Giocare con il caso: non insistere è meglio

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1 Giocare con il caso: non insistere è meglio Introduzione elementare ai modelli probabilistici Bruno Betrò CNR - IMATI San Pellegrino, 2/9/2008 p. 1/39

2 La probabilità fa parte della vita quotidiana prendo l ombrello o no? per oggi il meteo prevede probabilità di pioggia del 20% non partecipo perché non ho nessuna probabilità di farcela al 90% la squadra X quest anno vincerà il campionato spero di vincere alla lotteria I fumatori italiani potranno sapere, d ora in poi, quante probabilità hanno di contrarre una bronchite cronica ostruttiva (BPCO) o un tumore al polmone nei prossimi 10 anni della loro vita. (Comunicato stampa Ist. Superiore di Sanità del 31/05/2004: Fumo, presentate all Iss le prime Carte del Rischio Respiratorio italiane) San Pellegrino, 2/9/2008 p. 2/39

3 Probabilità come misura dell incertezza Significato intuitivo L intuizione può portare a conclusioni scorrette Necessario dotarsi di strumenti logici e rigorosi Calcolo delle probabilità come teoria matematica dell incertezza San Pellegrino, 2/9/2008 p. 3/39

4 Alle origini del Calcolo delle Probabilità Corrispondenza trapascal efermat originata da un problema di gioco d azzardo (1654) La disperazione dei perdenti e la gioia dei vincitori nel gioco delle carte, raffigurate in una stampa del Settecento. San Pellegrino, 2/9/2008 p. 4/39

5 Il problema del Cavalier De Méré Scommessa su/contro uscita del sei almeno una volta in quattro lanci di un dado: osservazione empirica che la sorte favorisce lo scommettitore del sei Variante: gettando due dadi (6 6 risultati possibili) per ventiquattro volte (4 6) e scommettendo sul doppio sei (il dodici) De Méré pensava che anche in questo caso favorito scommettitore sul doppio sei, ma osservazione empirica era contraria De Méré si rivolse a Pascal chiedendo lumi Pascal e Fermat elaborarono i primi elementi del Calcolo delle Probabilità Conferma che matematica e osservazione empirica sono in accordo! San Pellegrino, 2/9/2008 p. 5/39

6 Problemi di compleanni Quante persone ci devono essere almeno in una stanza perché sia più probabile che alcune di loro compiano gli anni lo stesso giorno piuttosto che il viceversa? In quanti dobbiamo essere almeno in una stanza perché sia più probabile che sia presente un mio gemello (nato nello stesso giorno) piuttosto che il viceversa? Provate a dire la vostra... San Pellegrino, 2/9/2008 p. 6/39

7 Gioco del lotto e numeri ritardatari Sulla ruota di Roma, dal 1945 ad oggi, non si era mai fatto attendere per più di 82 estrazioni consecutive: il numero attualmente in maggiore ritardo potrebbe ritornare da un momento all altro. Il 73 di Roma è meglio attaccarlo affidandosi alla vera statistica piuttosto che a maghi e veggenti.... Dopo l estrazione di mercoledi scorso [l autore del metodo] ha trovato i migliori numeri da abbinare al 73 di Roma e messo a punto una appropriata strategia per le ultime prossime estrazioni.... (1,50 Euro + IVA al minuto, max. 8 minuti) Pubblicità su un noto quotidiano nazionale, 10 gennaio 2003 I numeri ritardatari hanno maggiore probabilità di uscita? Esiste un metodo per arricchirsi coi giochi d azzardo? San Pellegrino, 2/9/2008 p. 7/39

8 Il problema di Monty Hall Gioco a premi in cui puoi scegliere tra tre scatole: dentro una c è un premio di e, dentro le altre un premio di consolazione di 1e. Scegli una scatola e il conduttore del gioco, che sa il contenuto di ciascuna scatola, ne apre un altra, rivelando un premio da 1e e domanda: Vuoi cambiare la tua scelta?. Conviene cambiare la tua scelta originale? È più probabile vincere cambiando la scelta iniziale o non cambiandola? Risposta giusta? San Pellegrino, 2/9/2008 p. 8/39

