3. (Da Medicina 2003) Moltiplicando i due membri di un'equazione per il numero -1, le soluzioni dell'equazione che si ottiene:

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2 EQUAZIONI 1. (Da Veterinaria 2006) L equazione di secondo grado che ammette per soluzioni x1 = 3 e x2 = -1/ 2 è: a) 2x 2 + (2 3-2)x - 6 = 0 b) 2x 2 - (2 3-2)x - 6 = 0 c) 2x 2 - (2 3-2)x + 6 = 0 d) 2x 2 + (2 3-2)x + 6 = 0 e) x 2 - ( 3-2)x - 6 = 0 2. (Da Odontoiatria 2005) Due equazioni si dicono equivalenti quando ammettono lo stesso insieme di soluzioni. In quale delle seguenti coppie, le equazioni sono equivalenti? a) 5x - 2 = 4x + 8 e x = 6 b) x = 3 e x (x-3) = 0 c) 4-2x = 10 e x = 3 d) x = 1 e x 2 = 1 e) x = 1 e x = (Da Medicina 2003) Moltiplicando i due membri di un'equazione per il numero -1, le soluzioni dell'equazione che si ottiene: a) sono le stesse di quella di partenza b) sono l'opposto di quelle dell'equazione di partenza c) non hanno alcun legame con le soluzioni dell'equazione di partenza d) sono l'inverso delle soluzioni dell'equazione di partenza e) hanno legami con le soluzioni dell'equazione di partenza che dipendono dal grado dell'equazione stessa 4. (Da Medicina 2003) L'equazione soluzione: a) solo per k uguale a uno b) solo per k uguale a zero c) solo per valori positivi di k d) solo per valori di k non negativi e) per ogni valore di k nell'incognita x, con k parametro reale, ha 2

3 PROPORZIONI 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2014) Tre amici ricevono complessivamente 36 da suddividere tra di loro nelle seguenti proporzioni 2:3:7. Qual è la differenza tra l ammontare più grande e quello più piccolo ricevuto dai tre amici? a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) (Da Medicina 2009) Su una carta geografica con scala 1 : la distanza tra due città è di 10 cm. Quale sarà la distanza tra le due città su una carta geografica con scala 1 : ? a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cm d) 20 cm e) 15 cm SISTEMI DI EQUAZIONI 1. (Da Odontoiatria 2009) Il sistema, per x, y reali a) Ha una sola soluzione b) Ha due soluzioni coincidenti c) Ha due soluzioni distinte d) Ha infinite soluzioni e) Non ha soluzioni 3

4 2. (Da Odontoiatria 2008) Indicare tutti e soli i valori del parametro reale a per i quali il seguente sistema ammette soluzioni reali nelle incognite x e y. a) a > 0 b) a 0 c) a > 1 d) a 1 e) nessun valore di a 3. (Da Odontoiatria 2004) Il sistema a) Ha una sola soluzione b) Ha due soluzioni coincidenti c) Ha due soluzioni distinte d) Ha infinite soluzioni e) Non ha soluzioni DISEQUAZIONI 1. (Da Veterinaria 2014) La soluzione della disequazione 15 7 x 2 x 2 < 0 è: a) x < -5 o x > 1,5 b) -5 < x < 1,5 c) -1,5 < x < 5 d) x > 1,5 e) x < -1,5 o x > 5 2. (Da Odontoiatria 2008) Nell insieme dei numeri reali la disequazione x è verificata per: a) -1 x 3 b) -1<x 2 c) 1 x 3 d) -2 x 2 4

5 e) -1 x 2 3. (Da Odontoiatria 2002) La disequazione x 2 a > 0, con a numero reale a) per ogni valore di a non ha soluzioni b) ha come insieme delle soluzioni l'insieme R per ogni valore di a c) ha come insieme delle soluzioni l'insieme R se a è positivo d) ha sempre un numero finito di soluzioni e) non ha soluzioni se a è positivo 5

