Meccanica Applicata Alle Macchine. Elementi di Meccanica Teorica ed Applicata

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1 Meccanica Applicata Alle Macchine (Ingegneria Energetica) Elementi i Meccanica Teorica e Applicata (Scienze per l Ingegneria) Università egli Stui i oma La Sapienza Una traccia egli argomenti el Corso Prof. A. CACATEA Facoltà i Ingegneria Dipartimento i Meccanica e Aeronautica

2 SEZIONE CINEMATICA el punto materiale. CINEMATICA DEL PUNTO MATEIALE La posizione i un elemento materiale E nello spazio viene iniviuata a un vettore associato al punto ello spazio P occupato all elemento materiale al tempo t. Consierata una terna oxyz, il vettore OP = x escrive attraverso le sue tre componenti x( y( z( la posizione i E. La velocità v e l accelerazione a i E si ricavano per erivazioni successive i x rispetto al tempo: x( x = y( z( x& ( x& = v = y& ( z& ( && x( && x = a = && y( && z( Ciò è quanto basta a escrivere la cinematica i E. Aggiungiamo ora alcune relazione che legano le proprietà ifferenziali ella traiettoria i E ai vettori velocità e accelerazione. La traiettoria γ i E è l insieme ei punti ello spazio che vengono occupati a E al variare el tempo t. Consieriamo il caso in cui γ si sviluppi su un piano (moto piano). Su γ istituiamo una ascissa curvilinea s. Il punto P occupato al tempo t a E resta associato a una ascissa curvilinea s(. Il vettore i posizione x è allora funzione el tempo attraverso s(: x x = y [ s( [ s( x& = v = s& La traiettoria γ ha equazione parametrica x(s), y(s) e equazione cartesiana che si ottiene eliminano il parametro s alle prime ue cioè y = y(. Circa il vettore osserviamo quanto segue. Il suo moulo è unitario. Infatti: x s y + s = poichè x + y = s

3 L angolo ϕ che tale vettore in ogni punto ella traiettoria forma con l asse elle x è pari a quello formato alla tangente alla traiettoria in quello stesso punto con l asse x. Infatti l angolo che forma con l asse x è: y / s y tg ϕ = ossia tg ϕ = = y x / s x esseno y ( la erivata ell equazione cartesiana ella traiettoria γ. Pertanto ϕ è anche l angolo formato alla tangente alla curva y = y( con l asse elle x. Concluiamo che è il vettore tangente alla traiettoria in un suo generico punto e i moulo unitario, ossia è il versore τ ella tangente alla traiettoria γ : τ = Ne segue per la velocità: x & = v = s& v = τ s& () Determiniamo ora l accelerazione sulla base ella preceente espressione ella velocità: r v = t s ( τ s& ) = && s τ + s& ( τ ) = && s τ + s& ( τ ) = && s τ + s& t s t τ s τ Per è possibile fornire un espressione che coinvolge la normale alla traiettoria. Consieriamo s la circonferenza osculatrice alla traiettoria in un suo generico punto P (vei figura ). τ ( s ) τ ( s + s) P traiettoria circonferenza osculatrice Fig.

4 La circonferenza osculatrice è una circonferenza che conivie con la traiettoria alcune proprietà ifferenziali in P. La sua equazione si etermina imponeno che la circonferenza passi per P e che abbia in P le stesse erivate prima e secona ell equazione cartesiana ella traiettoria. In altri termini traiettoria e circonferenza osculatrice hanno ientiche proprietà ifferenziali in P fino all orine (si pensi che la tangente alla traiettoria e la traiettoria hanno invece proprietà ifferenziali ientiche in P solo fino all orine ). L equazione i una circonferenza i centro C ( α, β ) e raggio è ( x α ) + ( y β ) = che fornisce, in forma implicita, la ipenenza tra le coorinate cartesiane x e y. Sia y = g( la forma esplicita i tale ipenenza che, per quanto segue, non serve scrivere per esteso. I parametri ella circonferenza α, β, che soisfano la richiesta formulata i coniviere i caratteri ifferenziali ella traiettoria fino all orine, si eterminano in moo molto semplice. Si parte all ientità: e alle sue erivate prima e secona rispetto a x: ( x ) + ( g β ) = α () ( x ) + ( g( β ) g + g + ( g( β ) g α (3) Se y = y( è l equazione ella traiettoria, si eve imporre che in P sia g = y(, g = y, g = y Effettuate queste sostituzioni nelle equazioni () e (3) si ha il sistema i conizioni per α, β, : ( x α ) + ( y( β ) ( x α ) + ( y( β ) y + y + ( y( β ) = y E risolveno per si ottiene: ( = [ + y y 3 / Consierata allora la circonferenza osculatrice, iniviuiamo il versore τ in corrisponenza elle ascisse curvilinee s e s+s (figura ) cui corrisponono i punti P e P e associate rispettivamente ai tempi t e t+t. L angolo al centro corrisponente all arco PP è ϕ. Quano s 0 e ϕ 0 allora τ = τ( s + s) τ( s) ha irezione coinciente con la normale alla traiettoria e verso iretto verso il centro C ella circonferenza scuratrice alla traiettoria, cioè vers (τ) = n. Il moulo i τ lo si ricava poi alla figura per la similituine fra i triangoli PQQ e CPP. Su tale base infatti: Quini: τ s τ = = τ s

5 τ = n s n P τ (s) Q τ P τ ( s + s) τ ( s + s) Q traiettoria ϕ circonferenza osculatrice Css C Fig. Pertanto l espressione finale ell accelerazione è: a = & s τ s& n (4)

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