Esempio. Le variabili casuali/3. X = x i è un evento. Si supponga che che le seguenti coppie di lettere siano equiprobabili

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1 E u prodotto dell esperimeto Le variabili casuali/3 La variabile casuale è ua fuzioe che associa ad ogi eveto dell'uiverso degli eveti uo ed u solo umero reale. Esempio Si suppoga che che le segueti coppie di lettere siao equiprobabili L'itroduzioe della "X" semplifica l'uiverso degli eveti perché lo trasloca ell'asse reale Sia "X" la variabile casuale: X=umero di vocali ella coppia Variabile casuale a) Costruire la distribuzioe di probabilità b) Rappresetarla graficamete X = x i è u eveto a) La corrispodeza tra eveti e valori della X è uivoca, ma o ecessariamete biuivoca: u dato valore della X può derivare da eveti diversi

2 Esercizio U esperimeto saggia la praticabilità del gree di ua buca da golf co il tiro di 4 pallie. L esito è icerto, ma riteiamo che la probabilità di madare la pallia i buca sia del 70%. Idichiamo co Y= umero di pallie i buca. A) Quali soo gli eveti di iteresse? B) Quali probabilità soo associate ai valori della Y? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0000,,, ; 000,,, ; 000,,, ; 00,,, ; 000,,, ; 00,,, ; 00,,, ; S = ( 0,,, )( 000,,, ); ( 00,,, );( 00,,, ); ( 0,,,);( 0,,, 0) ;( 0,,,); ( 0,,, );(,,,); a 4 a P[ ( xxxx,,, )]= ; dove a = umero di " " ella quatera Y { 034,,,, }; PY ( = y)= { , , , 0. 46, } Riflessioe Se l obiettivo dell esperimeto è lo studio della variabile casuale perché o cocetrarsi direttamete sulla sua fuzioe di distribuzioe (X, p)? Studio delle V.C. discrete Ua v.c. discreta è ota attraverso la sua distribuzioe di probabilità formata dai valori possibili e dalle probabilità loro associate Esperimeto Eveti che geerao il valore della X a Probabilità 0 frazioe (discreto) area (cotiuo b Valore (discreto) Valori (cotiuo) X Il miuscolo idica i valori possibili cioè Perchè le costituiscao delle probabilità è ecessario che: DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' I feomei soggetti alla sorte o ascoo co il loro bravo modello, ma occorre decifrarlo, se possibile, i u opportuo esperimeto. Dopo che ciò è avveuto e per tutti i casi ricoosciuti aaloghi si può adottare direttamete il modello di distribuzioe. Esempio Numero di teste i u lacio di tre moete equilibrate

3 Sitesi delle variabili casuali I particolare Si possoo ricodurre le v.c. a pochi parametri descrittivi delle caratteristiche pricipali: CENTRALITA - VARIABILITA - ASIMMETRIA Media aritmetica poderata (Valore atteso) EX ( )= xp i= i i già discusse per le rilevazioi empiriche. dove E sta per Expectatio cioè aspettativa, valore atteso Variaza L'idea è che il verificarsi più o meo probabile di certi eveti risulta legato ad aspetti compresibili e oti della variabile casuale. Simbologia e defiizioi o cambiao: si sostituiscoo le frequeze co le probabilità σ ( X) = xi pi µ i=

4 Esempio U modello assega le probabilità ai valori secodo la formula di seguito riportata e di cui è dato u esempio i figura per = Esercizio La autocarrozzeria RUG.PAL effettua 5 diverse categorie di iterveti ed ogi settimaa ripete lo stesso umero di iterveti per ogi categoria. pi ()= i per i = 0,,,, ; Gli icassi soo i segueti: a) Qual'è l'icasso atteso per ua settimaa qualsiasi? Calcolare il valore atteso i µ= i = = i= 0 b) Qual'è la variaza dell'icasso atteso? Esercizio Equità dei giochi Calcolare lo scarto quadratico medio se =0 Alcui feomei si maifestao co probabilità speculari rispetto al cetro. U modello che rispode a tale requisito è: p i = µ=0; σ=4.45 Qui si può adoperare il foglio elettroico ( ) i* i 6 ( )( ) ; i = 0,,,, U gioco d azzardo si dice EQUO se le poste dei giocatori soo proporzioali alle rispettive probabilità di vicita ESEMPIO: Nel lacio del dado l uscita sigola è data 5:. Per ua putata di 5, i caso di vicita dovrei icassare 30 (i miei 5 più 5 di vicita. Se perdo, il baco dovrebbe tratteere solo restituire 4 per compesare le sue maggiori probabilità: = = La speraza matematica E(G) è l importo certo che si è disposti a pagare per ricevere i cambio u importo aleatorio maggiore

