Le antenne irradiano campi elettromagnetici nella forma di onde sferiche che si propagano in direzione radiale a partire dalla sorgente.

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1 Diffazione di Onde Sfeiche Le antenne iadiano campi elettomagnetici nella foma di onde sfeiche che si popagano in diezione adiale a patie dalla sogente. I campi in possimità di un paticolae aggio sono simili ai campi di onda piana, quindi, quando un aggio inconta uno spigolo, esso genea campi diffatti che, vicino allo spigolo, sono simili a quelli geneati da una onda piana incidente. Quando una antenna illumina uno spigolo posto ad una ceta distanza dall antenna, il campo totale saà la somma di una componente di ottica geometica (GO), che include l onda incidente e quella iflessa, e di una componente diffatta geneata dallo spigolo.

2 Diffazione di Onde Sfeiche

3 Diffazione di Onde Sfeiche In geneale pe il campo totale si può scivee: E TOT E GO E D E questa elazione vale qualunque sia il tipo di onde consideate (sfeiche, piane, cilindiche). Nella pecedente, il campo di ottica geometica è composto dalla onda sfeiche incidente e dall onda sfeica iflessa, che è ancoa sfeica e può essee ottenuta dalla sogente immagine, come nel caso di iflessione dal suolo. Ovviamente è inteso che le vaie onde sfeiche esistono solamente all inteno delle coispondenti egioni illuminate.

4 Diffazione pe aggi incidenti sullo spigolo con angoli possimi a 9 Il campo diffatto geneato da una onda sfeica incidente può essee ottenuto consideando due aggi vicini di lunghezza cica uguale ( èla distanza fa antenna e spigolo) che incidono sullo spigolo. Ogni aggio genea aggi diffatti che giacciono su coni posti attono allo spigolo.

5 Diffazione pe aggi incidenti sullo spigolo con angoli possimi a 9 In possimità dello spigolo, dove la distanza adiale è piccola ispetto ad, il campo diffatto saà lo stesso di quello podotto da una onda piana incidente. L ampiezza del fasoe del campo dell onda cilindica diffatta saà: jk e j / 4 E D, E, e D( ) e jk pe <<. I temini nella pima paentesi appesentano il campo incidente sullo spigolo, mente la seconda paentesi contiene il temine di onda cilindica che si popaga dallo spigolo.

6 Diffazione pe aggi incidenti sullo spigolo con angoli possimi a 9 In possimità dello spigolo, l onda cilindica soddisfa la condizione di consevazione della potenza. Tuttavia, a distanze maggioi dallo spigolo, deve essee consideata la divegenza dei coni di aggi eccitati dai due aggi incidenti affinché la potenza in un tubo di aggi si consevi. La divegenza può essee tenuta in conto consideando la vaiazione che subisce la sezione di un piccolo tubo di aggi man mano che esso si popaga allontanandosi dallo spigolo. Pe valutae tale vaiazione di sezione in maniea semplice, supponiamo che i due aggi incidenti povenienti dall antenna siano all incica pependicolai allo spigolo, così da pote assumee.

7 Diffazione pe aggi incidenti sullo spigolo con angoli possimi a 9 Consideiamo un piccolo tubo di aggi diffatti definito da due aggi diffatti con due angoli di diffazione leggemente divesi, e +, che saanno associati appunto a due coni di aggi diffatti con angolo inteno pai ispettivamente a e +. I aggi supeioi di ogni cono sembano divegee da un punto posto a distanza dieto lo spigolo, e così pue la coppia infeioe di aggi. Quindi la piccola aea A delimitata da questi 4 aggi, a distanza dallo spigolo si espandeà divenendo pai a A.

8 Diffazione pe aggi incidenti sullo spigolo con angoli possimi a 9

9 Diffazione pe aggi incidenti sullo spigolo con angoli possimi a 9 La consevazione della potenza in questo piccolo tubo di aggi ichiede che i campi vaino invesamente alla adice quadata dell aea del tubo stesso. Quindi, popagandosi dalla distanza dallo spigolo fino alla distanza dallo spigolo, il modulo del campo deve essee moltiplicato pe il fattoe: A A /: speading veticale dei aggi /( +): speading sul piano paallelo allo spigolo.

10 Diffazione pe aggi incidenti sullo spigolo con angoli possimi a 9 Tenendo conto anche del cambio di fase aggiuntivo che subisce il campo popagandosi da una distanza ad una distanza dallo spigolo, il campo diffatto è pai a: E D E, j / 4, e D( ) e jk Il podotto * a denominatoe può essee pensato come dovuto allo speading dei aggi nel piano veticale man mano che si allontanano dallo spigolo. La somma + è invece dovuta allo speading dei aggi nella diezione paallela allo spigolo.

