DALLA TEORIA DEI CAMPI ELETTROMAGNETICI AL MODELLO DI CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE

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1 Università di Roma La Sapienza Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica DALLA TEORIA DEI CAMPI ELETTROMAGNETICI AL MODELLO DI CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE Seminario interdisciplinare del corso di Teoria dei Circuiti 1 - I modulo Docente: Prof. Raffaele Parisi 1

2 INDICE 1- Descrizione del fenomeno elettromagnetico (grandezze fisiche, parametri e relazioni costitutive, eq. Maxwell) 2- Problema fondamentale dell elettromagnetismo (approccio campistico e circuitale) 3- Ipotesi di costanti concentrate (enunciati e limiti di validità) 4- Conseguenze dell ipotesi di costanti concentrate (suddivisione in regioni tipiche) 5- Modello del circuito a costanti concentrate (caratterizzazione con V ed I, leggi di Kirchhoff, relazioni costitutive) BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE G. MARTINELLI - M. SALERNO: Fondamenti di Elettrotecnica - Vol. I - pp E. DI CLAUDIO: Introduzione alla Teoria dei Circuiti - PP

3 1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico Il fenomeno elettromagnetico è dovuto all esistenza delle cariche elettriche Una struttura spaziale contenente corpi diversi (ambiente eterogeneo) è sede di fenomeni e.m. quando è sollecitata dall esterno Trasformazioni energetiche Per una caratterizzazione quantitativa occorre introdurre: a) Grandezze fisiche appropriate b) Parametri rappresentativi dei corpi c) Relazioni costitutive dei materiali d) Equazioni di Maxwell 3

4 1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...) a) GRANDEZZE FISICHE: E D H CAMPO ELETTRICO [Volt/metro] determinato da una distribuzione di cariche INDUZIONE ELETTRICA [Coulomb/m 2 ] determinato dall interazione di CAMPO MAGNETICO [Amperspira/m] E con un materiale elettrico B J determinato da cariche in movimento INDUZIONE MAGNETICA [Weber/m 2 ] determinato dall interazione di con un materiale magnetico DENSITÀ DI CORRENTE DI CONDUZIONE [Ampere/m 2 ] legata al moto delle cariche H 4

5 1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...) PROPRIETÀ DELLE GRANDEZZE FISICHE Le grandezze fisiche sono tutte di tipo vettoriale Sono descritte da opportuni modelli matematici e possono essere determinate con metodi analitici, sperimentali o numerici 5

6 1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...) b) PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO I MATERIALI: ε COSTANTE DIELETTRICA o PERMETTIVITÀ [Farad/m] µ PERMEABILITÀ MAGNETICA [Henry/m] γ CONDUCIBILITÀ [Ω -1 /m] ρ DENSITÀ SPAZIALE DI CARICA [Coulomb/m 3 ] IPOTESI: Hp 1: ISOTROPIA quantità scalari Hp2: LINEARITÀ, PERMANENZA ed OMOGENEITÀ dallo stato e.m., dal tempo e dal punto. indipendenti COSTANTI SCALARI 6

7 1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...) c) RELAZIONI COSTITUTIVE (CORPI O MATERIALI SEMPLICI): D B = εe= t R1 B= µ H J = γ ( E E ) + J 0 0 R2 R3 E 0 J 0 e rappresentano le ECCITAZIONI ESTERNE (trasformazioni energetiche) ρ (densità di carica) può essere considerata SORGENTE INTERNA 7

8 1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...) d) EQUAZIONI DI MAXWELL: B Equazioni indipendenti rot E M1 rot H = t D = + t J M2 B t : densità corrente magnetica di spostamento div div B D = = 0 ρ M3 M4 D t : densità corrente elettrica di spostamento 8

9 1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...) Le equazioni di Maxwell costituiscono il modello matematico fondamentale (di massima sintesi) del fenomeno e.m. Ogni variazione temporale di un campo in un punto presuppone l esistenza, o la variazione temporale, del campo complementare nello stesso punto CHIUSURA ANALITICA DEL PROBLEMA E.M.: E D H B 5 incognite (,,, e ) 5 equazioni J 2 equazioni indipendenti (M1 e M2) 3 relazioni costitutive 9

