I PARTE: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

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1 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I ARTE: CALCOLO DELLE ROBABILITÀ I. Evet ed Est Cosderamo l espermeto d gettare u dado. Gettamo l dado, aspettamo che s ferm e osservamo l umero d put preset sulla facca superore: come s sa, può avere uo de seguet valor:,, 3, 4, 5 o 6. Gà che c samo, osservamo che può uscre solo uo d quest umer: o s possoo avere cotemporaeamete, poamo, l 3 ed l 5, o qualuque altra combazoe d umer. Caso A - Nulla c mpedsce d scommettere su uo qualuque d quest se valor, per esempo scommettamo sul 3. Caso B - ossamo però fare ua scommessa dversa, ad esempo scommettere su par: vcamo se esce, 4 o 6; perdamo se esce, 3 o 5. Caso C - otremmo ache scommettere d superare l 4: vcamo se esce 5 o 6, perdamo se esce,, 3 o 4. Qual è la dffereza tra quest 3 cas? Nel caso A vedamo che dvers rsultat possbl soo tutt pres cosderazoe sgolarmete. I effett o esstoo rsultat pù elemetar de se valor,, 3, 4, 5 e 6. De rsultat elemetar come quest vegoo chamat ESITI. È da rcordare che solo uo d quest est s può verfcare u sgolo laco: quest est s escludoo a vceda, soo MUTUAMENTE ESCLUSIVI od altrmet detto INCOMATIBILI. Nel caso A abbamo decso d scommettere sul verfcars d uo degl est (l 3). Nel caso B vece, e per la vertà ache el caso C, abbamo scommesso su cert raggruppamet d est. Dcamo meglo: el caso A abbamo scommesso sull EVENTO esce l 3, che cocde co uo solo degl ESITI possbl; el caso B abbamo scommesso vece sull EVENTO esce u umero par, che cocde co tre degl ESITI possbl: gl ESITI, 4 e 6. Aalogamete el caso C abbamo scommesso sull EVENTO esce u umero maggore d 4, che cocde co due degl ESITI possbl: gl ESITI 5 e 6. D ora po chameremo gl evet co ua lettera mauscola. Mateedo ostr tre esemp, defamo qud tre evet: Eveto A: esce l umero 3 (l eveto comprede u solo esto: esce la facca co 3 put) Eveto B: esce u umero par (l eveto comprede 3 est: esce oppure 4 oppure 6) I-

2 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Eveto C: esce u umero maggore d 4 (l eveto comprede est: esce 5 oppure 6) Notamo subto che l verfcars cotemporaeo dell eveto A e dell eveto B è mpossble, così come dell eveto A e dell eveto C. Ifatt gl est che verfcao l eveto A soo soltato uo, l umero 3, metre gl est che verfcao l eveto B soo tre:, 4 e 6. oché se est soo compatbl, e poché gl est che verfcao l eveto B soo tutt dvers dagl est che verfcao l eveto A due evet o possoo ma verfcars smultaeamete: soo ach ess INCOMATIBILI. Stesso dscorso per la coppa d evet A e C. E la coppa B e C? Duque, gl est che verfcao l eveto B soo tre:, 4 e 6, metre gl est che verfcao l eveto C soo due: 5 e 6. S vede che l esto 6 verfca tutt e due gl evet qud gl evet B e C NON soo compatbl. Dopo questo dscorso troduttvo, u po troppo qualtatvo, veamo a delle belle defzo. I dvers rsultat possbl, mutuamete esclusv, d u espermeto aleatoro soo dett est; el seguto verrao dcat co lettere greche muscole. L seme d tutt gl est possbl d u dato espermeto è detto spazo degl evet, e lo deoteremo co la lettera greca Ω. Dremo che u eveto A è assocato agl est dello spazo Ω se possamo sempre dre per qualuque esto ω dello spazo Ω se esso verfca o o verfca l eveto A. Ovvero, co termologa semstca, se possamo dvduare quale sottoseme d Ω cotee tutt e sol gl est che verfcao A. Ache questo sottoseme lo chameremo A. D ora po, percò, A o B o ua lettera mauscola geere potrà deotare dfferetemete u eveto o l sottoseme d Ω che cotee tutt e sol gl est che verfcao tale eveto. Aalogamete per o dre s verfca l eveto A o s verfca u esto apparteete al sottoseme A sarà esattamete la stessa cosa. Avedo dato questa terpretazoe semstca, possamo servrcee per dare qualche defzoe. CA B (uoe degl evet A e B) è ovvamete l eveto che corrspode al sottoseme A B, coè che è verfcato da uo qualuque degl est d A o d B, coè deftva che s verfca quado è verfcato A oppure B (od ache tutt e due, se hao est comue). CA B (tersezoe degl evet A e B: lo scrveremo ache semplcemete AB quado o darà adto a dubb) è altrettato ovvamete l eveto che corrspode al sottoseme A B, coè che è verfcato da uo qualuque d quegl est che appartegoo I-

3 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo cotemporaeamete ad A ed a B, coè deftva che s verfca quado soo verfcat cotemporaeamete gl evet A e B. A-B (dffereza degl evet A e B) è l eveto che corrspode al sottoseme A-B, coè è verfcato da quegl est che verfcao A ma o verfcao B. è charo che A-B A- (A B) U caso partcolare è Ω-A, coè l seme d tutt gl est possbl che o verfcao A: esso è detto eveto complemetare d A e deotato A. Vedamo dagramm d Ve corrspodet a quest dvers sem. I-3

4 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I. robabltà classca redamo u espermeto aleatoro tale che, per le codzo spermetal, s possa rteere che gl est sao tutt equprobabl: ad esempo l laco d ua moeta può dare due est, testa o croce, e verosmlmete due est hao la stessa probabltà; l laco d u dado può dare 6 est, ed è lecto pesare che, graze alla geometra del dado ed alla meccaca del laco, se est sao tutt equprobabl; l estrazoe d ua carta a caso da u mazzo be mescolato (dcamo mescolato molto a lugo): tutte le carte hao a pror la stessa probabltà d vere estratte; e così va. I tal caso la probabltà d u eveto A s calcola come rapporto tra l umero d est che verfcao l eveto stesso ed l umero totale d est possbl. er esemplfcare, rpredamo gl est A, B e C vst prma. I tutt e tre cas l umero d est possbl (ed equprobabl, per quato s è detto) è 6; l umero d est favorevol (coè che verfcao l eveto) è per l eveto A, 3 per l eveto B e per l eveto C: qud 6 ( A) ( B) ( A) A questo puto c servrao alcu I.3 Rcham d calcolo combatoro I. Dat elemet a ed m elemet b j v soo m possbl coppe (a.b j ) II. ù geerale: dat m elemet formare m m... mn a possbl -uple ( ), m elemet a m N elemet a N s possoo a,a,..., a N III. S abba u seme d oggett a, a,, a e s estraggao r elemet, rmettedo og volta l elemeto estratto detro l seme: l umero delle possbl r-uple ordate che s possoo otteere è r (soo le dsposzo co rpetzoe d oggett ad r ad r) IV. S abba u seme d oggett a, a,, a e s estraggao r elemet, seza ma rmettere l elemeto estratto detro l seme: l umero delle possbl r-uple ordate! che s possoo otteere è (-)(-).(-r+), vale a dre. Queste soo dette ( r)! dsposzo seza rpetzoe d oggett ad r ad r. Al puto precedete abbamo calcolato l umero d possbl r-uple ordate d elemet dell seme. Coè, due r-uple che cotegoo gl stess r elemet ma orde dverso soo cosderate r-uple dfferet e ambedue cotate el overo. E se l orde o teressa? I tal caso predamo l umero trovato e lo dvdamo per l umero d permutazo (coè d possbl mod d ordarl) d r oggett. I-4