6 SOLUZIONI EQUAZIONI 1. b) Non è necessario risolvere le equazioni proposte nelle cinque opzioni per rispondere al quesito. È sufficiente, infatti, utilizzare il metodo della verifica, secondo il quale si sostituiscono nelle diverse equazioni le soluzioni x1 e x2 proposte dal testo del quesito, con lo scopo di individuare l equazione che è soddisfatta da tali soluzioni. La risposta corretta è la b), infatti, sostituendo alla variabile x il valore della prima soluzione x1 = 3 si ottiene: che è un uguaglianza verificata, e sostituendo il valore della seconda soluzione x2 = -1/ 2 : che è anch essa un uguaglianza verificata (si noti che nel terzo passaggio la frazione è stata razionalizzata moltiplicando e dividendo per il fattore razionalizzante 2). Si dice, allora, che x1 = 3 e x2 = -1/ 2 sono le soluzioni dell equazione b). Provando a sostituire i valori di x1 e x2 nelle altre equazioni non si otterrebbero uguaglianze verificate. 6

7 2. d) Dalla definizione di equazioni equivalenti si ricava che la risposta corretta è la d). Infatti, le soluzioni di questa coppia di equazioni sono: e, discutendo il modulo di x: Le due equazioni hanno lo stesso insieme di soluzioni: x1,2 = ± 1. Le altre coppie di equazioni, invece, hanno soluzioni differenti: - le equazioni in a) hanno soluzioni x = 10 e x = 6 - le equazioni in b) hanno soluzioni x = 0 e x1 = 0, x2 = 3 - le equazioni in c) hanno soluzioni x = -3 e x = 3 - le equazioni in e) hanno soluzioni x = 1 e x = a) La risposta corretta è la a) per la definizione di equazioni equivalenti: aggiungendo, sottraendo, moltiplicando o dividendo per uno stesso numero (purché diverso da zero nel caso di prodotto e divisione) entrambi i membri di un equazione si ottiene un equazione equivalente a quella di partenza, cioè un equazione che ha lo stesso insieme di soluzioni dell equazione iniziale. 4. e) Risolviamo l equazione: A destra dell uguale si riconosce lo sviluppo del quadrato di binomio, perciò riscriviamo come: A sinistra dell uguale abbiamo un radicale che è sempre positivo (o al massimo nullo); allora, affinché l uguaglianza sia verificata, bisogna richiedere che anche a destra dell uguale ci sia un espressione sempre positiva (o al massimo nulla). L espressione (k - 1) 2, grazie all esponente pari, risulta sempre positiva (o al massimo nulla), indipendentemente dal valore assunto dal parametro k. Allora l equazione ha soluzione per qualsiasi valore di k. 7

8 PROPORZIONI 1. e) Si hanno 36 da dividere fra tre persone nelle seguenti proporzioni 2 : 3 : 7. Questo significa che la quota totale deve essere divisa in un certo numero parti uguali; alla prima persona spettano 2 parti, alla seconda persona 3 parti e alla terza persona 7 parti. Il numero totale di parti in cui va divisa la somma totale è dato da = 12 parti Quindi, una singola parte corrisponde a una quota di: 36 /12 = 3 Allora al primo dei tre amici spetteranno: 2 3 = 6 al secondo: 3 3 = 9 e al terzo: 7 3 = d) Calcoliamo la distanza reale tra le due città sfruttando le informazioni riguardanti la prima carta geografica, in scala 1 : In questa scala, due punti distanti 1 cm sulla cartina distano nella realtà cm = 1 km. Sapendo che le due città distano 10 cm sulla carta geografica, la loro distanza reale sarà data dalla proporzione: 1 : = 10 : x quindi: x = = cm Per determinare la distanza delle due città sulla seconda carta in scala 1 : utilizziamo la proporzione: 1 : = y : da cui: y = / = 20 cm. 8

