BILANCI MICROSCOPICI DI QUANTITÁ DI MOTO

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1 BIANCI MICROSCOPICI DI QUANTITÁ DI MOTO lineare, per cui il moto del fluido si può immaginare avvenire per strati sovrapposti, cioè per scorrimento di tali strati. FUSSI DI SCORRIMENTO. EGGE DI NEWTON Come già visto in un altra dispensa (Viscosità) le forze di superficie possono essere separate in un contributo dovuto alle forze di pressione (presente ance in condizioni statice) e in un contributo presente solo in condizioni di flusso. a Fig. 1 e l Eq. (1) ci ricordano la definizione di sforzo, cioè di forza per unità di superficie. Consideriamo infatti consideriamo la superficie piana di area differenziale da. Con il vettore df indiciamo la forza ce agisce su questa superficie. Possiamo a questo punto definire il vettore sforzo t come: d t = F (1) da dove df è la forza, ovviamente differenziale, ce agisce sulla superficie infinitesima da. v Figura x F Figura 1 In condizioni statice il vettore t coincide con la forza di pressione, ed è quindi diretto perpendicolarmente alla superficie ed orientato verso l interno del volume di controllo. In questa dispensa verranno presi in considerazione solamente speciali condizioni di flusso dette di scorrimento. Il prototipo di tali flussi è quello scematizzato in Figura. Il fluido è confinato tra due piatti paralleli (in teoria indefiniti) separati tra loro da uno spessore. Al piatto superiore viene applicata una forza F, tangenziale, nella direzione x. Ciò ce si osserva è ce il piatto superiore si mette in movimento con una certa velocità, v. a forza tangenziale applicata al piatto si trasmette al fluido, il quale si muove secondo il profilo di velocità triangolare scematizzato in figura. Assumendo valida la condizione di aderenza, ne consegue ce il fluido aderente al piatto superiore si muove con velocità v mentre quello attaccato al piatto inferiore è fermo. ungo l ntercapedine tra i piatti la velocità varia in maniera Condizioni di flusso di scorrimento si raggiungono ogni qualvolta è possibile individuare nel fluido delle superfici materiali ce si muovano appunto scorrendo le une rispetto alle altre. Alcuni esempi più significativi di condizioni di flusso di scorrimento, con l indicazione delle superfici di scorrimento, sono riportati in Figura 3. Nei flussi cosiddetti planari come quello riportato in Figura 1 e ripetuto in Figura a, le superfici di scorrimento sono dei piani paralleli. Questo è ance il caso dei flussi rotazionali tra due superfici parallele (Figura b). Nei flussi cosiddetti assial-simmetrici lineari, come nel caso del moto in tubi, le superfici di scorrimento sono cilindrice coassiali (simili a quelle ce si anno nell apertura di un cannocciale, Figura c). e stesse superfici cilindrice scorrono, questa volto in modo concentrico, nel caso di moto rotazionale tra cilindri coassiali (Figura d). Tutti i casi esaminati sono riconducibili alla seguente situazione: il flusso avviene in una direzione dello spazio (costante nei flussi traslazionali, come nel caso delle Figg. a e c, variabile nei flussi rotazionali, vedi Figg. b e d), mentre la velocità varia lungo la direzione perpendicolare al flusso. In tutti questi casi il fluido è quindi sottoposto ad uno sforzo tangenziale agente lungo la superficie di scorrimento, parallelo alla direzione del flusso, al quale è associato un gradiente di velocità nella direzione perpendicolare al flusso stesso. Il gradiente di velocità è definito come la variazione locale nello spazio della velocità. Se x è la direzione del flusso e la direzione (perpendicolare ad x) lungo la quale si a variazione di velocità, il gradiente di velocità vale quindi: γ = ()

