Università degli Studi della Calabria Facoltà di Ingegneria. 26 giugno 2012

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1 Uiversità degli Studi della Calabria Facoltà di Igegeria Correzioe della Secoda Prova Scritta di alisi Matematica 2 giugo 202 cura dei Prof. B. Sciuzi e L. Motoro.

2 Secoda Prova Scritta di alisi Matematica del 2 giugo 202 Esercizio. Quesito a. Sia f(x) = l ( x 2 ) + x Determiare: domiio Svolgimeto: La fuzioe è be defiita se x 2 > 0. Tale codizioe garatisce che il logaritmo abbia u argometo positivo e allo stesso tempo che o si aulli il deomiatore della frazioe x 2. Idicado co D(f) il domiio della fuzioe f, risulta quidi iti agli estremi del domiio Svolgimeto: Si ha Ioltre D(f) = (, ) (, ). l( x 2 ) + x ± x 2 +2 = +. x +l( x 2 ) + (x 2 )l(x 2 )++2(x 2 ) x 2 +2 = x + (x 2 = +, ) x l( x 2 ) + (x 2 )l(x 2 )++2(x 2 ) x 2 +2 = x (x 2 = +, ) dove al umeratore si è utilizzato il ite otevole = 0. t 0 +tlogt evetuali asitoti orizzotali Svolgimeto: Dai iti precedetemete svolti si deduce che o soo preseti asitoti orizotali. evetuali asitoti verticali Svolgimeto: Dai iti precedetemete svolti si deduce che le rette x = ± soo asitoti verticali. evetuali asitoti obliqui Svolgimeto: Utilizzado la gerarchia degli ifiiti si ha: x ± ( l ( x 2 ) + ) x x 2 +2 = 0, quidi cocludiamo che o soo preseti asitoti obliqui. derivata prima derivata secoda f (x) = 2x (x 2 ) 2x (x 2 ) 2 = 2x(x2 2) (x 2 ) 2 f (x) = (x2 4)(x 2 ) 2 4x(x 2 )(2x 4x) (x 2 ) 4 = 2(x2 ) (x 2 ) 4( x4 +x 2 +2). 2

3 Secoda Prova Scritta di alisi Matematica del 2 giugo 202 itervalli di mootoia, evetuali puti stazioari e loro classificazioe Svolgimeto: f (x) > 0 se 2x(x 2 2) > 0 ovvero se f (x) < 0 se 2x(x 2 2) < 0 ovvero se x (, 2) ( 2,+ ). x ( 2, ) (, 2). Pertato i puti x = ± 2 risultao essere puti di miimo relativo (difatti di miimo assoluto). itervalli di covessità ed evetuali puti di flesso Svolgimeto:f (x) > 0 se +x 2 +2 > 0. Tale disuguagliaza è bi-quadratica e può essere risolta poedo x 2 = t. Co semplici coti si ottiee che f (x) > 0 se x,, 2 2 e di cosegueza f(x) risulta essere covessa i tale itervallo. f (x) < 0 se +x 2 +2 < 0, ovvero se + 7 x, + 7,+ 2 2 e di cosegueza f(x) risulta essere cocava i tale itervallo. + 7 I puti x = ± 2 soo puti di flesso. grafico qualitativo Svolgimeto: 7,5 5 2,5-0 -7,5-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 0-2,5-5 Quesito b. Sia f(x) = e (x+2cos(x)). Determiare i puti di massimo e miimo assoluti di f ell itervallo [0, π]. Svolgimeto: f (x) = e (x+2cos(x)) ( +2six). Determiiamo gli itervalli di mootoia della fuzioe studiado il sego della derivata prima: f (x) > 0 se e solo se six > 2,

4 che ell itervallo [0, π] ha come soluzioe ( π x, 5π ) ( π, 7π ). llo stesso modo, f (x) < 0 ell itervallo [0,π] se e solo se x ( 0, π ) ( 5π, π ) ( 7π ),π. I puti { 5π, 7π }, risultao essere puti di massimo relativo iteri. I puti { π, π }, risultao essere puti di miimo relativo iteri. Valutado la fuzioe ei puti di massimo relativo iteri e ei puti di miimo relativo iteri otteuti, e cofrotado il risultato co i valori della fuzioe agli estremi del domio 0 e π, si ottiee che x = 5π, è u puto di massimo assoluto e il puto è u puto di miimo assoluto. x = π, Nel calcolo (e cofroto) dei valori che la fuzioe assume i tali puti, si tiee coto della mootoia della fuzioe e t per poterli ordiare co facilità. 4