10 1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...) RICHIAMO SU TEOREMI E RELAZIONI VETTORIALI TEOR. DI STOKES (DEL ROTORE): S c n Sc rot Γ n ds = Γ τ dc c τ d S c Applicato ad M1 ed M2 fornisce: M1 ) M2 ) c E τ dc = Sc B t n ds D H τ dc = t n ds + J n ds c Sc Sc Circuitazioni di E ed H 10

11 1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...) TEOR. DELLA DIVERGENZA: V div Γ dv = Γ n ds SV V d S n Applicato ad M3 ed M4 fornisce: d V S V M3 ) B n ds = 0 SV Flussi di B e D M4 ) SV D n ds = ρdv V DIVERGENZA DEL ROTORE: divrot Γ = 0 Γ 11

12 2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL E.M.: LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE Eccitazioni (cause) E, J, ρ 0 0 SEDE SEDE DEL DEL FENOMENO E.M. E.M. Uscite (effetti) EDHBJ,,,, esterne interna Struttura eterogenea caratterizzata da parametri fisici e geometrici noti Due possibili approcci alla soluzione, distinti ma complementari: 1) Campistico 2) Circuitale 12

13 2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL E.M.: LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE (cont. ) 1) Approccio della teoria dei campi Studio della dinamica del sistema sulla base delle equazioni di Maxwell (considerazione diretta dei parametri introdotti e delle grandezze specifiche di campo). L individuazione delle grandezze fisiche può essere molto complessa. Ipotesi semplificative: Linearità: applicazione del principio sovrapposizione effetti Caso quasi-statico magnetico: Caso quasi-statico elettrico: Caso statico: B t = D t = 0 B t = 0 D t = 0 13

14 2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL E.M.: LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE (cont. ) 2) Approccio della teoria dei circuiti Si impongono limitazioni su: frequenze di lavoro (campi e.m. lentamente variabili) natura dei componenti (presenza in un componente di un solo fenomeno e.m. per volta, tempo-invarianza delle sue caratteristiche, ecc.) 14

15 2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL E.M.: LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE (cont. ) 2) Approccio della teoria dei circuiti (cont. ) Si ottiene una grande semplificazione nella trattazione del problema e.m.: Le grandezze vettoriali ( E, D, H, B, J ) sono sostituite da grandezze scalari (V, I ). Le Equazioni di Maxwell sono sostituite dalle Leggi di Kirchhoff (topologiche) L ambiente eterogeneo, sede del fenomeno e.m., è rappresentato da un circuito: ente astratto privo di dimensioni fisiche e soggetto solo a proprietà topologiche (grafo) 15

16 3- L IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ Tre diverse formulazioni (con conseguenze diverse): 1) Assenza di dimensioni: Le dimensioni geometriche della struttura sede del fenomeno e.m. sono sufficientemente piccole da poter essere trascurate APPROCCIO TOPOLOGICO 2) Velocità infinita: La velocità di propagazione del fenomeno e.m. può considerarsi infinita INDIVIDUAZIONE DI REGIONI TIPICHE (corpi o elementi costitutivi dove è presente un solo fenomeno alla volta) 3) Assenza di ritardi: Il tempo di trasmissione del fenomeno e.m. da un punto all altro della struttura può considerarsi nullo VERIFICA DI VALIDITÀ DELL IPOTESI DI C.C. 16

17 3- L IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua) Limiti di validità (uso enunciato 3): f max t min = L c 1 2 f max : estremo superiore delle bande di frequenza dei campi e.m. presenti, rappresentati nel dominio delle frequenze tramite Fourier (è una quantità nota) : minimo intervallo di tempo apprezzabile (massima rapidità di variazione temporale dei campi e.m. presenti) : dimensione geometrica massima della struttura (nota) : velocità di propagazione del campo e.m. nella struttura (nel vuoto = velocità della luce) t trasm L c : tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto all altro della struttura 17

