3) Enunciare e dimostrare le regole di trasformazione algebriche e analitiche della trasformata di Fourier.

Transcript

1 Lecce, 16/4/2008 1) Calcolare il valor principale del seguente integrale: x + 1 (x 2 + 4)x dx Y (t) 3Y (t) + 2Y (t) = H(t 1) e t t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 1, 3) Enunciare e dimostrare le regole di trasformazione algebriche e analitiche della trasformata di Fourier. 4) Enunciare e dimostrare il Teorema di Cauchy negli aperti stellati.

2 Lecce, 8/4/2008 1) Calcolare il valor principale del seguente integrale: x cos x x 2 + 4x + 5 dx Y (t) + Y (t) = H(t) 2H(t 1) + H(t 2) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 0, 3) Enunciare i tre Teoremi di Jordan. 4) Siano ɛ > 0 e α IR; si consideri u ɛ (x) = ɛα 2 e x /ɛ, x IR Si calcoli il limite in D (IR) per ɛ 0 + di (u ɛ (x)) al variare di α IR.

3 Lecce, 7/2/2008 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale 0 x x dx. Y (t) + Y (t) 2Y (t) = sin 3t H(t) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 0, 3) Enunciare il teorema dei residui. 4) Definire la nozione di funzione sommabile secondo Lebesgue. Dare un esempio di funzione sommabile ed uno di funzione non sommabile.

4 Lecce, 10/1/2008 1) Calcolare il seguente integrale: cos x x 2 + 4x + 5 dx Y (t) + 3Y (t) + 2Y (t) = sin(t π) H(t π) t > 0, Y (0) = 2, Y (0) = 3, 3) Enunciare e dimostrare le principali regole di trasformazione della Trasformata di Fourier. 4) Definire le distribuzoni temperate. Fare degli esempi di distribuzioni temperate e calcolare la trasformata di Fourier di una di esse.

5 Lecce, 18/12/2007 1) Calcolare la trasformata di Fourier della seguente funzione: (1 x ) +. Y (t) 2Y (t) + 5Y (t) = e t H(t 1) t > 0, Y (0) = 1, Y (0) = 0, 3) Enunciare e dimostrare il Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. 4) Definire la trasformata di Fourier in L 2 (IR n ) ed enunciare il Teorema di Plancherel. Dare un esempio di funzione L 2 (IR) che non sia L 1 (IR)

6 Lecce, 5/11/2007 1) Calcolare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: cos x x 2 + 1, 1 x Y (t) 5Y (t) + 6Y (t) = e t H(t) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 0, 3) Enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale dell algebra. 4) Definire le principali classi di distribuzioni.

7 Lecce, 12/9/2007 1) Calcolare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: 1 x 2 + 2x + 2, x x 2 + 2x + 2. Y (t) + Y (t) 6Y (t) = sin t H(t) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 0, 3) Enunciare e dimostrare il Teorema di Cauchy-Riemann. 4) Enunciare le principali proprietà della trasformata di Laplace.

8 Lecce, 12/7/2007 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale improprio 1 (x 2 + 4x + 5)(x 2 + 1) dx. Y (t) + Y (t) 2Y (t) = sin 3t H(t) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 0, 3) Enunciare e dimostrare il Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. 4) Enunciare le principali proprietà della trasformata di Fourier.

9 Lecce, 2/7/2007 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale improprio 1 (x 2 + 4) 2 dx. 0 Y (t) + Y (t) = t H(t) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 2, 3) Enunciare e dimostrare il Teorema di Cauchy sugli aperti stellati. 4) Enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale dell algebra.

10 Lecce, 7/5/2007 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale improprio x sin x x dx. 0 Y (t) + 2Y (t) + 2Y (t) = sin(t π)h(t π) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 1, 3) Enunciare e dimostrare il Teorema di Cauchy-Riemann. 4) Si definiscano gli spazi S(IR) e S (IR) e si diano esempi di elementi di questi spazi.

11 Lecce, 18/4/2007 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale 0 x 2 x dx. 2) Calcolare l antitrasformata di Laplace della seguente funzione f(s) = 3s 2 + 3s + 2 (s 2)(s 2 + 4s + 8). 3) Enunciare i tre Teoremi di Jordan. 4) Si enuncino le principali proprietà della trasformata di Fourier.

12 Lecce, 21/3/2007 1) Data la funzione f(x) = xϕ [ 1,1] (x) stabilire se esiste la sua trasformata di Fourier ed in caso affermativo calcolarla esplicitamente. Y (t) Y (t) 2Y (t) = cos(t π)h(t π) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 1, 3) Dare la definizione di funzione sommabile ed enunciare il Teorema di Lebesgue della convergenza dominata. 4) Definire il residuo di una funzione olomorfa in un punto singolare isolato, presentare almeno un metodo per il calcolo del residuo ed enunciare il Teorema dei residui.

