8 Simulazione di prova d Esame di Stato

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1 8 Simulazione di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario Si consideri la famiglia di funzioni f α () = a e a con a parametro reale positivo. a. Mostrare che tutti i punti stazionari delle funzioni f a () si trovano su una retta, della quale si chiede l equazione. b. Determinare le equazioni delle rette tangenti alle curve, grafico di f a (), e mostrare che tali rette tangenti formano con l asse delle ordinate un angolo acuto costante; calcolare poi il valore dell angolo. c. Posto a =, studiare la funzione ottenuta e disegnarne il grafico C in un riferimento cartesiano ortogonale. Scrivere l equazione della retta tangente a C nel suo punto di flesso e dimostrare che tale tangente incontra la curva in un altro punto. d. Calcolare l area A k della regione piana limitata dalla curva C, dall asse delle ascisse e dalle rette di equazioni =e = k, con k numero reale maggiore di. Determinare il limite di A k quando k tende a +. a. La funzione è definita e continua su R. La derivata prima è ( ) e a se >a f a() = ( a + ) e a se <a a quindi ciascuna funzione ha un unico punto stazionario di coordinate (a; a). Tutti questi punti appartengono alla retta di equazione y =. b. Le curve incontrano l asse delle ordinate nei punti A(0; ae ); le equazioni delle rette tangenti in A sono y = e + ae. Il coefficiente angolare di tali rette non dipende dal parametro a, quindi sono tutte parallele tra loro e pertanto formano con l asse delle ordinate un angolo costante; l angolo acuto α vale α = arc tg( e ) π. c. f () = e ( ) La funzione è definita e continua su R, incontra l asse delle ascisse nel punto (; 0) e l asse delle ordinate nel punto (0; e ). Ha un punto di massimo relativo in M(; ) e un punto di flesso in F (3; e ).

2 Poiché lim f () =0, + la retta y =0è un asintoto orizzontale a +. lim f () =+ In =la funzione non è derivabile e presenta un punto angoloso. y e f () = e ( ) M F O 3 L equazione della retta tangente a C in f è y = e +5e. Tale retta incontra l asse delle ordinate nel punto (0; 5e ), la curva invece in (0; e ); la curva passa per (; 0) e la retta per (; 4e ), quindi la retta e la curva si incontrano certamente in un punto di ascissa 0 tale che 0 < 0 <. d. A(k) = k ( )e d. Integrando per parti si ottiene: A(k) = [ e ] k = ke k + e lim A(k) =e. k + Problema È assegnato un quadrato ABCD di lato unitario. Sul lato CB prendere un punto P e indicare con Q l intersezione della retta AP con la retta CD. La perpendicolare ad AP, passante per A, incontra la retta BC in R e la retta CD in S.

3 a. Dimostrare che i punti R, A, C, Q appartengono alla stessa circonferenza e che SR SA = SQ SC. b. Dimostrare che i triangoli ARQ e AP S sono rettangoli isosceli. c. Posto BP =, studiare la funzione f() =SR SA individuandone in particolare il minimo assoluto (eventualmente con un approssimazione di 0 ). d. Riferita la figura a un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, determinare le equazioni cartesiane dell affinità che ha il punto A come punto fisso e trasforma il punto R nel punto M, punto medio di QR, e il punto P nel punto N, punto medio di PS. Descrivere le caratteristiche principali di tale trasformazione. e. Verificare che i punti M, B, N, D sono allineati. S D C Q A P B a. Il triangolo QAR è retto in A e il triangolo RCQ è retto in C, pertanto i punti R, A, C, Q appartengono alla stessa circonferenza di diametro RQ. Il punto S è esterno a questa circonferenza e quindi, per il Teorema delle due secanti, si ha: SA : SC = SQ : SR, da cui SR SA = SQ SC. b. I triangoli rettangoli ABR e ADQ hanno AB = AD (lati del quadrato) e l angolo A RB congruente all angolo D QA, perché sono angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AC, pertanto sono congruenti. Ne segue che AQ = AR e quindi il triangolo ARQ è rettangolo isoscele. Anche i due triangoli rettangoli ABP e ASD sono congruenti, di conseguenza AP = AS e quindi il triangolo AP S è rettangolo isoscele. c. SA = AP = + R Lavorando sul triangolo rettangolo PAR si ha BR =, PR = + + AR =. e quindi 3

4 Di conseguenza SR = ( + + ) ; pertanto la funzione da studiare è f() = , 0 < lim 0 + f() =+ ; f() = 4 f () = 3 +. La derivata si annulla in un punto 0 0,65 e in tale punto la funzione ha un minimo assoluto. d. Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano con l origine in A, il lato AB sull asse delle ascisse e il lato AD sull asse delle ordinate. Imponendo le condizioni previste dal testo del problema si ottiene l affinità di equazioni = y y = + y Si deve, infatti, ruotare di 45 la figura e scalarla di un fattore. Tale trasformazione è una similitudine di rapporto. e. I punti B e D sono allineati sulla retta di equazione y = +. Si verifica facilmente che anche M e N stanno su questa retta. Questionario In quanti modi diversi si possono sistemare cinque maglioni in tre cassetti? I maglioni si possono sistemare in 3 5 = 43 modi diversi. Sia f() la funzione così definita ( ln + ) se >0 f() = 0 se =0 Studiare la continuità e la derivabilità di f() in =0. 4