2 (a) Il simbolo γ viene universalmente utilizzato per indicare il gradiente di scorrimento (o, con un termine inglese altrettanto universalmente utilizzato, sear rate). Si può a questo punto esprimere la legge di Newton per tali condizioni di flusso, come già nella precedente dispensa sulla viscosità.espresso per Più in generale allora, se in un punto il fluido è dotato di una componente di velocità vx lungo una certa direzione x, ed essa varia perpendicolarmente a tale direzione, cioè lungo una direzione, la legge di Newton locale è espressa dalla relazione: σ = μ x = μγ (3) dove σ è lo sforzo tangenziale e μ la viscosità del fluido (b) (c) MOTO RETTIINEO TRA PIATTI PARAEI a scrittura delle equazioni di bilancio microscopico di quantità di moto permettono la determinazione delle condizioni locali di flusso, ad esempio il calcolo del campo di velocità in un fluido nota ce sia la geometria di flusso e le forze applicate. Come già detto nella sezione precedente, in questa dispensa ci si riferirà soltanto ad alcune situazioni semplici, con l obiettivo di mostrare soprattutto la metodologia utilizzata per scrivere e risolvere le equazioni di bilancio microscopice. Per ciarire la logica e l impostazione dell equazione di bilancio di quantità di moto facciamo riferimento proprio al caso più semplice, quello cioè del flusso tra due piatti paralleli, scematizzato nuovamente in Figura. Nel problema, in particolare, è assegnata la velocità del piatto superiore, pari a v, e si riciede il calcolo del campo di velocità tra i due piatti. Il primo passo per la scrittura dell equazione di bilancio della quantità di moto è la scelta del volume di controllo. a fisica del problema ci suggerisce ce le variazioni delle grandezze in gioco (in particolare la velocità) avranno luogo lungo la direzione, piuttosto ce lungo la direzione x del flusso o lungo la direzione z perpendicolare al piano del foglio. Per questo motivo come volume di controllo viene scelto un parallelepipedo differenziale di fluido di area di base pari alla superficie A dei piatti e spessore compreso tra l ordinata e quella +. a traccia del volume di controllo sul piano x- è indicata dal tratteggio in Figura 3. (d) Figura

3 v d σ = (5) Figura 3 Ricordiamo ce il bilancio di quantità di moto, in condizioni stazionarie, a la forma: IN OUT + F = (3) dove i termini in ingresso e uscita si riferiscono alla quantità di moto (convettiva) associata al moto del fluido e F sono tutte le forze agenti sul sistema. Nel caso qui considerato di flussi rettilinei di fluidi incomprimibili, è facile mostrare ce i termini convettivi in ingresso ed uscita sono uguali ed opposti, per cui il bilancio di quantità di moto si riduce ad un semplice bilancio di forze. Nel caso dei piatti paralleli, per il volume di controllo scelto, la proiezione della (3) lungo la direzione del moto fornisce: Aσ Aσ + = (4) dove σ è lo sforzo tangenziale agente sulle superfici inferiore e superiore del volume, di area A pari all area dei piatti. Nello scrivere la (4) si è considerato ce: a forza peso (forza di massa) è diretta verticalmente e non compare quindi nella proiezione orizzontale del bilancio; e pressione sul volumetto è costante e quindi tutti i termini di forze di pressione sommano a zero; unica forza presente è quella dovuta agli sforzi viscosi, legati all attrito di scorrimento tra le superfici piane immediatamente adiacenti (sopra e sotto) il volume di controllo. Dividendo la (4) per e facendo tendere quest ultimo a zero si ottiene: x a (5), bilancio di forze, informa ce lo sforzo lungo la direzione è costante. A questo punto possiamo inserire l equazione di Newton (3) nella (5) ottenendo quindi: μ = (6) a (6) può essere risolta con le due condizioni al contorno: v = per = v = v per = e (7) esprimono il concetto fisico di condizione di aderenza, cioè ce il fluido a ridosso della parete è ad esso aderente e quindi possiede la sua stessa velocità. a (6) è facilmente risolvibile. Utilizzando le condizioni al contorno (7) si ottiene in particolare: v = (8) v Il profilo di velocità è quindi triangolare con valore nullo al piatto inferiore e massimo al piatto superiore. SI noti ce la forma del profilo di velocità è sempre lineare in questi tipo di problema, ma il suo dettaglio dipende ovviamente dalle condizioni al contorno. Più in generale si possono ipotizzare condizioni al contorno del seguente tipo: v = v1 per = v = v per = In questo caso la soluzione della (7) assume la più generica forma: v = v1+ ( v v1) (1) (7) (9)

