Calibrazione. Lo strumento idealizzato

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1 Calbrazone Come possamo fdarc d uno strumento? Abbamo bsogno d acqusre spermentalmente (dentfcare) l suo funzonamento n condzon controllate. L dentfcazone deve essere razonalmente organzzata e condvsa n termn procedural: s tratta dell operazone d calbrazone. Argoment : defnzone del modello d strumento dealzzato; la tecnca della regressone lneare; la verfca della bontà d una regressone; l processo d calbrazone. Lo strumento dealzzato

2 Lo strumento dealzzato Lo strumento prma d essere tale è un oggetto fsco, qund soggetto n ogn sua parte alle legg della fsca che governano fenomen che caratterzzano cascuna d esse L oggetto è qund caratterzzato da un nseme d propretà, comportament, d vara natura Solo un sottonseme d queste caratterstche è utle per la msura e solo lmtando opportunamente le condzon Il comportamento è tpcamente descrtto attraverso equazon dfferenzal Solo lmtando opportunamente le condzon al contorno le legg d funzonamento s rducono ad una legge utle per la msura (es una costante) e l «oggetto strumento» può essere utlzzato come «strumento». 3 Lo strumento reale Lo strumento può essere rappresentato come un sstema a pù ngress ed una sngola uscta. Ingress: desderato d nterferenza d modfca Uscta: msura d nterferenza d modfca desderato STRUMETO msura La completa caratterzzazone d uno strumento prevedrebbe l ndvduazone spermentale della sua funzone d trasfermento ovvero della funzone che lega l uscta a tutt gl ngress. Msura=f(desderato, nterferenza, modfca) La msura è n genere dpendente, attraverso le sensbltà ncrocate, a molt ngress dvers da quello desderato. Partcolare mportanza rvestono anche l tempo e la frequenza, come vedremo nel proseguo del corso. 4

3 Lo strumento dealzzato Dal punto d vsta metrologco lo strumento vene normalmente rcondotto ad un sstema sngolo ngresso sngola uscta (SISO). Ingress: desderato d nterferenza d modfca Uscta: msura d nterferenza d modfca desderato STRUMETO msura La caratterzzazone dello strumento vene semplfcata: Msura=f(desd., nterf., modf.)=k(desderato) desderato+offset La dpendenza dell uscta dall ngresso vene rdotta ad un sngolo parametro (K) detto coeffcente d calbrazone. elle comun applcazon n ambto spermentale l coeffcente d calbrazone è n realtà una costante d calbrazone e l offset è nullo. 5 Lo strumento dealzzato Il comportamento dello strumento reale è qund rcondotto a quello dello strumento deale defnble da una relazone ngresso-uscta: u(t)=k (t) con k costante, almeno nel campo d varabltà dell ngresso n cu vene utlzzato lo strumento. Out La costante d calbrazone non dpende dalla varabltà temporale dell ngresso: l dagramma ngresso / uscta è un segmento. Questo comportamento è detto statco: lo strumento non ha stat ntern che contrbuscono alla dnamca dell uscta. La funzone d trasfermento è una costante ed ogn varabltà In dell uscta è esclusvamente dovuta alla varazone dell ngresso con un legame puramente proporzonale e non rsente d altr dsturb. 6 3

4 Lo strumento dealzzato Lo strumento deale è un modello metrologco; la maggor parte degl strument ha caratterstche assmlabl allo strumento deale solo per partcolar modaltà d mpego. Occorre qund un metodo d anals che c permetta d capre come usare uno strumento perché funzon n manera deale. Dobbamo qund costrure un modello pù complesso del semplce SISO lneare; l anals del suo comportamento consentrà d capre n qual condzon s rduce al modello metrologco. La defnzone analtca delle caratterstche dnamche consente d capre alcune delle lmtazon d utlzzo. La defnzone spermentale delle caratterstche statche permette d costrure l modello metrologco (quas-deale) deale) dello strumento. Le caratterstche statche defnscono la qualtà della msura, qund valgono anche nelle applcazon dnamche. Quest element verranno dscuss nella seconda parte del corso. 7 Regressone d dat spermental Revsone de concett prncpal 8 4