9 Problema delle tre carte Gioco con tre carte. Una rossa su entrambi i lati, una rossa da un lato e bianca dall altro e una bianca su entrambi i lati. Ogni carta è nascosta in una scatola nera. Il giocatore sceglie una delle scatole, estrae la carta e la posa sul tavolo senza vedere altro lato. Supponiamo che lato visibile sia rosso. Banco propone a giocatore scommessa alla pari che è rosso anche l altro lato (se rosso vince banco, se bianco vince giocatore). Conviene a giocatore accettare la scommessa? Ragionamento intuitivo: probabilità che altro lato sia rosso = 50%, solo due carte possono mostrare rosso e solo una di queste può mostrare rosso anche su altro lato. Si può giocare, gioco è equo. Ragionamento giusto? San Pellegrino, 2/9/2008 p. 9/39

10 Problema dei due figli Sapendo che una famiglia ha (esattamente) due figli, dei quali almeno uno è un maschio, con che probabilità l altro figlio è una femmina? Sapendo che una famiglia ha (esattamente) due figli, dei quali il primo è un maschio, qual è la probabilità che l altro figlio sia una femmina? In entrambi i casi la risposta intuitiva è che la probabilità cercata è pari a 1/2=50%. Risposte giuste? San Pellegrino, 2/9/2008 p. 10/39

11 Teoria matematica dell incertezza La teoria dice come si devono formulare in maniera corretta delle valutazioni probabilistiche, o, in altri termini, come si deve formulare unmodellomatematicoprobabilistico. Modello matematico: trattazione problema in modo logico e rigoroso astrazione della realtà, cattura solo alcuni aspetti deve condurre a risultati utili in accordo con evidenza sperimentale San Pellegrino, 2/9/2008 p. 11/39

12 Modelli probabilistici Problemi interessanti che illustrano le potenzialità del Calcolo delle probabilità possono essere trattati con modelli semplici e matematica (relativamente) elementare Questo non vuole dire che il Calcolo delle probabilità sia una disciplina facile Molti problemi interessanti richiedono modelli più complessi e strumenti matematici sofisticati, come è il caso dei modelli di fenomeni aleatori che evolvono nel tempo Nei modelli più complessi problemi non banali anche dal punto di vista computazionale. San Pellegrino, 2/9/2008 p. 12/39

13 Definizione di probabilità Formalizzare il concetto di probabilità come misura dell incertezza Impostazione assiomatica Kolmogorov (1933): X insieme,eventi sono i sottoinsiemi di X, ad ogni evento A associato un numero reale P(A), dettoprobabilitàdi A, tale che 1. P(A) 0 per ogni evento A; 2. P(X) = 1; 3. se A e B sono eventi incompatibili (A B = ), allora P(A B) = P(A) + P(B). da 3. P(Ā) = 1 P(A) Ā evento negato o complementare San Pellegrino, 2/9/2008 p. 13/39

14 Assiomi di Kolmogorov Assiomi 1,2,3 inclusi in sistema di assiomi fondamento rigoroso del Calcolo delle probabilità. Impostazione assiomatica è anche utile? Permette costruzione di modelli in accordo con l evidenza sperimentale? Risposta positiva: ad es. possibile dare formulazione rigorosa della legge empirica del caso suggerita dall evidenza sperimentale: in successive repliche di un esperimento sotto stesse condizioni, la frequenza relativa di un evento associato all esperimento tende a stabilizzarsi; Legge dei grandi numeri: frequenza relativa limite = probabilità dell evento San Pellegrino, 2/9/2008 p. 14/39

15 Valutazione delle probabilità. Il problema del Cavalier De Méré L esito dei 4 lanci è una quaterna di numeri da 1 a 6; X insieme di tutte le quaterne A evento = sottoinsieme costituito da un certo numero di quaterne Tutte le quaterne sianoequiprobabili (partita non truccata!) Le quaterne sono in tutto 6 4 Probabilità di ogni singola quaterna: 1/6 4 P(A): 1/6 4 numero di quaterne in A soddisfatti assiomi di Kolmogorov San Pellegrino, 2/9/2008 p. 15/39

