PILLOLE DI LOGICA. Piccolo manuale per affrontare gli esercizi di logica delle Olimpiadi di Matematica. Liceo Scientifico A.

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1 PILLOLE DI LOGICA Piccolo manuale per affrontare gli esercizi di logica delle Olimpiadi di Matematica Liceo Scientifico A.Righi Cesena

2 Le basi della logica formale La logica formale è un indagine sul ragionare corretto. Gli oggetti su cui opera sono proposizioni o enunciati, cioè affermazioni alle quali è possibile assegnare un dato valore di verità: vero o falso (logica binaria). La terra è un pianeta : VERO Sei è multiplo di quattro : FALSO Uno dei principi fondamentali della logica consiste nel principio del terzo escluso (tertium non datur): un affermazione può avere solo uno di questi due valori di verità, cioè può essere soltanto o vera o falsa. Nel linguaggio formale della logica: p p (tautologia)

3 Un altro pilastro su cui si basa la logica formale è il principio di non contraddizione: un affermazione non può essere contemporaneamente vera e falsa. Nel linguaggio formale della logica: p p Può sembrare banale, ma in realtà molti problemi di logica si possono risolvere con la sola applicazione di questi due principi, tanto semplici quanto fondamentali. Il problema è che le affermazioni proposte nei problemi sono affermazioni complesse, e spesso tutte le risposte possibili si contraddicono a vicenda tranne che in un caso: evidentemente quella è la risposta esatta. Vediamo un esempio.

4 In un sacchetto ci sono alcune biglie. Maria dice: Nel sacchetto ci sono in tutto tre biglie e sono nere. Luca dice: Nel sacchetto ci sono due biglie nere e due biglie rosse. Giorgio dice: Nel sacchetto ci sono solo biglie nere. Sapendo che uno solo dei tre ha mentito, quante biglie ci sono nel sacchetto? (A) una (B) due (C) tre (D) quattro (E) non si può determinare il numero in base ai dati. Maria: Luca: Giorgio:... Se Maria ha mentito, Luca e Giorgio si contraddicono; se ha mentito Giorgio, si contraddicono Maria e Luca. Se il mentitore è Luca, le affermazioni di Maria e Giorgio devono essere entrambe vere: la risposta è allora C.

5 Un altro esempio: In questo rettangolo c è esattamente una affermazione falsa In questo rettangolo ci sono esattamente due affermazioni false In questo rettangolo ci sono esattamente tre affermazioni false In questo rettangolo ci sono esattamente quattro affermazioni false Quante affermazioni vere ci sono nel rettangolo? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4. Le quattro affermazioni che stanno nel rettangolo si contraddicono vicendevolmente, quindi al più una sola di esse può essere vera. D altra parte, la terza affermazione risulta vera, dato che le altre tre sono evidentemente false; si può concludere che la risposta giusta è la (B).

6 Attenzione alle affermazioni auto-contraddittorie! Il principio di non contraddizione è anche un punto debole della logica, se si riesce a enunciare un affermazione auto-contraddittoria, come ad esempio: Questa affermazione è falsa oppure: Io mento. Da queste affermazioni auto-referenziali sono nati i più famosi paradossi della logica (paradosso del mentitore, del barbiere, paradosso di Russell ) Ogni anno, al momento del pagamento delle tasse, l'utente fa una dichiarazione relativa all'anno in corso. Se la dichiarazione è vera, deve pagare le tasse; se è falsa, non le paga. Un giovane matematico, che ritiene il sistema iniquo, trova il modo di bloccarlo, con una delle seguenti dichiarazioni: quale? (A) I pesci vivono in acqua" (B) Io vivo in acqua" (C) I pesci non pagano le tasse" (D) Io non pago le tasse (E) Io pago le tasse".