5 Tendenze e regresson elle attvtà spermental è pratca comune correlare dat medante la regressone (fttng) d funzon matematche, come polnom d basso ordne o esponenzal, n bx y = a0 + a x + a x + L = a x y = ae = 0 Una delle funzon pù comunemente utlzzate per la caratterzzazone d strument è la retta. In altr cas è possble esegure una trasformazone n modo da rcondurre l legame ad una forma lneare. Il problema può essere così formulato: dato un nseme d coppe d dat (X, Y), trovare la funzone che descrve meglo l andamento generale 9 Tendenze e regresson Analzzamo n dettaglo l problema d regressone polnomale d ordne generco. M k y = a0 + ax+ ax + L = x a k k =0 M k e y x ak k = 0 Ordne M Errore M k errore quadratco per gl punt dsponbl I = y x ak = k= 0 I Mnmzzazone errore: M equazon del tpo = 0 k = 0: M a = Soluzone d un sstema lneare d ordne M { } Matrce coeffcent e termne noto k [ C] a = { B} k j k+ j kj = = = = C x x x B k k = x y = k, j = 0: M 0 5

6 Tendenze e regresson Affrontamo un caso partcolare: l modello d ordne 0 L errore per ogn punto è dato da y = a 0 e = y a 0 L errore quadratco totale è Mnmzzamo rspetto all ncognta Soluzone ( 0) = = I = e = y a I = = 0 ( a y ) 0 a 0 = a0 y = a0 y = 0 a0 = y ( ) = = = Il modello regressvo defnsce l coeffcente d regressone come la meda de valor e deve essere mpegato solo n assenza d una tendenza Tendenze e regresson Affrontamo l caso lneare, tpco della calbrazone d uno strumento: y = a0 + ax L errore oeper ogn punto oèdaoda dato L errore quadratco totale è e = y ( a + a x ) 0 ( ( 0 )) = = I = e = y a + a x I = ( ax + a0 y) = 0 a0 = Mnmzzamo rspetto alle ncognte I = x ax + a = 0 ( 0 y) a = Sstema d equazon a0+ x a= y = = = x a0+ x a= xy = = = 6

7 Tendenze e regresson Ordne Soluzone: a 0 = Condzon d esstenza: - Denomnatore non nullo Questo comporta: - > y x xy x = = = = x x = = x = a x x = = ( x ) = = = x x = = x y y x = x x 0 - punt dstnt, nfatt per punt concdent x = x s avrebbe = = = = ( ) x x = x x = x x = 0 3 Qualtà della regressone Per operare una regressone è necessaro potzzare un modello che «spegh» la dstrbuzone da dat dsponbl. Il modello rcalcherà l comportamento de dat quanto pù corrette sono le potes e a meno dell errore quadratco resduo. Per apprezzare la qualtà della regressone può essere utle analzzare l resduo. S calcolano qund le devazon del modello n ogn punto d msura: Δ = y y = y C( x, M) e le s dagrammano rspetto all ngresso x Se l modello è coretto, l resduo non può avere una relazone con la varable n ngresso, qund non può evdenzare una tendenza (un comportamento) rconoscble, coè rconducble ad un altro modello La dspersone de resdu deve essere qund «casuale» 7

8 Qualtà della regressone Per ogn coppa: x, y calcolare la msura con l polnomo d regressone: y = a + a x calcolare la devazone rspetto al valore d rfermento: Δ = y mettere n grafco le devazon n funzone dell ngresso ngresso. S deve verfcare l assenza d una qualsas tendenza 0 y La scala sulle devazon mette n evdenza eventual comportament anomal, n partcolare: tendenze d ordne superore rspetto all ordne del polnomo usato (la lnea «meda» rossa), qund un problema d modello; dsperson non omogenee (l punto cerchato n verde), qund un problema d qualtà de dat. Anomala d dspersone Dspersone corretta Anomala d tendenza 5 Qualtà della regressone lneare Possble quantfcare la qualtà della regressone e n partcolare d quella lneare? I dat sono realmente bene nterpretat da una retta? L ndcatore prncpe è l errore quadratco medo (*) tra modello e dat: σ yx, = ( y ( a0 + ax)) = E una msura della «dstanza» tra modello e dat ed è nulla se punt appartengono alla retta d regressone. el caso d carenza d correlazone, a σ y = ( y y) 0, essa tende allo scarto quadratco dalla meda delle msure = (scuramente maggore). Un ndcatore sntetco della qualtà della regressone σ y σ yx, è la dstanza percentuale dalla stuazone d assenza r = σ y d correlazone: l coeffcente d determnazone, r. * Possbl correzon per effett legat a pccolo σ yx, r = σ y 6 8

