PARTE I ELEMENTI DI IDRAULICA

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1 PRTE I ELEMENTI DI IDRULIC. IDROSTTIC L idrostatica è la parte dell'idraulica ce studia le azioni esercitate dai liquidi in quiete, sia nel loro interno sia sulle superfici con cui sono a contatto (tali azioni sussistono ance quando la massa liquida è in movimento purcé non si verificino spostamenti relativi tra le singole particelle). I liquidi in quiete esercitano pressioni e quindi spinte a causa del loro peso e la loro superficie libera a contatto con l'atmosfera si dispone sempre orizzontale (escludendo ovviamente i menisci nei capillari). I liquidi anno un volume proprio ma non una forma propria ed assumono quindi quella del recipiente ce li contiene. Si riciamano qui di seguito alcune definizioni di carattere generale. Peso specifico: è il peso dell unità di volume. Per l acqua, nel campo pratico, si assume γ = 1 kg/m negli equivalenti valori 1 t/m, 1 kg/dm ; per l acqua torbida, cioè con un certo contenuto di materiale solido come nelle correnti fluviali, esso può raggiungere e superare 1,1 t/m. Densità. E la massa dell unità di volume. Per l'acqua si a ρ = 1 kg s /m 4. Dal secondo principio della r r dinamica ( F = ma ) si ricava la relazione fra peso specifico e densità: peso specifico = densità x accelerazione di gravità (γ = ρ g). Le variazioni di peso specifico e di densità dei liquidi con le variazioni di pressione sono piccolissime e, in pratica, si trascurano: con ciò si ammette per essi il principio della incompressibilità ce si traduce nella costanza del loro peso specifico (γ = cost) qualunque sia la pressione alla quale sono sottoposti. nce le variazioni di peso specifico e densità dei liquidi con la temperatura sono trascurabili, purcé si trovino lontani dal punto di ebollizione e di solidificazione. Pressione. E la forza ce si esercita sull'unità di superficie. La pressione p si misura in Pascal, 1Pa= (1N/1m ), kg/cm, t/m, atmosfera (at), bar, psi (pound / square inces), altezza della colonna di liquido specificato (es. : acqua, mercurio, etc ). Tali unità sono legate fra loro dalla seguente relazione di equivalenza: 1 at = 1, kg/m = 1, m di colonna d acqua = mm 76 di mercurio. Inversamente: 1 kg/cm = 1 t/m = m 1 d acqua = 76 mm di mercurio =.968 at. L unità kg/cm viene ance detta atmosfera metrica (atm) e differisce di poco dall'altra (at) per cui spesso, nella pratica, esse si considerano equivalenti. Spinta. È la forza S ce si esercita su di una superficie. Nel caso dei liquidi è dovuta ad un insieme di pressioni idrostatice. Se la pressione p su di una superficie di area è costante, la spinta S risulta essere p. Da questa relazione discende ce p = S/. La spinta, forza concentrata, si misura in kg, t, ecc ed essendo grandezza vettoriale applicata deve essere definita da: intensità o modulo direzione o retta d azione verso Dispense del corso di "Ingegneria Forestale"-.. -4, I edizione, 19//4. 6

2 punto di applicazione..1. Principio fondamentale dell idrostatica. Sia data una massa liquida di peso specifico γ e si consideri una superficie, interna ad essa orizzontale e di area d posta ad una profondità (fig. 1); su questa superficie insiste un volume di liquido di peso γ d, ce determina una pressione: (1) p = γ d = γ d in tutti i punti ce si trovino alla stessa profondità. La relazione precedente esprime il principio fondamentale dell'idrostatica (o legge di Stevino): La pressione esercitata dal liquido in un punto interno ad esso è data dal prodotto del peso specifico per la profondità. In ogni punto della massa liquida la pressione agisce in tutte le direzioni e con uguale intensità (principio di isotropia degli sforzi di pressione): sulle pareti è diretta perpendicolarmente ad esse. Ciò è dimostrato dalla constatazione ce il liquido pur soggetto a forze resta in quiete. d Fig. 1 Il prodotto γ rappresenta la pressione relativa, dovuta cioè al solo liquido: dal ragionamento fatto si è infatti esclusa l'esistenza di altre azioni, mentre in realtà sussiste sempre ance la pressione atmosferica per cui la pressione effettiva (assoluta) si ottiene aggiungendo alla pressione relativa quella atmosferica (p) (p ass = γ + p o ); nelle applicazione si considera sempre la pressione relativa tralasciando il termine p o costante. La legge di Stevino trova applicazione nella pratica ance quando si esprime il modulo di una pressione mediante un altezza di liquido equivalente ( j ), infatti: () j = p γ j ltri principi di idrostatica sono: Principio di rcimede: Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta diretta verticalmente dal basso verso l'alto uguale al peso del volume di liquido spostato ; Principio di Pascal: Una pressione esercitata sulla superficie di una massa liquida si trasmette inalterata in ogni direzione e in ogni punto della massa stessa. Dispense del corso di "Ingegneria Forestale"-.. -4, I edizione, 19//4. 7

