Scelta del consumatore beni normali beni sostituti beni complementi

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1 Esercitazione 2 del 26 febbraio 2015 Scelta del consumatore beni normali beni sostituti beni complementi Dott.ssa Sabrina Pedrini Domande a risposta multipla 1) Se un consumatore è disposto a scambiare sempre tre penne rosse con quattro penne blu e la sua funzione di utilità è definita solo su questi due beni, le sue curve di indifferenza saranno: a) rette; b) iperboli; c) parabole; d) spezzate. 2) Se per Armando vasi e fiori sono beni perfetti complementi, un aumento del consumo di vasi a parità di consumo di fiori comporterà per lui: a) un aumento dell utilità; b) una diminuzione dell utilità; c) nessuna variazione dell utilità; d) il raggiungimento di una curva di indifferenza più alta; 3) Un certo consumatore considera ogni tazza di caffè perfetto sostituto di due tazze di tè. Se una tazza di caffè costa 7$ e una tazza di tè costa 4$, quale sarà la sua domanda di tazze di tè se dispone di un reddito di 56$? a) sarà di 8 tazze di tè b) sarà di 16 tazze di tè c) sarà di una qualsiasi quantità fra 0 e 16 d) sarà di 0 tazze di tè 4) I consumatori finlandesi pagano gli avocado il doppio di quanto pagano le pesche. Lo stesso non vale per i consumatori francesi per i quali i due frutti hanno lo stesso prezzo. Immaginate che i consumatori dei due stati massimizzano la loro utilità. Allora: a) I consumatori dei due stati hanno lo stesso saggio marginale di sostituzione tra i due beni; b) I consumatori francesi hanno un saggio marginale di sostituzione maggiore; c) I consumatori finlandesi hanno un saggio marginale di sostituzione maggiore; d) Non è possibile che entrambi massimizzino la loro utilità. 5) Il saggio marginale di sostituzione tra il bene x e il bene y rappresenta: a) Il rapporto tra il prezzo del bene x e quello del bene y; b) La quantità di y alla quale si è disposti a rinunciare per ottenere un unità aggiuntiva di x; c) Il rapporto tra la quantità del bene y e quella del bene x; d) La pendenza del vincolo di bilancio. 6) Una curva di indifferenza misura e la sua inclinazione è uguale a a. le diverse combinazioni di due beni o servizi che portano allo stesso livello di

2 soddisfazione; il prezzo di un bene rispetto a un altro. b. le diverse combinazioni di due beni o servizi che portano allo stesso livello di soddisfazione; il saggio marginale di sostituzione. c. le diverse combinazioni di due beni o servizi che un consumatore può permettersi; il rapporto dei prezzi dei due beni. d. le diverse combinazioni di due beni o servizi che un consumatore può permettersi; il saggio marginale di sostituzione; 7) Al punto in cui la curva di indifferenza è tangente alla retta di bilancio: a. il saggio marginale di sostituzione è minore del rapporto dei prezzi dei due beni, e il consumatore può scegliere soltanto un paniere di mercato in cui i due valori sono uguali. b. il saggio marginale di sostituzione è minore del rapporto dei prezzi dei due beni, e la soddisfazione del consumatore si può aumentare scegliendo un paniere di mercato su una curva di indifferenza più alta. c. il saggio marginale di sostituzione è uguale al rapporto dei prezzi dei due beni, e la soddisfazione del consumatore è massimizzata. d. sono vere entrambe le risposte b e c. 8) L effetto sulla retta di bilancio di un identico aumento percentuale di prezzi e reddito dovuto all inflazione è: a. che le rette di bilancio traslano in parallelo allontanandosi dall origine con l aumento del reddito, ma non tanto quanto avverrebbe se i prezzi fossero rimasti costanti. b. per rispondere a questa domanda servirebbero più informazioni su reddito, prezzi e tasso di inflazione. c. niente: la retta di bilancio non si sposta né ruota, in questo scenario. d. che le rette di bilancio traslano in parallelo avvicinandosi all origine con l aumento del reddito, ma non tanto quanto avverrebbe se il reddito fosse rimasto costante. Esercizio 1 (Vincolo di bilancio) Antonio acquista 5 nuovi libri di testo durante il suo primo anno di università, al prezzo di 80 euro ciascuno. I testi usati costano solo 50 euro. Quando la libreria annuncia che imporrà un aumento del 10% del prezzo dei nuovi libri e del 5% di quello dei testi usati, il padre di Antonio offre lui 40 euro extra. 1) Cosa accade al vincolo di bilancio di Antonio? Illustrate il cambiamento rappresentando i nuovi libri sull asse verticale; Svolgimento Nel primo anno Antonio spende 80 euro per ognuno dei 5 libri che acquista per un totale di 400 euro. Per lo stesso ammontare di denaro avrebbe potuto acquistare 8 libri usati. Il suo vincolo di bilancio è rappresentato, quindi, da una retta negativamente inclinata con intercette in corrispondenza dei punti 8 (asse orizzontale su cui è rappresentata la scelta dell'usato e quindi il nuovo corrisponde a 0) e 5 (asse verticale che rappresenta i libri nuovi acquistati in corrispondenza dell'usato pari a 0). La funzione che descrive il vincolo di bilancio sarà 80N+50U=400 dove N e U indicano i libri nuovi ed usati. A seguito del cambiamento i nuovi libri costano 88 euro mentre quelli usati 52,5 euro e Antonio ha un reddito di 440 euro. Se dovesse decidere di spendere tutto il suo reddito potrebbe allora

