Heap scenario. Ho un insieme dinamico di oggetti, ciascuno identificato con una priorità. (la priorità è semplicemente un numero);

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Rosangela Vanni
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1 Heap

2 Heap scenario Ho un insieme dinamico di oggetti, ciascuno identificato con una priorità. (la priorità è semplicemente un numero); Voglio poter: inserire: nuovi elementi, ciascuno con una data priorità (in qualunque ordine) trovare: l elemento attuale con la massima priorità; rimuovere: tale elemento.

3 Heap scenario Ho un insieme dinamico di oggetti, ciascuno identificato con una priorità. (la priorità è semplicemente un numero); Voglio poter: inserire: nuovi elementi, ciascuno con una data priorità (in qualunque ordine) trovare: l elemento attuale con la massima priorità; rimuovere: tale elemento. Qual è la struttura dati più efficiente per far questo?

4 Heap scenario Ho un insieme dinamico di oggetti, ciascuno identificato con una priorità. (la priorità è semplicemente un numero); Voglio poter: inserire: nuovi elementi, ciascuno con una data priorità (in qualunque ordine) trovare: l elemento attuale con la massima priorità; rimuovere: tale elemento. Qual è la struttura dati più efficiente per far questo? Nota: è meno di un ordinamento (per priorità)!

5 Heap problemi simili Inserico elementi, (in qualunque ordine). In un dato momento estraggo: LIFO (pile): sempre l ultimo el. inserito. FIFO (code): sempre il primo el. inserito. Heap (code di priortà): quello con la massima priorità Qual è la struttura dati più efficiente per far questo?

6 Heap Nota: come nell ordinamento, faremo finta che i nostri elementi siano solo numeri (la loro priorità). Ma: facile passare al caso generico, in cui ad ogni elemento i, oltre alla priorità P i, si associa altra informazione K i. Traccia della lezione: 1. Heap come alberi binari (bilanciati a sx) 2. Trucco: alberi binari bilanciati a sx come vettori (putnatori impliciti) 3. Codice 4. Un ordinamento basato su Heap (heapsort)

7 Heap Funzione di mantenimento dello heap void fixdown( int v[], int start, int end ) { int child, root = v[start]; while ( 1 ) { child = 2 * start; if ( child > end ) break; if ( ( child + 1 <= end ) && ( v[child + 1] >= v[child] ) ) child++; if ( root >= v[child] ) break; v[start] = v[child]; start = child; } v[start] = root; }

8 Heapsort Heapify e Heapsort void heapify( int v[], int n ) { int start = n / 2; while ( start > 0 ) fixdown( v, start--, n ); } void heapsort( int v[], int n ) { heapify( v, n ); int end = n; while ( end > 0 ) { swap( v + end, v + 1 ); fixdown( v, 1, --end ); } }

9 Tabelle Hash

10 Tabelle Hash scenario Ho un insieme dinamico di oggetti, ciascuno identificato da una chiave. La chiave e solo un elemento univoco (un intero, una stringa, ecc.); Elementi diversi chiavi diverse Voglio poter: inserire: un nuovo elemento, se non è già presente (ovvero, se c è già un el con la stessa chiave); cercare: un elemento nella tabella data la chiave. (eventualmente) cancellare: l elemento avente una data chiave, se presente.

11 Tabelle Hash scenario Ho un insieme dinamico di oggetti, ciascuno identificato da una chiave. La chiave e solo un elemento univoco (un intero, una stringa, ecc.); Elementi diversi chiavi diverse Voglio poter: inserire: un nuovo elemento, se non è già presente (ovvero, se c è già un el con la stessa chiave); cercare: un elemento nella tabella data la chiave. (eventualmente) cancellare: l elemento avente una data chiave, se presente. Qual é la struttura dati più efficiente per far questo?

