unione AUB A B Ω Evento Complementare A A Eventi Incompatibili A B=Ø A B Ω Eventi Compatibili A B Ø A B Ω 3 3

4 4 4 Probabilità Quando il risultato di un esperimento è un evento aleatorio non è possibile sapere, prima di effettuare l esperimento, se l evento si presenterà o meno; tuttavia sovente è necessario valutare la possibilità del verificarsi di tale evento. Bisogna allora assegnare un numero a ciascun evento: tanto più elevata è la possibilità che l evento si presenti, tanto maggiore è il numero assegnato. Questo nuovo numero è detto probabilità dell evento P(E). Si tratta di stabilire come assegnare tale numero. La probabilità di un evento P(E) deve essere un numero che soddisfa le seguenti condizioni: 1. se l evento E è aleatorio: 0<P(E)<1 2. se l evento E è certo : P(E)=1 3. se l evento E è impossibile: P(E)=0 Storicamente si definirono tre tipologie di probabilità: la definizione di probabilità classica, frequentista e soggettivista. DEFINIZIONE CLASSICA La definizione classica di probabilità fu enunciata da La Place: laprobabilitàdiuneventoeè il rapporto tra il numero m dei casi favorevoli all evento e il numero n dei casi possibili, purché tutti i casi possibili abbiano la stessa condizione di verificarsi. m P(E)= n La definizione classica è applicabile quando è possibile definire esattamente il numero di casi possibili tutti equiprobabili e, di conseguenza, il numero di casi favorevoli. La definizione classica di probabilità viene definita anche probabilità a priori. 4 4

5 5 5 Probabilità DEFINIZIONE FREQUENTISTA Storicamente la definizione di probabilità di Laplace apparve insufficiente quando fu applicata a problemi di questo tipo: quando si vuole calcolare la probabilità di una personasiessereinvitatra10anni oppure la probabilità di un automobilista di avere un incidente durante il prossimo anno. Per studiare la probabilità di eventi di questo tipo, in particolare eventi di natura sociale ed economica, si ricorre alla probabilità frequentista, detta anche probabilità a posteriori (di Venn e VonMises). Sia n il numero di volte che si è ripetuto un dato esperimento in condizioni identiche, sia m il numero di volte che si è presentato un dato evento E, allora la probabilità del verificarsi dell evento E è la sua frequenza relativa: P(E)=f(E)= m Questa definizione si usa n quando gli eventi elementari non hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi e l esperimento si ripete sempre nelle stesse condizioni. Ad esempio consideriamo una puntina da disegno e lanciamola verso l alto.essapuòcadereindue posizioni diverse: con la punta rivolta verso l alto oppure verso il basso. Per calcolare la probabilità che cada con la punta verso il basso non si può applicare la probabilità classica ma quella frequentista. Se si effettuano N lanci, e si verifica un numero B di volte in cui la puntina rivolge la punta verso il basso, allora la probabilità assegnata è: f(e)= B DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA N La probabilità soggettivista di un evento E è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni, all avverarsi dell evento. In altri termini è la disponibilità del soggetto a versare la posta M, col patto di ottenere la vincita V se l evento E si verifica: P(E)= Anche questa definizione M non è esente da critiche V perché si può confondere il soggettivismo con l arbitrarietà. Tale probabilità si può applicare ad esempio quando si vuole calcolare la probabilità che una squadra di calcio vinca una determinata partita (ambito scommesse) oppure che un prodotto commerciale incontri il favore dei consumatori., 5 5