16 Valutazione delle probabilità. Il problema del Cavalier De Méré (cont.) Evento Ē chenon interessa chi scommette sul sei: sottoinsieme delle quaterne di numeri da 1 a 5; numero di queste quaterne = 5 4 P(Ē) = 1/ P(E) = 1 (5/6) 4 = 0, 518 Per legge grandi numeri, percentuale di partite vinte dallo scommettitore sul sei, su un grande numero di partite, è circa pari a 51,8% e quindi maggiore di % avversario. San Pellegrino, 2/9/2008 p. 16/39

17 Valutazione delle probabilità. Il problema del Cavalier De Méré (cont.) Con 24 lanci di due dadi, esiti possibili sono le 24-uple di coppie di numeri da 1 a 6: numero tutte 24-uple = (6 6) uple equiprobabili, probabilità singola 24-upla = 1/36 24 Evento Ē chenon interessa chi scommette su doppio sei: sottoinsieme delle 24-uple di coppie di numeri da 1 a 6 non entrambi = 6; numero di queste quaterne = (36 1) 24 P(Ē) = 1/ P(E) = 1 (35/36) 24 = 0, 491 Il gioco è ora sfavorevole a chi punta su doppio sei, la sua percentuale di partite vinte è, su un numero grande di partite, inferiore a quella dell avversario Contrariamente a quanto pensava De Méré, teoria e osservazione sperimentale in accordo! San Pellegrino, 2/9/2008 p. 17/39

18 Valutazione classica delle probabilità numero di casi favorevoli ad A P(A) = numero totale casi i casi devono essere equiprobabili quando i casi sono equiprobabili? valutazione utile nel caso in cui il numero dei casi sia finito inapplicabile, ad es., per valutazione probabilità di un certo numero di millimetri di pioggia giornaliera in una certa zona San Pellegrino, 2/9/2008 p. 18/39

19 Problemi di compleanni risolti/1 Quante persone ci devono essere almeno in una stanza perché sia più probabile che alcune di loro compiano gli anni lo stesso giorno piuttosto che il viceversa? Ipotesi: niente anni bisestili, uguale possibilità di nascita in ogni giorno dell anno (?), numero persone n 365 numeriamo persone da 1 a n e compiliamo liste di n giorni: 365 n liste possibili, assumiamole equiprobabili. In quante liste non compare 2 volte lo stesso giorno? D 365,n = (365 n + 1) n = 23 p n = 30 p n = 50 p 0.97 p = 1 D 365,n /365 n Bastano 23 persone affinché la probabilità che due persone abbiano lo stesso compleanno sia > 1/2. San Pellegrino, 2/9/2008 p. 19/39

20 Problemi di compleanni risolti/2 In quanti dobbiamo essere almeno in una stanza perché sia più probabile che sia presente almeno un mio gemello (nato nello stesso giorno) piuttosto che il viceversa? P(chealmenounaltroabbiailmiocompleanno) = 1 364n 365 n ; n 253 p > 0.5 San Pellegrino, 2/9/2008 p. 20/39

21 Valutazione delle probabilità nel gioco del lotto (singolo estratto) puntiamo sul numero 73 sulla ruota di Roma probabilità di vincita = probabilità uscita del 73 su una ruota vengono estratti 5 numeri tra i 90 possibili quante ( le cinquine possibili? 90 ) 5 = 90! (k! = k(k 1) 2 1) 5!85! stessa possibilità di essere estratte per tutte le cinquine? Sì, altrimenti c è truffa! quante cinquine contengono il 73? ( ) 89 4 = 89! 4!84! la probabilità cercata è (valutazione classica) ( 89 4 ) / ( 90 5 ) = 1 18 San Pellegrino, 2/9/2008 p. 21/39

22 Valutazione delle probabilità nel gioco del lotto (cont.) probabilità che il 73 non esca sulla ruota di Roma in due estrazioni consecutive? coppie di cinquine ( ) invece ( che ) singole cinquine, le coppie possibili sono 5 5 tutte le coppie con stessa possibilità di uscita (si spera... ) probabilità che 73 non esca in due estrazioni consecutive = = n. di coppie di cinquine che non contengono il 73 ( 90 5 ) n. totale coppie ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) 2 San Pellegrino, 2/9/2008 p. 22/39

23 Valutazione delle probabilità nel gioco del lotto (cont.)... probabilità di non uscita del 73 per 82 estrazioni = ( 17 18) 82 = 0, 0092 probabilità piccola ma... San Pellegrino, 2/9/2008 p. 23/39