3 comprare 5 libri nuovi o 8,4 libri usati. Il nuovo vincolo di bilancio è rappresentato da una nuova retta (tratteggiata) la cui funzione è 88N+52,5U=440. La retta ha ruotato rispetto il punto 5 ed è adesso meno inclinata che in precedenza. Esercizio 2 (Vincolo di bilancio) Sabrina ha uno stipendio di euro al mese, che spende totalmente in cene (il cui prezzo medio è di 50 euro) e scarpe (il cui prezzo medio è pari a 100 euro). 1) Scrivere e rappresentare il vincolo di bilancio di Sabrina; 2) Sabrina si fidanza e, siccome il suo reddito è più alto di quello del suo fidanzato, deve pagare per tutti e due. Il costo medio di una cena diviene 100 euro. Cosa accade al vincolo di bilancio? 3) La casa preferita da Sabrina presenta la collezione primavera-estate, con un nuovo modello il cui prezzo è pari a 200. Sabrina decide di comprare il nuovo modello. Cosa accade al vincolo? 4) Sabrina ottiene un aumento di stipendio. Il suo reddito mensile passa a 1200 euro. Come si sposta il vincolo? Svolgimento Punto (1) Per scrivere il vincolo di bilancio è necessario individuare prezzi dei beni e reddito a disposizione. I prezzi sono mentre il reddito è R=1000. L equazione del vincolo di bilancio sarà allora Ricordando che per rappresentare il vincolo è sufficiente conoscere due punti sugli assi e che questi saranno ricavati, partendo dalla funzione di vdb, avremo (R/Ps)= 10 sull'asse verticale e (R/Pc)= 20 su quello orizzontale. La pendenza del vincolo pari a (Pc/Ps)=-1/2. Graficamente:

4 Punto (2) Il prezzo delle cene è raddoppiato. Il vincolo di bilancio allora diverrà La variazione del prezzo ha quindi determinato un aumento dell inclinazione della retta (in valore assoluto). Il vincolo di bilancio ruota dunque in senso orario facendo perno sull intercetta verticale (dato che non varia la quantità massima di scarpe che Sabrina può permettersi). Punto (3) In questo caso a variare è il prezzo delle scarpe. Il vincolo di bilancio allora diverrà: La variazione del prezzo ha quindi determinato una riduzione dell inclinazione della retta (in valore assoluto). Il vincolo di bilancio ruota dunque adesso in senso antiorario facendo perno sull intercetta orizzontale (dato che non varia la quantità massima di cene che Sabrina può permettersi). Punto (4) In questo caso il vincolo di bilancio che sarà L aumento non ha determinato una riduzione dell inclinazione della retta, ovvero ancora una volta non è mutato il costo opportunità dei due beni. Il vincolo si sposta questa volta parallelamente a se stesso verso destra ad indicare un aumento delle possibilità di consumo di Sabrina.