7 Vediamo un altro esempio: L impiegato del censimento dell isola dei Cavalieri e dei Furfanti deve determinare il tipo (Cavalieri o Furfanti) e il titolo di studio degli abitanti (i Furfanti mentono sempre, mentre i Cavalieri dicono sempre la verità). In un appartamento abitato da due coniugi ottiene solo queste risposte: Marito: siamo entrambi laureati ; Moglie: siamo entrambi furfanti Quante caselle può riempire con sicurezza l impiegato? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Marito Moglie Marito Moglie C / F C / F C F L / NL L / NL L L

8 Nei test di logica delle Olimpiadi si ricorre spesso a questo schema di individui bugiardi/sinceri, spesso chiamati Furfanti e Cavalieri; le domande che vengono poste ci stimolano a cercare la risposta giusta individuando le possibili contraddizioni tra le loro affermazioni. Gli abitanti di un isola si dividono in due categorie: quelli che sono sempre sinceri e quelli che mentono sempre. Fra tre abitanti dell isola, Andrea, Barbara e Ciro, avviene questa conversazione: Andrea dice: Barbara è sincera Barbara dice: Andrea e Ciro sono sinceri Ciro dice: Andrea è bugiardo. Possiamo concludere che: (A) sono tutti e tre sinceri (B) sono tutti e tre bugiardi (C) Andrea e Barbara sono sinceri e Ciro è bugiardo (D) Andrea e Barbara sono bugiardi e Ciro è sincero (E) Andrea è sincero e Ciro e Barbara sono bugiardi.

9 Facciamo una tabella delle affermazioni: Andrea Andrea Barbara sincera Ciro Barbara Ciro sincero bugiardo sincero Se Andrea dice la verità allora Barbara è sincera, ma allora anche Ciro dice la verità e Andrea dovrebbe essere un bugiardo, negando l ipotesi. Dunque Andrea è un bugiardo e allora lo è anche Barbara, che infatti dice il falso su Andrea; Ciro è sincero, poiché dice la verità su Andrea. Andrea Barbara Ciro Andrea bugiardo bugiarda Barbara Ciro sincero bugiardo sincero? In logica si chiama dimostrazione per assurdo (reductio ad absurdum)

10 I quesiti diventano ancora più interessanti se si aggiunge una terza categoria di persone (di solito chiamate paggi) che alternano bugie e verità. Su un isola vivono tre categorie di persone: i cavalieri, che dicono sempre la verità, i furfanti, che mentono sempre, ed i paggi che dopo una verità dicono sempre una menzogna e viceversa. Sull isola incontro un vecchio, un ragazzo e una ragazza. Il vecchio afferma: Io sono paggio; il ragazzo è cavaliere. Il ragazzo dice: Io sono cavaliere; la ragazza è paggio. La ragazza afferma infine: Io sono furfante; il vecchio è paggio. Si può allora affermare che tra i tre: (A) C è esattamente un paggio (B) Ci sono esattamente due paggi (C) Ci sono esattamente tre paggi (D) Non c è alcun paggio (E) Il numero dei paggi non è sicuro.

11 Ecco lo schema delle affermazioni: Vecchio Ragazzo Ragazza Vecchio paggio paggio Ragazzo cavaliere cavaliere Ragazza paggio furfante Quello che la ragazza dice di se stessa è autocontraddittorio: essa non può essere né furfante, né cavaliere, e dunque è paggio; dice dunque il vero affermando che il vecchio è paggio. Questa è l affermazione vera che il vecchio fa su se stesso, dunque il ragazzo o è paggio o è furfante; ma il ragazzo dice il vero sulla ragazza, quindi è anch egli paggio. Vecchio Ragazzo Ragazza Vecchio paggio paggio Ragazzo paggio paggio Ragazza paggio paggio

12 La difficile arte della negazione Negare un affermazione sembra una cosa semplice, ma a volte presenta qualche difficoltà. Ad esempio: Il contrario di Luca è alto non è Luca è basso, ma Luca non è alto ; Il contrario di Nego l impossibilità di andare su Giove, è che Su Giove non si può andare ; Il contrario di Non esco mai non è Esco sempre, ma Non è vero che non esco mai, ovvero: Qualche volta esco, o meglio: Almeno una volta esco. E importante capire come si applica la negazione ai quantificatori: La negazione di Per ogni x, p(x) è vera è: Esiste almeno un x per cui p(x) è falsa ; La negazione di Esiste almeno un y, q(y) è vera è: Per ogni y, q(y) è falsa.