5 Equità dei giochi/ Se p è la probabilità di vicere ua scommessa G i cui vi sia la promessa di vicere ua cifra x co probabilità p e di perdere y co probabilità (-p) l esito atteso è: E( G)= xp y( p)= xp y + yp = ( x + y) p y Perché il gioco sia equo si deve avere y x EG ( )= 0 ( x+ yp ) y = 0 p =, p x + y = x + y Ovvero: p x = y p Se perdo co probabilità/30, quado vico debbo icassare X = = = 9 Esempio Nella roulette americaa decidete di giocare $ Y sul ero co P(N)=8/38 e P(N c )=0/38 (i questo tipo di roulette ci soo lo 0 ed il 00 di colore verde). Se esce il ero ricevete Y (iclusivi della vostra putata). E u gioco equo? 0 X = 38 0 = = Se il gioco fosse equo putado 7$ se e dovrebbero icassare 7+.*7 cioè la giocata più l equa vicita. Ivece di (.*7)=56.97 di vicita il casiò dà 54. Questo si spiega per le spese orgaizzative, di mautezioe e gestioe, ma lo scarto dell % è alto. La tassa sulla stupidità Se Ciccillo si gioca 5 per u ambo sulla ruota di Cagliari (perché comicia co la sua lettera) la sua aspettativa di guadago è 7090 x = 800 = = Il gestore pada ivece 50 volte la posta cioè 50. La differeza è i parte da attribuire alle spese di orgaizzazioe, ma possoo icidere co ua decurtazioe del 30%? Il lotto ed altri giochi gestiti dallo stato soo iiqui e sarebbe stupido giocarci qualora ci fossero alterative più coveieti Tuttavia, la tassa sulla dabbeaggie dei giocatori trova parziale giustificazioe ell iteresse pubblico co cui si impiegao i fodi così otteuti. Dal discreto al cotiuo Le distribuzioi di probabilità già viste servoo a rappresetare delle caratteristiche discrete L isieme dei valori possibili è formato da puti isolati che possoo essere cotati cioè posti i corrispodeza biuivoca co l isieme dei umeri aturali. Soo iadatte per descrivere il comportameto di quatità i cui valori ricadoo i u itervallo di umeri reali: Distaze,pesi, altezze, etc. Per affrotare questi aspetti è ecessario ampliare il ostro bagaglio di strumeti d'aalisi

6 La fuzioe di desità La fuzioe di desità di ua v.c. cotiua "X" è Le ^ deriva dal fatto che la probabilità o può essere egativa. La ^ estede a tutto l'asse reale il campo di variazioe della X. L'itervallo (a,b) dove f(x)>0 è detto SUPPORTO della v.c. Nota sulla distribuzioe di probabilità I geere, la distribuzioe di u dato aspetto delle uità iserite ella popolazioe o può essere ricostruita a partire dalle dalla situazioe sperimetale. Talvolta lo schema probabilistico forisce distribuzioi del tutto itrattabili. La 3^ deriva dal fatto che l'eveto certo deve avere probabilità il simbolo " " idica l'itegrale della f(x) i (a,b) cioè la misura dell'area sottesa alla curva della fuzioe f(x) ell'itervallo (a,b) N.B. La f(x) o dà la probabilità di X, ma è proporzioale alla probabilità che X ricada i u itervallo ifiitesimo cetrato su X. Compito della Statistica è di defiire dei "modelli" di distribuzioe e di aiutare a scegliere quello più adatto alla particolare situazioe di studio. Tra i tati modelli proposti e sviluppati dalla statistica studieremo i dettaglio solo il modello gaussiao La curva ormale (o gaussiaa) E' il modello di probabilità più oto e più usato i statistica Sigificato del parametro "µ" La desità è uimodale e l ordiata massima si raggiuge per X=µ (la moda) π La tilde si legge distribuito come x µ σ e X ~ N( µ, σ) h( x)= ; <µ< ; σ > 0 σ π Media aritmetica µ Variaza σ Quidi, il parametro µ rappreseta il valore più probabili oché il valore atteso e quello che bipartisce il supporto dei valori. Cambiado µ si modifica la collocazioe del grafico La curva è simmetrica itoro a µ L adameto campaulare e simmetrico della curva Normale sta ad idicare che: ) Gli scostameti egativi dal cetro soo altrettato probabili di quelli positivi; ) I valori soo addesati itoro al cetro; 3) Gli scostameti si verificao co probabilità decrescete ma mao che divetao gradi i valore assoluto. Al variare di µ il grafico resta ialterato ella sua forma. Si modifica solo la sua localizzazioe: più a destra se µ aumeta; più a siistra se µ dimiuisce

