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1 CORSO ELEMENTARE SULLA PROBABILITA Eserimento aleatorio: ogni fenomeno del mondo reale il cui svolgimento è accomagnato da un certo grado di incertezza. rova (tentativo) singola esecuzione di un ben determinato eserimento aleatorio Ogni rova si conclude con un esito (risultato, caso). L insieme costituito da tutti i ossibili esiti di un dato eserimento sazio camionario (S) dell eserimento. Esemio : - lancio di una moneta S {T,C} - lancio di un dado S {,2,3,4,,6} - estrazione di un numero da un urna contenente i numeri dall al 0 S {,2,3,4,,6,7,8,,0} Evento: un qualunque insieme di esiti (casi) ossibili ogni sottoinsieme dello sazio camionario S Esemio 2: nel lancio di un dado si ossono avere, tra gli altri, i seguenti eventi: A : si resenta un numero ari A {2,4,6}; B : si resenta un numero disari B {,3,}; C : si resenta un numero minore di 3 C {,2}; D : si resenta un numero minore di 7 D S; E : si resenta un numero maggiore di 6 E Ø Evento elementare: sottoinsieme di S con un solo elemento evento elementare caso. Evento certo: se coincide con S (es. D). Evento imossibile: se è l insieme vuoto (es. E). A ciascun evento uò essere assegnata una misura di robabilità. Se A è un evento imossibile, allora 0; se A è un evento certo, allora. E chiaro allora che, raresentando l evento imossibile e quello certo le due situazioni limite, er un qualunque evento si avrà: 0 Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008

2 Definizione classica della robabilità In generale, se tutti i risultati di un dato eserimento sono equirobabili, la robabilità di un evento A è numero degli esiti favorevoli ad A / numero degli esiti ossibili () Esemio 3. Rirendiamo l esemio del lancio di un dado; se il dado è costruito in modo regolare, allora tutti i casi sono equirobabili, e le robabilità degli eventi sora indicati sono: ( ; ( ; ( C) ; ( D) (D: evento certo); ( E) 0 (E: evento imossibile). 6 6 Problema. Calcolare la robabilità di vincita di un terno al lotto, untando una volta, su una sola ruota ( terno secco ). In questo eserimento il numero dei casi ossibili è costituito da tutte le ossibili cinquine che si ossono estrarre, ossia da tutti i grui distinti che si ossono formare con 0 oggetti distinti rendendone er volta, senza interessarsi all ordine, cioè dalle combinazioni di 0 oggetti di classe : C 0, 0 0!! 8! Il numero dei casi favorevoli all evento A: vincita di un terno al lotto è dato dal numero delle cinquine che contengono quel terno refissato su cui si è untato, ossia dalle combinazioni degli 87 numeri rimanenti, resi 2 er volta: C 87, ! 2 2!8!. Chiaramente, dobbiamo suorre che tutti gli esiti sono equirobabili. Allora la robabilità della vincita è C ( C 87,2 0, !!8! !8! 0! Problema 2. Un urna contiene i numeri da a 20. Si estraggono, in successione, due numeri. Determinare la robabilità dei seguenti eventi: A: estrazione, nell ordine, di 4 e 2 ; B: estrazione di due numeri entrambi ari ; C: estrazione di due numeri entrambi disari ; D: estrazione di due numeri entrambi ari o entrambi disari ; Il numero dei casi ossibili è dato dal numero di file ordinate che si ossono formare con 20 oggetti distinti rendendone 2 er volta, senza rietizioni, cioè dalle disosizioni semlici di 20 oggetti di classe 2: D 20, Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008 2

