E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A

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1 L M T I D I P R O B A B I L I T A CI STORICI Il calcolo delle probabilità si è andato sviluppando piuttosto di recente, intorno al 500 e per lungo tempo solo come una branca della matematica Solo dal secolo scorso si è andato caratterizzando come una disciplina autonoma, applicabile nei più diversi contesti, demografici, sociali, economici I diversi studiosi della materia sono concordi con il considerare il matematico e filosofo francese B Pascal ( ) l iniziatore del calcolo delle probabilità ai tempi in cui la disciplina veniva applicata quasi esclusivamente ai giochi dei dadi, delle monete o delle carte ei secoli successivi ci sono state diverse definizioni di probabilità, ciascuna delle quali ha messo in evidenza degli aspetti consoni alle problematiche da risolvere Le diverse concezioni riconosciute e applicate sono quattro : A) PROBABILITA CLASSICA; B) PROBABILITA FRQUTISTA o FRQUTISTICA; C) PROBABILITA SOGGTTIVA; D) PROBABILITA ASSIOMATICA La probabilità assiomatica, nata nel secolo scorso ad opera del matematico russo A Kolmogorov, rappresenta l impostazione più accettata e seguita anche perché riesce a comprendere, entro certi limiti e sotto determinate ipotesi, anche le impostazioni precedenti P R O B A B I L I T A C L A S S I C A Consideriamo l esperimento ( ripetibile ) del lancio di un dado ; la prova consiste nel fare rotolare il dado e scommettere sull uscita di una certa faccia tra le sei possibili e comunque necessarie Le possibili manifestazioni della prova ( faccia, faccia, faccia 6 ) sono chiamate VTI ; in particolare, se non vi sono motivi per ritenere il dado truccato o manipolato, l evento generato dal lancio è un risultato definito CASUAL o ALATORIO, cioè un evento sul quale non è possibile predeterminare l uscita al pari degli altri eventi possibili All interno di questo schema, ripetibilità dell esperimento, evento casuale, uguale possibilità del verificarsi di tutti gli eventi generati dalla prova, è possibile definire la probabilità classica FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina di 4

2 DFIIZIO : indicato con l evento aleatorio, con v il numero dei casi favorevoli all evento, con il numero di tutti i casi possibili generati dalla prova, si definisce probabilità dell evento il rapporto tra i casi favorevoli all evento ed il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano ugualmente possibili: Dalla formula risulta: P ( ) A) v il numero dei casi favorevoli necessariamente non può superare il numero dei casi possibili dal quale viene generato; B) v 0, non esistono logicamente casi favorevoli in numero negativo; C) P ( ) 0, la probabilità è un numero non negativo, dalla condizione B); D) P ( ), la probabilità è un numero non superiore a essendo una frazione tra una parte e la sua totalità In particolare, ) P ( ) 0 se v 0, la probabilità è uguale a zero se il numero dei casi favorevoli è zero, è un evento impossibile ; F) P ( ) se v, la probabilità è uguale a uno se numero dei casi favorevoli e numero dei casi possibili si eguagliano, è un evento certo In tutti gli altri casi la probabilità è sempre un numero compreso tra 0 e sempi : - Un urna contiene 0 palline numerate dall uno al dieci; calcolare la probabilità di estrarre una pallina non superiore al quattro; indicato con X 4 la variabile numero non superiore al quattro, con X 4 numero dei casi possibili è 0, pertanto : COMMTO v, il numero dei casi favorevoli è 4, { ;;3;4 } v 4 P ( X 4) ; 0 5, il L impostazione classica trova idonea applicazione nel campo dei giochi, dadi, monete, carte, urne, dove la prova è ripetibile, si svolge sempre nelle stesse condizioni ed in coerenza con la condizione di casualità degli eventi ( gioco del lotto, superenalotto, lotteria, roulette ) ; tutti i problemi in coerenza con questo modello possono essere risolti efficacemente con l impostazione classica La definizione classica è criticata per il suo carattere tautologico, in quanto nella definizione è presente il vincolo casi ugualmente possibili, supponendo che i casi FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina di 4