5 Esercizio 3 La funzione di utilità di un consumatore è U(x 1 ;x 2 ) = x 1 2 x 2. Quale è il saggio marginale di sostituzione? Il prezzo del bene 1 è p 1 =1, il prezzo del bene 2 è p 2 = 3 ed il reddito del consumatore è R = 180. Determinare il paniere ottimo per il consumatore. Svolgimento Il saggio marginale di sostituzione di una funzione Cobb-Douglas è sempre pari a. Nel punto di ottimo il paniere scelto dal consumatore si trova sulla curva di indifferenza più alta raggiungibile con il suo vincolo di bilancio (vdb): in altri termini, nel punto di ottimo il vdb del consumatore è tangente ad una delle curve della sua mappa di indifferenza. Poiché le due curve sono tangenti, in quel punto dovranno essere caratterizzate dalla stessa pendenza. La pendenza di una curva di indifferenza è espressa da SMS = -(dx 2 /dx 1 ), ossia dal rapporto fra le utilità marginali, mentre la pendenza del vdb è espressa dal rapporto fra i prezzi dei due beni (-p 1 /p 2 ). Nel nostro caso specifico avremo il vincolo di bilancio: p 1 x 1 +p 2 x 2 =R ossia x 1 +3x 2 =180, da cui un valore assoluto per la pendenza pari a (p 1 /p 2 ) = 1/3 mentre, come indicato prima, SMS= -(dx 2 /dx 1 )= 2x 2 /x 1. Nel punto di ottimo deve, quindi, essere verificata la relazione di uguaglianza tra pendenza della curva di indifferenza e pendenza del vdb. Nel punto di ottimo del consumatore, quindi, il consumo del bene 1 sarà sei volte più grande del consumo del bene 2. Inoltre, il paniere di consumo ottimale deve essere un paniere ammissibile per il consumatore, ossia deve trovarsi sul suo vdb. Perciò deve valere: Il paniere ottimale di consumo è (x 1 *,x 2 *)=(120,20).

6 In corrispondenza di questo paniere il consumatore ha l utilità massima che può raggiungere con il suo vdb, corrispondente a u*=u(x 1 *,x 2 *)=x 1 * 2 x 2 *= = Esercizio 4 (beni sostituti perfetti) Emiliano ha un saggio marginale di sostituzione per la pizza ed il gelato pari a -2. Il prezzo di una pizza è 8, il prezzo di un gelato è 3 e il reddito settimanale di Emiliano è 40. Determinare il punto di scelta ottima di Emiliano. Svolgimento Il saggio marginale di sostituzione di Emiliano fra pizza e gelato è costante: i due beni sono, perciò, perfetti sostituti e la mappa di indifferenza è costituita da rette inclinate negativamente. Si ipotizzi che la generica funzione di utilità che descrive la mappa di indifferenza abbia equazione con a e b costanti positive e non note. La funzione che descrive il saggio marginale di sostituzione sarà: SMS p,g= (Dxg/Dxp)= -(a/b) = -2, da cui si può ipotizzare che a=2 e b=1. Questo ci permette di ottenere la seguente funzione di utilità: Fra tutte le diverse curve di indifferenza appartenenti alla mappa descritta, Emiliano sceglierà quella che è più facilmente raggiungibile dato il suo reddito. Il suo vincolo di bilancio è descritto dalla relazione rappresentata dalla retta rossa Come si può notare dalla figura in questo caso non esiste un punto di tangenza fra vincolo di bilancio e mappa di indifferenza che possa aiutare nella determinazione del punto di consumo ottimale: il vincolo di bilancio e le curve di indifferenza, infatti, sono rette con inclinazione differente e, quindi, mai tangenti fra loro. Il vincolo di bilancio interseca diverse curve di indifferenza, ma la più alta (cioè quella ad utilità maggiore) viene raggiunta quando Emiliano consuma solo gelato: in questo caso tutto il reddito di Emiliano sarà allocato sull acquisto del gelato e si avrà

7 In corrispondenza di questo punto di consumo, l utilità di Emiliano sarà In generale per i beni perfetti sostituti sia le curve di indifferenza, sia il vincolo di bilancio del consumatore sono rette inclinate negativamente. Sono, quindi, possibili tre differenti casi: 1. il vincolo di bilancio ha pendenza maggiore della mappa di indifferenza. In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore si raggiunge nel punto di intersezione fra il vincolo di bilancio e l asse verticale: in altri termini, il consumatore sceglierà di consumare solamente il bene 2 (asse verticale). 2. il vincolo di bilancio ha pendenza minore della mappa di indifferenza In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore si raggiunge nel punto di intersezione fra il vincolo di bilancio e l asse orizzontale: in altri termini, il consumatore sceglierà di consumare solamente il bene 1 (asse orizzontale). 3. Il vincolo di bilancio è parallelo alla mappa di indifferenza