11 Diffazione pe aggi incidenti sullo spigolo con angoli possimi a 9 I aggi utilizzati pe costuie la espessione del campo diffatto sono detti astigmatici, dato che sembano divegee da punti diffeenti nel piano pependicolae allo spigolo e nel piano paallelo allo spigolo. In possimità dello Shadow Bounday, il coefficiente di diffazione della GTD deve essee moltiplicato dalla funzione di tansizione F(S). Tuttavia, l espessione pe S deve essee modificata pe tenee conto della cuvatua del fonte di fase dell onda incidente (che oa non è piana, ma sfeica) nel piano pependicolae allo spigolo.

12 Diffazione pe aggi incidenti sullo spigolo con angoli possimi a 9 Il isultato di una analisi matematica igoosa fonisce la seguente espessione pe S: S k sin ( / ) Dato che la funzione di tansizione è divesa da 1 solamente nella egione di tansizione, dove è piccolo, si può poe sin(/)/ ottenendo la stessa dipendenza da.

13 Diffazione pe aggi obliqui allo spigolo I campi diffatti geneati da aggi incidenti sullo spigolo con un angolo /- possono essee ottenuti sostituendo k con k*cos nelle espessioni del coefficiente di diffazione e della funzione di tansizione valide pe l incidenza otogonale. Pe una onda sfeica incidente su uno spigolo, il appoto di aee deve anche esso essee modificato pe tenee conto del fatto che le distanze ed sono misuate obliquamente ispetto allo spigolo, mente è misuato pependicolamente ad esso. Questa modifica si ottiene moltiplicando ed pe cos, e tale modifica equivale a dividee il appoto fa le aee pe cos.

14 Diffazione pe aggi obliqui allo spigolo Pe condizioni a contono di conduttoe, la polaizzazione dell onda incidente deve essee decomposta in due polaizzazioni otogonali, una col campo elettico otogonale allo spigolo e l alta col campo magnetico otogonale allo spigolo. Pe diedi o schemi con facce assobenti, ad entambe le polaizzazioni dell onda incidente si applica lo stesso coefficiente di diffazione.

15 Diffazione pe aggi obliqui allo spigolo Il campo diffatto pe incidenza obliqua è espesso dalla: e D e E E jk j D 4 / cos ) (,, Rispetto al caso di incidenza otogonale si deve solamente tenee conto del temine cos in k e nel appoto di aee. Il coefficiente di diffazione D() è dato dalla fomula appopiata pe incidenza nomale ( =). ed sono misuate lungo il cammino dei aggi, ma l angolo èancoa misuato in un piano pependicolae al bodo. I campi diffatti dovuti ad una onda piana incidente possono essee ottenuti dalla pecedente semplicemente pendendo >>, e ponendo:, e E A jk

16 Diffazione pe aggi obliqui allo spigolo Esempio di diffazione di aggi obliqui: f=1.8ghz h RBS =1m h m =m =actan(6/)=16.7 =5 D(, ').987 /.641 k =9 -actan(35./8) =1.87 Antenna RBS polaizzata veticalmente campo magnetico paallelo al suolo e quindi pependicolae allo spigolo dell edificio. L edificio è un conduttoe E =-1

17 Diffazione pe aggi obliqui allo spigolo Esempio di diffazione di aggi obliqui: 6 1.4m / cos 1 / cos 14. 5m Antenna isotopica: f(, )=1 E D E E V / m L altezza y del punto di diffazione sullo spigolo è data da: y h 1 tan 5. 3m

18 Diffazione pe aggi obliqui allo spigolo Si vede dall esempio fatto che il cos è possimo ad 1, quindi l obliquità ha solo un piccolo effetto sul campo. Quando le diffeenze in altezza fa le antenne sono piccole ispetto alla loo distanza oizzontale, come in questo esempio, la diffazione dagli edifici può essee appossimata come se avvenisse sul piano oizzontale (ossia pe incidenza otogonale). Nella egione di tansizione il campo deve essee moltiplicato pe la funzione di tansizione F(S), con S data dalla elazione: S k cos sin ( / )

19 Diffazione pe aggi obliqui allo spigolo La laghezza della egione di tansizione è data dalla condizione: S= Quando l angolo tende a 9, nella espessione di S il cos decesce a zeo, e ciò ichiede valoi maggioi di pe aggiungee la condizione S=. Come condizione limite, se il aggio incidente aiva a sfioae di stiscio lo spigolo (glancing incidence), le espessioni fonite dalla UTD pe il campo diffatto devono essee usate pe tutti gli angoli (in alti temini, la egione di tansizione occupeebbe TUTTO LO SPAZIO)

20 Path Gain pe applicazioni wieless Nelle egioni di spazio illuminate dai campi di ottica geometica, i campi diffatti assumono valoi significativi solamente in possimità dello Shadow Bounday. Esattamente in coispondenza dello Shadow Bounday il campo diffatto si sottae al campo di ottica geometica, ed il campo totale è la metà del campo di ottica geometica. Tascuae il campo diffatto sullo Shadow Bounday causa petanto un eoe di 6dB. Tuttavia, nella egione illuminata fuoi dalla egione di tansizione, tascuae i campi diffatti povoca solo un piccolo eoe nel calcolo dell attenuazione di tatta (path loss).