24 Valutazione delle probabilità di uscita di un numero ritardatario probabilità che il 73, dopo un ritardo di 82 settimane, esca alla 83-esima = n. di 83-uple di cinquine, prime 82 senza 73, ultima con 73 n. di 83-uple di cinquine, prime 82 senza 73 = 1 18 Il fatto che il numero abbia ritardato per 82 settimane non modifica la sua probabilità di uscita alla 83-esima! La probabilitàcondizionata coincide con la probabilità non condizionata P(A B) = P(A B)/P(B) probabilità condizionata se P(A B) = P(A), si dice che A e B sono indipendenti San Pellegrino, 2/9/2008 p. 24/39

25 Valutazione del guadagno del giocatore incallito Se in un gioco p è probabilità di vincita e V è il valore della vincita, e P la posta, dopo N partite il guadagno è V n P N, n numero di partite vinte. La legge dei grandi numeri (formulazione teorica della legge empirica del caso) dice che, al crescere di N, V n N si avvicina sempre più a V p Per N abbastanza grande sarà quindi V n N V p < ǫ per ogni ǫ piccolo V n P N = V n V p N + V p N P N = (V n/n V p)n + (V p P) N < (ǫ + V p P) N San Pellegrino, 2/9/2008 p. 25/39

26 Valutazione del guadagno del giocatore incallito (cont.) Prob. vincita vincita Estratto 0, ,232 Ambo 0, Terno 0, Quaterna 0, Cinquina 0, vincite per puntata unitaria; sulla vincita viene trattenuto il 6% ( San Pellegrino, 2/9/2008 p. 26/39

27 Valutazione del guadagno del giocatore incallito (cont.) Se P = 1 su estratto semplice, V p P = 11, 232 0, = 0, La rovina del giocatore incallito è certa! Gioco equo se con P = 1 V p = 1, sfavorevole al giocatore se V p < 1 il banco calcola V in modo che il gioco sia sfavorevole al giocatore (anche le assicurazioni!) San Pellegrino, 2/9/2008 p. 27/39

28 Soluzione del problema di Monty Hall tre scenari possibili: giocatore sceglie scatola con premio di 1e numero 1. Conduttore deve aprire la scatola con l altro premio di 1e. Cambiando, giocatore vince e. giocatore sceglie scatola con premio di 1e numero 2. Conduttore deve aprire la scatola con premio di 1e numero 1. Cambiando, giocatore vince e. giocatore sceglie la scatola con e. Conduttore apre una qualsiasi delle due scatole con 1e. Cambiando, giocatore trova l altra scatola con 1e. Probabilità dei 3 scenari? Ognuno determinato da scelta iniziale. Giocatore non ha ragione di preferire all inizio una scatola ad un altra, quindi scelta a caso, e quindi probabilità 1/3 di ciascuna delle tre scelte possibili San Pellegrino, 2/9/2008 p. 28/39

29 Soluzione del problema di Monty Hall (cont.) La strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, quindi la probabilità di vincere adottando la strategia è 2/3. L argomentazione che porta a conclusione sbagliata che sia indifferente cambiare o meno non tiene conto di indicazioni aggiuntive date da mossa del conduttore, che modifica la probabilità che la scelta iniziale del giocatore sia quella vincente. Formalizzazione matematica del problema porta ad analisi rigorosa e a soluzione corretta. San Pellegrino, 2/9/2008 p. 29/39

30 Problema delle tre carte - soluzione Indichiamo con R un lato rosso e con B un lato bianco; con RR, RB e BB le tre carte. dobbiamo valutare: P(lato nascosto = R lato visibile = R) = P(RR)/P(R) carte scelte a caso P(RR) = 1/3 P(R)? Se la carta estratta è RR, il lato visibile sarà senz altro R; se la carta estratta è RB, può essere sia R che B; ipotizziamo che il giocatore scelga a caso il lato da rendere visibile, cioè P(R RB) = 1/2 San Pellegrino, 2/9/2008 p. 30/39

31 Problema delle tre carte - soluzione (cont.) Poichè P(R RB) = P(R RB)/P(RB) P(R RB) = P(R RB)P(RB) = (1/2) (1/3) = 1/6 P(R) = P(RR) + P(R RB) = 1/3 + 1/6 = 1/2 P(RR)/P(R) = 1/3 1/2 = 2/3 Gioco favorevole al conduttore (come al solito!) San Pellegrino, 2/9/2008 p. 31/39