7 Sigificato del parametro "σ" Il σ corrispode allo scarto quadratico medio. La curvatura del grafico della distribuzioe ormale cambia due volte iflessioe i corrispodeza dei puti x=µ ± σ. Ioltre La fuzioe di ripartizioe La formula della Normale è complicata e l'itegrale Quidi è calcolato co metodi di approssimazioe umerica Al dimiuire di σ : > due puti di flesso tedoo ad accetrarsi; > L ordiata massima aumeta a causa del maggiore addesameto itoro al cetro della distribuzioe. Esprime la probabilità di osservare u valore della ormale tra a e b Curva ormale stadardizzata Geeralizzazioe E possibile esprimere la v.c. Normale i uità stadard Le tre diverse ormali Soo ricoducibli ad ua sola co la trasformazioe. σ= σ= σ= La fuzioe di desità è ora Idicata co N(0,) Z=(X-µ)/σ Come è oto le variabili stadardizzate hao media zero e variaza uo Le aree sottese a X~(µ,σ) soo idetiche a quelle Della Z~N(0,) dopo aver trasformato la X i uità stadard

8 Calcolo delle aree sottese alla curva =DISTRIB.NORM.ST() Esercizio Importaza della ormale Sia X ormale co media µ=6 e deviazioe stadard σ=5. Risiede el fatto che moltissimi feomei possoo esservi rappresetati. Ifatti, la ormale serve da efficace approssimazioe di molte altre variabili casuali cotiue e discrete. Già el 7 secolo, Galileo discusse il comportameto delle misurazioi delle distaze astroomiche avedo i mete il modello ormale della compesazioe tra errori di sego opposto.

9 Uso della ormale/ Si è rilevato l errore (rispetto ad u valore prefissato) el peso di u campioe di 60 lotti µ= ˆ. 683, s = Uso della ormale/ Suppoiamo che le vedite di vestiti di u egozio specializzato seguao la distribuzioe Normale co ua media di 36 vedite al gioro ed ua deviazioe stadard di 9 vedite al gioro. Calcolare la probabilità che i u dato gioro si vedao più di vestiti Ipotizziamo che tali valori siao validi per tutti i possibili lotti. Se si sceglie a caso u lotto, qual è la probabilità che l errore el peso sia compreso tra -0.5 e P( 05. x 05. )= P z = P 038. z = Φ( 07. ) Φ( 038. )= = 0. % ( ) La t di Studet Questo modello è molto simile a quello gaussiao, ma ha code più "spesse (ordiate estreme più alte) χ (chi-quadrato) Questo modello è defiito per i soli o egativi e preseta ua marcata asimmetria positiva Ache i questo caso l'elemeto caratterizzate soo "i gradi di libertà" cioè g La variaza è superiore all'uità, ma si avvicia ad uo all'aumetare di "" ( ) = ( ) = E χ g, Var χ g Per g superiore a 30 la distribuzioe del χ si avvicia a quella gaussiaa L'elemeto caratterizzate della t di Studet soo "i gradi di libertà" cioè l'ampiezza campioaria ridotta di ua uità: -. ( "-" è il parametro della t di Studet) Per ogi grado di libertà esiste ua t di Studet, sebbee queste divetio poco distiguibili per 60. La distribuzioe del χ si icotra ello studio campioario della variabilità. Questa è importate elle aalisi cliiche e el cotrollo della qualità RA NGE 0. CM 6 ARTERY INDEX Questa v.c. è stata aalizzata da W.S. Gosset, el 906, che firmò l'articolo co lo pseudoimo "STUDENT" ed è da allora ota come "La t di Studet" ADULT SIZE