3 abbiano uguale probabilità di verificarsi e quindi nella definizione viene utilizzato lo stesso concetto che si vuole definire PROBABILITA CALCOLO COMBIATORIO - Lanciamo contemporaneamente due dadi; consideriamo l evento : entrambe le facce pari e calcoliamo la probabilità dell evento I casi possibili sono tutte le possibili coppie di numeri da a 6 anche ripetuti, disposizione con ripetizione n 6, k, D 36 ; i casi favorevoli sono tutte le possibili coppie di ' 6, numeri pari anche ripetuti, disposizioni con ripetizione n 3, k, D 9, pertanto : v 9 P ( ) 36 4 ' 3, - Da un mazzo di 40 carte si estraggono contemporaneamente due carte ; consideriamo l evento : entrambe le carte sono figure e calcoliamo la probabilità dell evento L estrazione è in blocco, siamo in presenza di combinazioni semplici I casi possibili sono tutte le coppie con le 40 carte a disposizione, n 40, k, C ,, i casi favorevoli sono tutte le coppie che si possono formare con le figure a disposizione, v 66 n, k, C, 66, pertanto P ( ) 0, Da un urna contenente 40 palline numerate, 0 rosse, 8 verdi, bianche, si estraggono successivamente palline ; consideriamo l evento : entrambe le palline sono verdi e calcoliamo la probabilità dell evento nei due casi seguenti: a primo caso, la pallina estratta non viene rimessa nell urna ; l evento non è ripetibile, siamo in presenza di disposizioni semplici I casi possibili sono tutte le coppie con le 40 palline a disposizione, n 40, k, D ,, i casi favorevoli sono tutte le coppie che si possono formare con le 8 palline verdi, v n 8, k, D 8, 306, pertanto P ( ) 0, 96 ; b secondo caso, la pallina estratta viene rimessa nell urna ; l evento è ripetibile, siamo in presenza di disposizioni con ripetizione I casi possibili sono tutte le coppie con le 40 palline a disposizione, n 40, k, D 600 ' 40,, i casi favorevoli sono tutte le coppie che si possono formare con le 8 palline verdi, v 34 8 n 8, k, D ' 8, 34, pertanto P ( ) 0, FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina 3 di 4

4 P R O B A B I L I T A F R Q U T I S T I C A ell impostazione frequentistica la probabilità è strettamente legata alla frequenza relativa di un evento Il concetto di frequenza relativa è presente già nella statistica descrittiva rappresentando la frazione unitaria di volte che si presenta un carattere con una data modalità ello schema frequentistico, indicato con l evento aleatorio, con k il numero delle volte che si è verificato l evento favorevole ad, con il numero delle prove effettuate, si definisce frequenza relativa dell evento il rapporto tra il numero delle volte che si è verificato l evento favorevole e il numero delle prove effettuate: f k Dalla formula risulta: A) k il numero delle volte che si è verificato l evento favorevole non può superare il numero delle prove effettuate; B) k 0 ; C) f 0, la frequenza è un numero non negativo, dalla condizione B); D) f, la frequenza è un numero non superiore a essendo una frazione tra una parte e la sua totalità In particolare, ) f 0 se k 0, la frequenza è uguale a zero se l evento non si è mai presentato; f 0 non significa necessariamente che è un evento impossibile, ma che nelle prove effettuate l evento non si è verificato; F) f se k, la frequenza è uguale a uno se l evento si è presentato in tutte le prove effettuate; f non significa necessariamente che è un evento certo, ma che nelle prove effettuate l evento si è verificato sempre FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina 4 di 4

