Lezione 8. Risultanti e discriminanti.

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1 Lezoe 8 Prerequst: Rdc d polo Cp d spezzeto Lezoe 5 Rsultt e dscrt I quest sezoe studo crter eettv per stlre qudo due polo coecet u cpo ho rdc cou S F u cpo Proposzoe 8 I polo o ull, ] ho u rdce coue u estesoe lgercete chus K d F se e solo se esstoo polo o ull r, s ] co deg r < deg,deg s < deg tl che r s Dostrzoe: Per l Teore d Ru,, ho u rdce coue K se e solo se MCD, K[ ], ovvero, se l Le 5, se e solo se MCD, F[ ] Suppoo che, o u rdce coue e s MCD, h, h ], h o costte Allor r, s soo polo verct l eucto dell proposzoe h h Vcevers, suppoo che, o o rdc cou Allor, soo copr F[] Se vlesse l, per l propretà d ttorzzzoe uc F[], ecessrete dvderee r, cotro l potes su grd Nelle potes dell Proposzoe 8, s deg, deg Il pro ero dell è u cozoe lere evdeteete ull de ter,,,,,,,,,, coecet F evdeteete o tutt ull Qud l esstez dell equvle ll lere dpedez d tl ter su F Se, llor

2 rghe rghe g S, 4 Se g, llor 4 g g g Quest soo tutt eleet dello spzo vettorle de polo coecet F vet grdo l pù, che è sooro F edte,,, u u u u u u Qud l codzoe d lere dpedez de ter equvle ll ullrs del deterte dell seguete trce, dett trce d Sylvester:

3 Per ggore chrezz, scrvo l trce el cso prtcolre cu, : Dezoe 8 Il deterte d S, g s dce rsultte d, Lo s deot che R, g Dlle cosderzo ppe eettute, segue Proposzoe 8 I polo o ull, ] ho u rdce coue u estesoe lgercete chus d F se e solo se R,g Per esepo, so, g Allor R, g det I eett,, ho coue l rdce Ao deto l rsultte ter de coecet de polo Ne do or, sez dostrzoe, u rppresetzoe ter delle loro rdc **Proposzoe 84 So, ] o ull, s deg,deg, e so e coecet drettor d e rspettvete So, oltre,,, le rdc d e β,, β le rdc d u estesoe K lgercete chus d F, cotte co le rspettve olteplctà Allor R, g Dostrzoe: [G], Proposto 54,,,, β Osservzoe 85 Dll Proposzoe 84 segue che R,g è u espressoe polole setrc d,, coecet F β,, β ; se l Corollro 7 ess è qud u espressoe polole, coecet F β,, β, de coecet d M coecet F β,, β soo loro volt espresso polol setrche β,, β coecet F e qud soo espresso polol de coecet d Coplessvete, R,g è u espressoe polole, coecet F, de coecet d e

4 Corollro 86 Nelle potes dell Proposzoe 84, R, g β Dezoe 87 Per og poloo o ullo ], d grdo, e coecete drettore, s dce dscrte d R, ' Dlle Proposzo 54 e 8 segue Proposzoe 88 U poloo ], d grdo, h, u suo cpo d spezzeto, u rdce ultpl se e solo se Corollro 89 S ] u poloo d grdo e coecete drettore, e so,, le sue rdc suo cpo d spezzeto su F Allor, se F, < Dostrzoe: S h qud, ' S ot che, per og,,, ll'dce Qud I se l Corollro 86 s h llor ull tutt gl dded tre uo, quello corrspodete ' R, ' ' I ttor soo coplessvete, l età d ess soo del tpo co > Igo d cre l sego tutt quest ult Cò sgc oltplcre l prodotto per Nel prodotto, og ttore co k < h copre u volt per k, k h

5 u volt per h, ell or: h k Dopo l co d sego due ttor sro ugul Duque <, R, ' d cu l orul volut Esep 8 S c u poloo d grdo Allor ', e qud c det 4 c 4c S p q Allor ' p, e qud q p q p det p 4 p 7q p p Osservzoe 8 Il ruolo del dscrte d u poloo rele qudrtco è e oto: l suo sego deter l uero delle rdc rel del poloo Vedo or coe l dscrte svolg u ruolo logo per polo rel cuc S u poloo rele d grdo, e so,, le sue rdc coplesse sppo che u è rele, s ess Suppoo, per seplctà, che s oco Allor esso ette l decoposzoe ed l suo dscrte è Esso è prodotto d,,, che soo dscrt de suo ttor oc d grdo S ho llor seguet cs: Se, llor h u rdce ultpl Quest è ecessrete rele Duque h u rdce rele trpl, oppure u rdce rele seplce ed u dopp

6 Se <, llor h u sol rdce rele, e due rdc o rel dstte Se >, llor h due rdc rel dstte, e essu rdce dopp Qud h tre rdc rel dstte L espressoe del dscrte dt el Corollro 89 può essere sosttut d u orul pù gevole, st sul clcolo d u deterte: Proposzoe 8 S, e so F,, Allor > det Questo deterte s ch deterte d Vderode d,, Lo s deot co,, Dostrzoe: Osservo prelrete che è sucete supporre che gl eleet so due dstt; tl cso l pro ero dell'uguglz d provre è o ullo Procedo per duzoe su Il cso è ovvo S llor >, e suppoo l tes ver per S det Allor è u poloo coecet F, d grdo l pù -, vete rdc,, : tt sosttuedo cscuo d quest eleet d s ottee u trce vete due coloe ugul Il coecete del tere d vete grdo - è,, C, che per l'potes duttv è o ullo S h qud C, e, pplcdo cor l'potes duttv:,,,, >, d cu l tes

7 Dl Corollro 89 e dll Proposzoe 8 segue suto: Corollro 8 S ] u poloo o ullo d grdo, e coecete drettore, e so,, le sue rdc suo cpo d spezzeto su F Allor, se F,,, Osservzoe 84 Il dscrte d u poloo oco è u uzoe delle sue rdc Per questo s può questo h seso prlre d dscrte d eleet,, F, che è,, S ot che quest dezoe è dpedete dll orde cu vegoo cosdert tl eleet etre,, è deto eo del sego Quest ozoe srà utle seguto