10 Riassuto L esperimeto casuale è ua prova il cui esito è soggetto alla sorte I geere o siamo iteressati a tutto l esperimeto, ma a suoi aspetti particolari: le variabili casuali. Esperimeto Scelta casuale di ua persoa abboata ad ua pay-tv Variabili casuali Caale su cui è sitoizzata la TV al mometo del cotatto (omiale) Numero di cambi di caale ogi 5 miuti (discreta) Tempo di accesioe domeicale ella fascia oraria 4-8 (cotiua) Casuale è l esperimeto, casuali sarao i valori osservati. Le variabili casuali soo figlie dell esperimeto casuale Riassuto/ Ad ogi modalità della variabile omiale o discreta, l esperimeto casuale forisce i dote ua probabilità: i forma tabellare o co ua formula Esperimeto Scelta casuale di ua persoa iscritta elle liste elettorali del comue di Serrao Variabili casuali Coalizioe per cui ha itezioe di votare Coalizioe Tedeza Destra 0.3 Cetro 0. Siistra 0. Altre Numero di votazioi a cui ha partecipato 3 ( i ) p per i i = =,,, altrove VOTE DEMOCRAT Riassuto/3 Per le variabili cotiue l assegazioe può avveire solo per classi di modalità ovvero co ua fuzioe di desità Esperimeto Corso di chiusura di u titolo alla borsa valori Variabile casuale Tasso di redimeto i base al valore di chiusura Riassuto/4 Le probabilità (come tabella o come formula) derivao: Dalle codizioi sperimetali Dall aspetto descritto dalla variabile casuale Da iformazioi aggiutive Classi di probabilità Tasso Probabilit da -5.0 a da -.5 a da 0.0 a da +.5 a da +5.0 a La statistica ha elaborato molti modelli sia per le variabili omiali e discrete che per le variabili cotiue. Molti possoo essere studiati e approfoditi el libro di testo (appredimeto libero) Fuzioe di desità ( ) x + 5 hx ( )= 75 0 x 75 ( ) 5< x 0 0< x Nel prosieguo aalizzeremo: U solo tipo di esperimeto: estrazioe di u campioe da ua lista di uità U solo modello di variabile casuale: la ormale

11 Statistica descrittiva ed ifereziale L escussioe delle uità del campioe rispetto alle variabili produce il data set { } C= X, X,, X cioè m osservazioi su di uità. Nel ostro corso m= o. Statistica descrittiva La STATISTICA DESCRITTIVA mira alla orgaizzazioe, all aalisi tabellare e grafica oché al calcolo di gradezze sitetiche di ciò che si è riveuto ella rilevazioe E ache ota come aalisi esplorativa (Exploratory Data Aalisys) proposta soprattutto dall americao J.W. Tukey el 977 Si parla di STATISTICA DESCRITTIVA se il data set è aalizzato per quello che è seza uo sfodo su cui proiettare i dati Emitteti Ascolti Emitteti Ascolti Emitteti Ascolti Emitteti Ascolti Radiouo 766 Radioverderai 79 R.D.S. 67 Lattemiele 45 Radiodue 637 Isoradio 594 Rete Radio cuore 35 Radiotre 458 Radio deejay 3687 RTL 0.5 Radio Maria 05 Stereorai 8 Radio italia SMI 378 Radio Radicale 54 Italia Network 056 CNR 468 Radio Motecarlo 460 Radio Kiss Kiss 393 Kiss Kiss Italia Classic 786 I breve, si cofigura come ua trattazioe prelimiare idispesabile per affrotare uo studio complesso. Utilizza teciche elemetari, soprattutto grafiche. Valore massimo per Radiouo; miimo per Isoradio; c è u gruppo che si addesa itoro a ascolti. Le reti pubbliche soo più diffuse di quelle commerciali Statistica ifereziale Logica della Ifereza statistica Iizia laddove il data set è visto come la puta di u iceberg. Le situazioi i cui la statistica si è più affermata soo gli esperimeti replicabili all ifiito I dati soo solo ua delle possibili realizzazioi e riguardao ache gli ascolti che potevao esserci, ma o ci soo stati oché gli ascolti che ci sarao o potrao esserci i futuro. Le esigeze cooscitive si limitao spesso a poche caratteristiche dell esperimeto: valore atteso e variaza di ua o più variabili. Tali caratteristiche soo spesso i parametri del modello che descrive il comportameto delle variabili casuali. ES PE RIM EN T O MODELLO I che modo ed i che misura possiamo estedere agli ascolti poteziali le quatità calcolate sui valori osservati? Questa è STATISTICA INFERENZIALE Il modello di casualità è approssimabile dalla variabile casuale ormale Come sfruttare al meglio le iformazioi del campioe per determiare il valore dei parametri? PA RA M E T RI Ca m p io e