6 Roulette La roulette è un gioco d'azzardo di origine italiana (la girella) introdotto in Francia nel XVIII secolo. Consiste in un disco, diviso in 37 (o 38, nella roulette americana) settori numerati da 0 a 36 e colorati alternativamente in rosso e nero, mentrelo zero (0), come ildoppio zero (00) quando è presente, è normalmente colorato di verde o in bianco (in pochissimi casi); il disco viene fatto ruotare nella sua sede dal gestore del banco (il croupier) che successivamente vi lancia una pallina, originariamente in avorio, oggi in resina o teflon: la pallina viene fatta ruotare in senso opposto a quello della roulette, e si ferma cadendo in uno dei settori numerati, determinando il numero vincente. ROULETTE FRANCESE La roulette francese, il tavolo classico, con i numeri da 0 a 36 è il tipo più diffuso; si differenzia dalle altre due tipi perché, nel caso dell'uscita dello 0, le puntate sulle chance semplici vengono imprigionate per la mano in corso se poi esce un numero corrispondente alla chance puntata in precedenza, la puntata viene rimessa in libertà e si comporterà come una nuova puntata che può quindi vincere o perdere (regola dell'en prison). C'è inoltre una deroga convenzionalmente utilizzata in quasi tutti i casinò europei: quando esce lo 0 le puntate sulle chance semplici si possono dividere con il banco. Ad esempio ho puntato 20 pezzisurosso edescezero ritiro dal tavolo 10 pezzi e il banco incamera la differenza. ROULETTE INGLESE La roulette inglese è come la roulette francese, ma senza la regola dell'en prison. Iltappeto digioco èdiverso per due motivi: nel tavolo francese ci sono tre croupier a far svolgere il gioco mentre in quello inglese e americano uno; ci sono gli annunci (vicini dello zero, serie 5/8 e gli orfanelli) e sul tappeto è rappresentato il cilindro con i tre settori degli annunci. ROULETTE AMERICANA La roulette americana, si differenzia dalle precedenti due per la presenza di una trentottesima casella: il doppio zero (00),anch'essa verde e posta in posizione diametralmente opposta allo zero singolo. La distribuzione dei numeri è totalmente differente rispetto alla ruota francese e pertanto non esistono gli annunci. Come nella roulette inglese, non esiste la regola dell'en prison. La presenza del doppio zero ha delle ripercussioni sul margine della casa e sulle probabilità a favore del giocatore. Ilnumerototalediopzionisucuisipuò puntare diventa 38, ma per una puntata su numero singolo il banco continua a pagare 35:1, questo significacheilmarginedellacasanonè 2,7% come nella roulette europea ma 5,26%, quindi praticamente il doppio.

7 I DIVERSI TIPI DI PUNTATA Le combinazioni su cui è possibile puntare sono svariate, ognuna delle quali è quotata (36/n)-1, essendo n la quantità di numeri compresi nella combinazione scelta. Quindisesipuntasu: - un singolo numero (n=1), in caso di vittoria, si vince 35 volte la somma puntata oltre alla propria puntata; - una coppia di numeri (n=2), in caso di vittoria, si vince 17 volte la somma puntata; - una terzina (n=3), in caso di vittoria, sivince11voltelasommapuntata; -una quartina (n=4), in caso di vittoria, sivince8voltelasommapuntata; -una sestina (n=6), in caso di vittoria, si vince 5 volte la somma puntata; -unadozzina(n=12),incasodivittoria, sivince2voltelasommapuntata; -numeripariodispari(n=18),incaso di vittoria, si vince 1 volta la somma puntata; -numeri da 1 a 18 o quelli da 19 a 36 (n=1),incasodivittoria,sivince1volta la somma puntata; -i numeri rossi o neri (n=1), in caso di vittoria, si vince 1 volta la somma puntata PROBABILITÀ NELLA ROULETTE Il calcolo della probabilità nel gioco della roulette avviene mediante la definizione di probabilità classica; infatti: -gli eventi sono tutti equiprobabili: escludendo le roulette truccate, tutti i numeri nella roulette hanno la stessa probabilità di uscita; -è possibile calcolare il numero dei casi favorevoli (dipende dal tipo di puntata; variano da 1 a 18) e dei casi possibili (37 per la roulette francese e inglese, 38 per quella americana). Il calcolo della probabilità per ogni tipo di puntata avviene quindi dividendo i casi favorevoli per quel tipo di puntata e tutti i casi possibili: queste due tabelle le elencano tutte. Roulette francese: casi possibili 37 Tipo di puntata Casi favorevoli (n) Probabilità di vincita (n/36) Rapporto Vincita e Puntata (V/p) Chance semplici % circa 1/2 2 Dozzine o colonne % circa 1/3 3 Sestine % circa 1/6 6 Quartine % circa 1/9 9 Terzine 3 8.1% circa 1/12 12 Coppie 2 5.4% circa 1/18 18 Numeri singoli 1 2.7% circa 1/36 36 Laquota36/n 1èformulatanelseguentemodo: escludendo lo zero, 36 sono i casi possibili, quindi la probabilità classica di vincita su un tipo di puntata è n/36. Secondo la definizione soggettivista di probabilità n/36=p/v,dovepèlapuntataevlavincita.inoltrev=p+gdovegèilguadagno. Risolvendo l equazione si ha che: G=(36/n-1)p