13 Lecce, 5/2/2007 1) Calcolare cos x x 2 + 4x + 5 dx. Y (t) Y (t) 2Y (t) = e t H(t) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 1, 3) Enunciare e dimostrare il teorema di Cauchy. 4) Enunciare il teorema di dipendenza dai parametri nella teoria dell integrale di Lebesgue.

14 Lecce, 10/1/2007 1) Calcolare cos x x dx. Y (t) Y (t) 2Y (t) = th(t) (t 1)H(t 1) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 0, 3) Definire la nozione di derivata di una distribuzione e fare degli esempi significativi. 4) Enunciare le principali proprietà della trasformata di Laplace.

15 Lecce, 13/12/2006 1) Calcolare sin x x 2 + 2x + 2 dx. Y (t) 2Y (t) 3Y (t) = H(t 1) e t t > 0, Y (0) = 1, Y (0) = 1, 3) Enunciare e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. 4) Enunciare le principali proprietà della trasformata di Fourier.

16 Lecce, 6/9/2006 1) Data la funzione f(x) = x e 4x2, si calcoli la sua trasformata di Fourier. Y (t) 2Y (t) 3Y (t) = H(t) e t t > 0, Y (0) = 1, Y (0) = 1, 3) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale dell algebra. 4) Enunciare il teorema di inversione per la trasformata di Fourier.

17 Lecce, 12/7/2006 1) Data la funzione f(x) = x 2 ϕ [ 1,1] (x), si calcoli la sua trasformata di Fourier. Y (t) + Y (t) 2Y (t) = H(t) sin t t > 0, Y (0) = 1, Y (0) = 1, 3) Enunciare e dimostrare il teorema di Cauchy. 4) Dare la definizione di trasformata di Laplace di una funzione e le principali proprietà.

18 1) Data la funzione Prova scritta di Matematica Applicata Lecce, 28/6/2006 f(x) = si calcoli la sua trasformata di Fourier. e ix x 2 6x + 10, Y (t) + Y (t) = H(t) 2H(t 1) + H(t 2) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 0, 3) Enunciare e dimostrare il teorema di Cauchy-Riemann. 4) Teoremi del valore iniziale e del valore finale.

19 1) Data la funzione Prova scritta di Matematica Applicata Lecce, 4/5/2006 f(z) = z + 3 z 3 (z 2 2z 15), si trovino gli zeri e i poli e si determinino tutti i residui. Y (t) + Y (t) 6Y (t) = 40 e 3t H(t) t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 5, 3) Enunciare e dimostrare il teorema di Cauchy-Riemann. 4) Teoremi del valore iniziale e del valore finale.

20 Lecce, 12/4/2006 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale 0 x sin x x dx. Y (t) + 4Y (t) = sin(t π) H(t π) t > 0, Y (0) = 1, Y (0) = 0, 3) Enunciare e dimostrare la formula di Cauchy. 4) Dare la definizione di distribuzione temperata e di trasformata di Fourier di una distribuzione temperata e fare degli esempi.

21 Lecce, 22/3/2006 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale 0 x x dx. 2) Calcolare l anti-trasformata di Laplace della seguente funzione f(s) = 3s 2 + 3s + 2 (s 2)(s 2 + 4s + 8). 3) Enunciare il teorema di dipendenza dai parametri nella teoria dell integrale di Lebesgue. 4) Dare la definizione di trasformata di Laplace di una funzione e le principali proprietà.

22 Lecce, 14/2/2006 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale xe ix (1 + x 2 )(9 + x 2 ) dx. Y (t) + 4Y (t) = sin t H(t) t > 0, Y (0) = 1, Y (0) = 2, 3) Enunciare il teorema dei residui. 4) Dare un esempio di funzione integrabile secondo Lebesgue in [0, 2] ma non secondo Riemann, e un esempio di funzione integrabile secondo Riemann (eventualmente in senso generalizzato) ma non secondo Lebesgue su IR.

23 Lecce, 11/1/2006 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale 1 (1 + x)(2 + x 2 ) dx. Y (t) Y (t) = 2 cos t H(t) t > 0, Y (0) = 2, Y (0) = 1, 3) Definire la nozione di funzione sommabile secondo Lebesgue. Dare un esempio di funzione sommabile ed uno di funzione non sommabile. 4) Enunciare e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe.