5 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Quato vale? Facle, l umero d dsposzo d r oggett ad r ad r, coè: r! (r r)! r! r! 0! V. pertato l umero d combazo (seza rpetzoe) d oggett ad r ad r (coè le r-! uple possbl, seza teere coto dell orde degl elemet) vale ( r)!r! r Notamo che l umero questoe altro o è che l umero d possbl sottosem d poteza r dell seme d poteza dato, o co terme tecco, l umero d sottopopolazo d tagla r della popolazoe d tagla data. VI. Data ua popolazoe d tagla, e umer ter,,, tal che la loro somma sa! par ad, esstoo mod d rpartre la popolazoe sottopopolazo,!!...! rspettvamete d tagla,,,. Rcordamo la formula d Strlg per approssmare l fattorale per molto grade:! π e Esempo Lacado due volte u dado, qual è la probabltà d otteere due volte lo stesso umero? Le coppe (a,b) d valor possbl soo 36, e soo tutte equprobabl; d queste 6 soo formate da u umero rpetuto due volte, coè co ab. Qud la probabltà cercata è 6 (A) 36 Esempo Qual è la probabltà d otteere tre 6 lacado tre dad? Qu le possbl tere (a,b,c) soo 6 3 6, e d queste ua sola ha abc6. Duque Esempo 3 (A) 6 Mettamo r oggett caselle (co r), avedo cura d o mettere ma due oggett ella stessa casella. I quat mod possamo fare questa operazoe? er l prmo oggetto abbamo caselle lbere, per l secodo e restao -, per l terzo - e così va. I deftva Esempo 4 6! N ( )( )...( r + ) ( r)! U covoglo è composto da vago. Su d esso salgoo r passegger, dove r. Se og passeggero scegle l vagoe maera completamete aleatora, qual è la probabltà che gl r passegger salgao su r vago dvers? Oguo degl r passegger può sceglere l suo vagoe mod e qud r passegger hao r mod d dstrburs vago. Vceversa, se lmtamo la scelta modo tale che oguo scelga u vagoe dverso, mod d sceglere soo d meo. Ifatt l prmo può sceglere mod, al secodo e restao -, al terzo - e così va. Qud l umero totale è (-)(-) (-r+), coè I-5

6 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo da cu trovamo la probabltà cercata! N(A) ( r)! N(A)! (A) N ( r)! r Esempo 5 Ua cassa d 00 pezz cotee 0 pezz dfettos. U spettore cotrolla 0 pezz estratt modo casuale dalla cassa. Qual è la probabltà che o e trov essuo dfettoso? I prmo luogo occorre calcolare quat mod possamo sceglere 0 pezz da u lotto d 00: N ! 0!90! d quest N mod, quat o cotegoo pezz dfettos? N (A) 0 90 ertato la probabltà cercata è data dal rapporto: 90! 0!80! 90! N(A) 90!90! (A) 0!80! N 00! 80! 00! 0!90! Esempo 6 S pescao due carte a caso da u mazzo da brdge. Qual è la probabltà d pescare ass? Il mazzo cotee 5 carte, d cu 4 ass. Quate coppe è possble formare da 5 carte? 5! N 5 36!50! Quate d queste soo formate da ass? Coè, quate coppe è possble formare co 4 ass? Qud la probabltà cercata è 4! N (A) 4 6!! 6 (A) 36 Esempo 7 Vee dstrbuta ua mao d brdge. Qual è la probabltà che oguo de quattro gocator rceva u asso? I quat mod possamo creare 4 sottopopolazo d tagla 3 dalla popolazoe d tagla 5? N 5! 3! 3! 3! 3! Separamo gl ass: dobbamo dstrbure u asso per cascuo, pù altre carte per cascuo. I quattro ass s possoo dstrbure, come sappamo, 4! 4 mod. Co le rmaet 48 carte formamo 4 sottopopolazo d tagla. ossamo farlo 48!!!!! mod. Qud la probabltà rchesta è data da 48! 3! 3! 3! 3! (A) 4! 0.05!!!! 5! I-6

7 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.4 Legge d addzoe delle probabltà Cosderamo due evet compatbl A e B d cu sao ote le probabltà (A) e (B), e sa CA B l eveto uoe. I tal caso s ha per l eveto uoe: (C)(A)+(B) ù geerale s può calcolare la probabltà d u eveto evet A, purché quest sao tra loro tutt compatbl: ( C) ( A ) C A, uoe coè d molt Se abbamo a che fare co due evet NON compatbl occorre rscrvere la probabltà della loro uoe come: (CA B)(A)+(B)-(A B) er capre l perché, faccamo l esempo d u espermeto aleatoro co est tra loro equprobabl. I tal caso, come sappamo, (A) è uguale al umero (A) d est favorevol, coè apparteet al sottoseme A, dvso l umero totale d est possbl N; aalogamete (B) è data dal umero (B) d est apparteet al sottoseme B dvso l umero totale N d est possbl; fe (A B) è par al umero d est apparteet al sottoseme A B, che chameremo (A B), dvso l solto umero totale N d evet possbl. I smbol: (A) (A) N (B) (B) N (A B) (A B) N Se gl evet soo compatbl, coè o v soo est che appartegoo cotemporaeamete ad A ed a B, allora (A B)(A)+(B), da cu: (A B) (A) + (B) (A) (B) (A B) + (A) + (B) N N N N Se vece gl evet o soo compatbl, vale a dre che v soo dcamo M est che appartegoo sa ad A che a B, allora el fare la somma (A)+(B) l cotamo due volte, e qud dobbamo dre che (A B)(A)+(B)-M. Ma l suddetto M, essedo l umero d est che appartegoo cotemporaeamete ad A ed a B, è é pù é meo che l umero d est (A B) coteuto A B, qud I-7

8 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo e deftva: (A (A B) (A B) N (A B) (A) + (B) M B) N N M N (A) N + (B) N M (A) + (B) (A B) N Questo rsultato, che abbamo dmostrato solo per l caso d est equprobabl vale geerale. I.5 robabltà codzoata e legge d moltplcazoe delle probabltà Cosderamo l espermeto seguete: da u ura coteete 5 palle bache e 5 ere vegoo estratte palle. Qual è la probabltà che esse sao ambedue bache? ossamo procedere due mod: ) rapporto est favorevol su est possbl. I quat mod possamo predere due palle da u lotto d 0? 0 N 0!!8! 0 9 quat d quest mod mostrao ambedue le palle bache? la probabltà è duque: 5 5 5! 5! 5 4 0!3! 0! 5! ( A) ( A) ) La probabltà d che la prma palla estratta sa baca è p 5 0 la probabltà che la secoda sa baca se è baca la prma: p 4 9 e qud la probabltà le due palle estratte sao bache è data dal prodotto 5 4 p 0 9 I-8

9 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo che cocorda col precedete rsultato. Ora, la probabltà che la secoda sa baca se è baca la prma s chama ROBABILITÀ CONDIZIONATA. Dcamo meglo, defamo gl evet seguet: Eveto A la prma palla estratta è baca Eveto B la secoda palla estratta è baca Allora la probabltà che s verfch l eveto B o è 4/9 (fra poco la calcoleremo). La probabltà che s verfch l eveto B se s è verfcato l eveto A è, questa sì, 4/9; e questa è detta probabltà d A codzoato a B, che s scrve (A/B). erché (B), detta probabltà a pror d B, o è uguale a 4/9? erché B s può verfcare ache se o s è verfcato A, ed tal caso la sua probabltà ( ( B / A), probabltà d B codzoato a o-a) è 5/9. E la probabltà TOTALE (s chama propro così) quato vale? È data dalla probabltà che s verfch A seguto da B sommata alla probabltà che s verfch o-a seguto da B, coè: ( A) ( B / A) + ( A) ( B / A) questo perché due percors alteratv (tramte A e tramte o-a) soo compatbl, e qud la probabltà della loro uoe è par alla somma delle loro probabltà. Nulla d strao che vega ¼: detro l ura v soo apputo palla baca su 4. Vedamo u dsego: 4 A ((A)5/0) B (((B/A)4/9) B (((B/A)5/9) A ad B A ad B A ((A)5/0) B (((B/A)5/9) A ad B B (((B/A)4/9) A ad B Capamo po ua cosa mportate da questo esempo: ( A B) ( A) ( B/ A) I-9