8 A Legge dei grandi numeri A La macchina di Galton consiste in un piano verticale, sul quale sono piantati perpendicolarmente dei chiodi (o pioli) posizionati a forma di vertice di rombo. Da un invito nella parte alta del piano, vengono fatte cadere delle palline le quali, toccando i chiodi, si dirigono verso destra o verso sinistra e rimbalzando su tanti chiodi vengono raccolti nel fondo da contenitori cilindrici. Come è possibile calcolare la probabilità che ogni singola pallina cada in ogni contenitore? Probabilità classica: la macchina di Galton è un esempio di evento composto. Ogni cammino percorribile dalle palline, infatti, può essere visto come composizione di eventi elementari, ossia la caduta a destra o a sinistra ad ogni bivio. La struttura della macchina è fortemente correlata con il modello del Triangolo di Tartaglia, che, per ogni singolo bivio, mette in evidenza il numero di possibili cammini che la sfera può percorrere per raggiungerlo. Permette dunque di conoscere il numero di casi favorevoli a ciascun evento e il numero totale di casi equiprobabili. Grazie a questi due dati possibile calcolare la probabilità servendosi della definizione classica: p(e) = n cammini favorevoli n cammini possibili Probabilità frequentista: si lasciano cadere n palline e si contano quelle che cadono nel singolo contenitore: f(e)= n palline nel contenitore n Sperimentalmente si può osservare che maggiore è il numero di esperimenti effettuati (numero di palline lasciate cadere), tanto più la frequenza di un evento assume valori vicini alla probabilità classica dello stesso. È questa la legge dei grandi numeri o legge empirica del caso, che stabilisce una relazione tra la definizione classica di probabilità e quella frequentista. A A

9 6 6 Probabilità dell unione PROBABILITA DELL EVENTO UNIONE Datol eventounionee=aub, seaebsonoincompatibiliallora: P(AUB)=P(A)+P(B) seaebsonocompatibiliallora: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A B) Esempio Si lancia tre volte una moneta non truccata; si considerino i seguenti eventi: A= due volte testa B= tutte e tre le volte lo stesso segno C= testa agli ultimi tre lanci Determinare la probabilità di AUB ediauc. Lo spazio campione è costituito da otto elementi, dove le lettere T=testa, C=croce indicano il risultato del primo, del secondo e del terzo lancio. Ω C TTC TCT CTT TTT A B CTC CTC TCC CCC Risulta: P(A)=3/8; P(B)=2/8; P(C)=2/8; P(A C)=1/8; P(B C)=1/8. Quindi se si vuole calcolare la probabilità di AUB, essendo i due eventiaebincompatibili,siha: P(AUB)=P(A)+P(B)=5/8 Mentre gli eventi A e C risultano tra di loro eventi compatibili, quindisihache: P(AUC)=P(A)+P(C)- P(A C) =4/8 PROBABILITA DELL EVENTO COMPLEMENTARE Poiché Ω=AUA P(Ω )=P(AUA )=P(A)+ P(A ) P(Ω )= 1 allora P(A )=1-P(A) Esempio Riprendendo l esempio precedente, calcolare la probabilità del seguente evento: A= esca almeno una croce L evento complementare A = non esce croce dove P(A )=1/8 Quindi P(A)=1-P(A )=1-1/8=7/8 6 6

