CAPITOLO 1: DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ1

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1 CAPITOLO 1: DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ1 Introduzione. Ciascuno di noi ha certamente desiderato almeno qualche volta conoscere in anticipo l'esito di un esame, di una interrogazione o di una qualsiasi particolare situazione. Questo stesso tipo di desideri ha stimolato la mente umana a ricercare metodi che consentissero, almeno in parte, di ottenere informazioni su "quel che accadrà". Inizialmente i maggiori sforzi furono dedicati alla ricerca di metodi capaci di valutare numericamente la possibilità del verificarsi di un particolare esito, ovvero la sua "probabilità". In seguito al progredire degli studi, il calcolo delle probabilità assunse le vere e proprie dimensioni di un potentissimo mezzo matematico, a cui oggi sempre più spesso ci si rivolge per ottenere informazioni su qualunque tipo di fenomeno incerto. Per molto tempo hanno convissuto diversi modi di definire la probabilità, convivenza determinata dal fatto che ciascun modo si adattava ad un differente tipo di situazione. Possiamo dividere la maggior parte delle definizioni di probabilità in tre gruppi: 1) definizione di probabilità matematica derivanti da una misura quantitativa del "grado di fiducia" dell'osservatore (definizione soggettiva); 2) definizioni che riducono il concetto di probabilità a quello di "uguale possibilità" come concetto primitivo (definizione classica); 3) definizioni che derivano dalla "frequenza" con cui si realizza un evento in un gran numero di prove (definizione statistica). Vedremo prima separatamente queste diverse definizioni, considerando anche il momento storico in cui sono sorte, poi cercheremo di mostrare come nel nostro secolo si è scelto di conglobarle in un'unica definizione di tipo assiomatico. Definizione soggettiva di probabilità. Nel linguaggio comune si parla di "evento possibile" quando a priori non si ha alcuna certezza del suo verificarsi, ma neanche si presenta alcun impedimento (dovuto alla nostra volontà o a qualunque altro motivo) che condizioni il verificarsi o meno dell'evento. In questo senso capita di fare osservazioni del tipo "è possibile che oggi piova"; è intuitivo comprendere come questa affermazione possa assumere un diverso valore a seconda delle condizioni climatiche: ovviamente ciascuno di noi darebbe ben poca fiducia ad una simile affermazione fatta in un'assolata giornata di luglio, anche se poi un rapido temporale può sempre essere in agguato. Possiamo allora affermare che il "grado di fiducia" da una misura della possibilità del verificarsi di un certo fenomeno; ma è anche vero che il grado di fiducia, che chiamiamo "probabilità soggettiva" dell'evento, deve essere valutato a priori e in modo coerente, cioè evitando in modo rigoroso ogni arbitrarietà. La definizione soggettiva risulta utile nello studio dei giochi e delle scommesse. Definizione classica di probabilità. L'idea che la probabilità del verificarsi di un evento casuale A, a condizioni note, sia valutabile quantitativamente per mezzo di numeri è stata elaborata in modo sistematico per la prima volta nel XVII secolo nei lavori di Fermat ( ),

2 Pascal ( ), Huygens ( ) ed in particolare di James BernouIIi ( ); in questi lavori sì trovano le basi della teoria delle probabilità. Ma il primo lavoro davvero soddisfacente dal punto di vista teorico fu compiuto da Laplace nei primi anni dell'ottocento, iniziando una nuova fase della storia di questo ramo della matematica. La definizione di probabilità data da Laplace (astronomo, matematico e fisico francese; ) va sotto il nome di "definizione classica di probabilità"; afferma: "il rapporto fra il numero di esiti favorevoli al verificarsi di un evento ed il numero di esiti possibili purché ugualmente favoriti esprime la probabilità di verificarsi dell'evento atteso". Con il termine evento si intende "il risultato di un esperimento o di una osservazione". Esaminiamo il caso del lancio di una moneta; supponiamo che un giocatore vinca