32 Problema dei due figli - soluzione D.: Sapendo che una famiglia ha(esattamente) due figli, dei quali almeno uno un maschio, con che probabilità l altro figlio è una femmina? R.: eventi M = un figlio maschio e F = un figlio femmina ; supponiamo primogenito e secondogenito siano maschio o femmina con probabilità 1/2. P(F M) = P(F M)/P(M) = 2/4 3/4 = 2/3. D.: Sapendo che una famiglia ha(esattamente) due figli, dei qualiilprimounmaschio,qualèlaprobabilitàchel altro figlio sia una femmina? R.: con le ipotesi fatte, 1/2. San Pellegrino, 2/9/2008 p. 32/39

33 Probabilità e computer Modello probabilistico è spesso un compromesso tra esigenza di aderenza a fenomeno reale e trattabilità matematica modello troppo semplificato ma che può essere analizzato matematicamente Evoluzione dei mezzi di calcolo rende possibile modello più accurato, da analizzare attraverso uno studio disimulazione Generatori di numeri (pseudo) casuali +leggedeigrandi numeri Simulazione rende anche possibile studiarefenomeni virtuali o organizzareesperimentivirtuali San Pellegrino, 2/9/2008 p. 33/39

34 Probabilità e computer (cont.) Problema dell ubriaco sul ciglio del burrone: 1/2 probabilità di muovere un passo lontano dal burrone e 1/2 probabilità di un passo verso il burrone. a posizione iniziale dell ubriaco 0 posizione del burrone b distanza da casa nella posizione iniziale p probabilità di cadere nel burrone San Pellegrino, 2/9/2008 p. 34/39

35 Probabilità e computer (cont.) simulazione di una passeggiata : generare un numero a caso x, se x 0, 5 un passo verso destra, altrimenti verso sinistra, iterare finchè si arriva in 0 o in a + b. ripetere n volte la passeggiata: p frequenza relativa dell arrivo in 0 valore esatto p = 1 a a + b se la casa è lontana, l ubriaco è condannato! allo stesso modo problema della rovina del giocatore San Pellegrino, 2/9/2008 p. 35/39

36 La probabilità oggi Probabilità nasce con i giochi d azzardo Laplace (1812) È notevole il fatto che una scienza iniziata con l analisi dei giochi d azzardo dovesse essere elevata al rango dei più importanti oggetti della conoscenza umana Oggi diffusa in ogni ramo della scienza, della tecnologia, dell economia e della finanza, insieme astatistica che permette di definire modelli probabilistici in accordo con dati In fisica moderna superata idea newtoniana che acquisizione sempre più completa di dati avrebbe portato a scomparsa di ogni incertezza: perprincipiodi indeterminazionediheisenberg, è impossibile conoscere esattamente sia posizione che velocità di particelle molto piccole, si può solo fare valutazione probabilistica San Pellegrino, 2/9/2008 p. 36/39

37 IMATI Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche del CNR (Consiglio Nazionale delle ricerche) Sedi: Pavia (principale), Milano, Genova Compiti: ricerca nel campo dei metodi numerici, della modellistica matematica, della modellazione geometrica e applicazioni Sede di Milano: modelli probabilistici e analisi statistica analisi e previsione di consumi elettrici affidabilità di sistemi previsione della piovosità su piccola scala tempi di accadimento di eventi sismici San Pellegrino, 2/9/2008 p. 37/39

38 Probabilità di terremoti Probability of occurrence before 2013 α = j Prob Mappa della probabilità di accadimento di un terremoto di magnitudo M 5.3 entro il 2013 nelle aree sismogenetiche italiane San Pellegrino, 2/9/2008 p. 38/39

39 Conclusioni Meglio non fidarsi dell intuizione Trattamento dell incertezza possibile con modello matematico - modello probabilistico Modello è astrazione e approssimazione della realtà Modello fornisce conclusioni logiche e rigorose in base alle ipotesi formulate Conclusioni fornite dal modello vanno verificate sul campo (Statistica) Non giocate con la speranza di arricchirvi! San Pellegrino, 2/9/2008 p. 39/39

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