10 7 7 Probabilità condizionata Spesso, quando si calcola la probabilità di un evento, si conoscono anche altre informazioni aggiuntive oltre allo spazio campione, quindi, per determinare la probabilità dell evento non si deve considerare tutto lo spazio campione, ma soltanto un determinato sottoinsieme. Esempio Nellanciodiduedadilasommadei punti ottenuti è stata maggiore di 7; qual è la probabilità che i dadi abbiano presentato lo stesso valore. Siano: A= somma dei punti maggiore di 7 B= stessi punti sui due dadi Lo spazio campione è costituito da 36 eventi elementari, rappresentato da coppie ordinate, il cui primo numero indica i punti del primo dado e il secondo numero i punti del secondo dado. L eventoaècostituitoda15eventi elementari. Si sa che si è verificata una di queste coppie di valori; la probabilità che si verifichi l evento B, è di 3/15 in quanto i casi favorevoli all evento B sono le coppie: (4,4); (5,5); (6,6). Quindi si è calcolato la probabilità di B sapendo che si era verificato l evento A; ovvero la probabilità dell evento B condizionato dall evento A e si indica P(B/A). Nell esempio risulta: P(A)=15/36 e P(B)=6/36=1/6. Per calcolare P(B/A) si osserva che, quando si vuole calcolare la probabilità i casi possibili non sono più costituiti da tutti i casi dello spazio dei campioni, ma soltanto dai casi che appartengono all evento che sappiamo essersi verificato A, mentre i casi favorevoli sono i casi comuni ad entrambi gli eventi A B. Quindi si può definire che: P(B/A)= P(A B) Applicando questa P(A) formula all esempio si trova che P(B/A)= = P(A B) P(A) P(B)=1/6 3/36 15/36 P(B/A)=1/5 7 7

11 8 8 Probabilità dell intersezione Nelcaso appenadiscusso,sièvisto che quando si calcola la probabilità condizionata di un evento non si opera più su tutto lo spazio campione, ma solo su una parte di esso. In questo esempio si è trovato che P(B/A) P(B) e per simmetria P(A/B) P(A) Se la probabilità condizionata dei due eventi risulta diversa da quella incondizionata, gli eventi A e B si dicono dipendenti in probabilità. Se accade che P(B/A) = P(B), e per simmetriap(a/b)=p(a),sidiceche i due eventi A e B sono indipendenti in probabilità. Ciò significa che la condizione aggiuntiva che si sia verificato uno dei due eventi non porta alcuna informazione. PROBABILITA DELL INTERSEZIONE Dalla definizione di probabilità condizionata discende immediatamente che: P(A B)=P(A) P(B/A)=P(B) P(A/B) enuncia in modo più semplice: P(A B)=P(A) P(B) Esempio Si consideri l estrazione di 3 carte da un mazzo di 52 carte. Determinare la probabilità che siano estratti 3 re se le estrazioni avvengono: a) senza reinbussolamento; b) con reinbussolamento. Siano A= re alla prima estrazione B= re alla seconda estrazione C= re alla terza estrazione Si deve determinare: P(A B C)=P(A) P(B/A) P(C/A B) a) Gli eventi sono dipendenti e risulta: P(A B C)=(4/52) (3/51) (2/50)= 0,00018 b) Gli eventi sono indipendenti e risulta: P(A B C)=(4/52) (4/52) (4/52)= 0,00046 Nel caso di eventi indipendenti la probabilità dell intersezione si 8 8

12 9 9 Probabilità totali Si consideri lo spazio dei campioni costituito da tre eventi incompatibili A 1, A 2, A 3 ; ovvero gli eventi considerati costituiscono una partizione dello spazio dei campioni. Quindi l intersezione di due eventi qualsiasi è nulla e l unione degli eventi è tutto lo spazio campione. Sia B un altro evento dello spazio dei campioni. Si ha quindi: P(B)=P(B A 1 )+P(B A 2 )+P(B A 3 ) Per il teorema della probabilità dell intersezione risulta: P(B)=P(A 1 ) P(B/A 1 )+P(A 2 ) P(B/A 2 ) +P(A 3 ) P(B/A 3 ) Questa relazione è detta teorema delle probabilità totali. Esempio Si hanno 3 cassetti uguali contenenti: -il primo un anello d argento e due d oro; -il secondo tre anelli d argento e uno d oro; -il terzo due anelli d argento. Qual è la probabilità di prendere un anello d oro? Sia B l evento anello d oro e A 1, A 2, A 3 l evento apertura del rispettivamente del primo, del secondo e del terzo cassetto. Cassetto Anello Anello d Argento d Oro A A A Poiché i cassetti sono uguali si può assumere che: P(A 1 )=P(A 2 ) =P(A 3 )=1/3 Per il teorema delle probabilità totalesihache: P(B)=P(A 1 ) P(B/A 1 )+P(A 2 ) P(B/A 2 ) +P(A 3 ) P(B/A 3 ) Quindi: P(B)=(1/3) (2/3)+(1/3) (1/4) +(1/3) 0=11/36 La probabilità di scegliere un anello d oro è dunque 11/36. Si apre un cassetto a caso e si estrae un anello. 9 9

