Lezione 5. Calcolo dell antitrasformata di Laplace. F. Previdi - Automatica - Lez. 5 1
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- Elena Vanni
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1 Lezione 5. Calcolo dell aniraormaa di Laplace. Previdi - Auomaica - Lez. 5
2 Schema della lezione. Inroduzione. Aniraormazione di Laplace. Srumeni per l aniraormazione 4. Teorema del valore iniziale 5. Teorema del valore inale. Aniraormazione mediane viluppo di Heaviide. Previdi - Auomaica - Lez. 5
3 . Inroduzione u S y L u U Equazioni dierenziali Dominio del empo Dominio delle raormae Equazioni algebriche y Y L -. Previdi - Auomaica - Lez. 5
4 . Aniraormazione di Laplace L L - Si ha corripondenza biunivoca coniderando uguali le unzioni che lo ono: per 0 a meno di un inieme di miura nulla (ingoli puni) L - 0 L L. Previdi - Auomaica - Lez. 5 4
5 . Srumeni per l aniraormazione di Laplace L ormula eplicia Teorema del valore iniziale Teorema del valore inale Sviluppo di Heaviide (olo per razionale) 0. Previdi - Auomaica - Lez. 5 5
6 4. Teorema del valore iniziale L 0 lim e eie inio Se è diconinua in 0 il eorema ornice 0 ovvero lim 0. Previdi - Auomaica - Lez. 5
7 Eempio L Lco 0 lim inai 0 co0 0? L 0 lim 0 inai 0 in Previdi - Auomaica - Lez. 5 7
8 5. Teorema del valore inale L Ipoei ha olo: poli con pare reale negaiva poli nulli, cioè in 0 lim lim 0 e eie inio. Previdi - Auomaica - Lez. 5 8
9 Eempio Lco Poli in j il Teorema del valore inale non è applicabile! lim 0 L ca. Previdi - Auomaica - Lez. 5 9
10 . Aniraormazione mediane viluppo di Heaviide Applicabile olo per N D b0 a 0 m n b a m n razionali b a L idea è comporre è noa l aniraormaa. L- L - m n m nella omma di elemeni per i quali n. Previdi - Auomaica - Lez. 5 0
11 Si coniderano olo i egueni cai: con poli reali diini con poli reali mulipli con poli complei coniugai con grado del denominaore uguale al grado del numeraore (m=n). Previdi - Auomaica - Lez. 5
12 . Previdi - Auomaica - Lez. 5 n n p p p p e p e n i p i i e p n p p a D 0 p i poli in con j i p p j i, Poli reali diini 0 p n n e - L - L L -
13 . Previdi - Auomaica - Lez. 5 Eempio Calcolare l aniraormaa di Devono eere uguali
14 . Previdi - Auomaica - Lez Biogna riolvere un iema di re equazioni in re incognie
15 E quindi poibile calcolare l aniraormaa 5 5 L- L- L - 5 ca e e per 0 5 Si può crivere anche coì: 5 5 e e per 0. Previdi - Auomaica - Lez. 5 5
16 Poli reali mulipli p k k D Ci poono eere poli mulipli p p p k k L- L- L - e p p e k k k e! p. Previdi - Auomaica - Lez. 5
17 Eempio Calcolare l aniraormaa di Devono eere uguali 0. Previdi - Auomaica - Lez. 5 7
18 E quindi poibile calcolare l aniraormaa ca ram e per 0 Si può crivere anche coì: e per 0. Previdi - Auomaica - Lez. 5 8
19 Poli complei coniugai j j D poli in j L- L - e co e in. Previdi - Auomaica - Lez. 5 9
20 L -... e co e in Previdi - Auomaica - Lez. 5 0
21 . Previdi - Auomaica - Lez. 5 Eempio 5 4 Calcolare l aniraormaa di Devono eere uguali
22 Si ha quindi la eguene compoizione: e...? 5 Non ha un aniraormaa immediaa E però poibile ricrivere il denominaore del econdo ermine in modo dierene: Previdi - Auomaica - Lez. 5 Qual è l aniraormaa?
23 . Previdi - Auomaica - Lez k k 0 per in e 0 per co e Quindi: Pro memoria 4 k k k k k k k k
24 E quindi poibile calcolare l aniraormaa 4 4 L- L- L - e e co e in per 0. Previdi - Auomaica - Lez. 5 4
25 Grado relaivo nullo (m=n) Se il numeraore N e il denominaore D hanno lo eo grado, nella compoizione di biogna aggiungere un ermine coane. 0 L imp. Previdi - Auomaica - Lez. 5 5
26 . Previdi - Auomaica - Lez. 5 Eempio Calcolare l aniraormaa di Devono eere uguali 4 0
27 E quindi poibile calcolare l aniraormaa 4 4ca e imp per 0 Si può crivere anche coì: 4 e imp per 0. Previdi - Auomaica - Lez. 5 7
28 Eempio eplicaivo (Traormazione di Laplace per la rioluzione di equazioni dierenziali) y y u Y U L L y u Y Y y 0 U Con u y 0 4 ca Y Y y0 Y U Y 4 4. Previdi - Auomaica - Lez. 5 8
29 . Previdi - Auomaica - Lez e 4 Y ) ( ca e 4 e e e y 0 per
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