10 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo La probabltà dell tersezoe d due evet o è, geerale, uguale al prodotto delle probabltà: ( A B) ( A) ( B) Defzoe: l eveto B è INDIENDENTE dall eveto A se e solo se ( B/ A) ( B) coè se la probabltà A RIORI d B e la probabltà d B codzoato ad A soo ugual. È charo, da quato vsto, che tal caso s ha ( A B) ( A) ( B / A) ( A) ( B) Ecco duque la legge della moltplcazoe questo caso: la probabltà dell tersezoe d due evet dpedet è par al prodotto delle sgole probabltà de due evet. Da quato detto fora dscede ache u altra propretà. Ifatt vertedo l orde dell equazoe geerale per la probabltà dell tersezoe s ha ache ( B/ A) ( A B) ( A) che forsce la regola per calcolare la probabltà codzoata. Questa s può gustfcare faclmete el caso degl est equprobabl. Ifatt, sao (A) gl est che verfcao A, coteut coè ella sottopopolazoe A, (B) gl est che verfcao B, overo coteut ella sottopopolazoe B, e (A B) l umero d est che verfcao cotemporaeamete A e B, coè coteut ell tersezoe delle suddette sottopopolazo A e B; N è come al solto l umero degl est possbl, gl est d Ω. Ora la probabltà a pror d A è data dal rapporto tra (A) ed N, come sappamo. Tuttava, se s sa che s verfca B, o tutt gl N est soo pù possbl: soltato gl (B) est della sottopopolazoe B possoo verfcars. Il ostro spazo degl evet s è per così dre rstretto a B. D quest (B) est possbl quat verfcao A? aturalmete (A B), ecco duque che se s sa che s verfca B la probabltà che s verfch A è data dal rapporto ( A / B) ( A B) ( B) ( A B) N N ( B) ( A B) ( B) Se ella formula vsta s scambao om degl evet s trova ( B A) ( B) ( A / B) ma poché l tersezoe è commutatva: I-0

11 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo da cu due mportat regole: ) La formula d Bayes: ( A) ( B / A) ( A B) ( B A) ( B) ( A / B) ( B/ A) ( B) ( A / B) ( A) ) se A è dpedete da B ache B è dpedete da A e vceversa, e s dce qud che A e B soo tra loro dpedet. Ifatt, se ( A / B) ( A) ( B/ A) Vedamo alcue altre propretà. ( B) ( A / B) ( A) allora ( B) ( A) ( A) S abba ua successoe d evet { } ( C / B) ( A / B) ( B) A tutt compatbl tra loro, C, allora. Ifatt, come è oto, s ha per l tersezoe C B [ A ] B ( A B) A oché d altra parte gl sem A o hao tra loro put comue, eache gl sem ( A B) hao put comue tra loro, e corrspodoo pertato ad evet compatbl. I tal caso s ha per le probabltà ( C B) [ ( A B) ] ( A B) Se ora dvdamo ambo membr per (B) otteamo apputo: ( C / B) ( C B) ( B) che è quato volevas dmostrare (QDE). ( A B) ( B) Ife geeralzzamo l dea espressa dal precedete grafco: Se ua successoe d evet { } ( A / B) A tutt compatbl tra loro e Ω, o come s dce: che costtuscoo ua ARTIZIONE d Ω, allora ( B) ( A ) ( B / A ) er provare questo osservamo prma che ( A Ω) A ( B) ( Ω B) [ ( A B) ] A. ; possamo qud scrvere che oché d altra parte gl sem A o hao tra loro put comue, eache gl sem ( A B) hao put comue tra loro, e corrspodoo pertato ad evet compatbl. I-

12 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Applcado qud la regola per l uoe d evet compatbl trovamo, CVD: [ ( A B) ] ( A B) ( A ) ( A B) ( A ) ( A ) ( B / A ) Esempo Sa A l eveto per cu pescado a caso da u mazzo ua carta questa sa d pcche. Sa B l eveto che detta carta sa ua rega. A e B soo dpedet? 5 carte, 3 pcche, 4 rege, rega d pcche. 3 (A) 5 (B) 4 5 (A B) (A) ( B) oché la probabltà dell tersezoe cocde co l prodotto delle probabltà due evet soo dpedet. 5 Esempo S trao due dad. A è l eveto che l prmo dado esca dspar, B l eveto che l secodo dado esca dspar e C l eveto la somma de dad sa dspar. A e C soo dpedet? Esempo 3 Nove ure cotegoo ogua 3 palle bache e 3 ere. Ua decma ura cotee 5 palle bache ed ua era. S scegle u ura a caso e s estrae ua palla: prma d estrarla qual è la probabltà (probabltà a pror) che l ura prescelta sa la decma? Se la palla estratta è baca, qual è la probabltà (probabltà a posteror) che l ura prescelta sa la decma? Esempo 4 U ura cotee solo palle bache, u altra e cotee 30 bache e 0 ere. S scegle u ura a caso e s estrae ua palla: qual è la probabltà che sa baca? È effetvamete è baca: la s rmette qud ella stessa ura, s mescola e s estrae u altra palla dalla stessa ura. Qual è la probabltà che questa sa baca? Esempo 5 U ura cotee palle umerate da ad. S estrae ua palla: se è la umero s tee fuor, altrmet s rmette detro l ura. S estrae d uovo ua palla: qual è la probabltà che sa la umero? Esempo 6 La probabltà che la correra per Bazzao parta oraro è 0.80, e la probabltà che parta oraro e arrv oraro è 0.7. a) Qual è la probabltà che u bus che parte oraro arrv oraro? b) Sapedo che la probabltà d arrvare oraro è 0.75, qual è la probabltà che u bus che arrva oraro sa partto oraro? c) Se vece la probabltà che u bus che parte rtardo arrv oraro è 0.75, qual è la probabltà che u qualuque bus arrv oraro Esempo 7 Ua fabbrca d auto ha tre lee d motaggo, A, B e C, che poroducoo rspettvamete l 45%, l 30% ed l 5% del totale. Se la probabltà che u pezzo sa prodotto dfettoso è per A, per B e 0.00 per C, qual è la probabltà che u auto d questa fabbrca sa prodotta dfettosa? E se dfettosa, qual è la probabltà che provega dalla lea B? I-

13 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.6 Varabl aleatore artamo da u caso pratco: s pesca ua carta da u mazzo da brscola. Gl est d questo espermeto aleatoro soo 40, e soo tutt equprobabl; voledo s potrebbero elecare (asso d basto, due d basto, tre d basto e così va). Ruedo opportuamete quest est (coè facedo de sottosem dello spazo campoaro) possamo defre degl evet: ad esempo pescare u fate ( questo caso l sottoseme corrspodete è formato da 4 fat, rspettvamete d basto, spade, coppe e dear). Ora, se pesamo d assocare alla carta pescata l puteggo ad essa relatvo el goco della brscola ( put per l fate, 3 per l cavallo, 4 per l re, 0 per l tre e per l asso, 0 per le scarte - vale a dre tutte le altre carte) avremo che ad oguo d 6 possbl evet assocamo u valore umerco. er fssare l cocetto scrvamo ua tabella: Esto robabltà Eveto ROBAB. VALORE Fate d basto 0.05 Fate 0.0 Fate d spade 0.05 Fate d coppe 0.05 Fate d dear 0.05 Cavallo d basto 0.05 Cavallo Cavallo d spade 0.05 Cavallo d coppe 0.05 Cavallo d dear 0.05 Re d basto 0.05 Re Re d spade 0.05 Re d coppe 0.05 Re d dear 0.05 Tre d basto 0.05 Tre Tre d spade 0.05 Tre d coppe 0.05 Tre d dear 0.05 Asso d basto 0.05 Asso 0.0 Asso d spade 0.05 Asso d coppe 0.05 Asso d dear 0.05 Tutte le altre 0 carte 0.05/ua Scarta I-3