18 3- L IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua) VERIFICA DELLA VALIDITÀ DELL IPOTESI: t trasm << t min L c << 1 2 f max 2 L c f max << 1 Con la lunghezza d onda: L << λ min Le dimensioni fisiche della struttura sede del fenomeno e.m. devono essere trascurabili rispetto alla lunghezza d onda minima (campo a banda più larga) in gioco. 18

19 3- L IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua) VALIDITÀ IPOTESI C.C. - ESEMPI ES. 1) Amplificatore HI-FI: f max 20kHz ; L 1m ; c m / s 2 L c f max [ ] [ m s 1 ] 2 1[ m] s = <<1 AMPIAMENTE VERIFICATA Oppure: λ 8 1 c 310 [ ms ] min 3 1 2fmax [ s ] = = = 7500 [ m] >> 1 [ m] AMPIAMENTE VERIFICATA 19

20 3- L IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua) ES. 2) Dispositivo a microonde: f max 2GHz ; L 0.1m 2 L c f max [ ] [ ] 2 0.1[ m] s m s >1 NON ACCETTABILE! Oppure: λ min = [ ] [ ] = m m s s 1 [ ]< 0.1 m [ ] NON ACCETTABILE! 20

21 3- L IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua) ES. 3) Rete distribuzione energia elettrica: f max = 50Hz ; L 100Km 2 L c f max [ ] [ ] [ m] 50 s m s < 1 IPOTESI ACCETTABILE λ min = m s 1 [ ] [ ] = 3.000Km >100Km IPOTESI 2 50 s 1 ACCETTABILE In questo caso la validità dell ipotesi non è evidente: per reti di distribuzione di dimensione geografica potrebbe anche non essere verificata 21

22 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE Entro il limite di validità dell ipotesi di costanti concentrate, verificabile tramite l enunciato 3 (assenza di ritardi), si può derivare il modello circuitale a cost. conc. Dall enunciato 1 (assenza di dimensioni): le proprietà del modello si riducono a quelle puramente topologiche Dall enunciato 2 (istantaneità): la struttura eterogenea sede del fenomeno e.m. può essere suddivisa in regioni semplici di pochi tipi. Infatti: Legame tra velocità di propagazione del campo e.m. e materiali presenti (parametri costitutivi, ε, µ): c = 1 ε µ 22

23 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE (continua ) Se l ipotesi è verificata, in confronto a tutte le altre grandezze in gioco si può pensare c e quindi: ε µ 0 Si hanno tre casi, che individuano tre tipologie di regioni semplici: I) ε = µ = 0 II) ε = 0 e µ 0 III) ε 0 e µ = 0 (con cinque sottocasi) 23

24 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) REGIONE I ε = µ = 0 A partire dal vettore di Poynting ( densità volumetriche di energia: 1 2 D E (elettrica) P = E x H ) si definiscono le seguenti 1 2 B H (magnetica) Poiché (dalle prime due relaz. cost.) D = ε E = 0 e B = µ H = 0 si ha (dal punto di vista energetico): 1 2 D E = 1 2 B H = 0 La regione I è priva di energia elettrica e magnetica immagazzinata 24

25 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) Dalle Equazioni di Maxwell: da M4) D = 0 div D = ρ = 0 non c è accumulo di cariche da M2) rot H = J divrot H = div J = 0 J ( è solenoidale ) e perciò (Teo. Divergenza): V div J = J n ds = I = 0 SV Corrente di conduzione entrante = corr. di cond. uscente (è definita univocamente la corrente I in tutta la regione I) 25

26 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) B = 0 : da M1) irrotazionale (ciclico o conservativo) rot E = 0 E e perciò (Teo. Stokes): E τ dc= 0 V = E τ dc c c (differenza di potenziale) In tutta la regione I è univocamente definita la differenza di potenziale V tra due punti 26

27 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) Dalla terza relaz. costitutiva J = γ E E0 derivano ulteriori proprietà che individuano 5 sottoregioni, a seconda della presenza o meno delle eccitazioni e del valore di. + J 0 γ Dal punto di vista energetico, si definisce la densità volumetrica di potenza elettrica: J E (è dovuta alle correnti di conduzione e fornisce una misura dei fenomeni di trasformazione energetica) 27