3 Per quanto riguarda l evento A, c è un solo caso ad esso favorevole: escono, nell ordine, rorio 4 e 2. ( ) D 380 Pertanto: A ,2 Per quanto riguarda i casi favorevoli all evento B, bisogna notare che i numeri ari resenti nell urna sono 0, e allora i casi favorevoli sono dati dalle disosizioni semlici di 0 oggetti di classe 2: D 0, Anche in questo caso stiamo suonendo che tutti gli esiti sono equirobabili. Pertanto: D0,2 0 ( D ,2 Chiaramente, in modo del tutto analogo si ha: D ( C) D 0,2 20, Quando consideriamo l evento D, dobbiamo tener conto che esso è verificato sia dai casi che soddisfano B sia dai casi che soddisfano C, cosicché il numero di eventi favorevoli all evento D è ari a D 0,2 + D 0,2 e, ertanto, D0,2 + D0, ( D) D 20 20,2 In altre arole, è come se avessimo fatto: D) + C) oiché a) l evento D si uò considerare come l unione degli eventi B e C, (cioè D B C ); e, inoltre, cosa imortantissima, b) i due eventi B e C non hanno casi in comuni, cioè sono eventi incomatibili ( B C 0 ). Diamo allora la definizione di eventi incomatibili: due eventi A e B sono incomatibili se non esistono esiti che li soddisfino entrambi contemoraneamente. Se A e B sono incomatibili allora ( A + (Teorema della somma) Attenzione: se i due eventi non sono incomatibili il teorema non è iù valido, in quanto la robabilità degli esiti favorevoli ad entrambi sarebbe contata due volte. Infatti, consideriamo la seguente situazione: Problema n 3 Da un urna contenente 30 alline numerate da a 30 si estrae una allina. Calcolare la robabilità di estrarre un numero maggiore di 20 o disari. Possiamo definire i due eventi: A: si estrae un numero maggiore di 20; B: si estrae un numero disari. Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008 3

4 Chiaramente 0 ( e 30 3 ( 30 Se alicassimo il teorema della somma a questi due eventi otterremmo che la robabilità cercata è ari a 2 +, cioè 00%, che è un risultato chiaramente errato! 3 3 Infatti, non abbiamo tenuto conto che nell evento A sono contenuti casi aartenenti anche all evento B (i numeri disari maggiori di 20), e sommando semlicemente le due robabilità abbiamo contato questi casi due volte. In altre arole i due eventi A e B sono comatibili; la loro intersezione è l insieme { 2,23,2,27,2} A B e e la robabilità richiesta va calcolata facendo: ( A ( 30 A + (Teorema della robabilità totale) cioè 2 2 ( A + 67% Problema n. 4. Un urna contiene i numeri da a 0. Estraiamo (in modo non ordinato) 4 numeri. Qual è la robabilità che almeno uno di essi sia ari? 0 4 Poiché non conta l ordine, gli esiti ossibili sono 20. Per contare i casi favorevoli all evento A: almeno un numero è ari, dovremmo rima contare le quaterne con esattamente un numero ari, oi quelle con esattamente due numeri ari e così via. Possiamo invece, molto iù raidamente, considerare l evento contrario ad A, cioè l evento A c : i quattro numeri sono disari. Infatti, se non si verifica che almeno un numero sia ari, ciò significa che i numeri sono tutti disari. I casi 4 favorevoli ad A c sono ; tutti gli altri casi sono favorevoli ad A. Allora A c ) In generale, diciamo che l evento A c, contrario (o comlementare) di A, è quell evento che è verificato quando non è verificato A. E ossiamo scrivere che: c A ) (Teorema dell evento comlementare) Attenzione: un evento e il suo comlementare sono incomatibili, ma non è detto che due eventi incomatibili siano l uno il comlementare dell altro. Ad esemio, considerando l estrazione di 2 numeri da un urna di 0 numeri, gli eventi A: la somma dei due numeri estratti è 7 e B: la somma dei due numeri estratti è 8 sono incomatibili, non essendovi alcun esito che li soddisfi entrambi, ma non sono Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008 4

5 comlementari, essendovi degli esiti che non soddisfano né l uno né l altro. La robabilità che si verifichi A o B è 3 3 ( A Infatti gli esiti ossibili sono 4 ; gli esiti favorevoli ad A sono tre: {,7}, {2,6}, {3,}, e gli esiti favorevoli a B sono tre: {,6}, {2,}, {3,4}. Esercizio. Qual è la robabilità di ottenere coma somma 2 lanciando due dadi erfettamente bilanciati? E la robabilità di ottenere? E la robabilità di ottenere 7? [/36; /8; /6] Esercizio 2. In un urna vi sono 3 alline rosse, 2 bianche e nera. Si estraggono due alline. Determinare la robabilità che siano dello stesso colore. [/4] Esercizio 3. Si estraggono quattro carte da un mazzo di 40 carte. Determinare le robabilità dei seguenti eventi: A: le quattro carte sono dello stesso seme ; 84 B: le quattro carte sono di ugual valore (quattro assi, o quattro re, ecc.) ; 3 3 Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008