14 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Cosa abbamo fatto esattamete? Abbamo assocato a degl evet aleator, tramte ua qualche fuzoe, u valore umerco - abbamo creato ua VARIABILE ALEATORIA (questo ome è geere abbrevato co v.a.). I questo partcolare caso, la v.a. è dscreta, ed oltre assume solo u umero fto d possbl valor, precsamete 6 valor: 0,, 3, 4, 0 ed. Aggugamo che questo caso valor soo tutt ter. S tratta, è charo, d u caso partcolarmete semplce, però c auta ad eucare la regola: quado determamo ua fuzoe che ad og eveto dello spazo campoaro fa corrspodere u valore umerco damo orge ad ua varable aleatora. Da quato detto è charo che ad og valore della v.a. corrspoderà ua probabltà che tale valore vega assuto, e questa charamete è la probabltà assocata all eveto cu tale valore umerco corrspode. Ad esempo, ell esempo proposto la probabltà che la v.a. assuma l valore (che corrspode al fate) è par a 0.0 (coè la probabltà che s pesch u fate). Le v.a. possoo assumere valor dscret (come l caso vsto sopra) o possoo assumere qualuque valore etro u tervallo dell asse reale: el prmo caso parleremo d v.a. dscrete, el secodo d v.a. cotue. Esamamo per prmo l caso della v.a. dscrete, seguto affroteremo le v.a. cotue. I.7 Varabl aleatore dscrete Le v.a. dscrete possoo assumere u umero fto d possbl valor (come ell esempo vsto sopra), oppure u umero fto: quest ultmo caso s tratterà ovvamete d ua ftà umerable. La relazoe che ad oguo de valor che la v.a. può assumere fa corrspodere ua probabltà (duque u umero reale compreso tra 0 e ) è detta DISTRIBUZIONE DI ROBABILITÀ. Questa può essere data forma tabulare, o tramte ua fuzoe aaltca. er l esempo vsto sopra possamo raccoglere tal formazo ua tabella: () Nel proseguo adotteremo queste otazo: la v.a. verrà dcata co ua lettera mauscola (ad esempo X); l valore da essa assuto co la corrspodete lettera muscola ( questo esempo ); la dstrbuzoe d probabltà co ua fuzoe del valore (coè ) avete per I-4

15 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo dce la lettera della v.a (qu X), come el seguete esempo che dca la probabltà che X assuma l valore : ( ) [ X ] f X U altra quattà che sarà utle è la FUNZIONE DI RIARTIZIONE, detta ache cumulatva: questa è la probabltà che la v.a. assuma valor mor o ugual d u dato valore. La scrveremo geere co lettera mauscola come el seguete esempo F X ( ) [ X ] Spesso accade d dover caratterzzare ua v.a. modo stetco, per cu s rchede qualcosa d pù cocso che o l tera dstrbuzoe d probabltà: s cerca d dare u quadro formatvo co poch umer caratterstc. La prma cosa che s vuole trasmettere è la poszoe cetrale della dstrbuzoe: ad esempo se ho u gruppo d N scolar dall aslo al lceo od u gruppo d N pesoat è charo che, metre ambedue cas abbamo tate dverse età, el prmo caso soo dstrbute tra 3 ed 0 a (rpetet compres), el secodo soo da a su. Quello che cerchamo è u umero che c da ua qualche formazoe sulla poszoe de valor della v.a. lugo l asse reale. Dcamo subto che le quattà uso soo tre LA MODA: l valore pù probable della v.a. (coè, quello cu corrspode l valore d probabltà pù elevato); LA MEDIANA: l valore tale per cu la somma delle probabltà relatve a tutt valor della v.a. feror ad esso è esattamete uguale alla somma delle probabltà relatve a tutt valor della v.a. superor ad esso; term poco rgoros ma fgurat, è quel valore che ha tata probabltà complessva alla sua destra (sull asse reale) quata e ha alla sua sstra: u certo seso l vero cetro della dstrbuzoe; LA MEDIA: questa è sez altro la pù utle e la pù usata delle tre, dcata geere co la lettera greca µ; s trova co la formula seguete: µ E ( X ) X ( ) Ua volta localzzato l cetro della dstrbuzoe è mportate ache sapere quato quest ultma è dspersa. Faccamo u esempo u po avulso, gusto per capre cosa s tede co dsperso. Cosderamo seguet grupp d umer, ambedue cetrat toro a 0: I) 9.9, 9.85, 0.05, 9.95, 0.5, 0., 0.0 II) 5,, 3, 7, 4, 9, 0 I-5

16 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Ambedue grupp hao come meda 0, però l prmo ha tutt valor molto vc a 0, paragoato al secodo gruppo che è molto pù sparpaglato. I modo aalogo, torado alle dstrbuzo, potremmo avere ua v.a. che assume valor tutt vcssm come vece ua che assume valor molto sparpaglat. Come gudcare questa caratterstca co u solo umero? Le quattà pù utlzzate soo tre: IL RANGE: la dffereza tra l valore pù grade ed l pù pccolo della v.a.. Utle per campo, come s vedrà pù avat, ma applcable per le dstrbuzo; IL RANGE INTERQUARTILE: la dffereza tra l quartle superore (l umero che ha u quarto della probabltà complessva alla sua destra) ed l quartle ferore (l umero che ha u quarto della probabltà complessva alla sua sstra). Ne rparleremo a proposto d campo; LA VARIANZA: questa è la meda de quadrat degl scart dalla meda, vale a dre: ( ) ( ) ( ) ( ) E [ X µ ] V X µ Vee molto utlzzata la radce quadrata (postva) della varaza, che vee detta DEVIAZIONE STANDARD (d.s.) ed dcata co la lettera greca σ. Corrspodetemete la varaza vee spesso dcata co σ, otazoe d cu c servremo spesso ache o el seguto. X I.8 Il valore atteso Abbamo utlzzato la otazoe E ( ), parlamoe meglo. Ifatt, armat della dstrbuzoe d probabltà possamo calcolare per og fuzoe della v.a. X ua quattà detta valore atteso. er trodurla mmagamo l seguete espermeto, co rfermeto a ua fuzoe mootoa g ( X) : s geera a caso u valore d X, dcamolo, e s calcola l valore corrspodete della fuzoe, g ( ). S rpete co u secodo valore, po u terzo, po u quarto e va dcedo. Troveremo tat valor dvers che a loro volta, proseguedo suffcetemete a lugo co l espermeto, darao luogo ad ua dstrbuzoe d probabltà per la uova v.a. data dalla fuzoe G g( X) : chamamola ( g) possamo sez altro calcolare la meda d G co la formula vsta sopra: G. Stado così le cose µ G E ( G) g ( g) g G I-6