13 10 10 Teorema di Bayes Si può ricavare una formula molto importante detta formula di Bayes o anche probabilità delle cause di Bayes. Con le stesse condizioni da cui si è ricavato la formula delle probabilità totali (pannello precedente), si supponga che si sia verificato B: Qual è la probabilità che si sia verificato l evento A I, ovvero che l evento B sia stato causato dall eventoa i? Per il teorema dell intersezione e per il teorema delle probabilità totali, la probabilità condizionata può essere riformulata nel modo seguente: P(A i /B)= P(A i ) P(B/A i ) P(A 1 ) P(B/A 1 )+P(A 2 ) P(B/A 2 )+(A 3 ) P(B/A 3 ) Per chiarire il significato della formula, si consideri l esempio precedente rappresentato mediante un grafico ad albero: 1/ 3 1/ 3 1/ 3 Se si vuole calcolare la probabilità che, estratto un anello d oro O, esso provenga dal primo cassetto A 1, occorre eseguire il rapporto tra la probabilità di estrarre un anello d oro avendo aperto il primo cassetto (cammino giallo) e la probabilità totale di estrazione di un anello d oro estratto da qualsiasi cassetto(somma cammini verdi). Estrazione 1/ 3 2/ 3 3/ 4 1/ 4 1 P(A 1 /B)= (1/3) (2/3) (1/3) (2/3)+(1/3) (1/4)+(1/3) 0 0 (1/3) (2/3) + (1/3) (1/4) + (1/3) 0 A 1 = P(B) A 2 =(24/33)=0,

14 2 Il Calcolo Combinatorio 2 Quando si analizzano esperimenti con spazi campione molto vasti, come quelli di prove ripetute, possono essere utili, in molti casi, le tecniche dell analisi combinatoria che permettono di calcolare agevolmente il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili. DISPOSIZIONI E PERMUTAZIONI Si consideri ad esempio il seguente caso: in una gara ci sono n atleti in competizione; quante sono le possibili terne di vincitori del primo, del secondo e del terzo posto? Per il conteggio delle possibili terne al primo posto si possono classificare n persone, al secondo posto gli (n-1) rimanenti, al terzo posto i restanti (n-2), complessivamente si hanno n(n- 1)(n-2) modalità di terne. In generale si può dare la seguente definizione: dati n elementi e fissato un numero intero positivo k n, si dicono disposizioni D n,k di n elementi di classe k i gruppi che si possono formare prendendo k elementi dagli n in modo tale che ogni gruppo differisca dagli altri o per almeno un elemento o per l ordine in cui gli elementi sono presi. D n,k =n (n-1) (n-2) (n-3) (n-k+1) Si noti che ciascun gruppo è formato da k elementi diversi. Le disposizioni si possono indicare anche con notazione fattoriale: Dn,k= n! (n-k)! Nel caso particolare in cui n=k si introduce il termine di permutazione: si dicono permutazioni Pn di n elementi i gruppi che si possono formare prendendo tutti gli elementi n e scambiandoli tra di lorointuttiimodipossibili:p n =n! Esercizio: Quanti sono gli anagrammi della parola LIBRO? Si consideri un urna con 4 palline. Quanti possibili gruppi di palline si hanno estraendole due volte con reimbussolamento? In questo caso essendovi reintroduzione, lo stesso elemento può comparire più di una volta. In generale se l urna contiene n palline e vengono effettuate k estrazioni i possibili gruppi che si possono ottenere sono: (r)d n,k = n k definite come disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k. Esercizio: Quante sono le colonne che si possono giocare al totocalcio? 2 2