se, lanciando una moneta in aria, questa, dopo essere ricaduta, mostri il lato "testa". Prima che il lancio venga effettuato, nessuno può conoscere con certezza l'esito; possiamo però dare una misura della probabilità che ha il giocatore di vincere. Lanciando una moneta in aria si hanno due sole possibilità, una per ogni faccia della moneta: testa (T) o croce (C); possiamo perciò affermare che il giocatore ha solo un esito favorevole su due possibilità per cui la valutazione della probabilità è data proprio dal rapporto 1/2. Analogamente se il giocatore vincesse con il verificarsi dell'evento C, otterremmo per la probabilità di vincita ancora 1/2. In questo esempio è evidente come ciascuna delle due possibilità sia ugualmente favorita; possiamo perciò affermare che gli esiti possibili al lancio di una moneta non truccata hanno la stessa probabilità di verificarsi, ovvero sono "equiprobabili", intendendo con questo che l'esito dell'evento atteso è casuale. Consideriamo ora la probabilità che si verifichi l'evento "T oppure C"; è intuitivo che, lanciando una moneta in aria, questa non potrà far altro che mostrare una delle due facce, perciò, secondo la. definizione classica, la probabilità dell'evento "T oppure C" sarà 1 (evento certo). Non resta che calcolare la possibilità dell'evento "T e C"; anche per questo evento è intuitivo che se si verifica l'evento T non può verificarsi l'evento C e viceversa. Non ci saranno perciò esiti favorevoli all'evento e la probabilità non potrà essere che O, cioè l'evento è impossibile. Possiamo concludere che la probabilità è comunque un numero e ha valori compresi nell'intervallo [0,1], dove a probabilità O corrisponde evento impossibile, a probabilità 1 corrisponde un evento il cui verificarsi è certo, mentre ogni altro evento equiprobabile con probabilità compresa nell'intervallo considerato è detto casuale. Definizione statìstica Co frequentistica) di probabilità. Le teorie dei giochi d'azzardo, dei problemi di assicurazione e di demografia furono per un tempo assai lungo l'unico materiale concreto per porre le basi concettuali e di metodo nella teoria della probabilità. Verso la metà del XVII secolo i giochi d'azzardo costituivano un aspetto importante della vita sociale e fornivano ai matematici l'opportunità di osservare numerose volte uno stesso gioco (esperimento) sempre in condizioni identiche, consentendo perciò una facile verifica sperimentale delle leggi formulate. Gli studiosi che sì occuparono a fondo di questi problemi di teoria dei giochi sì convinsero che dovevano aversi delle ben precise regolarità considerando un gran numero di eventi casuali; ma solo più tardi, con la vasta applicazione della teoria delle

3 probabilità alle scienze naturali ed in particolare alla fisica, le loro intuizioni poterono essere approfondite. Tuttavia quando si passa dai casi semplici ai più complessi, specialmente quelli in cui intervengono le scienze naturali o la tecnologia, la definizione classica di probabilità si imbatte in difficoltà insuperabili di natura fondamentale, prima fra tutte quella di trovare un modo ragionevole di isolare gli "eventi equiprobabili". Per esempio appare attualmente quanto meno difficile determinare la probabilità di decadimento di un atomo di una sostanza radioattiva in un dato intervallo di tempo. Prolungate osservazioni sul verificarsi o meno di un certo evento A per un numero molto grande di prove ripetute, dato un insieme invariabile di condizioni, mostrano che per un largo spettro di fenomeni il fatto che A si verifichi o no dipende da regolarità stabili. Più precisamente, se denotiamo con m il numero delle volte in cui si verifica l'evento A in n prove, si troverà che il rapporto m/n, per n sufficientemente grande, nella gran parte di questa serie di osservazioni sarà quasi costante, essendo fluttuazioni molto grandi sempre più rare all'aumentare del numero delle prove. Questo tipo di "stabilità delle frequenze" (cioè del rapporto m/n) fu notato per la prima volta in fenomeni di natura demografica. Il fatto che in un gran numero di prove la frequenze