L' ADT grafo è un contenitore di elementi memorizzati nelle posizioni del grafo (vertici e archi)

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1 L' ADT grafo è un contenitore di elementi memorizzati nelle posizioni del grafo (vertici e archi) le informazioni possono essere memorizzate sia sui vertici sia sugli archi del grafo

2 Metodi fondamentali (grafo non orientato) Metodi iteratore vertices(): restituisce una collezione iterabile su tutti i vertici del grafo edges(): restituisce una collezione iterabile su tutti gli archi del grafo incidentedges(v): restituisce una collezione iterabile sugli archi incidenti su v Metodi di accesso endvertices(e): restituisce un array dei due vertici estremità di e opposite(v, e): restituisce il vertice opposto a v sull'arco e areadjacent(v, w): vero se e solo se v e w sono adiacenti replace(v, x): rimpiazza l'elemento memorizzato nel vertice v con x replace(e, x): rimpiazza l'elemento memorizzato nell'arco e con x

3 Metodi fondamentali (grafo non orientato) Metodi di aggiornamento insertvertex(o): inserisce un vertice che contiene l'elemento o insertedge(v, w, o): inserisce un arco (v,w) che contiene l'elemento o removevertex(v): rimuove il vertice v (e i suoi archi incidenti) removeedge(e): rimuove l'arco e

4 Interfaccia Graph public interface Graph <V,E>{ public int numvertices(); public int numedges(); public Iterable<Vertex<V>> vertices(); public Iterable<Edge<E>> edges(); public V replace(vertex<v> p, V o) throws InvalidPositionException; public E replace(edge<e> p, E o) throws InvalidPositionException; public Iterable<Edge<E>> incidentedges(vertex<v> v) throws InvalidPositionException; public Vertex[] endvertices(edge<e> e) throws InvalidPositionException;... }

5 Interfaccia Graph public interface Graph <V,E>{... public Vertex<V> opposite(vertex<v> v, Edge<E> e) throws InvalidPositionException; public boolean areadjacent(vertex<v> u, Vertex<V> v) throws InvalidPositionException; public Vertex<V> insertvertex(v o); public Edge<E> insertedge(vertex<v> u, Vertex<V> v, E o) throws InvalidPositionException; } public V removevertex(vertex<v> v) throws InvalidPositionException; public E removeedge(edge<e> e) throws InvalidPositionException;

6 Decorator pattern Il decorator pattern è un design pattern che serve ad inserire informazioni extra (colori) ad un oggetto Una decorazione consiste di - una chiave (che identifica il tipo di decorazione) - un valore associato alla chiave

7 Decorator pattern Esempio: algoritmi come BFS e DFS richiedono che i nodi e/o gli archi del grafo vengano colorati per tenere traccia dell'esplorazione Si può usare un decorator pattern per decorare i nodi del grafo: ad ogni nodo sarà associata una coppia (chiave, valore) dove la chiave identifica l'attributo esplorato e il valore (ad essa associato) è un booleano (esplorato, sì) (esplorato, no)

8 Interfacce Vertex e Edge public interface DecorablePosition<T> extends Position<T>, Map<Object,Object> { } public interface Vertex<V> extends DecorablePosition<V> { } public interface Edge<E> extends DecorablePosition<E> { }

9 Uso della decorable position Esempio: final Object COLOR = new Object(); final Object WHITE = new Object();... chiave valore v.put(color, WHITE);... if(v.get(color)!= WHITE)... su un oggetto Vertex<V> si possono usare i metodi della mappa per gestire le colorazioni

10 Implementazione mediante lista di archi Ciascun vertice del grafo è rappresentato da un oggetto di tipo vertex, tutti gli oggetti vertex sono memorizzati in un contenitore V V Ciascun arco del grafo è rappresentato da un oggetto di tipo edge, tutti gli oggetti edge sono memorizzati in un contenitore E E

11 Implementazione mediante lista di archi Oggetto vertex o l'oggetto vertex per un vertice v che memorizza l'elemento o ha: - un riferimento a o - un riferimento alla posizione dell'oggetto-vertex nel contenitore V dei vertici del grafo

12 Implementazione mediante lista di archi Oggetto edge o l'oggetto edge per un arco e = (u,v) che memorizza l'elemento o ha: - un riferimento a o - un riferimento agli oggetti-vertex per u e v - un riferimento alla posizione dell'oggetto-edge nel contenitore E degli archi del grafo

13 Implementazione mediante lista di archi u z v a b c w d V u v w z a b c d E

14 Implementazione mediante lista di archi Vantaggi: - implementazione semplice - accesso diretto dagli archi ai vertici su cui essi sono incidenti (endvertices(e) e opposite(v,e) sono semplici da implementare e richiedono tempo O()) Svantaggi: - l'accesso agli archi che sono incidenti su un dato vertice richiede un'ispezione esaustiva di tutto il contenitore E. I seguenti metodi richiedono un tempo proporzionale al numero di archi del grafo: - incidentedges(v) - areadjacent(v,w) - removevertex(v)