13 Qual è la negazione di Tutti i numeri perfetti sono pari? (Non è necessario sapere cos è un numero perfetto). (A) Tutti i numeri perfetti sono dispari (B) C è almeno un numero perfetto dispari (C) C è almeno un numero pari che non è perfetto (D) Nessun numero dispari è perfetto (E) Nessun numero pari è perfetto Si consideri la seguente frase: Tutte le volte che ho preso l ombrello non è piovuto. Quale delle seguenti è la negazione della frase precedente? (A) Quando esco con l ombrello piove (B) Tutti i giorni in cui esco senza ombrello piove (C) Almeno una volta sono uscito con l ombrello ed è piovuto (D) Tutti i giorni in cui non piove esco con l ombrello (E) Tutti i giorni in cui è piovuto sono uscito con l ombrello

14 In ogni scuola c è almeno una classe in cui sono tutti promossi. Volendo negare questa affermazione, quale dei seguenti enunciati sceglieresti? (A) In ogni scuola c è almeno una classe in cui sono tutti bocciati (B) In ogni scuola c è almeno un bocciato in tutte le classi (C) C è almeno una scuola che ha almeno un bocciato in ogni classe (D) C è almeno una scuola che che ha dei promossi in ogni classe (E) C è almeno una scuola in cui c è una classe che ha almeno un bocciato. Risolviamo per passaggi successivi: NON (in ogni scuola c è almeno una classe in cui sono tutti promossi) = C è almeno una scuola in cui NON (c è almeno una classe in cui sono tutti promossi) = C è almeno una scuola in cui in ogni classe NON (sono tutti promossi) = C è almeno una scuola in cui in ogni classe c è almeno un bocciato.

15 L implicazione: se allora Cosa vuol dire nella logica formale che p implica q? Ovvero, in altre parole, se p allora q oppure ancora, in simboli, p q? Possiamo capirlo dalla tavola di verità dell implicazione: Date due affermazioni p e q, e presa p come premessa o antecedente, e q come conclusione o conseguente, l implicazione p q è falsa solo se p è vera e q è falsa. p V V F F q V F V F p q V F V V Ovvero, da una premessa vera non può discendere una conclusione falsa. Dunque la verità della premessa è condizione sufficiente per il verificarsi della conseguente. Dunque da p discende logicamente q; notiamo però che se p è falsa, l implicazione è ancora vera! (ex falso, quodlibet)

16 Consideriamo, ad esempio, le affermazioni: p: Carlo è nato a Cesena q: Carlo è cittadino italiano l implicazione p q afferma che: Se Carlo è nato a Cesena, allora è cittadino italiano L implicazione non è commutativa, dunque se p q non vale in generale l implicazione inversa q p. E invece sempre vera la cosiddetta contronominale o controinversa: Nel nostro esempio: non(q) non(p) Se Carlo non è cittadino italiano, allora non è nato a Cesena. Rileviamo infine che: essere nato a Cesena è condizione sufficiente per essere cittadino italiano; essere cittadino italiano è condizione necessaria, ma non sufficiente, per essere nato a Cesena.

17 Vediamo qualche esempio: Roberto scommette che se Bearzot tornasse alla guida della Nazionale questa vincerebbe sempre. In quale dei seguenti casi Roberto perde certamente la scommessa? (A) Bearzot non torna ad allenare la Nazionale (B) Bearzot torna ad allenare la Nazionale e questa non perde mai (C) Bearzot torna ad allenare la Nazionale e questa non vince sempre (D) Bearzot non torna ad allenare la Nazionale e questa vince sempre (E) Bearzot non torna ad allenare la Nazionale e questa non vince mai. premessa p: Bearzot torna ad allenare la Nazionale conclusione q: la Nazionale vince sempre p q Le risposte A, D ed E negano la premessa: nulla di certo si può dire sulla conclusione. L affermazione B accetta la premessa, ma da essa fa discendere una conclusione incerta: non perdere mai può significare vincere sempre, ma anche a volte vincere, a volte pareggiare.

18 Da Chi dorme non piglia pesci segue logicamente: (A) Chi non piglia pesci non dorme (B) Chi non piglia pesci dorme (C) Chi piglia pesci non dorme (D) Chi piglia pesci dorme (E) Nessuna delle alternative proposte premessa p: se uno dorme conclusione q: non piglia pesci p q Analizziamo le risposte: (A) Chi non piglia pesci non dorme (B) Chi non piglia pesci dorme (C) Chi piglia pesci non dorme (D) Chi piglia pesci dorme (E) Nessuna delle alternative proposte q p q p q p q p La risposta giusta è chiaramente la C, contronominale dell implicazione.