12 Le procedure ifereziali Ciò che iteressa il ostro corso è: La stima putuale E' la procedura più semplice: i base alle osservazioi campioarie si ottiee il valore da sostituire al parametro da stimare LA STIMA DEI PARAMETRI PUNTUALE: quado si propoe u sigolo valore come stima di u parametro dell variabile casuale. INTERVALLARE: quado si propoe u vetaglio di valori ragioevoli come stime. Valori possibili el campioe LA VERIFICA DI IPOTESI Da esperieze precedeti o dalla logica delle idagii si può supporre che i parametri abbiao determiati valori. Soo compatibili co le risultaze campioarie? C'è da aspettarsi u certo scarto tra la stima putuale ed il parametro icogito, ma i geere o coosciamo é l'etità é il sego dell errore Gli stimatori Lo stimatore è ua fuzioe NOTA dei valori iclusi i u campioe casuale. Il suo valore è la STIMA E caratteristica quatitativa della popolazioe dalla quale il campioe è stato estratto. Esempi di stimatori: ESEMPIO: Stimatore e stima Quale stipedio si può aspettare la maager di ua USL? Si sceglie u campioe casuale diciamo di =3 maager già i servizio e si calcola il valore atteso della loro retribuzioe. Suppoiamo che sia il valore "65 mila euro" è ua STIMA del salario ipotetico, la media campioaria è uo STIMATORE del salario. La stima è il valore assuto dallo stimatore per u campioe cioè i uo specifico puto dell uiverso dei campioi =θ^ il valore può variare da campioe a campioe Uo stimatore è detto aturale se ciò che si calcola el campioe è i stretta aalogia co ciò che si deve stimare ella popolazioe Stima Valori possibili del parametro θ

13 Esempio L'estrazioe del campioe produce la -tupla i cui elemeti soo le osservazioi campioarie Ogi -tupla, a sua volta, produce u valore dello stimatore Esempio: Si esamia u campioe casuale di 0 imprese e si rileva X il umero di dipedeti regolari. Il valore della X è casuale perché o è certa quale azieda fiirà el campioe Calcoliamo alcui stimatori Osservazioi campioarie La distribuzioe degli stimatori Lo stimatore è ua variabile casuale coessa all esperimeto: estrazioe casuale di u campioe. Cooscere la sua distribuzioe ci serve per descrivere l adameto dei risultati che si possoo osservare replicado il piao di campioameto. Dobbiamo ricordare che Stimare qualcosa sigifica dare u valore a quel qualcosa La stima otteuta da u campioe può essere diversa da quella otteuta co u altro campioe La stima tede differire dal parametro da stimare, ma se coosciamo la distribuzioe campioaria dello stimatore possiamo quatificare probabilisticamete l errore La distribuzioe degli stimatori/ Per costruire la distribuzioe di uo stimatore si debboo cosiderare tutti i possibili campioi di ampiezza prefissata "" Esempio: Ua popolazioe è composta dai valori {, 3, 5}. Si estrae, co reimmissioe, u campioe di ampiezza =. Idichiamo co X il valore osservato ella ª estrazioe e co X quello osservato ella ª. Costruiamo la distribuzioe dello stimatore Basta elecare tutti i campioi di ampiezza = otteibili dalla popolazioe e vedere che valori assume "T". La distribuzioe degli stimatori/3 Degli stimatori ci iteressa : il valore atteso: E(T) k i i= ( ) ( ) = = ET TPr T T il valore atteso è il valore della media aritmetica di "T" calcolata su tutti i possibili campioi di ampiezza. E otteuto come somma poderata dei valori distiti T di moltiplicati per le rispettive probabilità. i Se la media E(T)=θ cioè il parametro da stimare, allora T è uo stimatore NON DISTORTO I valori soo poi accorpati per assegare correttamete le probabilità: Lo scarto E(T) - θ è detto Bias (baias)