17 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Ora, è charo che, ad esempo, l valore g ( ) d questa uova v.a. s preseterà co la stessa probabltà co cu s preseta l valore per la v.a. X, e così va: pù geerale, [ g( ) ] ( ) G X : possamo così scrvere: µ G g ( ) ( ) Questa quattà la defamo VALORE ATTESO della fuzoe (aleatora) g ( X). Se partcolare cosderamo la fuzoe g ( X) X trovamo l valore atteso d X, che cocde co la meda d X gà vsta sopra. Se vece cosderamo la fuzoe ( X) ( X ) X g µ trovamo la varaza d X. È charo però che l cocetto d valore atteso è pù geerale, e meda e varaza soo solo due cas partcolar. Vedamo alcue partcolartà. a) Il valore atteso è leare, el seso che: E ( a bx) ( a + b) ( ) a ( ) + b ( ) a + b ( ) a be( X) + X X X X + b) e la varaza? Come appea vsto la meda d Y a + bx è uguale a a + bµ (detta come al solto E( X) µ la meda d X), qud la varaza d Y a + bx sarà data da ( ) E b( X µ ) ( [( X µ )] ) b E( X µ ) ) b V( X) ( + bx) E [( a + bx) ( a + bµ )] V a E b ([ ] ) Il fatto che sparsca la costate addtva a è tutvo: aggugedo a tutt valor d ua costate a s aumeta d questa stessa quattà ache la meda, e duque gl scart dalla meda rmagoo varat. Importate otare che la costate moltplcatva b uscedo dalla varaza deve vere elevata al quadrato. I.9 Dstrbuzo multvarate ossamo estedere le cosderazo fatte ache ad u umero d v.a. maggore d uo: per fssare le dee cosdereremo due varabl aleatore, e c auteremo co la tradzoale coppa d dad. C rferremo a due dvers cas: el prmo cosderamo le due v.a. date da valor de due dad, e chamamole X ed Y. Qud X è l umero d put che appaoo sulla facca superore del prmo dado, Y l aalogo per l secodo dado. Sa X che Y possoo assumere valor,, 3, 4, 5 o 6. ossamo defre la probabltà coguta che le due v.a. assumao I-7

18 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo rspettvamete valor ed y, che scrveremo aalogamete alle otazo precedet, X, Y (, y), qud:, Y (, y) [ X, Y y] X I questo caso è charo che le due v.a. soo dpedet, qud come sappamo la probabltà dell tersezoe d evet dpedet è par al prodotto delle sgole probabltà: (, y) [ X, Y y] [ X ] [ Y y] ( ) ( y) X,Y X Y Ch legge potrebbe però provare a dmostrare l dpedeza delle due v.a. elecado tutt cas possbl (che soo 36, e soo tutt equprobabl), calcolado le opportue probabltà a pror e codzoate e trado le cocluso. Nel secodo caso cosderamo le v.a. date rspettvamete dalla somma de due dad e dal modulo della loro dffereza: chamamole W e Z. Qud term delle varabl precedet avremmo W X + Y ed Z X Y. Lascamo al lettore la cura d aalzzare tutt gl est possbl (sempre gl stess 36, sempre equprobabl) e d formare gl evet calcoladoe la probabltà. S trovao seguet rsultat: per la dstrbuzoe d Z z (z) 6/36 0/36 8/36 6/36 4/36 /36 er la dstrbuzoe coguta d W e Z: W, Z ( w,0) W, Z ( w,z) z,,3,4, 5 La dstrbuzoe d W è be ota ma la rpetamo: w o 3 o 4 o 0 5 o 9 6 od 8 7 (w) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 I-8

19 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Soo dpedet W e Z? redamo ua coppa d valor qualsas, ad esempo (,3) probabltà a pror che W assuma l valore 7 è ( 7) codzoata: ( 7 / 3) [ W 7 / Z 3] [ W 7 Z 3] [ Z 3] 7 : la 6 W. Calcolamo la probabltà 36 ( 7,3) 36 ( 3) 6 3 W,Z W / Z Z e questa probabltà a posteror è dversa dalla probabltà a pror. er l esattezza è l doppo. Duque, le due varabl NON soo dpedet: sappamo fatt che per v.a. dpedet la probabltà codzoata è uguale alla probabltà a pror per qualuque coppa d valor s. cosder. Qud lea d prcpo ( w,z) ( w) ( z) W,Z W Se desdero cooscere la probabltà che X assuma l valore qualuque sa l valore assuto da Y, posso procedere sommado su tutt valor y: X ( ) [ X, y] X,Y (, y) questa vee detta ROBABILITÀ MARGINALE d X, questo cotesto. Qud, se abbamo la probabltà coguta possamo faclmete calcolare le sgole probabltà come probabltà margal. y Z 36 I.0 Combazo elemetar d v.a. Calcolamo la meda della somma d due v.a. X ed Y qualuque (che possoo essere o o essere dpedet): per fare questo peschamo tutte le possbl coppe (, y) somma z + y e faccamo la meda d questa quattà per tutte le coppe. E ( Z) ( + y) (, y) (, y) + y (, y) X,Y X,Y y y y X,Y e formamo la (, y) + y (, y) ( ) + y ( y) E( X) E( Y),Y X,Y X y X Y + y y duque LA MEDIA DELLA SOMMA È LA SOMMA DELLE MEDIE. Vedamo l caso del prodotto Z X Y d due v.a. dpedet, per cu qud vale la relazoe (, y) ( ) ( y) X,Y E X Y ( Z) y (, y) y ( ) ( y) X,Y y y X Y I-9

20 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo ( ) y ( y) E( X) E( Y) X Y y qud la meda del prodotto è uguale al prodotto delle mede. Ma attezoe solo se le v.a. soo dpedet!, altrmet o è vera la relazoe (, y) ( ) ( y) pù l calcolo appea svolto. X,Y X Y e o vale Calcolamo la varaza della somma d due v.a. X ed Y dpedet procededo modo aalogo a quato fatto per la meda. er comodtà, chamamo ξ ed η le mede d X ed Y, e qud (per quato appea vsto) la meda d Z sarà data da ξ + η : ( ) [( + y) ( ξ + η) ] (, y) [( ξ) + ( y η) ] (, y) V Z X,Y y ( ξ) (, y) + ( ξ)( y η) (, y) + ( y η) (, y) X,Y X,Y y y ( ξ) ( ) + ( ξ)( y η) ( ) ( y) + ( y η) ( y) X X Y y y y y X,Y ( X) + ( ξ) ( ) ( y η) ( y) + V( Y) V( X) V( Y) V X Y + y Y X,Y duque LA VARIANZA DELLA SOMMA È LA SOMMA DELLE VARIANZE. D uovo, attezoe!: questo è vero solo se le v.a. soo dpedet!, altrmet o vale la relazoe (, y) ( ) ( y) X,Y X Y (repetta juvat), e qud o è geeralmete ullo l terme Cov ( X,Y) ( ξ)( y η) (, y) y XY, detto COVARIANZA d X ed Y, e s ha ( Z) V( X) + V( Y) Cov( X, Y) V + ossamo ache dare ua msura d quato dpedet sao le varabl, tramte l parametro ρ, detto COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE, così defto: ρ ( X,Y) ( ) V( Y) Cov V X S vede che l coeffcete vara tra e +, ed è ullo se le varabl soo dpedet. er ρ > 0 le varabl s dcoo CORRELATE OSITIVAMENTE, e vceversa. Naturalmete quato detto per v.a. dpedet s estede alla somma (o al prodotto) d u umero qualuque d v.a. dpedet. I-0