9 Qualtà della regressone Con questa notazone r = se tutt punt gaccono sulla retta r = 0 se punt hanno dstrbuzone casuale r 0 r r Una buona correlazone presenta un coeffcente d regressone superore a 0.98; per uno strumento c s aspetta un valore superore a Tendenze e regresson E noto che camb d coordnate possono semplfcare l nterpretazone de dat (es. le coordnate logartmche consentono d descrvere n termn lnear alcun fenomen come la scarca d un condensatore o n generale la rsposta esponenzale d un equazone dfferenzale d prmo grado). In quest cas s parla d regressone lneare con trasformazone. Grafcamente: 8 9

10 Tendenze e regresson Esamnamo un equazone esponenzale: y = ae hx Applcando l logartmo ad entramb termn ottenamo ln(y) = hx + ln(a) Y = Bx + A Pochè ln(a) è una costante, abbamo ottenuto una relazone lneare tra x e ln(y). Eseguendo qund l logartmo delle msure y (Y=ln(y)) ottenamo un problema d regressone nella forma lneare canonca Y = Bx + A con a=exp(a) e h=b 9 L operazone d calbrazone 0

11 Calbrazone La calbrazone è la procedura spermentale che permette d defnre la caratterstca metrologca pù mportante d uno strumento: l rapporto ngresso-uscta o guadagno o sensbltà (senstvty) Permette d mettere n relazone l'uscta d uno strumento con l'ngresso attraverso una msura nota e precsa dell'ngresso stesso. Stamo dentfcando una funzone d trasfermento. Tale relazone è genercamente non lneare ma per molt strument è costante, almeno nell ambto d partcolar condzon d utlzzo defnte propro per garantre questo comportamento Se l guadagno è costante, l uscta è puramente proporzonale all ngresso: s dce che lo strumento ha un comportamento statco ne confront dell ngresso, coè non produce effett dnamc propr dello strumento e nnescat dalla varabltà nel tempo dell ngresso. Opzon d calbrazone Obettv della calbrazone: valutazone metrologca d uno strumento (Costruttore, Responsable della Qualtà). Defnzone delle curve d calbrazone e taratura per cu è necessaro avere sa un numero elevato d punt nell ntervallo d varabltà dell ngresso sa un numero elevato d rpetzone della msura per lo stesso valore d ngresso. Defnzone d tutt gl element d nteresse generale (lmt d accuratezza, steres, effett d ngress, ) mantenmento n qualtà dello strumento (Responsable dell utlzzo) Valutazone dello stato generale dello strumento per cu sono necessare solo alcune msure rpetute n alcune stazon per garantre l corretto funzonamento del dspostvo. Verfca delle curve d calbrazone e taratura tpcamente svolta con procedura a sngolo cclo. 3