di una serie di eventi casuali si mantenga quasi costante e che sia vicina al valore della probabilità secondo la definizione classica, ci fa pensare che nel caso generale (cioè anche per quegli eventi per cui non è applicabile la definizione classica di probabilità) vi sia una costante vicino alla quale la frequenza fluttui. E' naturale chiamare questa costante, che è una caratteristica numerica oggettiva del fenomeno, "probabilità" dell'evento casuale A., Diremo quindi che l'evento A ha una probabilità p se: a) è possibile, almeno in teoria, date le stesse condizioni, ripetere un numero comunque elevato di prove in ognuna delle quali A possa o non possa verificarsi; b) come risultato di un numero sufficientemente alto di prove si è notato che la frequenze di A per quasi ogni numero di prove sufficientemente elevato si allontana solo di poco da p. La probabilità di un evento casuale così definita è detta "probabilità statistica". Anche nel caso di questa definizione vengono soddisfatte le seguenti proprietà: a) la probabilità di un evento certo è 1; b) la probabilità di un evento impossibile è 0. ' Definizione assiomatica di probabilità. Fra la fine dell'ottocento e gli inizi del Novecento, si sentì la necessità di dare una struttura assiomatica ad ogni argomento matematico, dalla geometria all'algebra e quindi anche al calcolo delle probabilità. Nella matematica moderna per assioma si intende una proposizione che viene considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione; tutte le altre affermazioni contenute nella teoria vanno dimostrate a partire dagli assiomi, tramite regole di derivazioni fissate. Per la teorìa della probabilità il problema della costruzione assiomatica è stato posto per la prima volta nel 1917 dal matematico Berstein, che lo risolse partendo da un confronto qualitativo degli eventi casuali, sulla base della loro maggiore o minore probabilità.

4 Un approccio diverso fri proposto nel 1933 da Kolmogorov, che connesse strettamente la teoria della probabilità alla teoria delle funzioni ed alla teoria degli insiemi: è questa la impostazione che noi seguiremo. Vedremo che la costruzione assiomatica dei principi della teoria della probabilità deriva dalle proprietà fondamentali della probabilità già viste relativamente alla definizione classica ed a quella statistica. Infatti la definizione assiomatica di probabilità include sia la definizione classica che quella statistica come casi particolari e supera le deficienze contenute in ciascuna di esse. Prima di enunciare gli assiomi, occorre fare alcune premesse. Spazio dei campioni. L'insieme di tutti gli eventi possibili, in occasione di una determinata prova, si definisce spazio degli eventi o spazio campionario e, utilizzando la terminologia della geometria analitica, ciascuno degli eventi possibili si denomina anche punto dello spazio degli eventi. Gli spazi degli eventi possono contenere un numero finito od una infinità numerabile di punti campione e allora si dicono discreti, oppure un'infinità continua di punti campione e allora si dicono continui. Nel caso del lancio di una moneta lo spazio campionario è discreto e finito: S-{T,C}; anche nel caso del lancio di un dado lo spazio degli eventi è discreto e finito: S={1,2,3,4,5,6}. Un esempio di spazio campionario discreto ma infinito è dato dal numero dì lanci di una moneta necessari perché si verifichi l'evento T; anche se in pratica tale evento prima o poi si presenterà, occorre prevedere dal punto di vista teorico una infinità numerabile di lanci. Eventi _. Definiamo un evento E come un sottoinsieme dello spazio campionario S. Un evento consistente di un solo punto viene chiamato evento.elementare. Anche l'insieme vuoto 0 e l'insieme S sono eventi, detti rispettivamente evento impossibile ed evento certo. Spesso un evento E può essere caratterizzato, oltre che dall'elencazione degli eventi elementari che lo compongono, anche da una proposizione p. Ad esempio, p:"nel lancio di un dado esce un numero pari"; E={2,4,6}. Per illustrare le definizioni, consideriamo un esperimento consistente