6 Definizione frequentistica della robabilità Rirendiamo in esame la definizione calssica di robabilità: essa è alicabile soltanto a quegli eserimenti aleatori i cui esiti sono tutti egualmente robabili. A arte il roblema logico che questa definizione resenta una evidente tautologia, esistono situazioni in cui non è ossibile stabilire a riori qual è la robabilità dei singoli risultati. Suoniamo, er esemio, di lanciare un dado non regolare. In questo caso nessuno si azzardarebbe ad attribuire eguale robabilità a ciascun esito. Suoniamo che doo una indagine consistente in un elevato numero di lanci si venga a formare la seuente tabella di frequenze relative: E: f(e) 4% 6% 20% 2% 2% 3% Allora è ragionevole attribuire a ciascun esito una robabilità (da realizzarsi in futuro) ari alla frequenza (con cui si è verificato in assato). Possiamo quindi attribuire agli esiti di questo sazio le seguenti robabilità E: E) Analogamente si rocede quando, in camo medico, si vuole stabilire la robabilità che una certa teraia, somministrata ad un certo tio di aziente, orti alla guarigione del aziente. La frequenza relativa con cui si è verificata la guarigione in seguito della somministrazione della teraia nel assato diventa la robabilità di guarigione nel futuro. Chiaramente, maggiore è il numero azienti trattati recedentemente, maggiore è la confidenza che il valore della frequenza relativa ottenuta sia una buona raresentazione del valore della robabilità revista. Queste considerazioni oggiano sulla seguente osservazione emirica: se si rende un dado regolare, e lo si lancia iù e iù volte, la frequenza relativa con cui si resenta ciascuna delle sei facce risulta avvicinarsi semre di iù al valore della sua robabilità asettata teoricamente, cioè 6.67 /6. Ugualmente, nel lancio di una moneta regolare, si osserva serimentalmente che la frequenza relativa di ciascuna faccia si avvicina semre iù al valore 0.0, quanto iù grande diviene il numero di lanci effettuati. Analogamente accade er ogni altro eserimento aleatorio er cui è ossibile stabilire la robabilità a riori dei suoi esiti. Tutto ciò è riassunto nella seguente legge: Legge dei grandi numeri (o legge emirica del caso) In un grande numero di rove, tutte rietute nelle stesse condizioni, la frequenza relativa di un evento tende ad essere uguale alla sua robabilità teorica. lim n f ( E) E) La corretta interretazione della legge dei grandi numeri richiede qualche osservazione. Suoniamo di aver lanciato in aria una moneta, erfettamente regolare, er 00 volte e che si siano ottenute 6 Teste (T) e 3 Croci (C). Domandiamoci: qual è la robabilità che al lancio successivo esca C? Una interretazione, forse istintiva, della legge dei grandi numeri otrebbe indurci a ensare che, oiché le due frequenze relative, all aumentare del numero di lanci, devono diventare uguali a 0., l uscita di C, che è in ritardo risetto a T, sia avvantaggiata. Ma questa interretazione non tiene conto che ogni singolo lancio è una rova a sé stante, indiendente dal lancio recedente così come da quello successivo. In altre arole, il dado non ha memoria. Prorio erché i due risultati sono equirobabili, a lungo andare le frequenze relative tendono ad assumere il valore 0., ma questo non significa che, se tra il -esimo e il -esimo lancio si è vericata cinque volte T, al 6-esimo ci sia una robabilità maggiore di avere C. Allo stesso modo, non esistono numeri ritardari al gioco del Lotto. Tutti i 0 numeri hanno la stessa robabilità di uscire, cioè /0. Se un dato numero non esce er una lunga serie di estrazioni, la robabilità che esso esca alla successiva estrazione è semre /0, erché ogni estrazione è una rova indiendente da quelle recedenti, e da quelle successive. Puntare sui numeri ritardari è dunque azione riva di qualunque giustificazione logica. Si dirà: è vero, ma ogni tanto si sente dire di gente che ha vinto untando su un numero ritardario che, alla fine, è uscito!. Certo! Prorio erché quel dato numero ha robabilità di uscire uguale a quella di tutti gli altri numeri, tra i casi che si ossono verificare c è certamente l uscita di quello stesso numero. Ma questo vale ad ogni estrazione e er ciascuno dei 0 numeri. Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008 6