5 sempi: - lanciamo un dado per 000 volte ottenendo i risultati disposti nella tabella : tabella faccia totale frequenza assoluta Calcolare la frequenza relativa dell evento si è presentata la faccia due : k 7 k 7, 000 f 0, La probabilità dell evento secondo la concezione classica è v P ( ) 0,6 6 - Un urna contiene palline colorate ma non conosciamo il numero e nemmeno la composizione dei diversi colori Vengono estratte 00 palline, rimettendo ogni volta la pallina nell urna in modo che la prova si svolga sempre nelle stesse condizioni I risultati sono descritti nella tabella : tabella colore pallina frequenza assoluta bianca verde gialla rossa nera totale La frequenza relativa dell evento si è presentata la pallina rossa : k 0, 00 k 0 f 0, Se ripetessimo un altra prova verosimilmente i risultati sarebbero diversi, ma se aumentassimo il numero delle estrazioni le frequenze relative tenderebbero a stabilizzarsi ed avvinarsi sempre più alla probabilità dei rispettivi eventi Questo aspetto viene definito dalla cosiddetta LGG MPIRICA DL CASO : considerato l evento, eseguendo una serie di prove sempre nelle stesse condizioni, all aumentare del numero delle prove la differenza tra frequenza relativa dell evento e la probabilità dell evento tende ad essere sempre più piccola e prossima allo zero quando il numero delle prove tende all infinito La legge non è dimostrabile se non attraverso delle prove che danno valore all assunto Attraverso la funzione casuale del foglio di calcolo xcel abbiamo simulato il lancio della moneta per 00,000 e 0000 volte ; i risultati acquisiti sono riportati nella tabella 3 : tabella 3 evento 00 lanci 000 lanci 0000 lanci assoluto frequenza frequenza frequenza assoluto assoluto relativa relativa relativa T 47 0, , ,4976 C 53 0, ,504 FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina 5 di 4

6 La probabilità dell evento testa è 0,50 ; come si può osservare, la frequenza relativa al crescere del numero dei lanci si avvicina sempre più al valore teorico, la differenza tra valore teorico e valore sperimentato è sempre più piccolo, con 00 lanci la differenza è 0,03, con 000 lanci 0,007, con 0000 lanci 0,004 La legge empirica del caso è alla base della definizione di probabilità frequentistica DFIIZIO PROBABILITA FRQUTISTICA: la probabilità di un evento è il limite della frequenza relativa dell evento con il numero delle prove che tende ad un valore sempre più alto, tendenzialmente all infinito COMMTO ) lim ella impostazione classica non vi è bisogno di fare prove per il calcolo della probabilità, essa già è calcolabile e conosciuta, non cambia se le condizioni alla base del calcolo restano costanti ell impostazione frequentistica la probabilità va calcolata sempre mediante l esperimento ed è nota solo dopo aver conseguito i risultati; se le prove sono sufficientemente elevate il valore della frequenza relativa si assume come probabilità Per la validità dell impostazione frequentistica bisogna fare riferimento a prove eseguite sempre nelle stesse condizioni, cosiddetto schema delle prove ripetute, e questo limita il campo di applicabilità D altra parte ci sono eventi che non possono essere calcolati con l approccio classico ed è necessario valutare esclusivamente l esperimento come base di una futura previsione ( campo assicurativo, probabilità di vita o di morte, tasso di incidentalità, efficacia di un farmaco, controllo qualità di un prodotto ) k P R O B A B I L I T A S O G G T T I V A Le impostazioni precedenti si basano esclusivamente sulla casualità degli eventi, probabilità classica, e sugli esperimenti ripetuti, probabilità frequentistica Spesso nel prendere una decisione con risultati incerti non sempre facciamo riferimento al caso o all esperienza Pensiamo al risultato di una partita di calcio : in esso entrano tanti fattori, quali l attuale posizione in classifica delle due squadre, il giocare in casa, eventuali assenze per infortuni o squalifiche di giocatori importanti ed una serie di tanti altri fattori ai quali ciascuno di noi assegna una importanza relativa ( fattore climatico, rapporti giocatori/allenatore/società, aspettativa nei confronti della squadra a cui facciamo FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina 6 di 4

