ANALISI DINAMICA CON IL MEF Principali tipi di analisi analisi modale

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Mirella Gentile
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1 AALISI DIAICA CO IL EF Principali tipi di analisi analisi modal analisi i dlla risposta armonica analisi di transitorio dinamico

2 ESESIOE SISEA RISOLVEE I CAPO DIAICO/1 Contributo inrzia i Acclrazion k dl L i i = { { U P + Li Ls L = δuδ + st Contributo smorzamnto { δv ρ { v& { = δv ρ{ v& { δu [ ] ρ[ ]{ U&& y x ρ{ v& & = = V = { δuδ U [ ] ρ[ ] { U& V V j ρ& v& y ρ& v& x

3 ESESIOE SISEA RISOLVEE I CAPO DIAICO/ Contributo inrzia i Smorzamnto k dl L s s = { δ { U P + Li Ls L = δ + st Contributo smorzamnto { δv c { v & { = δv ρ{ v& { δu [ ] ρ[ ]{ U& y x c { v& = = V = { δuδ U [ ] ρ[ ] { U& V V j c& v y c& v x

4 ESESIOE SISEA RISOLVEE I CAPO DIAICO/3 { { [ ] [ ] { [ ] [ ] { V V U U c P U = ρ δ && & { [ ] [ ][ ] { V V V U B D B U = δ V [ ]{ [ ] { [ ] { { P U K U C U = + + & && [ ]{ [ ] { [ ] { { P U K U C U = + + [ ] [ ] c V [ ] [ ] V ρ [ ]{ [ ] { [ ] { { F U K U C U = + + & && [ ]{ [ ] { [ ] { {

5 ESESIOE SISEA RISOLVEE I CAPO DIAICO/4 Equazion di quilibrio dinamico && [ ]{ U + [ C ]{ U + [ K ]{ U = F ( t ) + & { Acclrazioni nodali Spostamnti nodali Vlocità nodali atric di massa atric di rigidzza atric di smorzamnto Forz strn

6 FORULAZIOE DELLA ARICE DI AA/1 atric di massa consistnt : [ ] [ ] ρ[ ] = simmtrica sostanzialmnt pina Elmnto 11 triangolar 11 piano = ρ [ ] ρ[ ] = = ρ

7 FORULAZIOE DELLA ARICE DI AA/ atric di massa lumpd : la massa vin concntrata ni nodi in qualch modo fisicamnt accttabil (di solito ovvio pr gli lmnti con nodi ni vrtici, mno ovvio pr qulli con nodi intrmdi), in modo ch risulti: j = ρ j m/3 m/4 m/4 m/3 m/3 la struttura dlla matric di massa è diagonal m/4 [ ] X X X = X X X m/4

8 FORULAZIOE DELLA ARICE DI AA/3 1 5 Error prc cntual Consistnt Lumpd rav appoggiata, 1 lmnti odo proprio La formulazion consistnt produc rrori minori in valor assoluto L matrici consistnt lumpd tndono a produrr rispttivamnt una sovrastima d una sottostima dll pulsazioni propri La struttura diagonal può risultar molto vantaggiosa in alcun soluzioni itrativ (s. analisi di transitorio) in quanto non richid invrsion

9 AALISI ODALE/ Si propon di dtrminar l pulsazioni propri di una struttura l rlativ form modali. Analizza l oscillazioni libr dlla struttura, in assnza di carichi strni Efftto dllo smorzamnto solitamnt molto piccolo && [ ]{ U + [ C ]{ U + [ K ]{ U = F ( t ) + & { & [ ]{ U + [ K ]{ U = c m k k ωn = ωs = ωn 1 ξ m x Pr ξ =.1 (1%) si ha ω =. 995 ω s n

10 AALISI ODALE/3 Calcolo dll pulsazioni propri & [ ]{ U + [ K ]{ U = { U = { φ sin( ω t) { U& = ω{ φ cos( ω t) { U&& = ω { φ sin( ω t) ω [ ]{ φ sin( ω t) + [ K ]{ φ sin( ω t) =

11 AALISI ODALE/4 Calcolo dll pulsazioni propri ω [ ]{ φ sin( ω t) + [ K ]{ φ sin( ω t) = ([ K ] ω [ ]){ φ = Sistma linar omogno nll incognit { φ dt ([ K ] ω [ ]) 1 soluzion = soluzioni { φ =