7 (Piuttosto: se c è un numero molto ritardario, invece che scommettere sulla sua rossima uscita, sarebbe bene insosettirsi sulla correttezza delle estrazioni!). Definizione soggettiva della robabilità Ci sono situazioni in cui né la definizione classica, né la definizione soggettiva consentono di assegnare un valore di robabilità ad un dato evento. Per esemio, suoniamo di voler scommettere sulla vittoria delle nostra squadra del cuore in una artita di Chamions League contro il Real Madrid. E chiaro che i tre risultati ossibili (, X, 2) non sono equirobabili e quindi non ossiamo alicare la formula (). D altra neure serve a molto esaminare i risultati degli incontri recedenti tra le due squadre, erché nel frattemo sono cambiati i giocatori, gli allenatori, le condizioni ambientali ecc, in altre arole le rove non sono rietute nelle stesse condizioni. La robabilità diviene in questo caso una misura della fiducia che noi rioniamo nel fatto che la nostra squadra vinca; in termini di scommessa ossiamo dire che: la robabilità di un evento E è raresentata dal raorto fra il rezzo P che un individuo ritiene giusto agare e la somma S che ha diritto ad avere in cambio se l evento si verifica: P ( E) S Tale definizione è dovuta al matematico italiano Bruno De Finetti (06 8) ed è basata sul rinciio di coerenza : l individuo che accetta di agare P er ricevere S, deve essere anche disosto a ricevere P da un altra ersona agandole S se l evento si verifica. Notiamo incidentalmente che in questo aroccio alla robabilità fa er la rima volta il suo ingresso in un discorso matematico un elemento legato alla soggettività dell individuo: ersone differenti assegneranno allo stesso evento robabilità differenti, a seconda del grado di fiducia che riongono nel fatto che tale evento si verifichi. L imortante è che esse agiscano secondo il rinciio di coerenza. Notiamo anche che il grado di fiducia che un individuo ha nel fatto che si verifichi un dato evento, e cioè la robabilità che egli assegna a quell evento, diende dal grado di informazioni che egli ossiede relativamente all eserimento aleatorio. L informazione diviene così anch essa un oggetto del discorso matematico. Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008 7

8 Probabilità condizionata Problema n. Da un urna contenente 0 numeri (da a 0) si estraggono in successione due numeri. Determinare la robabilità dell evento C: entrambi i numeri sono ari Il roblema è del tutto analogo al roblema n. 2. I casi ossibili sono D 0,2 0. I casi favorevoli sono D,2 4. Allora D,2 4 2 ( C) D 0 0,2 Osserviamo ora che lo stesso risultato uò essere ottenuto ragionando in modo differente. Scomoniamo l evento C in due eventi A e B, così definiti: A: il rimo numero estratto è ari ; B: il secondo numero estratto è ari. Allora C A B, cioè l evento C è verificato se sono verificati entrambi gli eventi A e B. Ora la robabilità di avere un numero ari alla rima estrazione è, chiaramente (. 0 Per calcolare la robabilità che anche il secondo numero estratto sia ari, si deve tener conto che nella seconda estrazione i casi ossibili si sono ridotti a (uno dei 0 numeri è stato già estratto) e i casi favorevoli, nell iotesi che l evento A si sia già verificato, cioè che il rimo numero estratto sia stato ari, sono diventati 4. Questo comorta che la robabilità dell evento B, condizionata all iotesi che si sia verificato l evento A, è 4 ( B (il simbolo ( B Allora ossiamo scrivere 4 ( C) A B 0 si legge robabilità di B dato A o robabilità di B condizionata ad A ) Come si vede, abbiamo ottenuto il risultato recedente. Questo esemio, erò, ci consente di scrivere una legge di validità generale: 2 Dati due eventi A e B, la robabilità che si verifichino entrambi è data dal rodotto tra la robabilità che si verifichi A e la robabilità che si verifichi B sotto la condizione che A si sia verificato: A B (Teorema del rodotto (er la robabilità condizionata)) Attenzione: oiché non c è alcuna differenza logica tra i due eventi A e B, il teorema del rodotto uò essere scritto anche nel seguente modo: A A Esercizio 4 Un urna contiene i numeri da a 0. Si estraggono due numeri, senza reimbussolamento. Determinare la robabilità dell evento A: uscita di un numero ari ed uno disari, in qualunque ordine. [/] Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008 8