7 riferimento ) In questo contesto difficilmente possiamo parlare di una probabilità classica che assegna uguali probabilità di 3 ai tre possibili risultati Se non avessimo alcuna conoscenza del fenomeno potremmo considerare gli eventi equiprobabili, basta un semplice indizio a far variare le aspettative L impostazione soggettiva fa riferimento al grado di fiducia che una persona assegna al verificarsi dell evento ; evidentemente la frase lascia un margine soggettivo molto ampio e difficilmente potrebbe essere accettata da tutti; è necessario introdurre anche una condizione di coerenza in modo tale che entrambe le parti in gioco siano disposte a scambiare le poste in gioco DFIIZIO DI PROBABILITA SOGGTTIVA: la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere se l evento si verifica e 0 se l evento non si verifica La probabilità degli eventi devono essere attribuite in modo che non sia possibile ottenere con un insieme di scommesse una vincita certa o una perdita certa ( Giorgio Dall aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli ) Indicato con l evento, con p il prezzo da pagare e con S la somma da riscuotere nel p caso si verifichi la probabilità di è data dal rapporto P ( ) S sempi: - Una persona ad un torneo di calcio scommette sulla vincita della squadra A pagando una somma di 0 euro ricevendo, in caso di vittoria, la somma di 6 euro La probabilità che la persona attribuisce all evento vincita della squadra A è p 0 P ( ) 0,65 Si dice pure che la scommessa sulla squadra A è data 0 a 6 S 6 oppure 5 a 8 ; per la condizione di coerenza la persona deve essere disposta, scambiando i ruoli, a pagare 6 e ricevere 0 sempre in caso di vincita della squadra A COMMTO Anche questa impostazione non è esente da critiche, in primis l estrema soggettività della probabilità che ogni individuo assegna al verificarsi dell evento, ovviamente diversa da persona a persona Ma è indubbio che ogni persona assegna a degli eventi un proprio grado di fiducia dipendente da svariati fattori, il più importante dei quali è il grado di conoscenza dl fenomeno ella nostra vita quotidiana sovente prendiamo decisioni o scommettiamo sul verificarsi di un evento in base alle nostre conoscenze e aspettative La scelta di un alternativa, di FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina 7 di 4

8 un azione, presuppone anche l avvenuta assegnazione, pur se in modo inconscio, di una probabilità P R O B A B I L I T A LL I M P O S T A Z I O A S S I O M A T I C A ell impostazione assiomatica vengono riprese tutte le conoscenze acquisite con le tre diverse impostazioni della probabilità sistemandole in modo rigoroso ed oggettivo facendo ricorso al linguaggio insiemistico Il matematico russo A Kolmogorov rappresenta gli eventi mediante gli insiemi e partendo da queste informazioni segue una impostazione assiomatica del calcolo delle probabilità che ancora adesso è la base più seguita nella letteratura ( Ricordiamo che un assioma rappresenta una frase assunta come vera senza dimostrazione ) PROVA, VTO, PROBABILITA Consideriamo il lancio di una moneta : la prova consiste nel lanciare una moneta, la prova stessa genera l evento, Testa e Croce, il quale evento si verificherà con una certa probabilità Le tre parole, prova, evento, probabilità, riassumono il percorso da compiere per arrivare al calcolo delle probabilità Deve essere chiara la tipologia di prova che si compie, noti gli eventi generati, oggettivo il calcolo della probabilità degli eventi stessi Facendo riferimento ad una prova gli elementi da considerare sono i seguenti: - SPAZIO DGLI VTI ( o universo dei campioni ) Ω : rappresenta tutti i possibili risultati della prova ; esso è anche chiamato insieme totale e rappresenta l evento certo el lancio di due dadi lo spazio degli eventi è rappresentato dall insieme delle coppie possibili n 6, k, 36 D ( ;),( ; ),( ;6 ),( 6; ), ( 6;),(6;6) ' 6, - VTO : si identifica come un sottoinsieme dello spazio degli eventi; nell esempio precedente l evento somma delle facce minore di 4 ; l evento si compone dei seguenti eventi elementari ( ;),( ; ), ( ; ) - VTO COTRARIO O COMPLMTAR ( non, il complementare di ) : l insieme degli eventi, rispetto allo spazio degli eventi Ω, che non appartengono ad ; il complementare di Ω è l insieme vuoto, esso rappresenta l evento impossibile; nell esempio somma delle facce maggiore o uguale a 4 FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina 8 di 4