nel lanciare tre volte una moneta; lo spazio campionario consta degli otto eventi elementari; e2=(ttc); e3=(tct); e4=(tcc); eó-(ctc); e7=(cct); eg=(ccc), che ne costituiscono i punti. r Pertanto S-fepe^e^e^e^e^e^Cg}. E1 evidente che è possibile considerare eventi più complessi. Ad esempio se prendiamo in esame l'evento E: "meno di due teste", ci rendiamo conto che esso comprende i punti campione e,, e,-, e-, Co, pertanto possiamo scrivere E={e4,e,-,e7,e8}. Si possono combinare eventi per formare nuovi eventi applicando le vane operazioni sugli insiemi (o allo stesso modo usando i connettivi logici se gli eventi sono individuati da proposizioni): a) A U B è l'evento che si verifica se si verificano o A o B o entrambi; b) AnB è l'evento che si verifica se si verificano sia A che B;

5 probabilità alle scienze naturali ed in particolare alla fisica, le loro intuizioni poterono essere approfondite. Tuttavia quando si passa dai casi semplici ai più complessi, specialmente quelli in cui intervengono le scienze naturali o la tecnologia, la definizione classica di probabilità si imbatte in difficoltà insuperabili di natura fondamentale, prima fra tutte quella di trovare un modo ragionevole di isolare gli "eventi equiprobabili". Per esempio appare attualmente quanto meno difficile determinare la probabilità di decadimento di un atomo di una sostanza radioattiva in un dato intervallo di tempo. Prolungate osservazioni sul verificarsi o meno di un certo evento A per un numero molto grande di prove ripetute, dato un insieme invariabile di condizioni, mostrano che per un largo spettro di fenomeni il fatto che A si verifichi o no dipende da regolarità stabili. Più precisamente, se denotiamo con m il numero delle volte in cui si verifica l'evento A in n prove, si troverà che il rapporto m/n, per n sufficientemente grande, nella gran parte di questa serie di osservazioni sarà quasi costante, essendo fluttuazioni molto grandi sempre più rare all'aumentare del numero delle prove. Questo tipo dì "stabilità delle frequenze" (cioè del rapporto m/n) fu notato per la prima volta in fenomeni di natura demografica. Il fatto che in un gran numero di prove la frequenze di una serie dì eventi casuali si mantenga quasi costante e che sia vicina al valore della probabilità secondo la definizione classica, ci fa pensare che nel caso generale (cioè anche per quegli eventi per cui non è applicabile la definizione classica di probabilità) vi sia una costante vicino alla quale la frequenza fluttui. E1 naturale chiamare questa costante, che è una caratteristica numerica oggettiva del fenomeno, "probabilità" dell'evento casuale A. Diremo quindi che l'evento A ha una probabilità p se: a) è possibile, almeno in teoria, date le stesse condizioni, ripetere un numero comunque elevato di prove in ognuna delle quali A possa o non possa verificarsi; b) come risultato di un numero sufficientemente alto di prove si è notato che la frequenze di A per quasi ogni numero di prove sufficientemente elevato si allontana solo di poco da p. La probabilità di un evento casuale così definita è detta "probabilità statistica". Anche nel caso di questa definizione vengono soddisfatte le seguenti proprietà: a) la probabilità di un evento certo è 1; b) la probabilità di un evento impossibile è 0. * Definizione assiomatica di probabilità. Fra la fine dell'ottocento e gli inizi del Novecento, si sentì la necessità di dare una struttura assiomatica ad ogni argomento matematico, dalla geometria all'algebra e quindi anche al calcolo delle probabilità. Nella matematica moderna per assioma si intende una proposizione che viene considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione; tutte le altre affermazioni contenute nella teoria vanno dimostrate a partire dagli assiomi, tramite regole di derivazioni fissate. Per la teoria della probabilità il problema della costruzione assiomatica è stato posto per la prima volta nel 1917 dal matematico Berstein, che lo risolse partendo da un confronto qualitativo degli eventi casuali, sulla base della loro maggiore o minore probabilità.