12 Calbrazone La procedura d calbrazone consste de seguent pass: regstrazone de dat ambental e verfca dell assenza d effett non controllat sullo strumento soggetto a calbrazone; applcazone d una sere d valor n ngresso allo strumento t e trascrzone de corrspondent valor n uscta; traccatura della curva (retta) d regressone; dentfcazone de valor caratterstc della funzone d calbrazone (per una retta: costante d calbrazone ed offset). el caso d sensbltà apprezzable ad ngress dvers da quello desderato è necessaro rpetere la calbrazone con valor dfferent d tal parametr (modfca o nterferenza) n modo da quantfcarne gl effett su parametr d calbrazone. S ottengono le derve d sensbltà o d zero: la dervata della costante d calbrazone, o dell offset, rspetto ad un ngresso ndesderato. 4 Modaltà d prova: sequenzale/casuale La calbrazone prevede l applcazone statca d ngress sull ntero campo d msura dello strumento. Gl ngress possono essere applcat n manera sequenzale o casuale. Una prova sequenzale prevede la varazone progressva dell ngresso sull ntervallo desderato, n salta (up-scale) ed n dscesa (down-scale): ogn applcazone dell ngresso consste n un ncremento/decremento del precedente. Una prova casuale prevede l applcazone degl ngress, dstrbut sull ntero ntervallo d varabltà, con un ordne casuale: ogn applcazone dell ngresso è ndpendente dal precedente. I requst operatv per la realzzazone della calbrazone sono strngent (ambente controllato o d laboratoro) e non compatbl con quell d eserczo: la calbrazone deve avvenre n condzon ambental controllate. 5

13 Modaltà d prova: sequenzale/casuale La prova con modaltà sequenzale permette d evdenzare gl effett d steres coè la presenza d dsspazon nello strumento che producono una varazone dell uscta dovuta all ncremento /alla dmnuzone progressvo/a dell ngresso (partcolarmente utle anche nelle prove oltre che nella calbrazone). La sequenza casuale permette d mnmzzare effett qual le nterferenze degl ngress non desderat e l steres. La conoscenza de fenomen fsc convolt permette d valutare a pror l mportanza della scelta. La strumentazone d buona qualtà dovrebbe presentare rdott effett steretc, qund una prova sequenzale non è crtca. 6 Calbrazone La calbrazone qund: èun operazone che permette d ottenere la relazone che lega l'uscta d uno strumento con l'ngresso attraverso l'mpego d una msura nota, certa e precsa dell'ngresso stesso; può essere applcata ad uno strumento, ad un sstema d msura o a un trasduttore sngolo; può avvenre tramte metodologa: dretta: le uscte dello strumento vengono confrontate con ngress omogene not (standard): d) es. peso calbrato, metro ndretta: se l enttà dell ngresso d calbrazone vene contestualmente msurata con uno strumento preventvamente calbrato. 7 3

14 Calbrazone IMPORTATE: l accuratezza dello strumento utlzzato per confronto deve essere un ordne superore d quella dello strumento da tarare. Wr < /0 Wm Incertezza della msura Wm Incertezza del rfermento Wr 8 Calbrazone e Taratura Operatvamente: dat d ngresso/uscta vengono trascrtt/regstrat n tabelle; dat vengono elaborat medante una regressone (lneare) n modo da ottenere la curva d calbrazone n forma analtca: v msurata = k Ingresso + h Ingresso v msurata el caso d uno strumento che present la msura n termn omogene con l ngresso, es. un manometro n cu s legga drettamente l valore d pressone), coeffcent d calbrazone correggono la lettura: P msurata = z P mposta + w con z e w 0 9 4

15 Taratura Operatvamente la relazone d calbrazone è nutle: l obettvo d un attvtà spermentale è d conoscere l ngresso applcato allo strumento data la sua uscta. La relazone d calbrazone vene qund rsolta rspetto alla msura per fornre la curva d taratura o dagramma d taratura: Msura = K v msurata + H relazone che permette d rcavare la msura da assegnare al msurando per un valore d lettura fornto da un dspostvo d msurazone. p ndcata = K v msurata + H p ndcata = Z p msurata + W La curva d taratura è una relazone bunvoca tra valor fornt dallo strumento e corrspondent valor da assegnare al msurando. Se la curva d taratura è una retta parleremo d costante d taratura; n caso contraro l comportamento non è lneare (mpego prevalente n applcazon statche). 30 Calbrazone La fgura mostra una curva d calbratura reale ottenuta medante un solo percorso d carco-scarco. Sono rportat dat relatv alla curva d calbrazone vera e propra, del tpo pressone ndcata/ pressone reale e valor della retta d regressone. Sono mostrate noltre le nformazon nerent le condzon ambental n cu s è svolta la prova, temperatura, e le condzon operatve, lvell d accelerazone e vbrazone. 3 5

