CASE STUDY 2. Fabbricazione dell acciaio. Un problema di pianificazione: Minimizzazione dei costi di carica del forno. Dati. Formulazione del problema

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1 CASE STUDY 2 Fabbricazione dell acciaio Gestione delle risorse produttive nell industria siderurgica Un problema di pianificazione: Minimizzazione dei costi di carica del forno Magazzini materie prime Magazzini materie prime Dati Per ogni prodotto: Quantità Caratteristiche all uscita del forno Caratteristiche dopo l affinazione Ceste di ferro Ceste di ferro Materiali di affinazione Per ogni materiale: Disponibilità Caratteristiche Resa in fusione Resa in affinazione Materiali di affinazione Formulazione del problema Formulazione del problema Variabili: x ik quantità di materiale i per produrre l acciaio k Dati: q hi concentrazione di elemento h nel materiale i r h resa in forno dell elemento h s h resa in affinazione dell elemento h R i resa in forno del materiale i S i resa in affinazione del materiale i d i disponibilità del materiale i b k quantità richiesta di materiale k f hk concentrazione rich. di el. h nell acciaio k dopo il forno a hk conc. rich. di el. h nell acciaio k dopo l affinazione c i costo per unità di materiale i p i volume per unità di peso del materiale i p max volume massimo per unità di peso della miscela Obiettivo: minimizzazione dei costi dei materiali min Σ ik c i x ik Vincoli sulle caratteristiche di ogni acciaio dopo il forno (Σ i forno q hi x ik ) r h = f hk (Σ i forno x ik ) r h h,k Vincoli sulle caratteristiche di ogni acciaio dopo l affinazione (Σ i forno q hi x ik ) r h s h + (Σ i aff. q hi x ik )s h = a hk b k h,k Vincoli sulla quantità da produrre di ogni acciaio (Σ i forno x ik ) R i S i + (Σ i aff. x ik )S i = b k k Vincoli sulla disponibilità di materiali Σ k x ik d i i Vincoli sulla densità delle miscele Σ ik p i x ik p max Σ k x ik k

2 Sequenziamento dei lotti: caratteristiche del problema Il modello dob shop Elevato costo, peso e ingombro dei semilavorati Raffreddamento del materiale Scarsa capacità di immagazzinamento Lotti di piccole dimensioni Costi di set-up tra lotti diversi Criticità in fase di colatura Job: Macchine: La sequenza di visita delle macchine per ognob è fissata La lavorazione di un job su una macchina è detta operazione Ogni operazione richiede un tempo di lavorazione dato e non interrompibile Ogni macchina può eseguire al più un operazione alla volta Il grafo disgiuntivo p i : tempo di processamento dell operazione o i congiunzioni: disgiunzioni: (t h t k +p k ) (t k t h +p h ) (h,k) A Il grafo disgiuntivo min t Cong. t 1 t t 2 t 1 +p 1 t 3 t 2 +p 2 t t 3 +p 3 t t t t +p t t +p t 6 t t 7 t 6 +p 6 t 8 t 7 +p 7 t t 8 +p 8 Disg. (t 1 t 6 +p 6 ) (t 6 t 1 +p 1 ) (t 2 t +p ) (t t 2 +p 2 ) (t t 7 +p 7 ) (t 7 t +p ) (t 2 t 7 +p 7 ) (t 7 t 2 +p 2 ) (t t 8 +p 8 ) (t 8 t +p ) Il grafo disgiuntivo Il modello dob shop assume l esistenza di magazzini intermedi per i semilavorati a capacità infinita min t Cong. t 1 t t 2 t 1 +p 1 t 3 t 2 +p 2 t t 3 +p 3 t t t t +p t t +p t 6 t t 7 t 6 +p 6 t 8 t 7 +p 7 t t 8 +p 8 Disg. (t 1 t 6 +p 6 ) (t 6 t 1 +p 1 ) (t 2 t +p ) (t t 2 +p 2 ) (t t 7 +p 7 ) (t 7 t +p ) (t 2 t 7 +p 7 ) (t 7 t 2 +p 2 ) (t t 8 +p 8 ) (t 8 t +p )

