Esame di Fondamenti di Automatica Ingegneria Elettronica Day Month Year Compito A

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1 Eame di Fondamenti di Automatica Ingegneria Elettronica Day Month Year Compito A A Cognome: Nome: Matricola: Mail: 1. Dato il itema di controllo raffigurato, con C( K c 2 ; P 1 1( ( + 4 ; P 2 ( ( + 1 ( + 2 ; H( 1 z u y C( P 1 ( P 2 ( H( determinare (a Per quali valori di K c il itema riulta tabile a ciclo chiuo (b Il tipo di itema di controllo (c L atatimo ripetto al diturbo z cotante (d L ucita permanente y( con u(t 3 t 2 δ 1 (t e con z(t (e L ucita permanente y( con u(t e con z(t 2 t δ 1 (t Soluzione eercizio 1 (a Per determinare la tabilità del itema a ciclo chiuo W ( in funzione del valore del guadagno K c, i deve prima calcolare la funzione a ciclo chiuo W ( del itema come egue C(P 1 (P 2 ( W ( 1 + C(P 1 (P 2 (H( K c 1 ( ( + 4 ( K c 1 ( ( + 4 ( + 2 K c ( ( + 4 ( K c ( + 1 K c ( K c + K c Si deve poi cotruire la tabella di Routh dell equazione caratteritica Q(S (K c K c K c 3 6 K c 2 8 K c 6 K c (K c 12 1 (K c 48 K c K c Da cui i può ricavare 8 K c 6 > K c (K c 12 > (K c 48 K c > Da cui i deduce che la condizione cercata riulta eere < K c < 12. (b Il itema di controllo è di tipo 2 eendoci due integratori in catena diretta. (c Il itema ha due poli nell origine a monte del diturbo z e quindi il diturbo cotante viene rigettato. Se ne deduce che il itema è atatico ripetto al diturbo cotante z. 1

2 (d Il itema è di tipo h 2 e l ingreo è di ordine i 2 (rampa parabolica di ampiezza U 3. Se ne deduce che l ucita a regime permanente preenta un errore non nullo. In particolare, l ucita permanente è data da due componenti: y( lim (y d (t e(t lim y d (t lim e(t t t t i il primo termine y d ( indica l ucita permanente deiderata, che in queto cao è pari a y d ( lim t K d u(t lim t 3 t 2 δ 1 (t ii il econdo termine e( indica dall errore a regime permanente, che in queto cao è pari a e( lim e(t lim W e ( U lim t i+1 W e( U i dove h 2, i 2, K d 1, K G K C /8, e U 3. Da cui i ottiene: lim Kd 2 e( lim U K2 d U 24 K d + K G K G K c K 2 d h i K d h + K G U Si noti che alternativamente i arebbe potuto penare di applicare il teorema del valor finale per calcolare l ucita y( come egue: y( lim y(t lim Y ( lim W ( U( t Si noti tuttavia che l applicazione del teorema del valor finale richiede che la funzione Y ( ia analitica, e l analicità della funzione Y ( impone che queta funzione non abbia poli con parte reale poitiva o nulla. Si proceda quindi al calcolo di Y ( per verificarne l analicità come egue: C(P 1 (P 2 ( Y ( 1 + C(P 1 (P 2 (H( U( K c 1 ( ( + 4 ( K c 1 ( ( + 4 ( + 2 K c ( ( + 4 ( K c ( K c ( ( K c + K c Si noti come tale funzione Y ( non ripecchi il vincolo di analicità. Pertanto in queto pecifico cao, non i può applicare il teorema del valor finale per il calcolo dell ucita a regime permanente y(. (e Per un ingreo nullo e diturbo a rampa di valore pari a z(t Z tδ 1 (t, con Z 2, l ucita del itema è pari a y p (t lim W z ( Z( lim lim lim lim P 2 ( Z 1 + C( P 1 ( P 2 ( H( 2 P 2 ( C( P 1 ( P 2 ( H( 2 ( + 1 ( K c 2 1 ( + 4 ( + 1 ( ( ( ( + 4 ( K c ( ( + 2 ( + 4 lim ( + 4 ( K c (

3 2. Sia dato un proceo P ( decritto mediante la funzione di traferimento P ( ( ( ( ( (a Sintetizzare il itema di controllo in figura con K d determinando - Il valore di h - Il valore di K c u y P ( in modo tale che l errore a regime per ingreo a rampa u(t 6 t δ 1 (t ia uguale a 2. (b Calcolare la funzione a ciclo aperto F ( e tracciare i diagrammi di - Bode - Nyquit (c Determinare u tali diagrammi - la pulazione di attraveramento ω t - margini di tabilità (m ϕ e m G (e poibile (d Dicutere la tabilità del itema a ciclo chiuo K c h 1 K d z Soluzione eercizio 2 (a Il valore h (che caratterizza il tipo del itema viene determinato a partire dalle informazioni fornite ull errore a regime. In particolare, per avere un errore finito a fronte di un ingreo a rampa, il itema deve eere di tipo 1, da cui i deduce che nel cao in eame h 1. Il valore di K c viene determinato a partire dalla formula dell errore a regime, ovvero e( lim e(t lim W e ( U lim t i+1 W e( U i dove ponendo h 1, i 1, K d, K G 3 K C, e U 6, i ottiene: lim Kd 2 e( lim U K2 d U 2 6 K d + K G K G 3 K c K c K 2 d h i K d h + K G U da cui ricordando che e( 2 i ottiene: K c 2; Quindi i è celto K c 2 e h 1, da cui deriva il controllore C( K c h 2. (b La funzione di traferimento a ciclo aperto riulta eere: ( F ( H(C(P ( ( ( ( ( ( ( ( a cui ono aociati i eguenti diagrammi di Bode e Nyquit 3