24 Lecce, 14/12/2005 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale xe ix (1 + x 2 )(9 + x 2 ) dx. Y (t) + 4Y (t) = sin t H(t), Y (0) = 1, Y (0) = 2. 3) Definire la nozione di distribuzione a supporto compatto. 4) Data f(z) olomorfa z C stabilire se è olomorfa la funzione g(z) = f(z).

25 1) Data la funzione Prova scritta di Matematica Applicata Lecce, 10/11/2005 f(z) = z + 3 z 3 (z 2 2z 15) si trovino i poli e gli zeri di f e si determinino tutti i residui. Si calcoli l integrale: f(z)dz, dove Γ = z; z = 1} percorso una volta in senso antiorario. Γ 2) Data la funzione f(x) = xe x stabilire se esiste la sua trasformata di Fourier ed in caso affermativo calcolarla esplicitamente. 3) Definire la nozione di distribuzione temperata. 4) Definire la nozione di trasformata di Laplace ed enunciarne le principali proprietà.

26 Lecce, 13/9/2005 1) Usando i metodi dell analisi complessa calcolare il seguente integrale: I = 0 1 x dx. 2) Data la funzione f(x) = xϕ [ 1,1] (x) stabilire se esiste la sua trasformata di Fourier ed in caso affermativo calcolarla esplicitamente. 3) Serie di Laurent di una funzione in un punto di singolarità isolata. 4) Definire la nozione di trasformata di Fourier in L 1 (IR n ) ed enunciarne le principali proprietà.

27 Lecce, 19/7/2005 1) Usando i metodi dell analisi complessa calcolare il seguente integrale: I = 0 cos x (x 2 + 1) 2 dx. 2) Data la funzione f(x) = x x ϕ [ 1,1] (x) stabilire se esiste la sua trasformata di Fourier ed in caso affermativo calcolarla esplicitamente. 3) Enunciare e dimostrare il teorema sulla formula integrale di Cauchy negli aperti stellati. 4) Definire la nozione di distribuzione e di derivata di una distribuzione.

28 Lecce, 5/7/2005 1) Usando i metodi dell analisi complessa calcolare il seguente integrale: I = 0 x x dx. 2) Data la funzione f(x) = 1 cos 2x x stabilire se esiste la sua trasformata di Fourier ed in caso affermativo calcolarla esplicitamente. 3) Enunciare e dimostrare il teorema di Cauchy negli aperti stellati. 4) Classificazione delle singolarità isolate di una funzione olomorfa.

29 Lecce, 3/5/2005 1) Usando i metodi dell analisi complessa calcolare il seguente integrale: I = 0 x x dx. 2) Data la funzione f(x) = 1 cos 4x x stabilire se esiste la sua trasformata di Fourier ed in caso affermativo calcolarla esplicitamente. 3) Enunciare e dimostrare il teorema di Cauchy negli aperti stellati. 4) Classificazione delle singolarità isolate di una funzione olomorfa.

30 Lecce, 12/4/2005 1) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale: 0 cos x (x 2 + 4) 2 dx. 2) Risolvere mediante la trasformata di Laplace il seguente problema di Cauchy Y (t) + 4Y (t) + 3Y (t) = F (t) t > 0 Y (0) = 0, Y (0) = 0, dove F denota la funzione definita da 2 per 0 < t < 4 F (t) = 0 altrove. 3) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale dell algebra. 4) Enunciare il teorema di inversione per la trasformata di Fourier in L 1.

31 Lecce, 22/3/2005 1) Risolvere mediante la trasformata di Laplace il seguente problema di Cauchy Y (t) + 4Y (t) = F (t) t > 0 Y (0) = 0, Y (0) = 1, dove F (t) = t(1 t) per 0 < t < 1, F (t) = 0 altrove. 2) Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale: cos x x dx. 3) Enunciare i tre teoremi di Jordan. 4) Definire lo spazio S(IR n ) e calcolare la trasformata di Fourier della funzione u(x) = e ax2 con a > 0, x IR.

32 1) Data la funzione Prova scritta di Matematica Applicata Lecce, 11/1/2005 f(x) = 1 x 2 per x 1 0 per x > 1 stabilire se esiste la sua trasformata di Fourier ed in caso affermativo calcolarla esplicitamente. Precisare se vale il teorema di inversione. 2) Risolvere mediante la trasformata di Laplace il seguente problema di Cauchy Y (t) + 4Y (t) = F (t) t > 0 Y (0) = 1, Y (0) = 0, dove F (t) = t per 0 < t < 1, F (t) = 1 per t 1. 3) Dare la definizione di funzione sommabile ed enunciare il Teorema di Lebesgue della convergenza dominata. 4) Definire il residuo di una funzione olomorfa in un punto singolare isolato, presentare almeno un metodo per il calcolo del residuo ed enunciare il Teorema dei residui.