3 .. Spinte sulle superfici I. Parete piana orizzontale Si consideri una superficie orizzontale di area (ad esempio il fondo di un recipiente contenente un liquido) ad una profondità dal pelo libero (Fig. ); la pressione idrostatica è costante in ogni suo punto ed uguale a γ. La spinta risulta S = γ, e corrisponde al peso di un cilindro retto di liquido avente per base e per altezza. gli effetti statici la spinta si considera applicata nel baricentro della figura piana ce costituisce il fondo, è rivolta verso il basso ed è verticale. Fig. II. Parete piana verticale non sommersa La Fig. rappresenta la sezione di una parete verticale contenente acqua per un altezza pari ad. Per la (1), la pressione sulla parete è variabile linearmente tra il pelo libero dove è nulla ed il fondo, dove raggiunge il valore massimo. Il diagramma BB' rappresenta l'andamento della pressione (e delle spinte) lungo le pareti; le ordinate, normali ad B, esprimono il valore (nella scala assunta) della pressione alle varie profondità. ds d B γ B Fig. Si consideri una strisciolina verticale della parete di altezza d piccola a piacere, posta a profondità, di largezza unitaria (nel caso ce si adotti come unità il metro si usa dire di un metro di fuga ) quindi di area l d. vendo considerato la strisciolina di spessore infinitesimo, si può ammettere ce in ogni suo punto la pressione idrostatica sia costante ed uguale a γ ; la spinta elementare esercitata su di essa risulta pertanto: ds = γd 1 Se si immagina la parete suddivisa in infinite strisce, su ognuna di esse si esercita una spinta elementare, dipendente dalla profondità a cui si trova: la spinta totale (S)è la risultante, ossia la somma, di tali infinite spinte elementari. Integrando tra gli estremi di contatto tra parete e acqua, in questo caso e, si a: Dispense del corso di "Ingegneria Forestale"-.. -4, I edizione, 19//4. 8

4 () S = γd = γ 1 = γ Un altro approccio, dal risultato analogo, consiste nel considerare il diagramma della pressioni ce rappresenta ance il diagramma delle spinte elementari. Dalla statica sappiamo ce un tale diagramma costituisce un carico distribuito la cui entità è pari all area del diagramma stesso. Poicé la base del triangolo BB vale γ l area (e quindi S) vale: 1 S = γ La formula (), fornisce l'intensità della spinta idrostatica su 1 metro di parete ce risulterà normale alla stessa e diretta contro essa. Si osservi ce le dimensioni di S dovrebbero risultare omogenee con quelle di una forza: dalla () risulta invece forza/lungezza, ma ciò dipende dall'aver assunto una lungezza di parete unitaria. La spinta globale sulla parete (S ) larga L sarà: (4) 1 S = γ L e a le dimensioni di una forza. La determinazione del punto di applicazione è facile; infatti per il teorema di Varignon 1 si a: (5) S c = γ d = γ (6) γ c = = γ dove S è la spinta risultante, c il braccio incognito rispetto al pelo libero e dentro l integrale c è la risultante dei momenti. Dalla (6) si riconosce ce la distanza cercata corrisponde alla posizione del baricentro del diagramma di spinta rispetto al pelo libero. Torniamo per una attimo alla () e riscriviamola nel modo seguente considerando ce d x 1 = d e: (7) S = γ d Il termine dentro l integrale rappresenta il momento statico (di primo ordine) dell area infinitesima per cui applicando nuovamente Varignon otteniamo: (8) S = γ g 1 Il teorema di Varignon afferma ce il momento statico della risultante rispetto al punto P è uguale alla somma algebrica (= risultante) dei momenti statici calcolati rispetto allo stesso punto. Dispense del corso di "Ingegneria Forestale"-.. -4, I edizione, 19//4. 9