3 Il modello dob shop assume l esistenza di magazzini intermedi per i semilavorati a capacità infinita nel caso siderurgico I magazzini hanno capacità limitata (vincoli di blocking) I semilavorati hanno un tempo massimo di immagazzinamento tra operazioni consecutive (vincoli di deperibilità) Magazzini di capacità k sono modellati introducendo k macchine fittizie con tempo di processamento e con blocking (Mc Cormick et al. 18) A op. 1 op. 2 B Magazzini di capacità k sono modellati introducendo k macchine fittizie con tempo di processamento e con blocking (Mc Cormick et al. 18) Il modello dob shop considera tutti i lavori indipendenti l uno dall altro A op. 1 op. 2 B A B op. 1 op. 2 Il modello dob shop considera tutti i lavori indipendenti l uno dall altro nel caso siderurgico I lavori di uno stesso lotto devono essere processati consecutivamente Esiste un vincolo di continuità tra le operazioni di colatura di uno stesso lotto

4 d ij < a hi < a kj < d ij < a hi < a kj < G=(N,F,A) d ij < a hi < a kj < G=(N,F,A) Una soluzione è ammissibile se e solo se non ci sono cicli di lunghezza positiva nel grafo risultante min t Cong. t 1 t t 2 t 1 +d 12 t 3 t 2 +d 23 t t 3 +d 3 t t 1 +d 1 t t +d t 3 t +d 3 t 6 t t 7 t 6 +d 67 t 8 t 7 +d 78 t t 8 +d 8 Disg. (t 3 t 8 +a 83 ) (t 6 t 1 +a 16 ) (t t 2 +a 2 ) (t 6 t +a 6 ) (t t 7 +a 7 ) (t 7 t +a 7 ) min t Cong. t 1 t t 2 t 1 +d 12 t 3 t 2 +d 23 t t 3 +d 3 t t 1 +d 1 t t +d t 3 t +d 3 t 6 t t 7 t 6 +d 67 t 8 t 7 +d 78 t t 8 +d 8 Disg. (t 3 t 8 +a 83 ) (t 6 t 1 +a 16 ) (t t 2 +a 2 ) (t 6 t +a 6 ) (t t 7 +a 7 ) (t 7 t +a 7 ) Una soluzione è ammissibile se e solo se non ci sono cicli di lunghezza positiva nel grafo risultante Una soluzione è ammissibile se e solo se non ci sono cicli di lunghezza positiva nel grafo risultante

5 Vincoli di deperibilità t j t i +p i +q i p i Vincoli di deperibilità -p i -q i. t j t i +p i +q i p i Vincoli di deperibilità -p i -q i. t j t i +p i +q i p i Vincoli di blocking o σ(i) : operazione che segue o i in un lavoro Vincoli di deperibilità -p i -q i. t j t i +p i +q i p i Vincoli di blocking o σ(i) : operazione che segue o i in un lavoro (t j t σ(i) ) (t i t σ(j) ) i j p i p j σ(i) σ(j) (t j t σ(i) +) (t i t σ(j) +) i j p i p j σ(i) σ(j) Modello schematico Modello schematico Ferro LF Bramme Ferro LF Bramme : Electric Arc Furnace : Argon Oxigen Decarburization unit LF: Ladle Furnace : Continuous Caster B1 B2 B3 LF1 LF2 p p p LF1 p LF2 p -p p p p LF1 p LF2 p -p p p p p p + p set-up LF1 LF2

6 Soluzione euristica p + p set-up p p p LF1 p LF2 -p p p p p LF1 p LF2 p + p set-up -p p p p p LF1 p LF2 p + p set-up p + p set-up h h h h h h h h p p p LF1 p LF2 p -p p p p LF1 p LF2 Selezione S: insieme di archi di A, ottenuti scegliendo al più un arco da ogni coppia S è completa se esattamente un arco di ogni coppia di A è selezionata dato S, sia l(i,j) il cammino più lungo da i a j in G(N, F S) Avoid maximum Current C max (AM) Trova (i,j) A : l(,i)+a ij +l(j,n) è massimo Seleziona il suo arco alternativo Seleziona tutti gli archi implicati dalla selezione corrente (i,j) è implicato da S se: ((i,j),(h,k)) A G=(N,F S {(h,k)}) ha un ciclo di lunghezza positiva Algoritmo di branch & bound Branching rule: scegli la coppia non selezionata tale che l(,i)+a ij +l(j,n) è massimo e scegli il suo alternativo Lower bound: Jackson preemptive schedule calcolato su una clique di operazioni Se o i è blocking: π i = max{p i, l(i,σ(i))} r i = max{l(o,i), l(o, σ(i)) - π i } q i = max{l(σ(i),n), l(i,n) - π i -r i + l(o,i)} Selezioni immediate: come in Carlier e Pinson (1)

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