21 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo assamo ora ad esamare alcue mportat dstrbuzo d probabltà. Izeremo co la DISTRIBUZIONE BINOMIALE. I. Dstrbuzoe bomale Immagamo d lacare u dado: abbamo ua probabltà d /6 che vega l umero 3. Rpetamo l laco volte, e cotamo quate volte esce l umero 3. S tratta scuramete d u umero tero compreso tra 0 ed : chamamolo. Rpetamo lo stesso espermeto - lac, s cotao le volte che esce testa: otterremo u umero forse uguale al precedete, forse dverso, sempre comuque compreso tra 0 ed. Se rpetamo tatssme volte questo stesso espermeto, è charo che otterremo o prma o po tutt umer compres tra 0 ed, oguo co ua certa frequeza. È sez altro lecto cheders: co quale probabltà lacado volte u dado uscrà esattamete volte l umero 3? rovamo a calcolare questa probabltà. Oguo de lac è dpedete dagl altr (vale a dre che l rsultato del 3 laco o dpede da quello del o del 5 o d qualuque altro): sappamo che la probabltà che s verfcho cotemporaeamete degl evet dpedet è par al prodotto delle sgole probabltà che s verfcho var evet. Cosderamo ua certa successoe d rsultat (ad esempo SNNSNSNNNSSS etc ove S sta per sì, è uscto l 3, e N sta per o, o è uscto l 3) cu S ha ua probabltà p (par a /6) ed N ua probabltà q p ( questo caso 5/6): la probabltà d otteere propro questa successoe d est è data da [ SNNSNSNNNSSS ] pqqpqpqqqppp..., vale a dre l prodotto delle probabltà de sgol rsultat. Qualuque strga d rsultat coteete volte S e - volte N ha probabltà q p. D altra parte, la probabltà complessva d otteere volte S (come s dce usualmete SUCCESSI), è par alla probabltà dell uoe d tutt gl est che verfcao l mo eveto, coè tutte le strghe che cotegoo volte S. È charo che tutt quest est soo dsgut (o s possoo avere due dverse strghe cotemporaeamete: la successoe degl lac è uvoca): qud la probabltà dell uoe è uguale alla somma delle sgole probabltà - questo caso q p moltplcato per l umero d strghe co success. Quest ultmo è l umero d mod cu posso mettere oggett ( success) caselle ( lac) seza cosderare l orde ( success soo tutt ugual) coè l umero d combazo a a d oggett. I deftva percò la probabltà cercata è I-

22 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo [ ] p q Questa è ua dstrbuzoe d probabltà espressa forma aaltca, ed è ota come DISTRIBUZIONE BINOMIALE. D ora po la oteremo come ( ;, p) Rassumamo le codzo cu essa vale: b. l espermeto ha possbl rsultat (che chameremo successo e fallmeto) l espermeto vee rpetuto volte, og volta co la medesma probabltà p d successo le rpetzo soo tutte dpedet tra d loro tal potes, la dstrbuzoe bomale c dca la probabltà d avere esattamete success rpetzo. ossamo domadarc qual è la probabltà complessva d avere u qualuque umero d success compreso tra 0 e, coè la fuzoe d rpartzoe. Osservamo che cò che stamo chededo è la probabltà dell uoe d + evet (0 success, successo. success), che charamete soo dsgut, o come s dce ache, compatbl: fatt o possoo verfcars crcostaze cu s abbao cotemporaeamete, ad esempo, esattamete 3 success ed esattamete 4 success: ma la probabltà dell uoe d evet dsgut è uguale alla somma delle probabltà de sgol evet, qud: F K ( j) [K j] j 0 p L uoe d tutt possbl est (coè la probabltà d avere u umero qualsas d success compreso tra 0 ed ) sarà F K ( ), e questa dovrà essere par ad (fatt l uoe d tutt possbl rsultat è u eveto certo: u qualche umero d success compreso tra 0 ed dovrà pur verfcars). Verfchamolo: F K + 0 q ( ) p q ( p q) per la formula d Newto (poteza del bomo). D altra parte p + q per defzoe, e qud la fuzoe d rpartzoe per K è propro uguale a. Questa è scuramete ua propretà geerale d tutte le dstrbuzo d probabltà: la probabltà complessva dell uoe d tutt gl est possbl è uguale ad I-

23 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Torado alla dstrbuzoe bomale, possamo vederla ache come somma d varabl aleatore, chamamole X per,,,, dove la sgola varable X assume l valore oppure 0 a secoda che ell -esma rpetzoe dell espermeto s sa avuto u successo od u successo. Co questa defzoe è charo che la varable del umero totale d success el complesso degl tetatv. Calcolamo la meda e la varaza delle sgole varabl X Y assumerà l valore X, rcordado che ad og rpetzoe (qud ache la la -esma) la probabltà del successo è sempre p, e quella dell successo sempre Calcolamo la meda: calcolamo la varaza: q p, o altr term, [ X ] p ( ) E ( X p) V X ( X ) p + 0 q p E [ ] ( p) p + ( 0 p) q pq, e [ X 0] q. Applchamo quato sappamo per la somma d varabl dpedet (fatt le rpetzo dell espermeto soo tutte dpedet), vale a dre che la meda della somma è la somma delle mede (come è sempre), e la varaza della somma è uguale alla somma delle varaze (perché le varabl soo dpedet). oché hao tutte la stessa meda p, la somma delle mede è data da p moltplcato per, e aalogamete per la varaza, qud: E ( Y) E( X ) p V( Y) V( X ) p q È charo che allo stesso rsultato s pervee a partre dall espressoe della probabltà bomale: E j j ( K) ( ) p q p 0 K 0 e aalogamete per la varaza (eserczo: dmostrare l espressoe appea scrtta ha l rsultato v dcato, e rpetere per la varaza). I-3

24 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Nota: le X vste sopra soo INDIENDENTI E IDENTICAMENTE DISTRIBUITE, (frase geere abbrevata co..d.): fatt le rpetzo dell espermeto soo tutte dpedet, e tutte hao la stessa detca dstrbuzoe d probabltà: probabltà d successo p, probabltà d successo q. Esempo S è determato che u certo albero se soggetto ad u certo carco assale ha ua probabltà d cedere par a Qual è la probabltà che su 6 alber così carcat: a) al massmo cedao; b) almeo 4 cedao? Esempo U fabbrcate d caffettere elettrche dchara che solo el 0% de cas suo apparecch rchedoo tervet mautetv durate l perodo d garaza, che è d u ao. Se su u certo campoe d 0 caffettere 5 rchedoo rparazo durate l ao d garaza, sete portat a credere oppure o alla dcharazoe del fabbrcate? Esempo 3 U certo studo sostee che l 75% degl cdet sul lavoro potrebbero essere evtat semplcemete tramte l osservaza delle regole relatve alla scurezza. Nel caso cu tale affermazoe rspoda a vertà, trovate la probabltà che: a) meo d 6 cdet su 0 sarebbero evtat b) cdet su 5 potrebbero essere evtat Esempo 4 I u certo quartere s è regstrata ua probabltà 0.0 che le terruzo elettrche, quado sverfcao, supero la durata d mut. Se u mese s hao 8 terruzo, trovare la probabltà che 3 d esse supero mut Esempo 5 U fabbrcate d verc rtee che 0% delle cofezo da lu prodotte cotegao meo verce d quato rportato sull etchetta. er verfcare tale crcostaza, vegoo selezoate modo casuale 6 latte d verce ed l coteuto vee msurato esattamete; se o pù d latte cotegoo meo verce d quato prescrtto, la crcostaza s rtee provata. Sarà vero? er farv u dea, calcolate la probabltà d superare tale test se realtà la percetuale d latte co coteuto suffcete è: a) 5% b) 0% c) 5% d) 0% I-4