9 SISTEMI DI EQUAZIONI 1. e) È possibile arrivare alla soluzione del quesito secondo diverse vie. Possiamo risolvere il sistema seguendo, per esempio, il metodo di sostituzione: dove abbiamo sostituito alla variabile y nella prima equazione la sua espressione data dalla seconda equazione del sistema. Continuiamo con i conti: Risolviamo l equazione di secondo grado: Il delta dell equazione risulta negativo, perciò l equazione non ha soluzioni. Se almeno una delle equazioni del sistema non ha soluzioni, allora il sistema complessivo non avrà soluzioni (risposta e)). In alternativa, è possibile risolvere il sistema mediante metodo grafico. La prima equazione del sistema rappresenta in geometria analitica una circonferenza sul piano cartesiano con centro nell origine e raggio r = 3. La seconda equazione del sistema rappresenta una retta sul piano cartesiano. Rappresentiamo circonferenza e retta su uno stesso piano cartesiano:

10 Si osserva che i due grafici non hanno nessun punto in comune; questo significa che il sistema non ha soluzioni. 2. d) Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione: Osserviamo la seconda equazione dell ultimo sistema: a sinistra dell uguale abbiamo un radicale che è sempre positivo (o al massimo nullo). Allora al membro di destra dobbiamo avere un espressione sempre positiva (o al massimo nulla). Quindi imponiamo: 3. e) Vedi esercizio 1. Seguendo il metodo grafico le due equazioni rappresentano, rispettivamente, un iperbole e una retta che non si intersecano. Il sistema non avrà soluzioni

11 DISEQUAZIONI 1. b) Ordiniamo i termini e cambiamo tutti i segni invertendo il verso della disequazione (ricordiamo che cambiando tutti i segni della disequazione o, equivalentemente, dividendo entrambi i membri per un numero negativo, il verso della disequazione cambia): Si tratta di una disequazione di secondo grado. Consideriamo l equazione associata: e determiniamone le soluzioni mediante la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado: Riassumiamo le regole per la determinazione delle soluzioni di una disequazione di secondo grado (con a positivo): Soluzioni dell equazione ax 2 + bx + c = 0 Soluzioni della disequazione ax 2 + bx + c > 0 Soluzioni della disequazione ax 2 + bx + c < 0 > 0 due valori distinti x1 e x2 con x1 < x2 x < x1 e x > x2 x1 < x < x2 = 0 due valori coincidenti x1,2 -b/2a x -b/2a nessun valore di x < 0 nessun valore reale tutti i valori di x nessun valore di x Siamo nel caso > 0 e disequazione < 0. Allora le soluzioni saranno: 11

12 2. a) Discutiamo il modulo al primo membro della disequazione: 1 CASO: Se, cioè, la disequazione diventa: da cui: La soluzione del 1 caso è data dalla sovrapposizione tra x 3 e la condizione del modulo x 1: 1 3 cioè: 2 CASO: Se, invece,, cioè, la disequazione diventa: da cui: La soluzione del 2 caso è data dalla sovrapposizione tra x - 1 e la condizione del modulo x < 1: 12

13 cioè: La soluzione finale della disequazione di partenza soluzioni del primo e del secondo caso: -1 1 si ottiene unendo le Si ottiene: e) Riscriviamo la disequazione x 2 a > 0 come: x 2 < - a (ricordando che cambiando tutti i segni della disequazione o, equivalentemente, dividendo entrambi i membri per un numero negativo, il verso della disequazione cambia). Allora notiamo che: - il membro di sinistra è sempre positivo (o al massimo nullo) perché è una potenza con esponente pari - il membro di destra può essere positivo, negativo o nullo a seconda del valore di a 13

14 Se a fosse positivo, - a avrebbe un valore negativo. È chiaro, allora, che in questo caso la disequazione non ha soluzioni, perché un numero positivo ( x 2 ) non può mai essere minore di un numero negativo ( - a ); da cui la risposta e). 14

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