4 Imag Axi Phae (deg Magnitude (db Bode Diagram Frequency (rad/ Nyquit Diagram Real Axi (c Relativamente alla pulazione di attraveramento ed ai margini di tabilità i ha: - pulazione di attraveramento ω t 6 rad/ec. - Margine di fae m ϕ 2 e margine di guadagno è m g 8 db Si noti che il teto d eame richiede che tali valori vengano determinati direttamente ui diagrammi. Ovvero che vengano egnati u entrambi i diagrammi. 4

5 (d La tabilità del itema a ciclo chiuo la i può dedurre applicando il criterio di Nyquit. In particolare, eendo la funzione di traferimento a ciclo aperto a fae minima, ovvero non eendoci poli a parte reale poitiva nella funzione di traferimento a ciclo aperto, condizione necearia e ufficiente per la tabilità del itema a ciclo chiuo è che il numero totale di rotazioni, coniderate poitive e effettuate in eno orario, che compie il vettore applicato nel punto critico 1 + j e con etremo libero ulla curva, percorrendo una ola volta il diagramma completo di Nyquit della funzione di traferimento a ciclo aperto F (jω a partire da ω fino a ω, riulti eere nullo.

6 Imaginary Axi (econd Dato un proceo P ( decritto mediante la funzione di traferimento determinare (a Il luogo delle radici completo (b Stabilità al variare del guadagno K. P ( ( + 1 ( + 4 ( ( + 3 Soluzione eercizio 3 (a Relativamente al tracciamento del luogo delle radici i ha: - Il luogo delle radici per K > riulta eere Root Locu Real Axi (econd -1 - Il luogo delle radici per K < riulta eere 6

7 Imaginary Axi (econd -1 Imaginary Axi (econd Root Locu Real Axi (econd Il luogo delle radici completo riulta eere Root Locu Real Axi (econd -1 (b Relativamente alla tabilità al variare del guadagno K, dal tracciamento del luogo delle radici i deduce che il itema riulterà empre tabile per ogni K >, mentre per K < il itema riulterà empre intabile. Si noti che lo teo riultato lo i arebbe potuto ottenere ricorrendo al criterio di Routh. 7

8 Phae (deg Magnitude (db 4. Dato il diagramma di Bode della funzione di traferimento a ciclo aperto F ( otto riportata (non ci ono poli a parte reale poitiva determinare la rete compenatrice R( tale da aicurare ω t 3 rad/ec, m ϕ 4. Tracciare il diagramma di Nichol della funzione compenata F ( F (R( e determinare u di eo il modulo alla rionanza M r e la banda paante a -3 db ω Bode Diagram Frequency (rad/ 2 3 Soluzione eercizio 4 L eercizio chiede che la F ( R( F ( oddifi le eguenti pecifiche: ω t 3 rad/ec m φ 4 Dal diagramma di Bode (aintotico della funzione F ( i può notare che per ω 3 rad/ec i ha: 8

9 F ( ω 2 db F ( ω 18 Se ne deduce che l azione della rete correttrice dovrà eere tale da: Incrementare il modulo di 2 db Si neceita di una Rete Anticipatrice Incrementare la fae di 4 La rete anticipatrice deiderata puó eere eprea in forma parametrica come: con la eguente celta dei parametri: m 18 u ω 3 R( 1 + τ 1 + τ 1 m 1 + u ω 1 + u ω 1 m ottenuta conultando la tabella che riporta il diagramma di Bode (aintotico di varie reti anticipatrici ottenute al variare del parametro m. (Tabella diponibile al eguente link. Dal diagramma di Bode (aintotico della rete correttrice R(S ottenuta con tale celta dei parametri {m, u, ω } i può notare che per ω 3 rad/ec i ha: R( ω 2 db R( ω 43 Si conideri la funzione compenata F ( R( F ( e i noti che per ω 3 rad/ec i ha: F ( ω db F ( ω 137 che riflette le pecifiche deiderate. Relativamente al diagramma di Nichol i può notare che la banda paante ω 3 è tale per cui: F (ω db F (ω 3 8 a queto punto verificando tali valori ul diagramma di Bode (aintotico della funzione compenata F ( i ottiene: ω 3 rad/ec Sempre ul diagramma di Nichol i può notare che il valore della curva a modulo cotante di valore più elevato che riulti tangente alla curva della F ( riulta eere la curva a modulo pari ad 1 db, da cui i deduce che M r db 9

10 Phae (deg Magnitude (db Bode Diagram Frequency 2 (rad/ 3 4

11 Open-Loop Gain (db 4 Nichol Chart db 3.2 db. db 1 db -1 db 3 db 6 db -3 db -6 db db - - db db - -6 db Open-Loop Phae -13 (deg

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