9 - UIO DI DU VTI : si definisce unione o SOMMA LOGICA di due eventi e e si indica con U l evento che si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi, si verifichi, oppure si verifichi oppure entrambi ; el lancio di un dado consideriamo i due eventi faccia pari, faccia maggiore di 4 ; l unione sarà costituita dall insieme U {,4,5,6} n - UIO DI PIU VTI : U i i U U 3 U i U n è l unione che si verifica quando si verifica almeno uno degli eventi - ITRSZIO DI DU VTI : si definisce intersezione o PRODOTTO LOGICO di i ; due eventi e e si indica con I l evento che si verifica quando si verificano entrambi gli eventi e,si verifichi sia l uno sia l altro evento contemporaneamente Riprendiamo l esempio dell unione dei due eventi dove { ;4;6} e { 5;6} l intersezione sarà costituita dall insieme I { } ; 6, unico elemento comune n - ITRSZIO DI PIU VTI : I i i I I 3 I i I n è l intersezione che si verifica quando si verificano tutti gli elemento comune a tutti i ; deve esserci, pertanto, almeno un - VTI ICOMPATIBILI : due eventi sono incompatibili quando il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro ; i due eventi pertanto non hanno elementi in comune, la loro intersezione è nulla, I, non si possono verificare entrambi ; la definizione si può estendere a più eventi : essi sono incompatibili quando risultano incompatibili a due a due, l intersezione di due eventi contrari è sempre nulla; el lancio di un dado consideriamo i due eventi faccia pari, faccia minore di ; i due insiemi non hanno elementi comuni, sono disgiunti e pertanto verificandosi l uno necessariamente non si potrà verificare l altro, i due eventi sono incompatibili - VTI CSSARI : gli eventi sono necessari se nella prova almeno uno di essi deve verificarsi el lancio di un dado consideriamo i due eventi faccia dispari, faccia maggiore di ; nell ambito dello spazio degli eventi { ;;3;4;5;6 } eventi dovrà verificarsi, gli eventi sono necessari Ω almeno uno dei due FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina 9 di 4

10 Dalle definizioni di eventi contrari, incompatibili e necessari, è chiaro che due eventi contrari sono sempre incompatibili ; due eventi incompatibili sono contrari se sono anche necessari Gli eventi contrari dividono lo spazio degli eventi in due parti, l elemento appartiene ad uno solo dei due insiemi ; è sempre possibile creare lo spazio degli eventi diviso in due parti tra loro incompatibili, solitamente si parla anche di uno spazio dicotomico, spazio degli eventi distinto in due sole modalità Alcuni eventi sono già di per sé dicotomici, maschi e femmine, acceso e spento, pari e dispari; altri lo possono diventare mediante l evento contrario; in un raggruppamento per classi di reddito, ad esempio, basta prendere una classe di reddito come evento e creare l evento contrario come tutte le altre classi del collettivo in esame DFIIZIO DI PROBABILITA ASSIOMATICA La probabilità di un evento è un numero reale variabile che soddisfa i seguenti assiomi : ) P ( ) 0 la probabilità di un evento è un numero non negativo ; ) P ( Ω) la probabilità dell evento certo è uguale a ; 3) se I allora P U ) ) + ) se due eventi sono incompatibili la ( probabilità dell unione dei due eventi è uguale alla somma delle singole probabilità degli eventi Dagli assiomi possiamo dedurre le seguenti proprietà: a) P ( ) 0, la probabilità dell insieme vuoto è uguale a 0 Dimostrazione : Ω ΩU e per l assioma 3 Ω) ΩU ) Ω) + ), essendo per l assioma P ( Ω) necessariamente deve essere P ( ) 0 ; b) ) ), la probabilità dell evento contrario è il complemento a della probabilità dell evento Dimostrazione: da Ω U segue Ω) U ) ) + ), ) Ω) ) ) c) 0 P ( ), la probabilità è un evento compreso tra 0 e estremi inclusi Dimostrazione: primo caso) se fosse P ( ) < 0 allora P ( ) ) ( ( )) > ed è un assurdo in quanto la probabilità non può essere maggiore di ; FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina 0 di 4 secondo caso) se fosse P ( ) > allora P ( ) ) ( ( > )) < 0 ed è un assurdo in quanto la probabilità non può essere minore di 0