25 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I. La dstrbuzoe d osso Questa dstrbuzoe s preseta quado s ha a che fare co cert tp d process d coteggo, dett apputo process d osso. Tpcamete, s tratta d cotare u umero d evet u dato tempo (umero d decadmet radoattv u muto, umero d TIR che passao u ora, umero d persoe che arrvao all uffco postale ua mattata e sml). Dcamo N ( t) l umero d evet regstrat el tempo t. Vedamo sotto qual codzo l processo esame è defto d osso. ) Icremet a) dpedet e b) stazoar a) Idpedet - sgfca che la probabltà che el tempo t s verfch u dato umero d evet è dpedete dal umero d evet verfcats precedeza, o che s verfcherao futuro: og lasso d tempo fa stora a sé b) Stazoar sgfca che ugual lass d tempo hao ugual probabltà dpedetemete dal mometo cu zao: el seso che { N( t + s) N( t + s) } { N( t ) N( )} t ) N ( 0) 0 (che è ovvo realtà) 3) { N( h) } λh + o( h) 4) { N( h) } o( h) dove o ( h) dca ua quattà che tede a zero pù rapdamete d h: o( h) / h 0 lm 0 h I put 3 e 4 combat sgfcao semplcemete che gl evet soo separat el tempo, qud prededo u tempuscolo h abbastaza pccolo samo scur d trovare al massmo u eveto durate h e ma pù d uo. Osservamo che da put 3 e 4 dscede ache la seguete relazoe: { N( h) 0} N( h) N( h) { } { N( h) } { N( h) } [ λh + o( h) ] o( h) λh + o( h) er comodtà troducamo la seguete otazoe: ( t) { N( t) } ossamo così rscrvere l ultmo rsultato come: ( h) λh o( h) 0 + I-5

26 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Dervamo ora u espressoe che c permetta d calcolare 0 ( t). er fare cò partamo dal calcolo d 0 ( t + h) ( t + h) { N( t + h) 0} { N( t) 0 N( t + h) N( t) 0} 0 poché gl cremet soo dpedet, la probabltà dell tersezoe etro paretes graffe è par al prodotto delle probabltà de sgol evet, oltre soo stazoar, qud: ( t + h) { N( t) 0} { N( t + h) N( t) 0} { N( t) 0} { N( h) 0} ( t) ( h) Itroducedo l espressoe rcavata sopra per la probabltà 0 ( h) trovamo qud ( t + h) ( t) [ λh o( h) ] Rordado e dvdedo per h otteamo qud 0 ( t + h) ( t) h 0 λ 0 ( t) ( h) o + h da cu, facedo l lmte per h tedete a zero, otteamo l equazoe dfferezale d 0 dt ( t) λ che rsolta co la codzoe 0 ( 0) (fatt dalla codzoe umero s ha che ( 0) 0 u eveto certo) dà fe l rsultato cercato: 0 ( t) 0 ( t) N è λt ( t) 0 e rocedamo modo smle per calcolare ( t), sempre facedo dapprma rfermeto all tervallo avrà t + h. I questo caso però abbamo mod d otteere N ( t + h) : e qud s ( t h) N( t + h) + { } [ N( t) N( h) 0] [ N( t) N( h) ] [ N( t) N( h) ] { N( t) } { N( h) 0} + { N( t) } { N( h) } + { N( t) } { N( h) } I-6

27 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo ( t) ( h) + ( t) ( h) + ( t) ( h) 0 ( t) [ λh + o( h) ] + ( t) [ λh + o( h) ] + ( t) o( h) ( t) [ λh] + ( t) λh o( h) + Acora ua volta rordamo e dvdamo per h, qud faccamo l lmte per h tedete a zero, otteedo: d dt ( t) λ ( t) + λ ( t) Questa può essere tegrata (rcordado che ( 0) 0 ) per trovare ( t) ( t) : Ad esempo, trovamo subto che λt ( t) e λ ( τ) t 0 e λτ dτ ua volta oto t t 0 te 0 0 λt λτ λt λτ λτ λt ( t) e λ ( τ) e dτ e λe e dτ λ rocededo modo aalogo per valor successv d trovamo l espressoe geerale: ( t) ( λt) λt! e Se chamamo µ l prodotto λ t possamo rscrvere la dstrbuzoe appea vsta come µ! µ ( t) e che è la forma cu vee geeralmete scrtta la dstrbuzoe d probabltà d osso. S vede faclmete che la somma vale, correttamete; fatt: µ µ µ e e 0! µ! e µ e +µ È charo fatt che la sommatora a secodo membro è propro lo svluppo sere d McLaur della fuzoe espoezale. I-7

28 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo A cosa corrspode la quattà µ? rovamo a calcolare la meda, o valore atteso d che dr s vogla: µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ ( ) µ µ t e e e e e!!!! 0 ( )! ( ) 0 µ qud l parametro µ cocde co l valor medo d. rocededo modo aalogo, co u calcolo appea pù laboroso, s trova che la varaza d tale dstrbuzoe è ach essa par a µ. Questa è ua peculartà della dstrbuzoe d osso. Esempo Ua baca cassa meda 6 asseg scopert al goro. Qual è la probabltà che a) u goro e cass 4; b) due gor e cass 0. Esempo Il cotrollo su d ua produzoe d latta stagata rvela meda 0. dfett al muto. Calcolare la probabltà d trovare: a) u dfetto 3 mut; b) almeo due dfett 5 mut; c) al massmo u dfetto 5 mut. Esempo 3 Il umero d guast settmaal d u certo computer è ua dstrbuzoe d osso co λ S calcol la probabltà che oper seza guast per due settmae cosecutve. Esempo 4 Il umero d foto gamma al secodo emess da u dato sotopo è ua dstrbuzoe d osso co λ Se u cotatore satura se rceve pù d foto u secodo, s calcol la probabltà che satur u dato secodo. Esempo 5 Il cetralo d u uffco rceve meda 0.6 chamate al muto. S calcol la probabltà che a) u muto c sa almeo ua chamata; b) 4 mut arrvo almeo 3 chamate. Esempo 6 Ua compaga vede tempo maccha sul propro computer lott d t ore, e questo al prezzo d 600 /hr. Il umero d guast del computer è ua varable aleatora co dstrbuzoe d osso co computer ha X guast u perodo d t ore, costa 50 X d rparazoe. Che valore d t covee sceglere per massmzzare l'aspettatva d proftto? λ 0.8 t, e se l Esempo 7 I ua certa cttà medamete 4 gudator predoo almeo ua multa u mese. S us la dstrbuzoe d osso per trovare la probabltà che: a) gudator predao almeo ua multa u dato mese; b) almeo 4 gudator predao almeo ua multa u dato mese; c) da a 4 gudator predao almeo ua multa u dato mese; d) essu gudatore preda multe u dato mese. I-8

29 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.. Ua propretà teressate S abbao due tervall cosecutv t e t, tal che l umero d success el prmo tervallo sa retto da ua dstrbuzoe d osso co meda µ, ed l umero d success el secodo tervallo sa retto da ua dstrbuzoe d osso co meda ν. Qual è la dstrbuzoe d probabltà per l umero complessvo d success ell tervallo T t + t? Iaztutto la probabltà che el prmo tervallo, l tervallo t, v sao success (co m) è data da ( ; t ) e µ µ! se el prmo tervallo s soo avut success, perché ella somma de due tervall ve e sao m occorre che ve e sao m- el secodo tervallo, l tervallo t. La probabltà d tale eveto è data da ( m ; t ) ν m e ν ( m )! oché due evet soo dpedet (come è sempre per evet rett dalla possoaa) la probabltà che ell tervallo t v sao success e oltre ell tervallo t v sao m- success, per quato gà sappamo, è l prodotto delle probabltà ( ;t ( m ) ;t ) ( ;t ) ( m ; t ) µ e µ! ν m e ν ( m )! D altra parte, m success ell tervallo t +t s possoo avere co qualuque rpartzoe tra t e t : 0 ed m, ed m-, ed m- e va dcedo. E aturalmete tutte le combazo soo compatbl tra d loro. Qud m m t 0 0 la probabltà ( m; t + t ) [ ; t ( m ) ; t ] ( ; t ( m ) ; ) ertato la probabltà rchesta è data da m ( m; t + t ) ( ; t ) ( m ; t ) m ( m ) 0 0! e µ µ e ν ν m! Vedamo co qualche passaggo: m 0 µ e µ! e ν ν m e µ e m ν ( m )!! ( m ) 0 µ ν m e! µ e m! ν m 0 m µ ν m e ( µ+ν) ( ) m m! µ + ν I-9