5 Secoda Prova Scritta di alisi Matematica del 2 giugo 202 Esercizio 2. Quesito a. Calcolare il seguete itegrale improprio: x +2x dx. e x2 Svolgimeto: Iizialmete svolgiamo l itegrale idefiito per calcolare la primitiva della fuzioe itegrada. Utilizzado la sostituzioe x 2 = t (2xdx = dt) arriviamo all itegrale 2 e t (t+2)dt. Risolvedo tramite il metodo di itegrazioe per parti e t (t+2)dt = 2 2 e t (t+)+c. pplicado la defiizioe di itegrale improprio: x +2x dx = e x2 2 k + = 2 9 e t (t+2)dt k + e t (t+) k 9 = e 9. Quesito b. Utilizzado opportui criteri di covergeza, dire se coverge il seguete itegrale improprio: x+2si 2 (x) e x x+l(x) dx. Svolgimeto: Per il cofroto asitotico (essedo l itegrada positiva ell itervallo (, + )), si ha x+2si 2 (x) e x x+l(x) x ex, se x +. Utilizzado quidi ache il cofroto semplice, si ha x+2si 2 (x) + e x x+l(x) dx quidi l itegrale coverge. NOTE: x + e xdx x + x 00dx = x99dx < +, - Il criterio del cofroto semplice si applica itededo che la disuguagliaza utilizzata è verificata defiitivamete. Lo studete si iterroghi sul ruolo della poteza 00 e osservi che soo possibili molte altre scelte. Quali? - E achepossibileutilizzareilcofrotosemplicealprimopassaggio, otadoche0 si 2 (x) < e successivamete procedere i modo aalogo a quato esposto sopra. - U volta arrivati all itegrale x e dx si potrebbe ache procedere co il calcolo esplicito di x quest ultimo tramite il metodo di itegrazioe per parti. Il valore otteuto i tal caso rapreseta qualcosa? 5

6 Secoda Prova Scritta di alisi Matematica del 2 giugo 202 Esercizio. Studiare la covergeza semplice e covergeza assoluta della seguete serie umerica: + ( ) l()+ 2. = Svolgimeto: E coveiete iiziare co lo studio della covergeza assoluta, dato che questa implicherebbe la covergeza semplice. Studiamo quidi + = ( ) l()+ 2 = + =. Si ha, per +. l() Quidi, dal criterio del cofroto asitotico, ed utilizzado la disuguagliaza lx < x (per x > 0), si ha + + l()+ 2 l() + = +, = = e cocludiamo che la serie NON è assolutamete covergete. Per lo studio della covergeza semplice utilizziamo il criterio di Leibiz: = (i) Facilmete si verifica che > 0 ; (ii) ioltre + = 0; (iii) il termie l()+ 2 risulta essere defiitivamete decrescete, come si vede studiado la mootoia della fuzioe f(x) = l(x)+ 2. Si ha ifatti x ( f (x) = ( ) 2 l(x)+ 2 x 2 ) x 2, x che risulta essere egativa per ogi x > 2. Pertato La serie risulta quidi essere semplicemete covergete. è decrescete per ogi 2.

7 Secoda Prova Scritta di alisi Matematica del 2 giugo 202 Esercizio 4. Utilizzare opportuamete la formula di Taylor per calcolare il seguete ite: x 0 Svolgimeto: Utilizzado la formula di Taylor, si ha Quidi e Sostituedo el ite, si ottiee (e x x) 2 si(x 2 ) l(+x 2 ). e x = +x+ x2 2 +o(x2 ); si(x 2 ) = x 2 +o( ); l(+x 2 ) = x 2 x4 2 +o(x4 ). (e x x) 2 = ( x2 2 +o(x2 )) 2 = x4 4 +o(x4 ), si(x 2 ) l(+x 2 ) = x4 2 +o(x4 ). x 0 4 +o(x4 ) 2 +o(x4 ) = x 0 Nell ultimo passaggio si usa la defiizioe di o( ). 4 + o(x4 ) 2 + = o(x4 ) 2. 7