11 d) Se I I 3 I I s allora P ( U U 3 U U s ) ) + ) + 3) + + s ) estensione dell assioma 3, se più eventi sono a due a due incompatibili la probabilità dell unione degli eventi è uguale alla somma delle singole probabilità degli eventi e) Se gli eventi oltre che incompatibili sono anche necessari, U U U U Ω allora la somma delle probabilità sarà uguale a, P ( 3 s 3 s U U U U ) + ) + ) + + ) 3 s COMMTO L impostazione assiomatica non indica le procedure per il calcolo della probabilità degli eventi ma i valori che vengono attribuiti devono essere coerenti con gli assiomi LGG DLL PROBABILITA TOTALI Se due eventi sono compatibili vale la seguente relazione : P ( U ) ) + ) I ), la probabilità dell unione di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi diminuita della probabilità congiunta La relazione si estende all unione di tre eventi compatibili : U U 3) ) + ) + 3) I ) I 3) I 3) + I I 3) 3 sempi: - Da un mazzo di 40 carte viene estratta una carta ; calcolare la probabilità che sia una carta di denari o un asso Sia la carta sia di denari, la carta sia un asso ; gli eventi sono compatibili in quanto l asso di denari è pure una carta di denari, l uscita dell asso non esclude l uscita di una carta di denari, pertanto FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina di 4

12 P ( U ) ) + ) I ) dove 0 P ( ), 40 quanto solo l asso di denari è comune ai due eventi, P U ) ) + ) I ) ( 4 P ( ), 40 ) I in 40 PROBABILITA CODIZIOATA Si definisce probabilità di un evento condizionata all evento e si indica con P ( ) ( probabilità di dato ) la probabilità che si verifichi condizionata al verificarsi di : I ) ) con P ( ) 0 ) Praticamente si valuta la probabilità dell evento subordinata al verificarsi dell evento, verificatesi si calcola la probabilità di come sottoinsieme di sempi: - Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari sapendo che è uscita una faccia inferiore a 4 ; pertanto numero pari, faccia minore di 4, se non sapessimo alcuna informazione sul dado l evento avrebbe una probabilità di ½ mentre l informazione suppletiva permette di restringere lo spazio degli eventi non a 6 possibili ma solo a 3, con uno soltanto favorevole; la probabilità dell evento sarà pari quindi a /3 ell impostazione classica la probabilità condizionata si traduce nel considerare possibili solo i casi favorevoli all evento condizionante e come casi possibili non più ma ( casi favorevoli a ) e come casi favorevoli solo quelli favorevoli ad entrambi gli eventi e, si ottiene ) I I ), dividendo entrambi i membri per I ) ) I 3 I Ω FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina di 4