15 3 Il Calcolo Combinatorio 3 Esistono numerosi problemi in cui l ordine non ha importanza, ma si vuole sapere quanti sono i possibili gruppi che si possono formare se essi differiscono tra loro per almeno un elemento. Dati n elementi diversi e fissato un numero intero positivo k n, si dicono combinazioni C n,k di n elementi di classe k i gruppi che si possono formare prendendo k elementi dagli n in modo tale che ogni gruppo differisca dagli altri per almeno un elemento ordine in cui gli elementi sono presi. Per vedere la relazione che intercorre tra disposizioni e combinazioni si osserva che nelle disposizioni sono conteggiati tutti i gruppi che differiscono per almeno un elemento e tutte le permutazioni di tali gruppi. Quindi dopo aver costruito tutte le combinazioni si possono ottenere le disposizioni permutando in tutti i modi possibili gli elementi di ciascun gruppo, ma il numero di permutazioni di un gruppo di k elementi è k! pertanto si ottiene: D n,k =C n,k P n dacui C n,k =D n,k P n Infine si ottiene: C n,k = n! (n-k)!k! Nel gioco del lotto vengono estratte 5 palline numerate, da un urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90. I giocatori puntano sull uscita di determinati numeri e vincono se tali numeri si presentano fra i 5 estratti ; non ha importanza l ordine di estrazione. Gli eventi possibili equiprobabili sono C 90, 5, ovvero tutte le combinazioni di 90 elementi di classe 5 che possono essere estratte dall urna. Gli eventi favorevoli sono le estrazioni in cui compaiono i numeri sui quali sono 3 3 GIOCO DEL LOTTO state effettuate le puntate. 1. Se il giocatore ha puntato sull uscita di 5 numeri determinati vi è una sola configurazione favorevole: P= 1= = C 90, Se il giocatore ha puntato sull uscita di 3 numeri determinati, gli eventi favorevoli sono tutte le configurazioni in cui compaiono i tre numeri e 2 qualsiasi dei rimanenti 87 numeri: P = C 87,2 = C 90,5 3. Se il giocatore ha puntato sull uscita di un numero determinato, gli eventi favorevoli sono tutte le configurazioni in cui compare il numero giocato e 4 qualsiasi degli altri 89 rimanenti: P = C 89,4 = C 90,5

16 Poker Le origini del gioco del poker sono tuttora oggetto di dibattito. Assomiglia molto a un gioco persiano ed è stato probabilmente insegnato ai colonizzatori francesi di New Orleans dai marinai persiani. Il nome deriva, probabilmente, dal termine francese poque(ingannare). La diffusione del gioco negli altri continenti è attribuito ai militari americani, utilizzando un mazzo alla francese di 52 carte escludendo i jolly. La nuova modalità di gioco, il torneo, comincia a diffondersi nei casino americani dopo il primo WSOP (mondiale di poker che si svolgetuttigliannialasvegas). Negli USA la popolarità del poker ha un'impennata senza precedenti durante i primi anni del XXI secolo, con l'avvento del poker on-line e l'introduzione della telecamera per le carte coperte utilizzata durante i maggiori eventi, ciò che ha contribuito a far diventare il gioco uno sport spettacolare. Ilgiocosisvolgeinseifasiprincipali: 1) Puntate obbligatorie: Il primo giocatore alla sinistra del mazziere(dealer) paga il piccolo buio, il secondo paga il grande buio. Il grande buio corrisponde alla puntata minima per partecipare al gioco; il piccolo buio èlametàdelgrandebuio. 2) Pre-flop: Il mazziere distribuisce due carte coperte a tutti i giocatori, a cominciare da quello alla sua sinistra,quindi si fa il primo giro di puntate a partire dal giocatore seduto alla sinistra del grande buio. 3) Flop: Il mazziere elimina dal gioco la prima carta del mazzo e scopre tre carte sul tavolo; chiamate carte comuni, le quali possono essere utilizzate da tutti i giocatori per comporre e migliorare il proprio punto. Una volta girate le tre carte si fa un altro giro di puntate, questa volta, e per tutte le puntate successive, a partire dal giocatore alla sinistra del mazziere. 4) Turn: Il mazziere brucia un'altra carta dal mazzo e scopre una delle community cards sul tavolo. 5) River: Il mazziere brucia una carta, scopre l'ultima community card e i giocatori fanno l'ultimo giro di puntate. Il punto del giocatore è dato dalla migliore combinazione possibile scegliendo cinque carte delle sette a disposizione. 6) Showdown: Da sinistra a destra i giocatori scoprono le loro carte. Il giocatore che ha scoperto il punto più alto vince l'intero piatto. In caso di punti equivalenti si aggiudica il piatto il giocatore che possiede la carta o le carte più alte esterne al punto (kicker). Se neanche così si ottenesse uno scarto fra due o più giocatori, questi dividerebbero la posta in parti uguali(split pot).

