Luogo delle radici (1) G(s) P(s)

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1 Luogo delle radc P G F <, G P

2 2 Le radc d: 2 cocdoo co ol della fuoe raoale: F F W 3 S vuole tudare l luogo geoetrco de ut del ao coleo decrtto dalle radc dell equaoe 2 al varare del araetro reale Eva, 955.

3 3 Il luogo geoetrco delle radc della 2 corrodet a valor otv d vee detto luogo otvo; e aue olo valor egatv arla d luogo egatvo. 4 Codoe d odulo 5 Ν π π h h, 2 Codoe d fae 6

4 4 7 luogo egatvo h otvo luogo h π π π 2 2 8

5 Rguardao l equaoe, coe u equaoe del to: f 9 e coderao le radc coe fuo lcte del araetro reale. Se è u uto del luogo, corrodete a, er l quale rult f,, u oortuo toro d l luogo cocde co u arco d curva regolare. 5

6 6 I dver arch d curva regolare ra raccordao e ut golar del luogo, ovvero e ut cu è volata la codoe :,, f I ut cu è volata la oo radc ultle della 2.

7 7 Regole er l traccaeto Il luogo delle radc è etrco retto all ae reale; fatt le radc colee d u equaoe oloale a coeffcet real reetao a coe cougate. I ut golar del luogo oo calcolabl edate l tea d equao: d d d d 2

8 Tale tea force a ut golar del luogo otvo a quell del luogo egatvo; elado l araetro fra le e 2 uò crvere ua ola equaoe ell cogta : d d d d 3 Og uto golare del luogo è radce della 3 a o vcevera. La 3 ha grado ar a e duque l luogo è dotato al ù d ut golar alcu de qual, evetualete, cocdet dot etrcaete retto all ae reale. I ol,..., araetro, 2 della F oo ut del luogo corrodet al valore del. 8

9 Quado tede a er l luogo otvo o a er l luogo egatvo ra del luogo covergoo ugl er,..., della fuoe F ed altr dvergoo vero l uto roro. Al luogo otvo aartegoo ut dell ae reale che lacao alla loro detra u uero dar d er e/o d ol cotat co la loro oltelctà della fuoe F. I retat ut dell ae reale aartegoo al luogo egatvo. Ifatt, crvedo la codoe d fae er u uto dell ae reale, oerva che ter corrodet a ol e/o er cougat dao u cotrbuto colevaete ullo e che quell corrodet a ol e/o er real ot a tra dello teo uto oo ull. Soo dver da ero olo cotrbut relatv a ole/o er tuat alla detra del uto quetoe. 9

10 Se è u uto regolare, corrodete al valore aate er, oretata cocordeete co l vero el quale l ae delle ace u agolo ar a:, la tagete al rao del luogo rulta crecete, fora co Φ 2 π eedo,..., 2 gl altr ut del luogo corrodet al edeo valore. I u uto golare del luogo, d oltelctà μ coflucoo 2 μ ra del luogo, alteratvaete coverget e dverget. Le dreo delle taget a quet ra, el uto golare, forao ua tella regolare che dvde l agolo gro 2 μ agol ugual.

11 I ra del luogo che dvergoo vero l uto roro tedoo atotcaete a erette che forao co l ae delle ace agol ar a : π 2hπ Φ, h,2,..., el luogo otvo e ar a : 2hπ, h,2,..., Φ el luogo egatvo. Tutte quete erette hao coue l uto dell ae reale d aca:

12 o cetro degl atot Cofgurao atot Luogo otvo: Luogo egatvo 2 2 2

13 Gl evetual ut d attraveraeto dell ae agaro da arte del luogo ooo deterare alcado l algorto d Routh all equaoe 2 3

14 Luogo otvo: hao luogh cacuo de qual corrode alle radc da og olo arte uo e u olo luogo otvo ad og ero e ad og atoto arrva uo e u olo luogo l luogo è etrco retto all ae reale 4

15 Luogo egatvo: hao luogh ad og olo arrva uo e u olo luogo egatvo da og ero e da og atoto arte uo e u olo luogo l luogo è etrco retto all ae reale ra del luogo rovegoo dagl er er e altr dvergoo all fto 5

16 6 Eeo luogo delle radc Aal: uero er 3 uero ol uero atot avreo al ù 3 ut golar cetro degl atot: C j A 3 F

17 Calcolo ut golar f f, k, k k 3 k 3 k Rcavo dalla ecoda equaoe: k Lo ottuco ella ra: [ ] Ottego u equaoe d grado 3 che ha 3 oluo, 2, 3, cu corrodoo 3valor d : 2, 3, : 7

18 45 59 R j j C j j C Cacuo ha oltelctà μ Le coe,, , o oo ut golar 8

19 Poao traccare l luogo: Pooare ol X Pooare er O Aegare l ae reale Pooare l cetro degl atot Traccare gl atot Pooare ut golar Traccare l luogo otvo Traccare l luogo egatvo 9

20 Luogo otvo 8 Root Locu Iagary Ax Real Ax 2

21 Luogo egatvo Root Locu Iagary Ax Real Ax 2

22 Prograa Matlab %Eeo d luogo delle radc clear all cloe all %fuoe d trafereto: F3/^22*3 % u[ 3]; de[ 2 3] fgure rlocuu, de %luogo otvo fgure rlocu-u,de%luogo egatvo 22