13 - Un urna contiene 0 palline numerate da a 0 calcolare la probabilità che in una estrazione compaia un numero pari, sapendo che è uscito un numero maggiore di 7 numero pari, { ;4;6;8;0 }, numero maggiore di 7, { 8;9;0 } Lo spazio degli eventi si è ridotto da 0 casi possibili a 3 casi possibili, i casi favorevoli a da 5 passano a due { 8 ;0} e quindi la probabilità sarà : I P ( ) oppure I ) 0 I ) 3 ( ) P Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari sapendo che è uscita una faccia superiore a 4 ; pertanto numero pari, faccia superiore a 4 Lo spazio degli eventi si è ridotto da 6 casi possibili a casi possibili, i casi favorevoli a da 3 passano a uno { 6 } e quindi la probabilità sarà : I ) P ( ) oppure I I ) 6 ( ) P 6 ell esempio l informazione suppletiva non porta a modifiche delle probabilità LGG DLL PROBABILITA COMPOST Dalla formula P ( I ) ), isolando il numeratore del membro si ricava ) I ) ) ) oppure P I ) ) ) ( La probabilità dell intersezione tra gli eventi e o del prodotto logico è uguale al prodotto della probabilità del primo evento moltiplicata la probabilità del secondo evento nell ipotesi che si sia verificato La legge si può estendere a più eventi : P ( I I 3 3 ) ) ) I ) e generalizzando I I 3I I s ) ) ) 3 I ) s I I 3I I s) VTI DIPDTI IDIPDTI Due eventi si dicono indipendenti ( stocasticamente o probabilisticamente ) se il verificarsi dell uno non influisce sulla probabilità dell altro, gli eventi non si condizionano, pertanto sarà P ) ) e P ) ) ( ( Dalla formula delle probabilità composta segue la legge delle probabilità composte per eventi indipendenti : P I ) ) ) e P I ) ) ) ( ( FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina 3 di 4

14 Il principio può essere esteso al caso di più eventi indipendenti tra loro : I I 3I I s ) ) ) 3) s ) sempio: - Si estraggono successivamente due carte da un mazzo di 40 carte, rimettendo la prima estratta nel mazzo Calcolare la probabilità di ottenere un doppio re prima carta un re ; seconda carta un re, entrambe le carte siano dei re, I ; si tratta del prodotto di due eventi indipendenti in quanto la carta viene rimessa nel mazzo e l estrazione della prima non ha alcuna influenza 4 sull estrazione della seconda, pertanto ) I ) ) ) ; P ( ), P ( ), P ( ) Con la probabilità classica avremmo la formula D D ' 4, ' 40, IDIPDZA LOGICA IDIPDZA STOCASTICA O PROBABILISTICA L indipendenza logica riguarda le prove e in particolare due prove sono indipendenti se l esito dell una non influisce sull altra ; due o più eventi che derivano da prove indipendenti sono essi stessi eventi indipendenti L indipendenza stocastica o probabilistica riguarda esclusivamente gli eventi che nell ambito della prova possono essere indipendenti o dipendenti e questa fattispecie può far variare le probabilità degli eventi sempi di prove indipendenti: lancio di dadi o di monete; estrazione di palline da più urne; estrazione di carte da più mazzi SITSI DI PRICIPI DI PROBABILITA TOTAL COMPOSTA 00 A e B incompatibili A e B compatibili Principio probabilità totali P ( AUB) A) + B) AU B) A) + B) AI B) Principio probabilità composte AI B) 0 AI B) A) B A) eventi dipendenti A) B) eventi indipendenti Bibliografia : Calcolo delle probabilità, G DALL AGLIO, Zanichelli; Matematica con applicazioni informatiche, Gambotto, Manzone, Tramontana; Probabilità e statistica descrittiva Bergamini,Trifone,Barozzi, Zanichelli; La Matematica nell economia e nella finanza Coeli, Falamischia, Minerva FACOLTÀ DI COOMIA PSCARA Corso di Laurea Triennale in COOMIA COMMRCIO Classe L-33 STATISTICA Anno Accademico 00-0 Prof Annibale ROCCO LMTI DI PROBABILITA Pagina 4 di 4

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