30 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Coè, la dstrbuzoe d probabltà per l umero d success ella somma de due tervall è data da ua possoaa co parametro λ µ + ν. Il valore atteso aturalmete è < m > λ µ + ν, coè: l valore atteso del umero d success ella somma degl tervall T t + t è par alla somma de valor attes del umero d success el prmo e el secodo tervallo. Applchamo questo prcpo che abbamo scoperto al caso t t, coè T t. ertato λ µ, e la dstrbuzoe d probabltà dvee: Il valore atteso aturalmete è < m > µ. µ e p ( m;t ) b ( m;µ ) ( ) m µ m! I.. U altra propretà teressate Rpredamo la dstrbuzoe bomale, e mmagamo d aumetare l umero d prove N e dmure la probabltà d successo ua sgola prova p, ma maera coordata: voglamo che l prodotto p, coè la meda µ della dstrbuzoe, s matega costate. Qud se raddoppamo dmezzamo p, se dvdamo p per 0 decuplchamo e va dcedo. er comodtà e per o dmetcare la coordazoe tra umero d prove e probabltà p d successo ua prova, rscrvamo quest ultma quattà come rapporto tra la meda µ (che mateamo ferma) e l umero (che lascamo crescere): [ ] ( )! µ!! ossamo rscrvere l rapporto tra fattoral, e otteere µ [ ] ( ) )... ( + )! µ µ e f qu abbamo fatto solo qualche passaggo. Ora lascamo crescere, come detto, e cosderamo valor d che sao molto pccol rspetto ad : tal caso possamo approssmare prodott a umeratore co l prodotto d volte, e ell espoete - trascurare. Otteamo [ ] µ! µ I-30

31 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Facedo ora l lmte per, e osservado che lm µ come certo rcorderemo dal corso d aals, possamo scrvere fe e µ µ [ ] e µ! coè: la dstrbuzoe bomale per co µ p dato e fsso, tede alla dstrbuzoe possoaa, almeo per valor d ft. U esempo partcolarmete teressate per o è l decadmeto radoattvo. Ifatt c trovamo geeralmete preseza d u grade umero d atom, solo ua parte de qual decade u tempo prefssato. Descrvamolo così: fssamo u tempo d osservazoe T; og atomo ha ua probabltà, che chameremo λ T, d decadere el corso d questo tervallo d tempo T; soo preset N atom tutt ugual, che dal puto d vsta del decadmeto soo dpedet l uo dall altro (le dstaze tra u ucleo e l altro soo mmese rspetto al raggo d azoe delle forze uclear resposabl del decadmeto); quat atom decadrao el tempo T? Questo è u classco espermeto bomale, fatt abbamo: N replche dpedet dello stesso espermeto er og replca la probabltà d successo (l decadmeto durate T) è ota e fssa: λt Qud possamo scrvere subto la dstrbuzoe d probabltà per l umero d decadmet el tempo T: rovamo a valutare N e soo preset N N [ ] b( ; N, λt) ( λt) ( λt) λ T, e per far questo cosderamo g d rado-6. I g d rado A N N A 6 Ra atom. Ioltre sappamo che g d rado-6 dà luogo (medamete) a decadmet al secodo, qud vedamo che la frazoe degl atom preset che decade (medamete) el lasso d tempo d u secodo è par a I-3

32 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo e questo è par alla probabltà che u sgolo atomo decada el predetto lasso d tempo, coè λ T (fatt, s deve avere µ p N λt ). C trovamo precsamete elle codzo deal per approssmare l orgale dstrbuzoe bomale co ua dstrbuzoe possoaa, ed partcolare: b N ( ; N, λt) ( λt) ( λt) N ( N λt) N T! e λ ove l prodotto N λt assume l valore vsto d decadmet. Esempo Approssmare b(3; 00, 0.03) co la dstrbuzoe d osso. Esempo U'asscurazoe ha 3840 asscurat cotro l furto. Se la probabltà che u clete cheda almeo u dezzo u ao è d /00, esprmere la probabltà che u dato ao lo chedao 0,,, 3, 4... clet. Esempo 3 I ua certa cttà l 6% de gudator prede almeo ua multa al mese. S us la dstrbuzoe d osso per calcolare la probabltà che: a) 4 gudator predao almeo ua multa u dato ao almeo; b) 3 gudator predao almeo ua multa u dato ao; c) da 3 a 6 gudator predao almeo ua multa u dato ao. Esempo 4 S è trovato che la probabltà che u'auto buch ua gomma metre trasta ua certa gallera è S calcol la probabltà che almeo d 0000 auto bucho ua gomma metre trastao ella gallera. Esempo 5 Lo 0.8% delle spolette cosegate ad u arseale soo dfettose. S calcol la probabltà che ve e sao 4 dfettose su u campoe casuale d 400. Esempo 6 Se l 5% de lbr che escoo da ua legatora hao rlegatura dfettosa, trovare la probabltà che d 00 tal lbr abbao rlegatura dfettosa usado: a) la dstrbuzoe Bomale; b) la dstrbuzoe d osso. I-3

33 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.3 Le varabl aleatore cotue Veamo alle v.a. cotue, che presetao molte somglaze ma ache alcue peculartà rspetto alle v.a. dscrete che abbamo cosderato fora. Ua varable aleatora cotua, rpetamolo, assume valor lugo u segmeto dell asse reale (evetualmete ache tutto l asse). È subto evdete che o possamo assocare evet a valor della v.a. co la facltà avuta el caso delle v.a. dscrete. rovamo a fare u esempo pratco. Dcamo che mettamo fuor u seccho (d capactà Z ltr) sotto la pogga e dopo u ora lo rtramo e msuramo quata acqua ha raccolto. Qu faremo l potes assa astratta d poter msurare l acqua coteuta el seccho co esattezza, co u umero llmtato d cfre decmal (ache se ella realtà essuo strumeto ha ua precsoe fta). Se rpetamo questa prova og volta che pove, troveremo tat valor dvers, scuramete sempre compres u tervallo che va da zero (seccho vuoto, o pove) alla capactà Z del seccho (seccho peo). Se pure o è facle trovare ua relazoe chara, semplce ed esatta come el caso de dad, possamo co u po d sforzo d mmagazoe pesare a tutte le possbl testà d pogga come evet casual, e qud a ltr d acqua raccolta come a ua varable aleatora, che però questo caso è cotua: fatt può assumere qualuque valore ell tervallo reale [0,Z]. Veamo alla dffereza sostazale colle v.a. dscrete: quel caso rpetedo u espermeto a suffceza, possamo trovare rpetuto u certo rsultato (ad esempo l rsultato per ua coppa d dad) u qualuque umero d volte; el caso delle v.a. cotue, vece, o s possoo lea d prcpo rtrovare due rsultat detc tutte le fte cfre decmal: due rsultat possoo essere vcssm, ma ma detc. Questo ha ua cosegueza mportate ma per caprla bee dobbamo fare ua dgressoe e parlare della Iterpretazoe della probabltà come lmte della frequeza Ch adotta questo puto d vsta ragoa questo modo: se o laco ua moeta blacata 00 volte, potrò o otteere esattamete 50 teste e 50 croc, magar sarao, che so, 53 e 47, vale a dre l 53 ed l 47 %; se la laco 000 volte o sarao propro 500 e 500 ma forse, dcamo, 507 e 493, coà l 50,7 ed l 49,3 % rspettvamete. Verosmlmete se la laco 0000 volte, avrò u rsultato come 503 e 4969, par al 50,3 e 49,69 % - somma, ma mao che cresce l umero d lac la proporzoe, che questo cotesto vee chamata FREQUENZA RELATIVA, s avvca sempre pù al 50%, sa per le teste che per le croc. Nel lmte d ft lac la FREQUENZA RELATIVA tede ad u valore astotco e questa è la ROBABILITÀ. Fe dell cso I-33

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