17 Con L espressione punti del poker si intende le combinazioni di 5 carte con le quali si determinano i valori del punto a disposizione del giocatore. Utilizzando 52 carte vi sono in totale Punti del Poker Scala Reale (royal flush) Scala a Colore (straight flush) Poker (four of a king) Full (full house) Colore (flush) Scala (straight) Tris (three of a king) Doppia coppia (two pairs) Coppia (one pair) Carta Isolata (high card, no pair) Poker Significato disposizione di 5 carte e quindi, togliendo le permutazioni associate ad ogni singola disposizione si hanno in totale le combinazioni. Probabilità di realizzazione Formata dalle 5 carte più alte di un Sono possibili 4 tipi di scale reali; solo seme. Le quattro scale reali non quindi la probabilità è uguale a sono equivalenti fra loro. Si segue la 4/ ovvero 0,00015 % regola: cuori quadri fiori picche. Vi sono 40 possibili scale a colore, Formata da 5 carte in sequenza dello escludendo 4 scale reali; quindi la stesso seme. Per semi differenti si probabilità è uguale a 36/ , segue la regola vista in precedenza ovvero 0,0014 % Vi sono 624 combinazioni possibili di Formato da 4 carte dello stesso valore poker; quindi la probabilità è uguale più un' altra carta. a 624/ , ovvero 0,024% Formato da un tris e da una coppia. Vi sono combinazioni di full; Nel confronto tra due full, il più alto èquindi la probabilità è uguale a quellochehailvaloredeltrispiùalto / , ovvero 0,14%. Formato da cinque carte di uno stesso Vi sono possibili combinazioni seme, ma il valore delle carte non è di colore, escludendo le 40 scale a consecutivo. In caso di più flush, vince colore; quindi la probabilità è uguale il giocatore ad avere la carta più alta a 5.108/ , ovvero 0,2%. nella sua mano. Formata da 5cartetuttein sequenza e Vi sono possibili scale, non tutte dello stesso seme. In caso di escludendo le 36 scale a colori e 4 più scale vince quella che ha la carta scale reali; quindi la probabilità è maggiore più grande, se più scale uguale a / , ovvero hanno gli stessi valori numerici è lo0.4%. pareggio. Vi sono possibili combinazioni Formato da 3 carte dello stesso valoredel tris, escludendo il full; quindi la edaaltreduecartedivalorediverso. probabilità è uguale a / , ovvero il 2.11%. Vi sono possibili doppie Formata da due carte dello stesso coppie, che non sono anche full; valore, da altre due carte di un altro quinid la probabilità è uguale a valore e un'altra carta / , ovvero il 4,75%. Vi sono possibili coppie; Formata da due carte dello stesso quindi la probabilità è uguale a valore e da altre tre carte di diverso / , ovvero il valore %. Vi sono , escludendo le Formata da 5 carte di seme diverso coppie o le scale o il colore; quindi la tutte di valore diverso e non in probabilità è uguale a / sequenza , ovvero il 50.12%.