5 dove g è la posizione del baricentro della parete immersa rispetto al pelo libero (detta affondamento) e l area della stessa. llo stesso modo riscriviamo la (5) nel modo seguente: S c = γ d Il prodotto d rappresenta il momento d inerzia (o di secondo ordine) (J) della parete immersa rispetto all asse passante per il pelo libero e c è il punto di applicazione della spinta totale. pplicando ancora Varignon abbiamo: γj (9) c = S La (8) e la (9), rappresentano formule generali, facilmente applicabili e ce forniscono la forza globale agente sulla parete (non quindi riferita ad 1 m di fuga). Il momento d inerzia baricentrico (J ) si trova nei manuali o può essere calcolato con il metodo dell integrale. Noto il momento d inerzia baricentrico principale, quello di cui si necessita può essere calcolato con il teorema di trasposizione: (1) J = J + d dove si è indicato con l area della figura e con d la distanza ce separa l asse baricentrico (rispetto al quale è calcolato J ) da quello (parallelo al baricentrico) per il quale interessa J. III. Parete piana inclinata sommersa nce in questo caso per trovare la spinta si può procedere con uno dei metodi sopra descritti. La pressione nel punto (Fig. 4) in questo caso, non è nulla ma pari a γ 1. S S v α B Fig. 4 1 Il diagramma delle pressioni risulterà essere trapezio (BB'') avente per basi γ 1 e γ e per altezza ( - 1 )/sen(α), essendo α l'inclinazione della parete rispetto all'orizzontale. L'area del trapezio, e quindi la spinta è: 1 γ (11) S = ( ) senα 1 Il momento d inerzia è una proprietà geometrica della figura ed assume valori diversi a seconda dell asse a cui è riferito. d es. il rettangolo a due assi principali d inerzia (gli assi di simmetria), (x, y) è avrà pertanto due momenti d inerzia principali (di cui 1 massimo e 1 minimo), (J x, J y ) e non bisogna fare confusione nella scelta di quello occorrente. Dispense del corso di "Ingegneria Forestale"-.. -4, I edizione, 19//4. 1

6 è normale alla parete, a retta d'azione passante per il baricentro del trapezio, ed è posta quindi ad una distanza (d) della base maggiore: (1) d = ( S + min S max ) dove: S min = base minore del diagramma di spinta S max = base maggiore del diagramma di spinta = altezza del diagramma di spinta Se si scompone la spinta S nelle sue due componenti orizzontale e verticale (come indicato in Fig. 4) risultano: e: 1 (1) = Ssenα = γ( ) S o S v 1 (14) = S cos α = γ( ) ctgα Da tali relazioni si può dedurre, con semplici ragionamenti la seguente regola generale: La componente orizzontale della spinta idrostatica su una parete inclinata è uguale alla spinta ce si avrebbe su una parete verticale della stessa altezza; la corrispondente verticale della spinta è uguale al peso del volume del liquido sovrastante verticalmente la parete. Ciò vale in generale per pareti qualsiasi, purcé di forma cilindrica a generatrici orizzontali, le quali possono sempre essere scomposte in piani di lungezza opportuna, orizzontali e verticali. Con le formule trovate è possibile calcolare la spinta idrostatica su pareti piane rettangolari aventi disposizione diversa da quelle sopra trattate. d esempio: per una parete verticale sommersa basterà porre nella formula (11) α = 9, quindi sen α = 1; per una parete inclinata non sommersa si dovrà porre 1 = ; e così via. 1 1 Dispense del corso di "Ingegneria Forestale"-.. -4, I edizione, 19//4. 11