4 Possiamo distinguere alcuni casi fondamentali: se v1= e v=v ricadiamo nel caso precedente della (8), con il profilo triangolare; se v1 e v anno lo stesso segno (ad esempio positivo) il profilo di velocità a forma trapezoidale, degenerando in un profilo piatto nel caso di v1=v; se v1 e v anno segno opposto (ad esempio v1< e v>) si svilupperà il classico profilo a farfalla, in cui un punto del fluido saraà caratterizzato da velocità nulla. e varie tipologie di profili di velocità sono riassunte nella Fig.4. profilo di velocità e per altezza la profondità W. MOTO SU PIANO INCINATO Nel caso precedente il flusso tra piatti paralleli avviene a causa dell applicazione di una forza sul piatto superiore (vedi Eq. (11)). Nel caso analizzato nel seguito il moto avviene invece a causa della forza di gravità ce porta il fluido a scendere verso il basso. a geometria del moto è scematizzata in Figura 5: liquido scorre su un piano di lungezza e profondità W (perpendicolare al piano del disegno) inclinato di un angolo α rispetto all orizzontale. Il pelo libero del liquido si trova ad una distanza rispetto al piano inclinato. Vogliamo calcolare il profilo di velocità e la portata di fluido. Figura 4 Una volta ricavato il profilo di velocità è possibile ricavare ance tutte le grandezze macroscopice di interesse. Una di queste è la forza necessaria per muovere il piatto superiore. Tale forza è ovviamente data dal prodotto dello sforzo tangenziale per l area del piatto. Il primo è ricavabile applicando la legge di Newton (3) dove per la velocità si usa il risultato dell Eq. (8). Si a quindi: F A A μ Av x = σ = μ = (11) Un altra grandezza rilevante è la portata di fluido ce si muove tra i due piatti. Per calcolarla basta considerare ce la velocità varia con continuità lungo la direzione, quindi la portata va calcolata come somma dei contributi di flusso ciascuno attraversante una sezione differenziale di superficie A. Se W è la profondità dei piatti nella direzione perpendicolare al piano del foglio, si a: Wv Wv Q = vw = = (1) Figura 5 Ance in questo caso riconosciamo ce il moto avviene lungo la direzione x per scorrimento di piani di fluido. Quindi scegliamo ancora una volta come volume di controllo una lamina di area W e spessore compreso tra le ordinate e +. In questo caso la proiezione del bilancio di forze lungo la direzione x deve tenere conto degli sforzi viscosi, ma ance della componente della forza peso lungo la direzione del flusso. Si a quindi: σ W σ W + ρ g sinα W = (13) + ultimo termine della (13) è appunto il contributo della forza peso. Dividendo la (13) per W e facendo tendere a zero si ottiene la seguente equazione differenziale: cioè la portata volumetrica è data dal volume del prisma ce a per base il

5 d σ + ρ g sin α = (14) Sostituendo la legge di Newton (3) nella (14) si a poi: μ + ρg sinα = (15) a (15) va risolta assegnando due condizioni al contorno sulla velocità. a prima è la condizione di aderenza sulla superficie del piano inclinato: v = per = (16) a seconda può essere derivata considerando ce al pelo libero il liquido si trova a contatto con l aria, la cui viscosità è ordini di grandezza più bassa di quella del liquido. Ciò significa ce le forze di attrito al pelo libero sono trascurabili e di conseguenza lo sforzo sulla superficie di interfaccia può considerarsi a tutti i fini pratici nullo, cioè: σ = per = (17) quindi: 3 Wρ gsinα 1 Wρgsinα Q = vw = 1 = μ μ () MOTO IN CONDOTTI Nei due casi precedenti il flusso avviene o per azione di una forza esterna agente su una parete del campo di moto o per effetto della forza di gravità. Una terza, importante di tipologia di flusso è quella ce avviene in un condotto a causa di una differenza di pressione agli estremi. Gli esempi tipici sono quelli del moto in un tubo a sezione circolare e in un condotto a sezione rettangolare. a geometria del tubo a sezione circolare è rappresentata in Figura 6. Il tubo a lungezza e raggio R e il fluido in esso contenuto si muove da sinistra verso destra a causa della differenza di pressione Δp=p-p agli estremi del condotto. P dr σ σ P R a (17) può essere trasformata in una condizione sulla velocità facendo uso della legge di Newton. Ciò fornisce: per = = (18) a (15) può ora essere integrata due volte con il metodo delle variabili separabili. Facendo uso delle condizioni (16) e (18) per determinare le costanti di integrazione si ottiene il profilo di velocità lungo la direzione : ( ) v ρg sinα 1 = 1 μ a (19) mostra ce il profilo di velocità è parabolico con valore nullo alla parete e valore massimo al pelo libero. integrazione della (19) lungo la sezione trasversale al flusso, in perfetta analogia con quanto già fatto nel moto tra piatti paralleli (Eq. (1)). Si ottiene (19) Figura 6 In queste condizioni di flusso le superfici di scorrimento sono dei cilindri concentrici ce si muovono "a cannocciale" uno rispetto all'altro. E' naturale quindi utilizzare un sistema di coordinate cilindrice, r-z, dove z è la direzione del flusso ed r ovviamente quella radiale. Effettuiamo quindi un bilancio di forze su di un volume di controllo anulare, limitato da due cilindri di lungezza (la lungezza totale del condotto), e di raggio rispettivamente pari a r e r+dr (zona tratteggiata in Fig.6). e unice forze agenti sul volume di controllo lungo la direzione assiale sono quelle di pressione, sulle due corone circolari di base, e quelle dovute allo sforzo viscoso, lungo le superfici cilindrice laterali. Il bilancio di forze lungo la direzione z fornisce allora: ( ) πrdr P P + πrσ πrσ + = (1) o r r dr o ance, dividendo per πdr, e facendo tendere dr a zero:

6 ( P P ) d ( r o σ ) r = () dr 'equazione differenziale () può essere integrata, fornendo il profilo di sforzo in direzione tangenziale: σ r C r r 1 = + = (3) Nella (3) la costante di integrazione deve essere per forza nulla, altrimenti si avrebbe uno sforzo infinito (impossibile fisicamente) sull asse del condotto (r=). a (3) ci dice quindi ce lo sforzo varia linearmente lungo il raggio del capillare. Ance in questo caso si procede inserendo la legge di Newton (3) nella (3), ottenendo così: r μ = (4) dr ce integrata con la condizione di aderenza alla parete (v= per r=r) fornisce il classico profilo di velocità parabolico: v r R 1 4μ R = Una successiva integrazione della (6) permette di ricavare la portata volumetrica. In questo caso, vista la simmetria circolare del condotto, la sezione differenziale lungo la quale la velocità è costante coincide ancora una volta con la corona circolare di area πrdr. Si a quindi: R π R Q = vπ rdr = 8 4 μ (5) (6) a (6) è la ben nota legge di Poiseuille. Questa legge coincide ovviamente con quanto già studiato in termini di correlazioni tra fattore di attrito e numero di Renolds nel moto in tubi. Si ricordi infatti ce, per moto laminare, si a: f 16 Re = (7) Con f e Re definiti come: e f Re D = (8) ρv ρvd μ = (9) Sostiuendo le (8) e (9) nella (7), e ponendo D=R e v=q/πr è facile riottenere la (6). a geometria del canale a a sezione rettangolare è riportata a vista in sezione del capillare a sezione rettangolare è riportata in Fig.7. In questo caso il condotto, di lungezza, è caratterizzato da una sezione rettangolare di spessore δ e largezza W. Se la largezza è molto maggiore dello spessore (W>>δ) si può trascurare l effetto delle pareti laterali del condotto. Detto l asse verticale, con origine nel centro del canale, e x l asse nella direzione del flusso, il volume di controllo (tratteggiato in Fig.7) è questa volta un parallelepipedo di base W e altezza. W δ Figura 7 Il bilancio di forze nella direzione del moto è dato quindi da: ( ) W P P + Wσ Wσ + = (3) o Procedendo in maniera analoga al caso di sezione circolare si ottiene l equazione differenziale per lo sforzo:

7 dσ ( P P ) o = (31) a (31), integrata, fornisce: σ = + C1 (3) Introducendo la legge di Newton si a (il cambio di segno non è significativo per la costante di integrazione): = + C1 (33) μ ce integrata fornisce: v= + C1+ C (33) μ e due costanti di integrazione possono essere ricavare imponendo la condizione di aderenza alle due pareti (v= per =±δ), fornendo ance in questo caso un profilo di velocità parabolico: v 1 μ δ = δ (34) condotto a sezione rettangolare di lungezza inclinato di un angolo α rispetto all orizzontale. o scema è identico a quello riportato in Figura 5, con la differenza ce nella parte superiore il fluido non è a contatto con l aria (pelo libero), ma confinato da una parete solida. Il bilancio di forze, tuttavia, a la stessa forma già ottenuta e riportata nell Eq(14): d σ + ρ g sin α = (36) Si noti a questo punto ce la (36) può essere riscritta come: d σ H + g Δ ρ = (37) Dove ΔH è la differenza di quota tra le sezioni di ingresso e di uscita. a (37) e la (31) sono analiticamente identice, con l unica differenza ce alla differenza di pressione viene sostituita la quantità: ρ gδ H = ρgh ρgh (38) 1 Dove H1 e H sono le quote verticali delle due sezioni di ingresso e di uscita. Se ne conclude ce il moto in condotti porta sempre alle stesse espressioni dei profili di velocità e della portata già ricavate in precedenza, quando invece di considerare la differenza dipressione si utilizza in generale la differenza di pressione ridotta: ( p ρgh ) ( p ρgh ) Δ + + (38) 1 1 a portata è infine ottenibile eseguendo il seguente integrale: δ 3 Wδ Q= vw = 3 μ (35) EQUIVAENZA TRA FORZE DI PRESSIONE E FORZA PESO a trattazione riportata nella sezione precedente vale per un condotto orizzontale nel quale sia presente una differenza di pressione nelle sezioni di ingresso e di uscita. Risultati completamente analogi si ottengono quando il flusos è determinato dall azione della gravita. Si consideri ad esempio un

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