18 Black Jack Il Black Jack è un gioco d'azzardo nato in Francia nel XVII sec. con il nome di "ventuno". Successivamente è stato importato in America e fu chiamato "Black Jack" in italiano" fante nero. Si gioca con un mazzo di 104 carte, solitamente francesi, con lo scopo di arrivare il più vicino possibile a 21 punti senza doverli superare. Svolgimento Dopocheigiocatorihannofatto laloro puntata, il dealer procedendo da sinistra verso destra assegna a ciascuno dei giocatori una carta scoperta assegnando l ultima al banco. Effettua poi un secondo giro di carte scoperte, senza però attribuirne una a se stesso. Avvenuta la distribuzione, il dealer legge in ordine il punteggio di ciascun giocatore invitandoli a manifestare il loro gioco: essi potranno chiedere carta o stare. Se un giocatore supera il 21 risulta perdente e il dealer incasserà la puntata. Una volta che i giocatori hanno definito i loro punteggi il dealer sviluppa il suo gioco seguendo la "regola del banco": egli deve girare una carta e sommarla a quella data in precedenza. Se il dealer supera il 16 si deve fermare. Se oltrepassa il 21 il banco "sballa" e deve pagare tutte le puntate rimaste sul tavolo. Se il punteggio invece è inferiorea 16, dopo aver definito tutti i punteggi dei giocatori, il dealer confronta il proprio con quello degli altri giocatori, paga le combinazioni superiori alla sua, ritira quelle inferiori e lascia quelle in parità. Modalità di vincita con le prime due carte assegnate: 1) blackjackpuro:siottienequandoil giocatore fa 21 e si può fare solo con un Asso di picche (11) e un Jack di picche; questo punteggio batte il banco anche se totalizza 21. 2) black jack: si ottiene Il giocatore che fa 21 ricevendo un Asso (11) e undieciounafigura. Calcolo della probabilità di realizzare un Black Jack servito: Si considerino i due eventi: E 1 : la prima carta è un asso e la seconda una carta con valore 10 E 2 : la prima carta è una carta con valore10elasecondaunasso L evento Black Jack è dato dall unione dei due eventi incompatibili E 1 ee 2 : P(E 1 UE 2 )=P(E 1 )+P(E 2 )= (8/104) (32/103)+(32/104) (8/103)=0,048 Quindi si può affermare che si dovrebbe fare black jack una volta ogni venti mani, essendo la probabilità circa il5%.

19 . Il Gioco dell Oca A, B e C stanno giocando al gioco dell oca. Dopo una partita piena di emozioni si arriva alla situazione rappresentata in figura. Vince il giocatore che per primo arriva esattamente alla casella FINE e sitiranoduedadinell ordinec,b,a. B A Si considerino inizialmente le probabilità di vincita di ciascun giocatore non considerando l influenza del gioco degli altri. Gioca C: per vincere deve ottenere 1 1/36 VINCE 33/36 PERDE Gioca C C Gioca A 35/36 PERDE Gioca B 3/36 VINCE sia con il primo che con il secondo dado. Considerando 36 casi possibili e 1 caso favorevole (1+1), risulta che: P C = 1/36 Gioca B: per vincere deve ottenere 4, le possibilità favorevoli sono: 1+3; 3+1; 2+2. Considerando 36 casi possibili e 3 casi favorevoli (le tre combinazioni sopra scritte), risulta che: P B = 3/36 = 1/12 Gioca A: per vincere deve ottenere 7: 1+6;6+1;2+5;5+2;3+4;4+3. Considerando 36 casi possibili e 6 casi favorevoli (le sei combinazioni sopra scritte), risulta che: P A = 6/36 = 1/6 Utilizzando come riferimento il diagrammaadalbero,sitrovachela probabilità di vittoria dei giocatori è: P (C) = 1/36 = 0,027 P(B) = 3/36 35/36 = 0,081 P(A) = 6/36 3/36 35/36 = 0,15 Quindi è maggiore la probabilità che vinca il giocatore A! 6/36 VINCE 30/36 PERDE

20 Monty Hall Il problema di Monty Hall è un famoso problema di teoria della probabilità, legato al gioco a premi americano Let s Make a Deal. Prende il nome del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall. Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse. Dietro ad una si trova un'automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, senza aprirla, il conduttore dello show, che conosce ciò che si trova dietro ogni porta, apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all'unica porta restante. Qual è la scelta migliore? La scelta migliore è quella di accettare di cambiare la porta scelta inizialmente. La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3: - Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 2. Cambiando, il giocatore vince l'auto. - Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 1. Cambiando, il giocatore vince l'auto. -Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l altra capra. Nei primi due scenari, cambiando, il giocatore vince l'auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia "cambiare" porta alla vittoriainduecasisutre,lechance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.

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