14 La distribuzioe degli stimatori/4 illustrazioe La variaza: σ k ( ) = i ( ) i= k Ti T T E T Pr T T = ET k i= [ ] ( = i) [ ] ( ) Bias elevato, moderata variabilità Bias moderato, elevatata variabilità La variaza dello stimatore dà ua idicazioe delle fluttuazioi campioarie cioè quatifica le differeze tra i suoi valori poteziali ei diversi campioi. Se la variaza dello stimatore tede a zero all aumetare dell ampiezza del campioe, allora lo stimatore è cosiderato CONSISTENTE (COERENTE) Bias elevato, elevata variabilità Bias moderato, moderata variabilità Esempio Riprediamo la distribuzioe della statistica ella popolazioe {,3,5} e per campioi di ampiezza = Scelta tra stimatori diversi Per ogi parametro della v.c. può proporsi più di uo stimatore Poiché lo stimatore idica come utilizzare le iformazioi campioarie per stimare i parametri oi sceglieremo quello che Calcoliamo il valore atteso e la variaza di "T" Distribuzioe dello stimatore Le utilizza TUTTE (cioè lo stimatore o deve disperdere alcua iformazioe di quelle icluse el campioe). Le utilizza i modo EFFICIENTE (cioè o deve essere possibile avere migliore coosceza di ciò che è icogito cambiado stimatore) I media T assume valore 7.6 co ua variaza vicio a ceto. Per stabilire tali codizioi dovremmo cooscere la distribuzioe dello stimatore, ma può bastare la coosceza del suo valore atteso e della variaza.

15 Statistiche L Gli stimatori che più ci iteressao soo delle fuzioi delle osservazioi campioarie {X,X,,X } del tipo: Legge dei gradi umeri Di solito si igora la variabile casuale che può descrivere i modo soddisfacete u dato aspetto della popolazioe. Di cosegueza o è possibile costruire la distribuzioe di uo stimatore. L = i= w X i () i Ioltre, uo stesso stimatore ha ua distribuzioe campioaria diversa i dipedeza del tipo di variabile casuale che descrive la popolazioe. C è ua via d uscita? La legge dei gradi umeri! dove gli soo dei "pesi" che esprimoo il cotributo a L " delle diverse osservazioi faceti parti dello stimatore. La otazioe X (i) idica che i valori delle osservazioi campioarie soo state ordiate i seso crescete. Se la distribuzioe o è ota, ma il campioe casuale è abbastaza umeroso e le estrazioi soo idipedeti (o virtualmete tali) è possibile approssimare la distribuzioe degli stimatori co il MODELLO NORMALE Le statistiche L (cioè lieari) soo tali perché le osservazioi campioarie vi compaioo co poteza uo Suppoiamo che : Teorema del limite cetrale siao estrazioi casuali co reimmissioe da ua popolazioe descritta da ua v.c. co variaza fiita Allora, all'aumetare di "", il poligoo delle frequeze dello stimatore espresso i uità stadard L E( L) σ( L ) dove L = i= w X i () i Esempi Somma del lacio di dadi (sorte beiga) S = X + X + +X ES ( ) = *3.5; σ ( S) = 35 ; Z = S *3.5 * per = Tede ad essere be approssimato dalla curva Normale stadardizzata ) Il bias e la variaza tedoo a zero Oscillazioi di u titolo di borsa (sorte selvaggia) Alcue di queste possoo essere catastrofiche o superpositive e o c è covergeza alla ormale perché la variaza è ifiita

16 Quicux ) Le biglie etrao ell imbuto dai vari fori ) Le biglie escoo dall imbuto ua alla volta 3) Le biglie rimbalzao a caso tra i vari pioli 4) Ogi biglia imbocca uasola scaalatura T.L.C. / Il teorema del limite cetrale è u risultato fodametale della statistica Co esso è possibile stabilire la distribuzioe di vari stimatori seza cooscere quale sia il modello che descrive la casualità dell esperimeto Ad esempio, per la media campioaria: Risultato fiale X ~ N µ, σ La media campioaria è u caso particolare di statistica L co pesi W i =/ per i=,,, Quado può essere applicato tale risultato? ) Le estrazioi campioarie debboo essere idipedeti. ) L'ampiezza del campioe deve essere grade. 3) L aspetto cosiderato deve essere il risultato di molte cocause 4) No ci deve essere ua causa predomiate rispetto alle altre Esempio Qual'è la probabilità che u feomeo soggetto a variazioi casuali esprima ua media campioaria compresa i ±σ/ dalla media della popolazioe di parteza? Occorre calcolare: Esercizio La produzioe di ua liea di biscotti utilizza macchiari tali che il coteuto i grammi delle cofezioi sia ua v.c. X co µ=450 e σ=30. Calcolare la probabilità che il coteuto medio di ua scatola di 5 cofezioi sia almeo di 460g. il peso medio è ua v.c. data dalla media dei sigoli pesi: sfruttado il T.L.C. si ha: Se la produzioe è realizzata i modo da o geerare dipedeza elle varie cofezioi ricorroo le codizioi del T.L.C. e quidi