16 Opzon d calbrazone La qualtà della calbrazone dpende dalle nformazon dsponbl ed n partcolare dal: numero d stazon utlzzate per defnre l andamento del legame ngresso-uscta sul campo d msura; numero d ccl mpegat per defnre parametr d qualtà valutando la dspersone delle rsposte sul campo d msura (rpetbltà, accuratezza, ). Se non serve defnre la qualtà dello strumento è nutle esegure ccl multpl d carco/scarco perché è nfatt suffcente un sngolo cclo d acquszone per defnre correttamente l legame funzonale, sempre che lo strumento sa n condzon ottmal. E mportante sottolneare che la regressone non è n grado d capre la dfferenza tra pù lvell d ngresso o pù msure per lvello a partà d numero complessvo d valutazon. 3 Calbrazone Pass del procedmento: regstrare dat ambental; acqusre le coppe d valor ngresso/uscta sull ntero campo d msura e, se necessaro, per pù ccl (se possble a partà d ngress, ma non necessaro); calcolare e traccare la retta d regressone; calcolare e mettere n grafco le devazon dalla retta d regressone; calcolare e traccare l ntervallo d confdenza; defnre le caratterstche d qualtà dello strumento. ATTEZIOE! S tratta d una procedura del tutto generca che non tene conto d tutte le caratterstche d funzonamento d uno strumento (s pens alla calbrazone d un termometro) 33 6

17 Calbrazone Dat da un rapporto su attvtà d laboratoro: calbrazone d un potenzometro lneare Msure cclo Pos Calbrazone La vsualzzazone de dat ovvero l mettere n grafco punt e la retta d regressone evdenza: comportament anomal; punt dscutbl; dfferenze d comportamento tra ccl d carco/scarco. Coeff. retta regressone: A = 0.87 B = otate qualche problema? La tendenza del modello (lneare n questo caso) nasconde possbl «ncoerenze» present ne dat sure [V] Ms Poszone [cm] 35 7

18 Calbrazone Vsualzzazone scostament dalla msura attesa: e =y -(a x +b) C s aspetta un andamento prvo d qualsas tendenza, coè «casuale» otate qualcosa? Aggungamo: valor med stazon; dspersone stazon. Comment? Errore: y-(ax-b) [V] Equazone V=0.87 cm Poszone [cm] Il dagramma evdenza ncongruenze d comportamento: la dspersone de punt estrem è molto pù pccola; la dfferenza d dspersone ndca un comportamento dverso; escludendo punt estrem s evdenza una tendenza lneare. 36 Calbrazone Qualora fosse gustfcato e corretto escludere punt estrem s otterrebbe una curva d calbrazone leggermente dversa Il grafco uscta/ngresso non s modfca sensblmente, camba nvece l grafco devazone/ngresso: Comment? la dstrbuzone delle dsperson è omogenea; la tendenza meda è evdentemente orzzontale; Errore: y-(ax-b) [V] la pccola dfferenza sulla -0.0 pendenza provoca dfferenze sensbl. Correzone mnma de coeff: a errato 0.87 a corretto 0.99 (err % ) Poszone [cm] Effetto sgnfcatvo sulla msura a FS: err msura a VFS:.343 mm su

19 Calbrazone: legame ngresso uscta Se esegut pù ccl d ngress, sono possbl tre schem operatv: A. regressone totale: s utlzzano nseme tutt valor dsponbl; B. regresson ndpendent e valutazone de valor med e delle devazon standard de coeff. d regressone per ogn cclo; C. rpetzone degl stess ngress e calcolo della regressone su valor med per ogn stazone.. Cclo Valore Dev. Globale Coeff Meda Std. A B Qualche domanda cu dovremo trovare una rsposta: Quale schema adottare? come sono nfluenzat coeffcent dalla poszone, x, e dal numero,, d msurazon svolte? cosa aggunge la molteplctà d x? a partà d numero d msure è meglo avere pù stazon o rpetzon? 38 Un commento sulla regressone Osservazon: ella soluzone B l calcolo della dspersone de coeffcent med fornsce solo una ndcazone: ccl sono troppo poch per un calcolo precso. La soluzone C, con l uso de valor med, prevede che motv d dspersone abbano dstrbuzone smmetrca (qund a meda nulla) nelle sngole stazon; noltre l valor medo probablmente non è precso, sempre vste le poche rpetzon S può dmostrare che usare due volte la stessa ascssa equvale ad utlzzare un solo punto con msura par al valore medo de sngol dat Qund l aggunta d punt n una sngola stazone d msura ha l solo effetto d mglorare la valutazone d quel valor medo, es n presenza d error d msura, ma non mglora la qualtà generale dell operazone Questa stuazone poteva essere prevsta: per nfnt punt x concdent, la soluzone non esste esattamente come per un solo punto. Le rpetzon qund non mglorano la stma de coeffcent della regressone A partà d nformazon le tre procedure fornscono gl stess rsultat. 39 9