9 Problema n.6 Consideriamo ancora una volta l urna contenente i numeri da a 0. Suoniamo di estrarre i due numeri, questa volta con reimbussolamento. Determiniamo anche ii questo caso la robabilità dell evento C: entrambi i numeri sono ari Scomoniamo l evento C nei due eventi A e B: A: il rimo numero estratto è ari ; B: il secondo numero estratto è ari ; in modo che C A B Come nel roblema 4 ( 0 ; ma questa volta, nell iotesi che A si realizzi, quando estraiamo la seconda allina l urna contiene ancora 0 alline, di cui ari, er cui ( B ( C) A B e ertanto 0 Come si vede, c è una sostanziale differenza tra l estrazione con e quella senza reimbussolamento. Se non vi è reimbussolamento, l esito della seconda estrazione diende dall esito della rima er cui, nel calcolo di ( B, il suorre che A si sia realizzato è determinante. In questo caso si dice che B è diendente da A. Se invece c è reimbussolamento allora l esito della seconda estrazione non diende dall esito della rima er cui, nel calcolo di ( B, il suorre che che A si sia realizzato è irrilevante. In questo caso si dice che B è c indiendente da A, e ossiamo scrivere B BA ). Allora ossiamo generalizzare: Dati due eventi A e B, indiendenti, la robabilità che si verifichino entrambi è data dal rodotto tra la robabilità che si verifichi A e la robabilità che si verifichi B: A ( (Teorema del rodotto (er eventi indiendenti)) Esercizio Si lanciano due dadi. Si calcoli la robabilità di ottenere come risultato 8, se si è sicuri che il risultato del lancio dà un numero ari. Possiamo rocedere come segue. Definiamo i due eventi: A: risultato ari ; B: risultato 8. Per calcolare la robabilità di B, dato A, consideriamo che il teorema del rodotto er la robabilità condizionata uò essere letto anche in questo modo: ( B A I casi ossibili sono 36 (8 risultati ari, 8 risultati disari), quindi (. 2 Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008

10 Ora B {( 2,6)( ; 3, )( ; 4,4)( ;,3 )( ; 6,2) } A e, ertanto Allora ( B A ( A 36 Esercizio 6 In una oolazione animale si sa che la robabilità che un animale che adesso ha 2 anni sia ancora in vita tra anni è dell 87%. Si sa anche che tale robabilità scende al 62% er un animale che invece adesso ha 20 anni. Si vule saere qual è la robabilità che entrambi gli animali siano in vita tra anni e la robabilità che almeno uno di essi sia in vita tra anni, nell iotesi che gli eventi siano indiendenti. Definiamo gli eventi: A: l animale di 2 anni sarà in vita tra anni ; B. l animale di 20 anni sarà in vita tra anni. Poiché i due eventi sono indiendenti la robabilità che entrambi siano in vita tra anni è ( A % Per calcolare la robabilità che almeno uno dei due animali sia in vita tra anni dobbiamo considerare il fatto che i due eventi, che sono sì indiendenti, sono tuttavia comatibili e, ertanto, dobbiamo alicare il teorema della robabilità totale: ( A + A % Problema n. 7 (rima versione) Un certo negozio di ciliegie si arovigiona er il 60% dalla Toscana e er il restante 40% da altre regioni. Il 30% delle ciliegie che arrivano al negozio dalla toscana hanno il baco, mentre solo il 20% di quelle rovenienti da fuori regione sono bacate. Acquistando una ciliegia da questo negozio, qual è la robabilità di trovare il baco? Possiamo risolvere il roblema alicando i teoremi del rodotto e della somma. Indichiamo A la ciliegia è di rovenienza toscana ; B la ciliegia è bacata. Allora abbiamo 60 ( 00 ; ( B 40 ( A c ) 00 c ; ( BA ) Per il teorema del rodotto abbiamo c c c ( A B e A A ) BA ) Ora i due eventi A B e A c B sono chiaramente incomatibili tra loro e, inoltre la loro unione coincide con l evento B. Dunque ossiamo alicare il teorema della somma c c ( B + A BA ) ) Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008 0