12 ( [ K ] ω [ ] ){ φ = ( [ K ] ω [ ]) = dt( ) AALISI ODALE/5 ( n n 1 n ω ) + a ( ω ) + a ( ω ) + + a n ω + a = + n = Radici i ω ω ω ω i... ω n { φ { φ { φ... {... { φ 1 3 φ i φ n Form modali

13 ( [ K ] ω [ ] ){ φ = ω i AALISI ODALE/6 n-1 quazioni i indipndnti d n incognit { φ φ i = ϕ i1 ϕ i in 1 soluzioni L componnti dlla forma modal sono not a mno di una costant Rapprsntano solo la forma dlla dformata, non i valori ffttivi dgli spostamnti max ϕ ij =11 ormalizzazioni tipich φ i φi ϕ { [ ]{ =1

14 AALISI ODALE/7 Struttura ral (continuo) odllo ad EF (discrtizzato) t pulsazioni i propri n gradi di librtà n pulsazioni i propri Rlazion?

15 AALISI ODALE/8 ipico andamnto spazial dll Form modali rav appoggiata, 1 lmnti 9 5 modo modo 1 modo 1 solo lmnto: rapprsntazion poco accurata dl campo di vlocità d acclrazion

16 AALISI ODALE/9 rav appoggiata, 1 lmnti 9.E+ 8.E+ 7.E+ 6.E+ odi calcolati in modo accurato n g.d.l./ Error prcntual 5.E+ 4.E+ 3.E+.E+ 1.E+.E+ -1.E odo proprio

17 SIERIA SRUURALE/1 S si usano considrazioni di simmtria pr ridurr l dimnsioni di un modllo,si ottrranno solo i modi propri l cui form modali rispttano la stssa simmtria.

18 SIERIA SRUURALE/ S si utilizza l assialsimmtria assialsimmtria, si ottngono solo i modi con forma assialsimmtrica odllo con lmnti piani assialsimmtrici φ=.5 m s=.1 m 1 modo proprio Dformata assial f = 6 Hz 5 m

19 SIERIA SRUURALE/3 S si utilizza l assialsimmtria assialsimmtria, si ottngono solo i modi con forma assialsimmtrica odllo con lmnti trav φ=.5 m s=.1 m 1 modo proprio Dformata flssional f = Hz 5 m

20 UIÀ DI ISURA/1 È prfribil usar il sistma m.k.s kg m = = s m kg s s ω = k m m kg kg m s m = kg m s mm 1 kg 1 s 1 s 3 = = 1 ω = k m mm kg kg m s mm =

21 AALISI RIDOA/1 ll analisi ridotta, lo stato di spostamnto, vlocità d acclrazion dlla struttura vin sprsso in trmini di un sottoinsim di nodi (odi astr ). Gli spostamnti di nodi rimannti (odi Slav ) sono quindi calcolati a partir da qulli di nodi astr. L analisi ridotta può ssr applicata anch in capo statico, pr ridurr l onr computazional dll analisi. g.d.l. astr { U { { F U = { { g.d.l. Slav F = { U { S F S [ K ]{ U = { F [ K ] [ ] { { K S U F = [ K ] [ ] S K { U S { FS

22 AALISI RIDOA/ [ K ]{ U + [ K S ]{ U S = { F [ K S ]{ U + [ K ]{ U S = { F S 1 { U = [ K ] ( { F [ K ]{ U ) S S S 1 [ K ]{ U + [ K ][ K ] ({ F [ K ]{ U ) = { F S S ( 1 1 [ K ] [ K ][ K ] [ K ]){ U = { F [ K ][ K ] { F S [ K ˆ ]{ U = { Fˆ { [ ] 1 = Kˆ { Fˆ S U S S S

23 AALISI RIDOA/3 Introducndo la suddivision tra astr Slav nll quazion di quilibrio dinamico si ottin: + [ ] [ ] { S U&& [ C ] [ C ] S + [ ] [ ] { && S U [ C S ] [ C ] S [ K ] [ K S ] { U { F = [ ] [ ] K { { S K U S FS { U& [ ] [ ] { [ ] [ ] + { U& La riduzion dll matrici di massa smorzamnto ai soli g.d.l. astr non può ssr fatta in modo satto, com pr la matric di rigidzza. Si usa prtanto una formula di riduzion smplificata d approssimata proposta da Guyan ( Guyan rduction ) S