20 Un commento sulla regressone Raccomandazon: S effettua sempre una regressone totale su tutt punt Anche quando s opera con rpetzone, gl ngress devono essere msurat ad ogn cclo, d fatto rentrando nell opzone A. Da evtare l utlzzo della medesma sere d valor d ngresso per dvers ccl d carco: la mprecsone d rproduzone dell ngresso tra var ccl verrebbe vsta come una mancanza d rpetbltà dello strumento n calbrazone (unco caso: blanca con pes calbrat). La decsone fnale dovrà però tenere conto anche della dscussone dell ncertezza de coeffcent della regressone 40 Altr mpegh della regressone 4 0

21 Altr mpegh della regressone La regressone è una procedura d stma de coeffcent d una funzone n grado d mnmzzare gl scostament d un modello dal comportamento defnto da un nseme d dat spermental. La regressone lneare è un utle mezzo per determnare da dat spermental le costant d funzonamento che determnano l uscta d un sstema n proporzone ad un ngresso dato: rgdezza d estremtà d una trave 3 L w ncastrata carcata trasversalmente; k = = 3EJ F 3 L F rgdezza d flessonale d una sezone d trave; EJ = 3 w L F modulo elastco d un materale E = A u Il coeffcente angolare della regressone che ha n ngresso l carco e n uscta lo spostamento è sempre correlato al parametro cercato. 4 Uso regressone Prendamo una sere d valor d un legame lneare (rgdezza come legame forza-spostamento o modulo elastco d un materale come legame sforzo-deformazone). Procedure possbl: calcolare rapport forza/spostamento e farne la meda (la meda sarebbe la stessa anche per pccole perturbazon de dat); calcolare l coeffcente angolare della regressone. ( )( ) s ( ) s sf s F K = F K = s Possamo dedurre che le due metodologe sono del tutto alternatve una all altra? Essendo pù semplce, s può usare la meda de rapport? 43

22 Uso regressone Evdentemente per y = k x coeffcent della regressone sono: ( ) ( )( ) ( ) k x x x ( x ) x ( x ) ( x)( x ) ( x )( x) k x ( x) x y x y A= = = k B=... = = 0 Così come per la meda de rapport s ottene: y A% = = k k = k x In campo spermentale dat però non seguono perfettamente l modello matematco d una retta prva d ntercetta ma essendo affett da error d msura s dsperdono attorno a tale andamento. In questo caso l rsultato s mantene? 44 Uso regressone Se dat non rspondono ad un comportamento perfettamente lneare punt possono non appartenere ad una retta spccata dall orgne F k _ k k s Usare rapport F/s, gnorando che cò equvale a spccare una retta dall orgne, può portare a una pendenza varable con l carco e a un valore medo dverso dalla pendenza del legame cercato: k k E l caso d una prova strutturale, n cu è quas nevtable avere goch o assestament, recuperat dall applcazone d un carco. 45

23 Da rcordare Concetto d separazone tra caratterstche metrologche e caratterstche funzonal d uno strumento. Metodologa per la calbrazone d un trasduttore/strumento, anche n presenza d sensbltà ncrocate. ecesstà d adeguare lo schema generale dell operazone alla tpologa specfca d uno strumento (da rprendere): la procedura d calbrazone dovrà tenere conto d come uno strumento funzona. Identfcazone spermentale della funzone d trasfermento d un sstema (caso statco). Valdtà del processo d dealzzazone d uno strumento e lmt d applcabltà della funzone d trasfermento lneare. Utlzzo del metodo d regressone per la defnzone d legam lnear n genere. Concetto d ncertezza sul rsultato d una regressone (da rprendere). 46 Domande? 47 3