11 ( Problema n. 7 (seconda versione) Torniamo nel negozio di frutta del roblema recedente, dove il 60% delle cilegie vendute roviene dalla Toscana, e il 30% di queste è bacato, mentre solo il 20% non toscane non risulta bacato. Ora, erò, la domanda che ci facciamo è: avendo acquistato una ciliegia da questo negozio ed essendo risultata bacata, qual è la robabilità che sia di rovenienza toscana? Notiamo innanzitutto la diversità tra i due roblemi. Nella rima versione si richiede una revisione ( quale sarà il risultato del mio acquisto? ), nella seconda si richiede una anamnesi ( visto il risultato, qual è stato il ercorso la causa che l ha rodotto?. Nel secondo caso vogliamo conoscere la robabilità che la ciliegia sia di rovenienza toscana, dato il fatto AB. che sia bacata, cioè ( ) Per fare questo calcolo ricordiamo che il teorema del rodotto consente di scrivere: da cui A ( A A A c c La robabilità è stata determinata recedentemente: B + A ) BA ) inoltre, saiamo che A B (. Pertanto ( e, ( A ( B c c ( B + A ) BA ) La formula imiegata nel calcolo recedente costituisce il caso iù semlice del cosiddetto Teorema di Bayes: dato un evento B (effetto) e un insieme di eventi A, A 2,, A n (cause), la robabilità che l evento B sia stato rodotto dalla causa A i è ( A i A ) Ai ) BAi) ( BA ) + A ) BA ) + + A ) BA ) 2 K 2 Esercizio 7 Tre macchine A, B e C di una certa fabbrica roducono ezzi, di cui alcuni difettosi. A ha rodotto 2000 ezzi di cui il % difettoso, B ha rodotto 00 ezzi di cui il 20% difettoso e C ha rodotto 000 ezzi di cui il 0% difettoso. a) Qual è la robabilità che un ezzo reso a caso tra quelli rodotti risulti difettoso difettoso? b) Suoniamo di aver reso a caso un ezzo e di aver scoerto che esso è difettoso. Qual è la robabilità che esso sia stato rodotto dalla macchina A? Se siete riusciti a risolvere questo esercizio dovreste essere in grado di risondere al seguente quesito. In una certa città ci sono due comagnie di taxi, la Blu e la Nera. La Blu ha taxi, la Nera 8. Una notte, molto tardi, un taxi investe un assante e si dilegua. Un testimone ha visto l incidente e sostiene che si trattava di un taxi blu. L isettore allora si fa consegnare dalla comagnia dei taxi Blu i tabulati con gli orari di servizio di quella notte e identifica il taxi blu in servizio a quell ora nella zona dell incidente. Prima di arrestare il conducente, erò, reso da scruolo rofessionale, l isettore sottoone il testimone a un esame della vista in condizioni simili a quelle della notte in questione, e il risultato è che il testimone riesce a identificare n n Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008

12 correttamente il colore di un taxi (blu o nero) quattro volte su cinque. Cosa deve fare l isettore? Deve arrestare il conducente del taxi Blu? Corso elementare sulla robabilità - F. Cardarelli - L.S. Touschek 2007/2008 2

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