21 Path Gain pe applicazioni wieless Nelle egioni in omba, invece, il campo diffatto fonisce l unico contibuto al campo totale, e il guadagno di tatta (path gain), che è il appoto fa la potenza icevuta e quella tasmessa, può essee calcolato (pe antenne isotopiche, pe le quali f(, )=1 ): PG D( ) 4 cos 1 Il temine appesenta la dipendenza dalla fequenza dell antenna isotopica icevente. Il path gain ha una ulteioe dipendenza dalla fequenza dato che D() è popozionale a.

22 Path Gain pe applicazioni wieless Nell esempio pecedente, =1/6m, e pe un utente con antenna isotopica il path gain è /(4 ) 11.7dB Pe avee una idea dell effetto della diffazione sul path gain, detto PG il path gain fa antenne isotopiche sepaate dalla stessa distanza totale + in spazio libeo (senza quindi effetti di diffazione), l effetto della diffazione con incidenza secondo un angolo è data dalla: D( ) 1 PG 4 cos D( ) PG 1 cos 4

23 Path Gain pe applicazioni wieless Esempio: Segnale, tasmesso alla fequenza di 9 MHz da una RBS posta alla stessa altezza di un edificio posto in possimità della RBS, viene diffatto dall edificio. Angolo di diffazione veso il mobile icevente: = 3. Si suppone = (incidenza otogonale) e =. Si ottiene: PG PG D( ) cos 5.8dB

24 Path Gain pe applicazioni wieless Esempio: Il path loss dovuto alla sola diffazione (che si deve aggiungee al path loss di spazio libeo) è 5.8 db. Questo è paagonabile all attenuazione che subisce il aggio dietto fa RBS e mobile quando attavesa le paeti dell edificio se i mui esteni sono di mattoni. Pe antenne poste a bassa quota in mezzo ad edifici alti, i segnali si popagano in basso veso le stade ed attono ai lati degli edifici. Mente le iflessioni aiutano i segnali a giae attono agli angoli (incoci fa stade) ed a aggiungee le stade pependicolai al loo cammino, la diffazione è il pincipale meccanismo pe illuminae dall alto veso il basso le stade (popagazione dai tetti degli edifici veso le stade in basso) ed è causa di attenuazioni elevate.

25 Diffazione da spigoli multipli Se il campo diffatto geneato da uno spigolo incide su un secondo spigolo, esso poduà a sua volta campi diffatti che possono essee ottenuti ipetendo l appoccio che fa uso della teoia dei aggi espesso in pecedenza. Dato che il campo diffatto è stato costuito utilizzando ipotesi su aggi che sono valide fuoi dalla egione di tansizione attono allo Shadow Bounday, utilizzae la teoia di ottica geometica a cascata pe ottenee la diffazione da spigoli multipli è accettabile solamente quando gli spigoli successivi a quello consideato giacciono fuoi dalla egione di tansizione di tale spigolo. Quando tale condizione non è soddisfatta è necessaio consideae effetti aggiuntivi di diffazione.

26 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli paalleli La diffazione da due spigoli paalleli appesenta la situazione di un onda che viaggia sul tetto di un edificio o attono ai lati di un edificio. Pe evitae le complicazioni associate alla polaizzazione dei campi diffatti dal pimo spigolo che incontano il secondo spigolo, suppoemo che i diedi o gli schemi abbiano facce assobenti, nel qual caso si potà utilizzae lo stesso coefficiente di diffazione pe tutte le componenti del campo. Consideiamo una onda sfeica diffatta da due spigoli paalleli con aggi che fomano un angolo pai a /- con gli spigoli.

27 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli paalleli

28 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli paalleli Il campo incidente E in sul secondo spigolo si popaga con lo stesso angolo /- fino al secondo spigolo. In possimità del secondo spigolo dove la distanza adiale è piccola se paagonata ad + 1, i campi sono simili a quelli di una onda cilindica e sono dati da: E D, E inc e j / 4 D ( ) e cos jk cos D () è il coefficiente di diffazione del secondo spigolo. Il fattoe cos deiva dal fatto che il aggio incide obliquamente ispetto al secondo spigolo, e quindi il numeo d onda taveso al bodo è k*cos. L angolo di diffazione è misuato in un piano pependicolae allo spigolo.