19 Soltanto se la mia auto ha benzina può funzionare. Se quanto affermato sopra è vero, allora quale delle seguenti affermazioni è vera? I) Se la mia auto ha la benzina, allora funziona II) Se la mia auto non funziona, allora non ha benzina III) Se la mia auto funziona, allora ha benzina (A) La I (B) La II (C) La III (D) La I e la II (E) La II e la III E meglio parafrasare l affermazione iniziale come segue: La mia auto può funzionare solo se ha benzina. L affermazione esprime una condizione necessaria, ma non sufficiente: non dice che se l auto ha benzina, allora funziona. L auto potrebbe non funzionare anche se ha benzina, ad esempio perché ha la batteria scarica. Ma se l auto funziona (premessa p) allora essa deve avere necessariamente benzina (conseguenza q). Dunque l unica affermazione sicuramente vera è la III.

20 Quattro bambine, Alice, Bianca, Cecilia e Daniela, decidono di comprare un palloncino a testa da un venditore che ha solo palloncini rossi e blu. Compreranno il palloncino una dopo l altra: prima Alice, poi Bianca, poi Cecilia e infine Daniela. Bianca dice: Se Alice lo comprerà rosso, anch io lo comprerò rosso Cecilia dice: Io lo comprerò dello stesso colore di Bianca Daniela dice: Se Alice lo comprerà blu, io lo comprerò dello stesso colore di Cecilia. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (A) E impossibile che quattro bambine comprino un palloncino rosso (B) Almeno tre di loro compreranno un palloncino dello stesso colore (C) Daniela e Bianca compreranno un palloncino dello stesso colore (D) Almeno due bambine compreranno un palloncino rosso (E) Nessuna delle precedenti affermazioni è sicuramente vera.

21 Sintetizziamo in questo modo le affermazioni delle bambine: A(Rosso) B(Rosso) B(X) C(X) A(Blu) D = C Analizziamo le risposte possibili: Se A(Rosso), allora anche B e C(Rosso), ma D potrebbe comprare sia un Rosso che un Blu, dato che la premessa A(Blu) è falsa. Dunque la risposta A è sbagliata. Se A(Blu), allora B potrebbe comprare sia un Rosso che un Blu, dato che la premessa A(Rosso) è falsa. Ma qualunque sia la sua scelta sia C che D faranno lo stesso, e così tre o quattro di loro sceglieranno lo stesso colore; la risposta B è quella giusta, ma vediamo perché non lo sono le altre. La risposta C è sbagliata perché D = B solo se A(Blu) La risposta D è sbagliata perché se A(Blu) B potrebbe scegliere sia un Rosso che un Blu (la premessa perché lo compri rosso è falsa) e, se sceglie un Blu, così faranno anche C e D. Come già visto, la risposta E è sbagliata perché la B è giusta.

22 Riprendiamo in esame la contronominale: Se p q allora non(q) non(p) In simboli: p q q p Dopo la scuola Ugo invita i suoi amici a casa sua per studiare e fare merenda e dice: Se saremo in pochi studieremo bene; se saremo in tanti mangeremo poco. Quale delle seguenti affermazioni è certamente vera secondo Ugo? (A) Se si è in pochi si mangia molto (B) per studiare bene è necessario essere in pochi (C) se si studia male non si è in pochi (D) se si mangia poco si è necessariamente in tanti (E) se si è in tanti si studia male.

23 Schematizziamo in questo modo le affermazioni: p: saremo in pochi b: studieremo bene p b t: saremo in tanti d: mangeremo poco t d Analizziamo le risposte: (A)Se si è in pochi si mangia molto (B) per studiare bene è necessario essere in pochi (C) se si studia male non si è in pochi b p (D) se si mangia poco si è necessariamente in tanti (E) se si è in tanti si studia male. p b t d b p d t Come si vede, l unica affermazione certamente vera è la C, che è esattamente la contronominale dell affermazione di Ugo. La A e la E non sono vere: si può mangiare poco anche se si è in pochi, così come si può studiare bene anche se si è in tanti. La B è errata: essere in pochi è condizione sufficiente, non solo necessaria, per studiare bene.

24 Al lavoro!