15 Grafi Domanda Qual è il massimo numero di archi che un grafo G = (V,E) di n = V vertici può avere?

16 Grafi Domanda Qual è il massimo numero di archi che un grafo G = (V,E) di n = V vertici può avere? grafi orientati

17 Grafi Domanda Qual è il massimo numero di archi che un grafo G = (V,E) di n = V vertici può avere? grafi orientati 2 n

18 Grafi Domanda Qual è il massimo numero di archi che un grafo G = (V,E) di n = V vertici può avere? grafi orientati grafi non orientati 2 n

19 Grafi Domanda Qual è il massimo numero di archi che un grafo G = (V,E) di n = V vertici può avere? grafi orientati grafi non orientati 2 n n ( 2)

20 Rappresentazione in memoria Liste di adiacenza e matrice di adiacenza Esistono due modi per rappresentare un grafo G=(V,E) in memoria: liste di adiacenza matrice di adiacenza

21 Liste di adiacenza G =( V,E ) La rappresentazione consiste di un array Adj di V liste (una per ogni vertice) Per ogni u in V la lista Adj [u] contiene tutti i vertici v adiacenti ad u in G

22 Liste di adiacenza Grafi non orientati G =(V,E) grafo non orientato 2 Array Adj di V liste: Adj [], Adj [2], Adj [3], Adj [4], Adj [5] Adj [] Adj [2] Adj [3] Adj [4] Adj [5] / 4 5 / 4 / / 2 4 /

23 Liste di adiacenza Grafi orientati G =(V,E) grafo orientato V= {,2,3,4,5} Array Adj di V liste: Adj [], Adj [2], Adj [3], Adj [4], Adj [5] Adj [] Adj [2] Adj [3] Adj [4] Adj [5] / 4 / 4 / 5 / 2 /

24 Liste di adiacenza Spazio di memoria richiesto G =(V,E) grafo non orientato G =(V,E) grafo orientato / 4 5 / 2 4 / / / / 4 / 4 / 5 / 2 /

25 Liste di adiacenza Spazio di memoria richiesto 2 3 / / / / / / 4 / 4 / 5 / 2 / somma delle lunghezze delle liste = somma delle lunghezze delle liste =

26 Liste di adiacenza Spazio di memoria richiesto 2 3 / / / / / / 4 / 4 / 5 / 2 / somma delle lunghezze delle liste = somma delle lunghezze delle liste = E

27 Liste di adiacenza Spazio di memoria richiesto 2 3 / / / / / / 4 / 4 / 5 / 2 / somma delle lunghezze delle liste = 2 E somma delle lunghezze delle liste = E

28 Liste di adiacenza Spazio di memoria richiesto 2 3 / / / / / / 4 / 4 / 5 / 2 / somma delle lunghezze delle liste = 2 E somma delle lunghezze delle liste = E Spazio di memoria richiesto in entrambi i casi:

29 Liste di adiacenza Spazio di memoria richiesto 2 3 / / / / / / 4 / 4 / 5 / 2 / somma delle lunghezze delle liste = 2 E somma delle lunghezze delle liste = E Spazio di memoria richiesto in entrambi i casi: Θ(max{ V, E }) = Θ( V + E )

30 Liste di adiacenza Grafi pesati Un grafo pesato G è una coppia (V,E) con una funzione peso w: E R Il peso w(u,v) di ogni arco (u,v) in E viene memorizzato nella lista di u insieme a v in un nuovo campo / 4 5 / 4 23 / 5 9 / 2 3 /

31 Liste di adiacenza Vantaggi e svantaggi Buone notizie Spazio di memoria richiesto: Θ( V + E ) Cattive notizie Non esiste un modo veloce per determinare se un dato arco (u,v) è presente nel grafo. Unico modo: scandire la lista di adiacenza di u alla ricerca di v

32 Implementazione con liste di adiacenza Come nella implementazione mediante lista di archi: Ciascun vertice del grafo è rappresentato da un oggetto di tipo vertex, tutti gli oggetti vertex sono memorizzati in un contenitore V Ciascun arco del grafo è rappresentato da un oggetto di tipo edge, tutti gli oggetti edge sono memorizzati in un contenitore E

33 Implementazione con liste di adiacenza Oggetto vertex o l'oggetto vertex per un vertice v che memorizza l'elemento o ha: - un riferimento a o - un riferimento alla posizione dell'oggetto-vertex nel contenitore V dei vertici del grafo - un riferimento a un contenitore I(v) (contenitore di incidenza di v) i cui elementi hanno i riferimenti agli archi incidenti su v

34 Implementazione con liste di adiacenza Oggetto edge o l'oggetto edge per un arco e = (u,v) che memorizza l'elemento o ha: - un riferimento a o - un riferimento agli oggetti-vertex per u e v - un riferimento alla posizione dell'oggetto-edge nel contenitore E degli archi del grafo - un riferimento alle posizioni associate all'arco e nei contenitori di incidenza I(u) e I(v)

35 Implementazione con liste di adiacenza u a v b w V u v w I(u) I(v) I(w) a b E