Esercizio 1. Si supponga di aver assegnato ad una popolazione di N = 4 dattilografe un test e di aver ottenuto i seguenti risultati:

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Ortensia Chiesa
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1 Esercizio 1 Si suppoga di aver assegato ad ua popolazioe di N = 4 dattilografe u test e di aver otteuto i segueti risultati: Dattilografa N. Errori A 3 B C 1 D 4 La variabile, il umero di errori commessi da ciascua dattilografa, ha μ =,5 e σ = 1, 5. Determiare l uiverso campioario rispettivamete per =, = 3 e = 4 immagiado di procedere co u campioameto casuale semplice (co reitroduzioe). Ioltre, per i differeti valori di determiare: 1) la distribuzioe della variabile casuale media campioaria, calcoladoe il valore atteso e la variaza; ) la distribuzioe della variabile casuale variaza campioaria, calcoladoe il valore atteso. Svolgimeto Trattadosi di campioameto co reitroduzioe, l uiverso campioario è pari a N. Per =, quidi, i possibili campioi soo 4 = 16, e cioè: Campioe Dattilografe Risultati del campioe Media Campioaria 1 A,A 3,3 3,0 A,B 3,,5 3 A,C 3,1,0 4 A,D 3,4 3,5 5 B,A,3,5 6 B,B,,0 7 B,C,1 1,5 8 B,D,4 3,0 9 C,A 1,3,0 10 C,B 1, 1,5 11 C,C 1,1 1,0 1 C,D 1,4,5 13 D,A 4,3 3,5 14 D,B 4, 3,0 15 D,C 4,1,5 16 D,D 4,4 4,0

2 Suppoedo che ogi dattilografa ha la medesima probabilità di essere estratta el campioe e ciò che iteressa è la media campioaria, cioè il umero medio di errori commessi da ogi campioe, la fuzioe di probabilità è la seguete: P(x i ) 0,065 0,15 0,1875 0,5 0,1875 0,15 0,065 i 1 1,5,5 3 3,5 4 Come si può facilmete calcolare, E ( ) =,5 e Var () = 0,65. 0,3 0,5 0, p 0,15 0,1 0, ,5,5 3 3,5 4 media campioaria ad ogi estrazioe

3 Per determiare la distribuzioe della variabile casuale variaza campioaria bisoga calcolare la statistica variaza campioaria ( ) 1 S = xi ad ogi estrazioe: i = 1 Campioe Dattilografe Risultati del campioe Media Campioaria Variaza Campioaria 1 A,A 3,3 3,0 0,00 A,B 3,,5 0,5 3 A,C 3,1,0 1,00 4 A,D 3,4 3,5 0,5 5 B,A,3,5 0,5 6 B,B,,0 0,00 7 B,C,1 1,5 0,5 8 B,D,4 3,0 1,00 9 C,A 1,3,0 1,00 10 C,B 1, 1,5 0,5 11 C,C 1,1 1,0 0,00 1 C,D 1,4,5,5 13 D,A 4,3 3,5 0,5 14 D,B 4, 3,0 1,00 15 D,C 4,1,5,5 16 D,D 4,4 4,0 0,00 la fuzioe di probabilità è la seguete: P(x i ) 0,5 0,375 0,5 0,15 Var( i ) 0 0,5 1,5 Come si può facilmete calcolare, E(Var( i )) = 0,65 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, ,5 1,5 Variaza campioaria ad ogi estrazioe ***

4 Si ripete l esercizio per = 3, dove l uiverso campioario è pari a 4 3 = 64, e cioè: Campioe Dattilografe Risultati del campioe 1 A,A,A 3,3,3 3,000 A,A,B 3,3,,667 3 A,A,C 3,3,1,333 4 A,A,D 3,3,4 3,333 5 A,B,A 3,,3,667 6 A,B,B 3,,,333 7 A,B,C 3,,1,000 8 A,B,D 3,,4 3,000 9 A,C,A 3,1,3, A,C,B 3,1,, A,C,C 3,1,1 1,667 1 A,C,D 3,1,4, A,D,A 3,4,3 3, A.D.B 3,4, 3, A,D,C 3,4,1, A,D,D 3,4,4 3, B,A,A,3,3, B,A,B,3,, B,A,C,3,1,000 0 B,A,D,3,4 3,000 1 B,B,A,,3,333 B,B,B,,,000 3 B,B,C,,1 1,667 4 B,B,D,,4,667 5 B,C,A,1,3,000 6 B,C,B,1, 1,667 7 B,C,C,1,1 1,333 8 B,C,D,1,4,333 9 B,D,A,4,3 3, B,D,B,4,, B,D,C,4,1,333 3 B,D,D,4,4 3,333 Media Campioaria Campioe Dattilografe Risultati del campioe 33 C,A,A 1,3,3, C,A,B 1,3,, C,A,C 1,3,1 1, C,A,D 1,3,4, C,B,A 1,,3, C,B,B 1,, 1, C,B,C 1,,1 1, C,B,D 1,,4, C,C,A 1,1,3 1,667 4 C,C,B 1,1, 1, C,C,C 1,1,1 1, C,C,D 1,1,4, C.D.A 1,4,3, C.D.B 1,4,, C,D,C 1,4,1, C,D,D 1,4,4 3, D,A,A 4,3,3 3, D,A,B 4,3, 3, D,A,C 4,3,1,667 5 D,A,D 4,3,4 3, D,B,A 4,,3 3, D,B,B 4,,, D,B,C 4,,1, D,B,D 4,,4 3, D,C,A 4,1,3, D,C,B 4,1,, D,C,C 4,1,1, D,C,D 4,1,4 3, D,D,A 4,4,3 3,667 6 D,D,B 4,4, 3, D,D,C 4,4,1 3, D,D,D 4,4,4 4,000 Media Campioaria Suppoedo che ogi dattilografa ha la medesima probabilità di essere estratta el campioe e ciò che iteressa è la media campioaria, cioè il umero medio di errori commessi da ogi campioe, la fuzioe di probabilità è la seguete: P(x i ) 0, , , ,1565 0,1875 0,1875 0,1565 0, , ,01565 i 1 1,333 1,667,333, ,333 3,667 4 Come si può facilmete calcolare, E ( ) =,5 e Var () = 0,