5 Poiché ( lim ln + ) = lim ln( +) ln =0 0=0, la funzione è continua in =0. Poiché ( f(h) f(0) lim = lim ln h + ) =+, h 0 + h h 0 + h la funzione non è derivabile in =0. 3 Data la funzione f() =arc tg applicare, se ne sussistono le condizioni, il Teorema di Lagrange nell intervallo [ ; ]. Determinare, se possibile, un intervallo in cui f() verifica le ipotesi del Teorema di Rolle. La funzione f() =arc tg è definita, continua e derivabile su R, quindi è possibile applicare il Teorema di Lagrange nell intervallo [ ; ]. Calcoliamo la derivata prima f () = +. f() f( ) Dalla relazione = f (c) segue 4 π c = ± π ed entrambi i valori appartengono all intervallo [ ; ]. Poiché la derivata prima è sempre non positiva, la funzione è sempre decrescente e quindi non è possibile trovare un intervallo nel quale siano verificate le ipotesi del Teorema di Rolle. 4 Determinare le equazioni di tutte le rette tangenti alla curva di equazione y = 4 che passano per il punto P (; 0). Il punto P (; 0) non appartiene alla curva di equazione y = 4 ; consideriamo un generico punto della curva (t; t 4 ) e scriviamo l equazione della retta tangente alla curva in tale punto: y =4t 3 3t 4 ; imponiamo poi il passaggio per P (; 0): 4t 3 3t 4 =0 t =0 t = 4 3 trovando le equazioni delle rette tangenti y =0; y =

6 5 Calcolare l area della parte di piano delimitata dalla curva, grafico della funzione f() = 3, dalla retta tangente alla curva nel punto P (; ) e dalla retta tangente alla curva nel suo punto di flesso. La curva, grafico della funzione f() = 3 ha un flesso a tangente verticale nel punto di ascissa, quindi la retta tangente in tale punto ha equazione =. Scriviamo l equazione della retta tangente alla curva nel punto P (; ): y = Quindi l area cercata è data da ( A = ) d = [ ] 4 ( ) 4 3 =. 6 Si deve costruire un deposito cilindrico, aperto superiormente, di 3m 3 di capacità. Il materiale per costruire la base costa 30 euro al m e il materiale per la superficie laterale costa 0 euro al m. Calcolare le dimensioni del deposito in modo che il costo della costruzione sia il minore possibile. Indichiamo con R il raggio di base e con h l altezza del cilindro: V = πhr =3 h = 3 πr. La funzione costo è espressa da f(r) =0S lat +30A base = 60 R +30πR e la sua derivata è f (R) = 60 R +60πR. La derivata si annulla per R = 3 π e per tale valore la funzione assume valore minimo. 7 Un solido viene trasformato mediante un omotetia di rapporto 3 e successivamente una traslazione di vettore v(3; ). Come varia il suo volume? Come varia l area della sua superficie?, mentre l area della superficie au- Il volume del solido cresce di un fattore pari a 7 8 menta di un fattore pari a

7 8 Sia data la funzione f() =( +)e. Mostrare che l equazione f() = 4 ha due soluzioni reali α e β. Dimostrare che α appartiene all intervallo [ ; ] e determinare un valore di β approssimato a 0 utilizzando un metodo a piacere. La funzione f() =( +)e è derivabile su R e la sua derivata è f () = e, quindi f() è strettamente crescente nell intervallo ( ;0) e strettamente decrescente nell intervallo (0; + ). Tenendo conto che lim f() = ; f(0) = ; lim f() =0, + si può concludere che l equazione f() = 4 avrà sole soluzioni, una negativa α e una positiva β. Poiché ( f( ) = 0 e f ) e = > 4, la soluzione α sarà compresa nell intervallo ( ; ). Analogamente si verifica che <β<3, e utilizzando uno dei metodi conosciuti si ottiene β,69. 9 In un urna ci sono n palline rosse e n palline bianche (n ). Si estraggono due palline a caso senza reimmissione. Qual è la probabilità p n di ottenere due palline di colori diversi? Al crescere di n, p n cresce o diminuisce? Nell urna in totale ci sono 3n palline (n ). ( )( ) n n p n = ( ) = 3n 4n 3(3n ) ; poiché p n+ p n 0, la successione è decrescente. 0 I tre coefficienti dell equazione a + b + c =0sono determinati con tre lanci di un dado non truccato le cui facce sono numerate da a 6. Calcolare la probabilità che l equazione abbia due radici reali e distinte. Le terne possibili per a, b, c sono 6 3 = 6. L equazione ha soluzioni reali e distinte se e solo se b > 4ac. valori di b numero casi b > 4ac La probabilità richiesta è quindi 38 6 = 7,6 %