17 Stima delle proporzioi Spesso si è iteressati a sapere quale porzioe "π" di ua popolazioe possiede ua certa caratteristica (uità speciali) Se si estrae u campioe casuale co reimmissioe si è di frote ad u variabile casuale biaria (0,) i cui il " è la estrazioe di ua uità speciale co "π" come probabilità di otteerla. Distribuzioe della frazioe campioaria Poichè il umeratore della frazioe è la somma di "" variabili biarie ricorroo le codizioi del T.L.C. per cui la distribuzioe di "H", all'aumetare di "", diveta: Lo stimatore aturale di "π" è : X i se la i esima è speciale i= H = co X i = 0 altrimeti ESEMPIO Ua partita di circuiti itegrati iclude il 30% di pezzi difettosi. Si estrae u campioe casuale di 500 pezzi. Qual'è la probabilità che la frazioe di pezzi difettosi sia iferiore a 0.3? Quidi H è ua statistica L. La legge dei gradi umeri scatta se Esercizio Schema dell ifereza statistica I u campioe casuale di =00 studeti si soo trovate 36 (H=0.8) d'accordo sull'uiversità "a distaza come equivalete a quella da loro frequetata. Determiare la probabilità che, replicado il campioe, la proporzioe campioaria rimaga compresa tra.5 e = ( ) H P(. 5 H 4. 5)= P = P. 0 Z = ( ) il 97% di TUTTI I POSSIBILI campioi costruiti ipotizzado che sia π=0.8 avrà ua proporzioe compresa tra il.5% ed il 4.5%,

18 Test delle ipotesi No si è più alla ricerca di u valore (o u itervallo di valori) da sostituire al parametro icogito, ma si deve stabilire quale, tra due ipotesi, è più probabilmete VERA Se la decisioe si potesse basare sulla coosceza totale si avrebbe ua coclusioe defiitiva: l'ipotesi è VERA o FALSA. Come i molte scieze sperimetali o potremo dimostrare vera o falsa ua affermazioe. Potremo solo affermare: è più coerete o meo coerete co i ostri dati campioari. Formalismo dei Test L'IPOTESI STATISTICA H 0 è ua asserzioe verificabile su di ua variabile casuale. I geere riguarda i suoi parametri. Suppoiamo di cooscere la fuzioe di desità della v.c.: f(x;θ) di cui igoriamo il valore del parametro θ. I geere, la H 0 ipotizza u certo valore del parametro e e valuta la sua coformità co i dati campioari È detta ulla perché, di H 0 : θ θ 0 = 0 solito, iete cambia se viee accettata il valore è scelto i base a varie cosiderazioi: Dalla logica dell'esperimeto Da esperieze precedeti o idagii pilota E' u livello critico (baselie) E' u livello desiderato Formalismo del Test/ Cosideriamo L'UNIVERSO DEI CAMPIONI di ampiezza cioè l'isieme di tutte le possibili realizzazioi della -tupla La statistica test E l aello di cogiuzioe tra uiverso dei campioi e valori del parametro =3 La distribuzioe della statistica test T(X;θ) è fuzioe: I tale spazio, il campioe estratto è solo u puto. ( ) Del campioe casuale X, X,, Del parametro da stimare: θ X L'idea del test è di assegare ad ogi campioe ua probabilità detta LIVELLO OSSERVATO DI SIGNIFICATIVITA (p-value) Le statistiche test più i uso soo del tipo: TX;θ T θ σ T ( )= ( ) e i base a questo decidere sull ipotesi H 0. Spesso T(X;θ) è lo stimatore aturale del parametro a cui soo riferite le ipotesi