29 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli paalleli Nella popagazione lungo il aggio diffatto, la vaiazione di fase è sostituita da e -jk, che include la vaiazione di fase dovuta sia alla componente dello spostamento adiale dallo spigolo e sia alla componente paallela allo spigolo. Nella popagazione dei campi che si allontanano dallo spigolo, la potenza in un tubo di aggi è diffusa su una ampia aea. Affinché la potenza si consevi, il campo deve essee moltiplicato pe la adice quadata del appoto fa le aee A / A. Nel piano veticale i aggi divegenti aivano dallo spigolo, mente nel piano paallelo allo spigolo i aggi divegenti sembano povenie da un punto posto dieto lo spigolo a distanza + 1 dallo spigolo. Quindi il appoto fa le aee è pai a: A A cos 1 1 La distanza pependicolae *cos appesenta lo speading nel piano veticale

30 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli paalleli Tenendo conto della vaiazione di fase lungo il aggio diffatto, il campo diffatto è pai a: E D, E, e j / D1 ( 1 ) D( ) cos e 1 jk 1 1 Che appesenta la soluzione della GTD pe i campi diffatti ed è valida fuoi dalla egione di tansizione. La egione di tansizione si espande al tendee di veso i 9, eallimite essa includeà l inteo dominio in (occupando, in patica, tutto lo spazio). Quindi la pecedente espessione non può essee usata pe valoi di toppo gandi. Il pocedimento pecedentemente esposto può essee ipetuto nel caso di più spigoli, a patto che ogni spigolo giaccia fuoi dalla egione di tansizione dello spigolo pecedente.

31 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli paalleli Il path gain pe una antenna isotopica vale, nel caso di diffazione da due spigoli paalleli: Come esempio di diffazione doppia si considei il caso in cui un lago edificio è inteposto alla comunicazione fa due teminali mobili. D D PG cos ) ( ) ( 4

32 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli paalleli Esempio: Si suppone = (incidenza otogonale), e gli angoli di diffazione in questo caso sono 1 ==-3, mente i cammini sono ==m e 1 =5m. L attenuazione di tatta (path loss) a 9 MHz chesiicavaè55 db maggioe che se le due antenne fosseo poste a 9m di distanza in spazio libeo. Questo incemento di attenuazione può essee paagonato alla attenuazione che si avebbe se la popagazione avvenisse attaveso i mui dell edificio (ossia è uguale a quella che subisce il aggio dietto che collega Tx e Rx e che attavesa i due mui dell edificio lungo il suo cammino). Infatti due mui esteni fatti di mattoni o con isolante in alluminio foniscono cica db di attenuazione.

33 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli paalleli Esempio: Se l edificio è suddiviso da mui inteni spaziati in media 4m l uno dall alto, e se supponiamo che ogni paete intena causi cica 3dB di attenuazione, alloa attaveso l edificio, lungo 5 m, ci saebbeo in media 11 paeti intene; quindi 11 paeti intene più paeti estene foniebbeo una attenuazione supplementae di cica 11*3+=53 db, che è appunto paagonabile a quella di 55 db ottenuta consideando la diffazione dai due bodi del tetto dell edificio. Sebbene i valoi di attenuazione intodotta da una paete siano stati scelti, in qualche modo, abitaiamente, questo esempio mosta che il pecoso di diffazione sopa o attono agli edifici può avee lo stesso path loss o anche un path loss infeioe ispetto ad un pecoso attaveso gli edifici.

34 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli pependicolai Supponiamo che la diffazione avvenga da uno spigolo oizzontale, come il tetto di un edificio, e successivamente attono ad uno spigolo veticale di un edificio. A distanze adiali dal secondo spigolo che sono piccole se paagonate ad 1, i campi diffatti da esso sono cilindici e dati da: E D, E inc e j / 4 D ( ) cos e jk cos Il temine cos è dovuto all incidenza obliqua sul secondo spigolo, a causa della quale il numeo d onda taveso allo spigolo è k*cos. L angolo di diffazione è misuato in un piano pependicolae allo spigolo.

35 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli pependicolai

36 Diffazione da spigoli multipli: Due spigoli pependicolai Nella popagazione lungo il aggio diffatto, la vaiazione di fase è data da e -jk, che include la vaiazione di fase dovuta sia alla componente dello spostamento adiale dallo spigolo e sia alla componente paallela allo spigolo. Il successivo speading del aggio iduce l ampiezza del fattoe: A A 1 1 cos Tenendo conto dello speading del aggio e della vaiazione di fase lungo il aggio, il campo dopo la doppia diffazione vale: e D D e E E jk j D / 1 cos ) ( cos ) (,, A pate la diffeente dipendenza dalle distanze dei aggi, l espessione è molto simile al caso di due spigoli veticali, nel senso che entambe foniscono simili attenuazioni di tatta pe gli stessi angoli di diffazione.