24 AALISI RIDOA/4 Si ottin in tal modo: [ ˆ ]{ U&& [ + Cˆ ]{ U& + [ Kˆ ]{ U = { Fˆ [ ˆ ] 1 1 = [ ] [ K ][ K ] [ ] [ ][ K ] [ K ] [ K ][ K ] [ ][ K ] [ K ] S S [ ] Cˆ 1 1 = [ C ] [ K ][ K ] [ C ] [ C ][ K ] [ K ] + S S S S S 1 1 [ K ][ K ] [ C ][ K ] [ K ] S S S S S + +

25 AALISI RIDOA/5 Critri di slzion di g.d.l. astr (DOF): i DOF dvono ssr in numro almno doppio di modi da strarr scglir i DOF nll dirzioni in cui si vuol analizzar l vibrazioni dlla struttura scglir i DOF in punti dlla struttura carattrizzati da bassa rigidzza /o lvata massa sclta automatica: si basa sul rapporto: Q = i k m ii m ii Vrifica qualità analisi: Vrifica qualità analisi: la massa ridotta dv diffrir da qulla total pr non più dl 1-15% studio di convrgnza al variar dl numro di DOF

26 AALISI RIDOA/6 Principali algoritmi di strazion di autovalori d autovttori (ASYS) : Algoritmo modi g.d.l. modllo Vlocità RA Hard disk ot Block Elvato Elvato Elvata dia Bassa Shll o shll+solid. Lanczos Elmnti distorti Subspac Basso Elvato dia Bassa Elvata Elmnti non itration distorti Powr Dynamics Basso Elvato Elvata Elvata Bassa Richid msh fini Rducd utti dio- Elvata Bassa Bassa Usa DOF (Housho piccolo ldr)

27 AALISI RIDOA/7 Potnziali applicazioni dll analisi ridotta: riduzion dgli onri computazionali dll analisi riduzion dl numro di g.d.l. attivi nll analisi modal, risptto a qulla statica, pur utilizzando un unico modllo in modlli smplici, sparazion dll fftto di divrsi g.d.l. nodali (s. in una trav si possono analizzar sparatamnt i modi flssionali, stnsionali, tc.)

28 COADI ASYS/1 AALISI O RIDOA /SOLU AYPE, ODAL Dfinisc il tipo di analisi richista ODOP, thod, ODE, FREQB, FREQE,,rmky - LAB Block-Lanczos (Dfault) - SUBSP Subspac Frqunza inizial -.. final pr la ricrca di modi modi da strarr (pr SUBSP, al massimo n g.d.l./) OFF: form modali normalizzat su [] O: form modali normalizzat al valor 1 Pr Powr Dynamics: ODOP,SUBSP EQSLV,PCG

29 COADI ASYS/ AALISI RIDOA LUP, OPZ Attiva la matric di massa Lumpd OFF: matric consistnt (dfault) O: matric lumpd (dafult pr Powr Dynamics ) /POS1 SE,LIS Gli n modi richisti compaiono com n substp dl Load stp 1 SE,1,n n Carica il modo n PLDISP, PRDISP Rapprsntano la dformata

30 COADI ASYS/3 AALISI RIDOA /SOLU AYPE, ODAL Dfinisc il tipo di analisi richista ODOP, REDUC, ODE, FREQB, FREQE,,rmky, od, Lab1, SOLVE odo in cui mttr il DOF g.d.l. da usar com DOF: -UX, UY, UZ -ROX, ROY, ROZ -ALL

31 COADI ASYS/4 AALISI RIDOA FIISH Esc dalla soluzion /SOLU Rintra nlla soluzion pr il passo di spansion EXPA,O Attiva il passo di spansion XPAD, ODE, FREQB, FREQE, Elcalc, SIGIF SOLVE di modi da strarr (al massimo, tutti qulli indicati in ODOP) Frqunza inizial i i final pr la ricrca di modi OFF: non calcola i risultati complti pr gli lmnti (dfault) O: calcola i risultati complti pr gli lmnti

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