8 In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore coincide con il vincolo di bilancio: in altri termini, tutti i panieri sul vincolo di bilancio avranno la stessa utilità e saranno ottimi per il consumatore. Nel nostro caso, partendo da VDB ed esprimendo il vincolo in funzione del bene che si trova sull'asse verticale otteniamo: La pendenza del vincolo di bilancio è, quindi, pari a -3/8, mentre quella della mappa di indifferenza è pari a -1/2: si tratta, quindi, del caso in cui la pendenza del vincolo di bilancio è minore di quella della mappa di indifferenza. Come già visto il punto di ottimo del consumatore corrisponde, perciò, al punto di intersezione del vincolo di bilancio con l asse orizzontale: Da cui il punto di ottimo: In corrispondenza del punto di ottimo l utilità del consumatore vale: Esercizio 5 (beni complementi perfetti) (NB: Esercizio difficile) La funzione di utilità di un consumatore è u(x, y) = min{x, y 2 } a) Determinare l utilità del consumatore in corrispondenza dei panieri (x,y)=(4,3), (x,y)=(4,2) e (x,y)=(5,2); b) Determinare l equazione del vincolo di bilancio del consumatore nel caso in cui si abbia px=1, py=2 e R=8; c) Si supponga che px=10, py=15 e che il consumatore acquisti 100 unità del bene x. Qual è il reddito del consumatore? Svolgimento

9 a) I valori di utilità corrispondenti ai panieri dati sono: u(4;3) = min {x, y 2 }= {4, 3 2 }= {4, 9 }= 4 u(4;2) = min {x, y 2 }= {4, 2 2 }= {4, 4 }= 4 u(5;2) = min {x, y 2 }= {5, 2 2 }= {5, 4 }= 4 I panieri dati si trovano, perciò, sulla stessa curva di indifferenza del consumatore. In particolare, le curve di indifferenza sono quelle relative ai beni perfetti complementi, rappresentate tramite spezzate a L. b) Se il consumatore acquista x unità del primo bene spende px*x, mentre se acquista y unità del secondo bene spende py*y. La spesa complessiva del consumatore non può eccedere il suo reddito R. L insieme di bilancio del consumatore è quindi px*x+py*y R. Il vdb del consumatore rappresenta la frontiera del suo insieme di bilancio. Si ha quindi un vdb: px*x+py*y=r da cui x+2y=8. c) Per beni perfetti complementi il punto di consumo è sempre un punto d angolo delle curve della mappa di indifferenza: pertanto, se il consumatore acquista 100 unità del bene x si avrà anche un consumo di y là dove x=y 2 ossia y 2 100, ossia di y=10 (si ricorda che l altra soluzione possibile y=-10 non è accettabile). Dato il livello dei prezzi dei due beni la spesa complessiva sostenuta dal consumatore per i suoi acquisti sarà p x x+p y y=10*100+15*10=1.150 Poiché il paniere scelto dal consumatore deve essere il suo paniere ottimo esso deve rappresentare il punto d angolo della curva di indifferenza più alta che il consumatore può raggiungere dato il suo reddito: in altri termini, il punto di consumo deve trovarsi sul vdb. La conseguenza è che la spesa sostenuta dal consumatore per l acquisto deve coincidere con il suo reddito, perciò R= Esercizio 6 Un consumatore ha a disposizione un reddito pari a R = 320 e le sue preferenze sono descritte dalla funzione di utilità U(x, y) = xy. Le utilità marginali dei due beni sono e. a) Determinare l equazione delle curve di indifferenza b) Determinare il paniere di consumo ottimale in corrispondenza dei prezzi px = 2 e py = 5. c) Si supponga che il prezzo py diminuisca, così che ora p' y = y4. Soluzione a) La curva di indifferenza rappresenta l insieme delle combinazioni di x e y che danno al consumatore lo stesso livello di utilità u. Essendo la funzione di utilità in oggetto U(x, y) = xy possiamo determinare l equazione della generica curva di indifferenza in questo modo: b) Per determinare l ottimo del consumatore occorre risolvere il sistema all interno del quale sono presenti la condizione di ottimo del consumatore e il vdb. La condizione di ottimo, determinata dall'uguaglianza tra SMS (=y/x) e pendenza del VDB (=2/5). Il sistema a due equazioni e due incognite è:

10 Dalla prima equazione otteniamo y=(2/5)x che sostituita all'interno del vdb ci permette di ottenere le grandezza di equilibrio. Quindi il paniere ottimo del consumatore è dato da (80,32). c) Se il prezzo del bene y passa da 5 a 4, il nuovo ottimo del consumatore si ricava dalla soluzione del sistema da cui procedendo come nel punto precedente si ottengono i punti (80; 40).