6 e) A è il complementare di A rispetto a S, cioè l'evento che si verifica se A non si verifica. d) A\ è la differenza fra A e B, cioè l'evento che si verifica se si verifica A ma non B, Due eventi sono detti incompatibili se sono disgiunti, ossia se A D B= 0; in altre parole se non possono verificarsi contemporaneamente. Queste operazioni tra insiemi possono essere agevolmente rappresentate ricorrendo ai già noti diagrammi di Eulero-Venn, come vedremo nel seguito. Gli assiomi della probabilità. Fatte tutte queste premesse, siamo in grado di enunciare gli assiomi della probabilità. Chiamiamo probabilità una funzione P definita sullo spazio campionario S e a valori reali, tale che siano verificate le seguenti proprietà (assiomi di Kolmogorov): PI) VACS 0<P(A)<1 il codominio della funzione è quindi l'intervallo reale [0,1]; la definizione classica vi è compresa e così pure quella statistica. P2) P(S)=1 la probabilità che si verifìchi uno degli eventi dello spazio campionario è 1. P3) Se A e B sono eventi incompatibili, allora P(AUB)=P(A)+P(B). P4) Se A,, A-,... è una successione di eventi incompatibili, allora P(A1UA2U...)=P(A1)+P(A2)+... si può osservare che in uno spazio campionario finito l'assioma P4 è superfluo, in quanto direttamente ricavabile da P3. Alcuni teoremi. Dimostriamo ora alcuni teoremi direttamente ricavabili dagli assiomi-,-.utilizzando il simbolismo degli insiemi. _ "~"~ -- TI) Se A è il complemento di un evento A, allora P(A)=1-P(A). Dimostrazione: lo spazio S può essere scritto come S=AUA, dove A e A sono eventi incompatibili; per P3 si può scrivere P(S)=P(AUA)=P(A)+P(A), ma poiché per P2 è P(S)=1, ne segue che P(A)+P(À)=1, da cui si ricava P(A)=1-P(A). T2) Se 0 è l'insieme vuoto (evento impossibile), allora P(0)-0. Dimostrazione: si può considerare 0 come complementare di S, quindi per TI: T3) Se ACB, allora P(A)<P(B). S Dimostrazione: Se A B, B può essere scritto come unione di eventi incompatibili: B=AU(B\A); per P3 è P(B)=P(A)+P(B\A) e poiché per PI è P(B\A)>=0, segue che P(B)>=P(A). T4) Se A e B sono due eventi qualsiasi, allora P(A\B)=P(A)-P(AflB).

7 5 Dimostrazione: si può scrivere A come unione di eventi incompatibili: A=(A\B)U(ATÌB), da cui per P3 P(A)=P(A\B)+P(ATiB) ovvero P(A\B)=P(A)- P(ATB). T5) Se A e B sono due eventi qualsiasi, allora P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AflB) (teorema di addizione). Dimostrazione: AUB può essere scomposto negli eventi incompatibili B e A\B, cioè AUB=(A\B)UB, da cui per P3 P(AUB)=P(A\B)+P(B)=P(A)-P(ATlB)+P(B) (l'ultimo termine dell'uguaglianza si è ottenuto applicando T4). Questo teorema generalizza il caso contemplato da P3: è facile vedere infatti che quando A e B sono incompatibili, sì ha AflB-0 e quindi per T2 P(AfB)=0. Un corollario di T5 riguarda il caso di tre eventi qualsiasi A, B, C; è facile verificare che: P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AnB)-P(AnC)-P(BnC)+P(AflBnC). E1 possibile dimostrare che la definizione classica verifica gli assiomi dati quando si ha a che fare con spazi degli eventi finiti: dato uno spazio campionario S={a1,a«,...5a }, si assegna una funzione da S a R associando ad ogni evento elementare un numero reale p. tale che: 1) PÌ>O VieN; 2) per i che va da 1 a n Zp.=l. Segue immediatamente che sono soddisfatti gli assiomi PI e P2, mentre per P3 e P4 occorrono dimostrazioni particolari (che omettiamo). Spesso le caratteristiche fisiche di un esperimento consigliano di assegnare uguali probabilità ai vari esiti dello spazio campionario; un siffatto spazio finito, dove ciascun evento elementare ha la stessa probabilità, è detto spazio equiprobabile o uniforme. In particolare, se S contiene n punti, la probabilità di ognuno risulta 1/n; inoltre, se un evento A contiene r punti, la sua probabilità è r(l/n)=r/n, quindi: P(A) = numero degli elementi di A numero degli elementi di S oppure

