RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI FISICA

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1 RISOUZIONE DI PROBEMI DI FISICA Problema 1 Una massa puntiforme m = 2 kg è soggetta ad una forza centrale con associata energia potenziale radiale U( r) 6 A =, dove A = 2 J m 6. Il momento angolare della massa è noto e r pari a = 2 kg m 2 s -1. Stabilire se esiste una coordinata radiale di equilibrio per questa situazione ed, in caso affermativo, calcolarne il valore. Descrivere qualitativamente i possibili tipi di orbite della particella quando essa possiede energia totale negativa oppure positiva, facendo ampio uso di appropriati grafici dell energia. Risoluzione Dato che la forza, a cui la massa è soggetta, è centrale è più convenente studiare il sistema in coordinate polari r, θ e φ. In questa situazione la forza viene a dipendere unicamente dalla coordinata radiale r e dunque F = F r u dove u r rappresenta il versore radiale. Andando a calcolare il momento di forza si ottiene ( ) r d τ = r F = = 0. dt Pagina 1

2 Il vettore momento di forza risulta essere uguale a zero in quanto il raggio vettore e la forza sono paralleli da ciò si conclude che il loro prodotto vettoriale è nullo. Questo implica che la variazione del momento angolare nel tempo è nulla e che dunque è costante. Da ciò si deduce che la direzione di è costante e dunque il moto avviene su un piano a φ assegnato: φ = φ(t) = φ 0. Inoltre si ottiene che date le condizioni iniziali è assegnato: = r mv 0 0 dove r 0 e v 0 sono il vettore posizione e velocità iniziali. Poiché è stato dimostrato che il moto è bidimensionale, si analizza il moto del corpo in due direzioni r e θ. a velocità del corpo è rappresentata da un vettore con queste coordinate: dr dθ v= ( vr, vθ,0) =, r,0 dt dt È possibile, a tale proposito, vedere qual è la forma generale che assume il momento angolare π 2 dθ = = r mv = r m( vr + vθ ) = r mvr + r mvθ = r mvθ = r mvθ sin = r mvθ = r m 2 dt Invertendo la relazione precedente si ottiene (1): v θ dθ = = dt 2 r m Un campo di forze centrali è altresì conservativo, per cui l energia meccanica H della particella, data dalla somma dell energia cinetica E e dell energia potenziale U( r ) H = E+ U( r) rimane costante nel tempo. Il suo valore è determinato dalle condizioni iniziali e vale 1 2 H = mv + U r 2 ( ) 0 0 Pagina 2

3 In una posizione generica e con velocità generica l espressione per l energia assume la seguente espressione dr dθ H = mv + U r = m vr + vθ + U r = m + r + U r dt dt ( ) ( ) ( ) ( ) Sostituendo nella precedente equazione la (1) si ricava 2 2 dr 2 ( ) 1 H = m + + U r 2 dt 2mr Il termine tra parentesi quadra viene chiamato potenziale efficace e come si può osservare dipende unicamente dalla coordinata radiale. Il primo termine invece della parentesi quadra viene chiamato potenziale centrifugo. Nel caso in esame il potenziale efficace assume la seguente espressione U eff ( r) 2 A 1 2 = = mr r 2r r Per valutare se esiste una coordinata radiale di equilibrio basta porre la derivata prima del potenziale efficace uguale a zero e trovare per quali valori si ha l equilibrio. Pagina 3

4 ( r) dueff = = + = dr r r r r e soluzioni sono: r =, questa rappresenta la soluzione in cui il corpo non è soggetto più a nessun potenziale e dunque è libero di mantenere il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme; r = ( 12) 1 4 = 1,86 m, che, poiché l andamento del potenziale efficace è rappresentato dal grafico precedente, rappresenta un punto di equilibrio instabile. Per descrivere le possibili orbite è opportuno utilizzare il grafico già visto. In un tale grafico l energia meccanica totale essendo costante per qualsiasi valore della coordinata radiale sarà rappresentata da una retta orizzontale. a figura sopra mostra che per valori dell energia meccanica totale maggiori di zero si hanno delle orbite chiuse. Infatti la particella può stare in una regione definita da due coordinate radiali che si ricavano dall intersezione della curva del potenziale efficace con quella dell energia totale. Pagina 4

5 Invece la figura sopra mostra il caso in cui l energia totale meccanica è negativa. In questa situazione si hanno orbite aperte in cui la particella proviene dall infinito, raggiunge la minima distanza dal centro del campo e poi ritorna all infinito. In entrambi i casi esaminati non è possibile calcolare in maniera analitica le traiettorie. Pagina 5

6 Problema 2 Una barretta di rame viene posta in contatto termico perfetto con due serbatoi ideali alle temperature T H = 100 C e T = 20 C. dopo un certo intervallo di tempo si riesce a stabilire che l entropia dell universo è aumentata di 3 J/K in seguito al passaggio di calore operato fra i due serbatoi tramite la barretta metallica. Calcolare, in corrispondenza di questo intervallo temporale, quanta energia è stata fatta fluire fra i due serbatoi. Calcolare inoltre la variazione di entropia della sbarretta. Risoluzione Il sistema come si presenta può essere considerato come una macchina termica che non compie lavoro. entropia dell universo è data dalla somma di tre componenti: la variazione di entropia del serbatoio a temperatura maggiore, quella del serbatoio a temperatura inferiore e della barretta SUNIV = SH + S + Sbar Considerando di essere in una situazione di regime in cui la barretta presenta un gradiente di temperatura compreso tra le temperature dei due serbatoi e dunque con un flusso di calore continuo tra gli stessi, è possibile affermare che l entropia della barretta metallica è pari a zero S bar = 0 Con tale assunto otteniamo per la variazione di entropia dell universo la seguente formulazione (1): SUNIV = SH + S Il calcolo della variazione di entropia dei due serbatoi risulta, in formule, alquanto semplice. È opportuno notare che essendo i serbatoi ideali vi sarà un flusso di calore costante tra i due. Tale flusso è negativo per il serbatoio a temperatura maggiore in quanto il calore esce, mentre è positivo per l altro serbatoio in quanto il calore entra (per la convenzione generalmente adottata sui segni) e dunque si avrà Pagina 6

7 Q SH = T Q S = T H Inserendo tali formule nella (1) si ottiene la seguente formula che lega l entropia dell universo con il calore scambiato dai due serbatoi: Q Q S = UNIV T + T H Con semplici operazioni matematiche è possibile ottenere l espressione per il calore scambiato: Q = S UNIV TT H T T H Numericamente si ottiene due serbatoi. Q= 4098,3 J, che rappresenta anche il flusso di energia scambiato tra i Pagina 7

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