24 Cosa sappamo fare? Tecnche e procedure generche d calbrazone. Valutare la bontà d una regressone. Valutare la qualtà de dat dsponbl per una regressone Cosa sappamo fare? Eserczo del 5 novembre 0 Per uno strumento generco vene avanzata l potes d comportamento descrvble con un modello d prmo ordne. S chede d: F Suggerre una procedura spermentale per verfcare che l potes sa corretta F Elencare e descrvere tutt pass d una procedura per la sua calbrazone C Suggerre qual caratterstche fsche dello strumento andrebbero modfcate, e come, per mglorare l suo comportamento dnamco A punt n rosso non sappamo rspondere n quanto non sappamo ancora cosa sa uno strumento d prmo ordne Potrebbe sembrare d essere gà n grado d rspondere al secondo questo, ma ATTEZIOE: l punto è n relazone con la parte generale d descrzone del problema CHE PARLA DI UO STRUMETO DI PRIMO ORDIE qund la procedura d calbrazone deve essere contestualzzata al problema esamnato. Lo schema generale è senz altro la base della rsposta: deve però essere completata per poter essere correttamente applcata ad uno strumento d questo tpo 49 4

25 Fne presentazone 50 Approfondmento tecnca d regressone 5 5

26 Tendenze e regresson Convenente utlzzare una formulazone matrcale per la defnzone del problema d regressone per l caso polnomale d ordne generco. Ordne M umero msure a 0 M k n y = x ak = x x L x M = [ P( x, M) ]{} a k = 0 a n M M M e = y P x M a E = e y P = a = Y X a M M M [ (, )]{} { } [ ] {} {} [ ]{} T T ( [ ]{} ) { } { } ({ } [ ]{}) ({ } [ ]{}) = T T T T { Y} { Y} { Y} [ X]{} a ([ X]{} a ) { Y} + ([ X]{} a ) ([ X]{} a ) = T T T T T { Y} { Y} { a} [ X] { Y} + { a} [ X] [ X]{} a I = y X a = E E = Y X a Y X a = 5 Tendenze e regresson Funzonale n forma matrcale T T T T T T { } { } { } { } { } [ ] { } { } [ ] [ ]{ } I = E E = Y Y a X Y + a X X a Mnmzzazone: I {} a T T [ X] { Y} [ X] [ X]{} a = + = 0 {} [ C] a = { B} T T T T { } = = [ C] = [ X] [ X] = [ P] [ P] ; { B} = [ X] Y = [ P] y T Coeffcent: [ ] = [ ( )] [ ( )] ; [ ] = [ ( )] C P x P x B P x y = = k j k kj + k = = C = x ; B = x y k, j = 0: M T 53 6

27 Tendenze e regresson La struttura dell operatore è. Ordne n n 0 x x L x x y y = = = = = a 3 n+ 0 x x L x xy = = = a xy = = 4 n+ a = = x L x x y x y = = M = = Smm O M a n M M n n x x y n x y = = = Matrce smmetrca e d struttura prevedble Matrce malcondzonata per ordn superor a 5 o 6 54 Tendenze e regresson Vedamo le soluzon d ordne nferore. Ordne 0 T T [ C] = [ X ] [ X ] = [] [] = = = T T = = = {} B = [ X ] y = [] y = y a = C b = y { 0} [ ] { } = Abbamo qund ottenuto che l valor medo d una sere è l valore che mnmzza la somma degl scart quadratc. el caso d assenza d ngresso l modello regressvo fornsce come stma l valor medo. Condzone d applcabltà del metodo è che l errore sa a valore medo nullo. 55 7

28 Tendenze e regresson Regressone, o fttng, lneare: x y a = 0 = = x x a xy = = = a 0 = y x xy x = = = = x x = = a x y y x = = = = = = x x 56 8