28 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) IA) VUOTO: E 0 = J0 = 0 γ = 0 (nessuna eccitazione) (conducibilità nulla) J = γ E = 0 e J E = 0 Non passa corrente di conduzione e non c è dissipazione di potenza IB) CONDUTTORE PERFETTO: E 0 = J0 = 0 γ = (conducibilità infinita) J E = γ = 0 e J E = 0 Potenziale costante in ogni punto (regione equipotenziale) e non c è potenza elettrica dissipata 28

29 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) IC) REGIONE RESISTIVA: E 0 = J0 = 0 γ 0 (conducibilità finita) È presente una corrente di conduzione e c è dissipazione di potenza (trasformazione irreversibile di energia elettrica in altra forma: effetto Joule) J = γ E 0 e J E = γ E 2 = 2 J γ 0 ID) GENERATORE INDIPENDENTE DI CORRENTE: E 0 = 0 e J0 0 γ = 0 (finita) J = J0 e J 0 E 0 La regione imprime una corrente I 0 ed è sede di trasformazioni reversibili di energia non elettrica in energia elettrica. (Nota: quando J 0 = 0 si ha il vuoto IA) 29

30 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) IE) GENERATORE INDIPENDENTE DI TENSIONE: E 0 0 γ = (finito) e J 0 = 0 E = E0 e J0 E 0 (Nota: quando E 0 = 0 si ha il conduttore perfetto IB) È impressa una d.d.p. V 0 e c è una trasformazione reversibile di energia 30

31 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) REGIONE II) ε = 0 e µ 0 1 Prime due rel. cost.: D = ε E = 0 e B = µ H 0 2 B H 0 È presente energia magnetica immagazzinata = 0 ρ = 0 J solenoidale Essendo D : da M4) ed M2) e Anche in questo caso: corrente entrante = corrente uscente (corrente I definita univocamente in tutta la regione II) 31

32 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) Essendo : da M1) E risulta quindi non conservativo Non è univoca la d.d.p. V all interno della regione II La regione II (di tipo magnetico) è costituente essenziale degli elementi ideali: B 0 Induttore Induttori mutuamente accoppiati Trasformatore rot E = µ H t 32

33 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) REGIONE III) ε 0 e µ = 0 1 Poiché D e si ha 2 D = ε E 0 B = µ H = 0 E 0 È presente energia elettrica immagazzinata 0 Essendo D : da M4) div D = ρ 0 può esserci accumulo di cariche al suo interno da M2) rot H = D t + J divrot H = div D t + div J = 0 e quindi... 33

34 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) per il teorema di Continuità o Principio di Conservazione delle cariche elettriche: div J = ρ t J non è solenoidale Corrente entrante diversa dalla corrente uscente (occorre tener conto della corrente di spostamento) SV Teo. Divergenza: div J = J n ds = V t V ρdv I = q t 34

35 4 - CONSEGUENZE DELL IPOTESI DI C.C. (continua ) B = 0 rot E = 0 E Essendo, da M1) conservativo È definita in modo univoco la d.d.p. V in tutta la regione III La regione III (di tipo elettrico) è costituente essenziale dell elemento ideale: - Condensatore (Nota: solo nella regione III si può avere accumulo di cariche) NOTE: È da rimarcare il basso numero di elementi semplici ricavati. Casi più complessi (misti) possono essere ottenuti a partire da essi. È inoltre possibile ricavare il circuito magnetico in modo del tutto analogo. 35

36 5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE Verificata l ipotesi di c.c. (enunciato 3) ed individuate le regioni tipiche (enunciato 2), la struttura eterogenea sede del fenomeno e.m. può essere schematizzata tramite corpi elementari semplici che immettono le eccitazioni (regioni I D ed I E ) o in cui avvengono fenomeni di un solo tipo (I C, II, III), connessi tra di loro tramite conduttori perfetti (I B ), il tutto immerso nel vuoto (I A ). Le dimensioni geometriche dei corpi sono trascurabili (enunciato 1). IA IC IB ID IB II IB IB IE IB III 36