12 Tabelle Hash Def: Una tabella Hash è una sequenza di elementi R i contententi ciascuno: Il campo chiave K i. Il campo informazione I i (tutto il resto) (eventualmente). Identifichiamo lo spazio contenente la tabella con una vettore di dimensione M. La posizione di ogni elemento all interno del vettore è funzione della chiave. La funzione che calcola l indirizzo dalla chiave è la Funzione di Hash. Nota: M la dimensione della tabella; N il numero di elementi presenti. (non tutte le caselle sono piene!)

13 Funzioni Hash Una funzione Hash h riceve in input una chiave K i restituisce un indirizzo di memoria da 0 a M-1 dove memorizzare R i. Deve soddisfare i seguenti requisiti: deve essere facile da calcolare (tempo costante); deve soddisfare la proprietà di uniformità semplice: Prob(h(K) = j) = 1 M per ogni chiave K i e per ogni j = 0... M. Deve tener conto di tutti i bit della chiave. In generale M < N A più chiavi può corrispondere lo stesso indirizzo nella tabella. Fenomeno delle collisioni: h(k i ) = h(k j ).

14 Funzioni Hash Metodo della divisione Si associa alla chiave K il valore h(k) = k mod M Caratteristiche: E veloce (solo un operazione di modulo); Bisogna fare attenzione al valore di M. Se M = 2 p vengono selezionati solo i primi M bit della chiave (si perde casualità nella scelta). Soluzione: M numero primo. La funzione di hash diventa dipendente da tutti i bit della chiave.

15 Funzioni Hash Metodo della moltiplicazione Si associa alla chiave K il valore h(k) = M (ka ka ) (ka ka ) è la parte frazionaria di ka. Caratteristiche: Leggermente meno veloce della divisione; Il valore di M non è critico, può anche essere 2 p. Per A si utilizza un valore irrazionale, tipicamente A = ( 5 1)/2.

16 Gestione delle collisioni Liste concatenate Per ogni indirizzo della tabella viene mantenuta una lista concatenata contenente gli elementi collidenti. Il costo di inserimento e ricerca dipendono da quanto è lunga la lista. Se la funzione di Hash è uniforme, ogni lista è lunga in media Θ(N/M). Definizione: Fattore di carico α = N/M. Costo medio di inserimento e ricerca: O(1 + α) Se N = O(M) il costo è costante.

17 Gestione delle collisioni Indirizzamento aperto Gli elementi collidenti sono memorizzati altre posizioni nella tabella. Non si usano nè puntatori, nè locazioni aggiuntive. Si calcolano le nuove posizioni, fino a trovarne una nuova o a stabilire che la tabella è piena. Si lavora sempre con α < 1. Se c è una collisione, si calcola la nuova posizione in funzione di quella vecchia: Al passo i: h(k, i) = (h (K) + f (i)) mod M

18 Indirizzamento aperto Definizione: Scansione lineare: si cerca nelle posizioni immediatamente successive. Al passo i: h(k, i) = (h (K) + i) mod M Definizione: Hashing doppio: si cerca nelle posizioni successive con uno sfasamento calcolato secondo un altra funzione di hash h 2. Al passo i: h(k, i) = (h (K) + i h 2 (K)) mod M h 2 deve fornire valori diversi da zero e primi rispetto a M. Assumendo l uniformità della funzione di hash si ha: Costo medio (scansione lineare): Θ((1 α) 1 ); Costo medio (hashing doppio): Θ( α 1 ln(1 α));

19 Cancellazione Liste concatenate: Indirizzamento aperto:

20 Cancellazione Liste concatenate: Nessun problema: rimozione elemento da lista. Indirizzamento aperto:

21 Cancellazione Liste concatenate: Nessun problema: rimozione elemento da lista. Indirizzamento aperto: Cancellazione tramite lapidi: Ogni cella è vuota, occupata o cancellata (lapide); Nella ricerca, le lapidi equivalgono a celle piene; Nell inserimento, vengono considerate vuote.

22 Tabelle Hash dinamiche per indirizzamento aperto Quando il fattore di carico è vicino a 1, le prestazioni dell indirizzamento aperto decadono. Trucco: fissato 0.5 < p < 1, se α > p si raddoppia la dimensione della tabella. Tipicamente, p = 0.75.

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