19 ESEMPIO: Applicazioe/ Ua docete sa che -storicamete- i risultati dei suoi esami scritti hao µ=5, σ=3. Però, ell ultima prova, i risultati dei primi 0 compiti soo molto scadeti. Che si tratti u corso ad alta desità di ciucci? Ipotesi ulla H0 : ( µ 5) = 0 Ipotesi alterativa H : µ< 5 Applicazioe/ N.B. si è sostituito l eveto puto µ=3 co l eveto itervallo µ 3 Come statistica test sembra ovvio scegliere la media campioaria. La docete rifiuterà H 0 se il voto medio osservato el campioe sarà molto più piccolo di 5. Il fatto che si rifiuti H 0 o implica ecessariamete che accetti H. Potrebbe ache decidere di riviare la decisioe i attesa di avere più dati. L ipotesi alterativa è iserita soprattutto per stabilire la direzioe del test Applicazioe/3 Dopo aver corretto altri 5 compiti risulta che, su questi, si ha ˆµ=7 A questo puto sorge u altro dubbio: che l assistete del corso, imbraato come ua foca, abbia mischiato i compiti co quelli della classe advaced Ipotesi ulla H0 : ( µ 5) = 0 Ipotesi alterativa H : µ> 5 La direzioe del test è ora verso i valori alti poiché i valori iferiori a 5 o fao sorgere questo tipo di dubbio Lo scarto 5-7 è poco compatibile co l ipotesi sebbee o ci siao evideze fortissime cotro. U valore superiore maggiore o uguale di 7 lo si può trovare ell % dei campioi da popolazioi aveti media 5. L assistete si salva. ˆ P( µ ˆ 7 µ= 5 ) P µ P Z..... = ( ) = = 0 5 Esempio La dott.ssa Agelia Romao propoe ua procedura d'ufficio che riduce i tempi medi rispetto agli attuali µ=75 miuti, pur coservado lo stesso σ=9. Ipotesi ulla H0 : ( µ 75) = 0 Ipotesi alterativa H : µ< 75 Si cosidera u campioe di =5 pratiche. Quidi la media del c -sotto H- 0 sarà approssimata dalla gaussiaa co µ=75 e σ=9/ 5=.80 Nel campioe si trova µ=69 ˆ. 8 Qual è la probabilità di otteere u valore della statistica test iferiore o uguale del valore osservato se ma media della popolazioe è 75? ˆ. ˆ P( µ ˆ µ= 75 ) P µ P.... = µ = 0 009

20 Esempio L'ammiistratore delegato, Sig.ra Rosetta Gaudio, di ua fabbrica di peumatici sta valutado la modifica della trama del prodotto leader. Lo studio di fattibilità segala che la uova trama è coveiete se la vita media dei prodotti supera le miglia i codizioi stadard. Ipotesi ulla H0 : ( µ 0' 000) = 0 Ipotesi alterativa H : µ> 0' 000 U campioe di =6 prototipi viee provato dado luogo a Si sa che σ= L'ammiistratore Gaudio che deve fare? ˆ P( µ ˆ µ= ) P µ = µ ˆ ˆ P P.. = µ < = P-value Idica la probabilità che valori della statistica test -iferiori o uguali a quello osservato- siao sopravveuti solo per effetto della sorte. Quidi, il P-value misura la probabilità di sbagliare, elle codizioi date, se si rifiuta l ipotesi ulla Nuova procedura ammiistrativa Ipotesi ulla H0 : ( µ 75) = 0, P value = La uova procedura potrebbe essere o migliorativa rispetto alla vecchia solo i casi su 000 (circa). E bee rifiutare H 0 Nuovo peumatico Ipotesi ulla H0 : ( µ 0' 000) = 0, P value = La uova trama è migliorativa circa ua volta su 3. No è cosigliabile rifiutare H 0. Precisazioi Rispetto all'ipotesi che il parametro abbia u valore prefissato ci soo tre casi: H0 : θ = θ0 ; H : θ < θ 0 H0: θ = θ0 ; H : θ > θ 0 H0: θ = θ0 H : θ = θ 0 Nei primi due il test è uidirezioale (o ad ua coda), el terzo è bidirezioale (o a due code). Guida Se P -value %. Aldilà di ogi ragioevole dubbio si può rifiutare H 0 Se % P -value 5%. Ci soo buoe ragioi per rifiutare H 0 Se 5% P -value 0%. Ci soo ragioi per rifiutare H 0, ma o soo del tutto coviceti Se P -value > 0%. E cosigliabile o rifiutare H 0 Coda iferiore Coda superiore p-value I valori soo solo apparetemete bassi. p-value p-value Le codizioi di applicabilità dei test (ad esempio la distribuzioe ormale) soo valide solo i parte). Il giudizio sull'etità dello scarto tra valore campioario ed ipotesi è espresso i base alla distribuzioe della statistica test Di cosegueza, solo ua forte evideza può covicere a rifiutare l ipotesi ulla (agolatura coservativa)