37 5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE (continua ) NOTA 1: Lo schema introdotto può apparire non fisico, ma l obiettivo è quello di giustificare il modo pratico (cioè valido operativamente) in cui vengono costruiti i circuiti elettrici, non di studiare e descrivere il comportamento e.m. dei materiali nel modo più generale possibile NOTA 2: La concentrazione dei fenomeni elettromagnetici all interno di singole regioni opportune può essere vista come una condizione di robustezza del modello. [Di Claudio p. 21] 37

38 5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE (continua...) Per la completa formalizzazione del modello circuitale occorre ancora dimostrare che: A - I corpi presenti possono essere caratterizzati da due variabili scalari di interfaccia: tensione V ( grandezza agli estremi ) e corrente I ( grandezza attraverso ) B - V ed I soddisfano le leggi di equilibrio di Kirchhoff (K1 e K2) C - Le V ed I che caratterizzano gli elementi ideali individuati (I C, I D, I E, II e III) sono messe in relazione tramite opportune equazioni costitutive 38

39 5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE (continua...) A - Si ha che: Le regioni di connessione I B (morsetti) sono equipotenziali ( E = 0 ) e non c è accumulo di cariche ( div D = ρ = 0 ). In I A (vuoto) è definita una d.d.p. ( E conservativo) e non si accumulano cariche. Si può parlare in modo univoco di tensione V applicata ad un elemento ideale (I C, I D, I E, II e III) come d.d.p. tra i suoi due morsetti I B. Si può parlare in modo univoco di corrente I che attraversa un elemento ideale. Infatti:... 39

40 5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE (continua...) IA A1 IB III IB n A2 SV Superficie chiusa S V di volume V che racchiude un elemento ideale e attraversa solo il vuoto I A ed i due morsetti I B (non deve passare all interno della regione III) Da M4) e Teo. della Div.: ( D = ε E = 0) div D dv = D n ds = ρdv = q = 0 V V S V (Gauss) Da M2) e Teo. Div.: div rot H = 0 = div J div J dv = J n ds = 0 V SV Poiché in I A risulta la corrente complessiva che passa attraverso S V è nulla., la corrente scorre tutta attraverso le sezioni di I B di area A 1 ed A 2 : corrente entrante = corrente uscente J = 0 40

41 5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE (continua...) B Si ha che: K1 - LEGGE DI EQUILIBRIO DELLE CORRENTI IA I1 IB A1 A2 A3 A4 IB I4 n Superficie chiusa Sv che passa nel vuoto I A e nei morsetti I B (dove J è solenoidale) racchiudendo un numero arbitrario di elementi ideali SV Risulta: divj dv = J n ds = I i = 0 V S V i dove I i è la corrente che passa attraverso la sezione A i 41

42 5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE (continua...) K2 - LEGGE DI EQUILIBRIO DELLE TENSIONI IA C. IB P1 Curva chiusa C (circuitazione) all interno di I A e I B che interessi un numero arbitrario di elementi ideali passando in corrispondenza dei loro morsetti (entrambi). Essendo: ( conservativo) all interno di I A ed I B : E τ dc = V i = 0 i c.. P2 rot E = 0 E. IB dove V i è la d.d.p. tra i due morsetti dell elemento i-mo Es.: V 1 = P 2 P 1 E τ dc 42

43 5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE (continua...) C Si ricava la relazione costitutiva nel caso della regione di tipo resistivo I C (Resistore): LR P1. IC. P2 SR E conservativo tensione rot E = 0 E P V R = E τ 2 dc = E o L TEOREMA R P 1 DELLA MEDIA corrente J = γ E I R = J n ds = γe 1 S TEOREMA R DELLA MEDIA S R 43

44 5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE (continua...) V R I R = E o L R γe 1 S R = R RESISTENZA [Ω] unico parametro caratteristico R = E o E 1 L R γs R = h R rl R S R h R : fattore di forma r = 1 γ : resistività Per campo uniforme si ha h R = 1 R=rL R / S R In pratica h R 1 : il modello è semplice e robusto (bassa criticità realizzativa del resistore) 44

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