5 P 0, 0,18 0,16 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0, ,333 1,667,333, ,333 3,667 4 media campioaria per ogi campioe

6 Per determiare la distribuzioe della variabile casuale variaza campioaria bisoga calcolare la statistica variaza campioaria ( ) 1 S = xi ad ogi estrazioe: i = 1 Camp. Datt. Ris Var() 1 A,A,A 3,3,3 3,000 0,000 A,A,B 3,3,,667 0, 3 A,A,C 3,3,1,333 0,889 4 A,A,D 3,3,4 3,333 0, 5 A,B,A 3,,3,667 0, 6 A,B,B 3,,,333 0, 7 A,B,C 3,,1,000 0,667 8 A,B,D 3,,4 3,000 0,667 9 A,C,A 3,1,3,333 0, A,C,B 3,1,,000 0, A,C,C 3,1,1 1,667 0,889 1 A,C,D 3,1,4,667 1, A,D,A 3,4,3 3,333 0, 14 A.D.B 3,4, 3,000 0, A,D,C 3,4,1,667 1, A,D,D 3,4,4 3,667 0, 17 B,A,A,3,3,667 0, 18 B,A,B,3,,333 0, 19 B,A,C,3,1,000 0,667 0 B,A,D,3,4 3,000 0,667 1 B,B,A,,3,333 0, B,B,B,,,000 0,000 3 B,B,C,,1 1,667 0, 4 B,B,D,,4,667 0,889 5 B,C,A,1,3,000 0,667 6 B,C,B,1, 1,667 0, 7 B,C,C,1,1 1,333 0, 8 B,C,D,1,4,333 1,556 9 B,D,A,4,3 3,000 0, B,D,B,4,,667 0, B,D,C,4,1,333 1,556 3 B,D,D,4,4 3,333 0,889 Camp. Datt. Ris Var() 33 C,A,A 1,3,3,333 0, C,A,B 1,3,,000 0, C,A,C 1,3,1 1,667 0, C,A,D 1,3,4,667 1, C,B,A 1,,3,000 0, C,B,B 1,, 1,667 0, 39 C,B,C 1,,1 1,333 0, 40 C,B,D 1,,4,333 1, C,C,A 1,1,3 1,667 0,889 4 C,C,B 1,1, 1,333 0, 43 C,C,C 1,1,1 1,000 0, C,C,D 1,1,4,000, C.D.A 1,4,3,667 1, C.D.B 1,4,,333 1, C,D,C 1,4,1,000, C,D,D 1,4,4 3,000, D,A,A 4,3,3 3,333 0, 50 D,A,B 4,3, 3,000 0, D,A,C 4,3,1,667 1,556 5 D,A,D 4,3,4 3,667 0, 53 D,B,A 4,,3 3,000 0, D,B,B 4,,,667 0, D,B,C 4,,1,333 1, D,B,D 4,,4 3,333 0, D,C,A 4,1,3,667 1, D,C,B 4,1,,333 1, D,C,C 4,1,1,000, D,C,D 4,1,4 3,000, D,D,A 4,4,3 3,667 0, 6 D,D,B 4,4, 3,333 0, D,D,C 4,4,1 3,000, D,D,D 4,4,4 4,000 0,000 la fuzioe di probabilità è la seguete: P(x i ) 0,065 0,815 0,1875 0,1875 0,1875 0,09375 Var( i ) 0 0, 0, , , Come si può facilmete calcolare, E(Var( i )) = 0,8333

7 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0,05 0 0,065 0,815 0,1875 0,1875 0,1875 0,09375 Variaza campioaria ad ogi estrazioe *** Ifie, per = 4 l uiverso campioario è pari a 4 4 = 56. La tabella di tutti i possibili campioi sarebbe troppo grade da raffigurare, così come il calcolo della media campioaria e della variaza campioaria. Però, come è oto e come è stato possibile verificare empiricamete ei precedeti passaggi, σ sappiamo che E ( ) = μ e che Var( ) =. Ifatti: E ( ) = E i E S ES ( ) = = = i 1 μ = μ = σ Var ( ) = Var S = Var ( S) = σ = Quidi, per = 4, E( ) =,5 ( ) 1, 5 Var = = 0,315 4 ALL AUMENTARE DELLA NUMEROSITA CAMPIONARIA LA DISPERSIONE INTORNO AL VALORE ATTESO DIMINUISCE

8 Per quato riguarda la V.C. variaza campioaria, si è potuto costatare che il suo valore atteso è diverso dal parametro (i questo caso supposto) icogito della popolazioe, i altri termii è uo stimatore o corretto (o distorto). Tuttavia il fattore di correzioe è oto, ed è pari a 1. Ifatti, ( ) = ( ) i E S E 1 i, aggiugedo e sottraedo la costate μ si ottiee: 1 1 E( S ) = E ( i μ) ( μ) E ( i μ) ( μ) = = i i 1 1 σ σ = σ = σ = σ Quidi: per = si ha per =3 si ha S = 0,65 da cui σ = 0,65 = 1,5 ; 1 S = 0,8333 da cui σ = 0,8333 = 1, 5 ; 3 per =4 si ha 1 3 S = σ = 1, 5 = 0,9375 4

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