8 numero delle modalità con cui l'evento A può presentarsi numero delle modalità con cui l'evento S può presentarsi E' necessario a questo punto, per determinare quanti sono gli elementi che costituiscono un certo spazio S o quelli che determinano il verificarsi di un evento A, introdurre un nuovo contenuto matematico: il calcolo combinatone. Esercizi del capitolo Sia S={ 1,2,3,4,5,6} l'insieme degli esiti del lancio di un dado; siano A={2,4,6}, B={1,3,5}J ={4,5,6}. Caratterizzare A, B e C mediante opportune proposizioni. Individuare gli eventi A U C, A fi C, C sia con insiemi che tramite proposizioni, usando i connettivi logici. Dire se vi sono eventi incompatibili Si lasci cadere una matita a punta in giù in una scatola rettangolare e si noti il punto sul fondo toccato dalla punta. Individuare lo spazio campionario S e qualche evento casuale Si estragga a caso una carta fra cinquanta numerate da 1 a 50. Determinare la probabilità che il numero della carta sia: a) divisibile per 5; b) primo; e) finisca con la cifra Una pallina è estratta in modo casuale da un'urna che ne contiene 6 rosse, 4 bianche e 5 azzurre. Si determini la probabilità che la pallina estratta sia:- --. a) rossa; b) bianca; e) azzurra; d) non rossa; e) rossa o bianca Una pallina è estratta a caso da un'urna che ne contiene 10 rosse, 20 azzurre, 30 bianche e 15 gialle. Trovare la probabilità che la pallina estratta sia: a) gialla o rossa; b) non azzurra; e) rossa, bianca o azzurra; d) né rossa né azzurra Una classe è formata da 10 maschi e 20 femmine; la metà dei maschi e la metà delle femmine hanno gli occhi scuri. Si determini la probabilità che una persona scelta a caso sia un maschio o abbia gli occhi scuri Su 120 studenti, 60 studiano il francese, 50 studiano lo spagnolo e 20 studiano il francese e lo spagnolo. Uno studente viene scelto a caso: determinare la probabilità che egli: a) studi il francese o lo spagnolo; b) non studi né il francese né lo spagnolo Siano A e Beventi con P(AUB)=7/8, p(aflb)=l/4 e P(A)=5/8. Determinare P(À),P(B)eP(ATB).

9 1.9. Siano A e B eventi con P(A)=l/2, P(AUB)=3/4 e P(B)=5/8. Determinare P(AOB), PCÀTìB), P(AUB), P(Àf]B). 1/TO. Si supponga che uno spazio campionario S consti di quattro elementi: s S={a,,a9,a^,a4}. Quale delle seguenti funzioni definisce uno spazio di probabilità su s?.1 ^ J a) b) e) 8) P(a)=l/2 P(a )=l/5 P(a)=l/2 P(a)=l/2 P(a)=l/2 P(a)=l/8 P(a,)=l/2 P(a0)=l/3 ^ P(a2)=l/4 P(a2)=l/4 " P(iuH/4 o P(a3)=-l/4 P(a.)=l/8 P(a.,)=l/4 / -s" *I I I L>T Uno spazio dei campioni consiste di tre punti campione con associate le probabilità 2p, p e (4p-l). Determinare il valore di p. \Al. Supponiamo che un dado venga tarato in modo che quando esso viene lanciato la probabilità che si presenti un numero sia proporzionale a quel numero. Sia Annumero pari}, B={numero dispari}, C={numero primo}. a) Descrivere lo spazio di probabilità, cioè trovare la probabilità di ciascun punto campionario. b) Determinare P(A), P(B), P(C). e) Determinare la probabilità che si presenti un numero pari o un numero primo, poi che si presenti un numero.primo dispari, infine che si verifichi A ma non C.

10 18 Esercizi del capitolo 2, 2.1. Completa la seguente tabella, riferita a raggruppamenti di n oggetti k a k, inserendovi i termini "disposizioni semplici", "disposizioni con ripetizione", "combinazioni semplici", combinazioni con ripetizione": raggruppamenti senza ripetizione con ripetizione con ordine senza ordine 2.2. Rispondi alle seguenti domande: a) Ad una corsa partecipano sei cavalli. Si tratta di indovinare i primi tre cavalli, ma non necessariamente nell'ordine. Quante terne sono possibili? Quante sono vincenti? b) Stessa corsa, ma la giocata vale se si indovinano i primi tre cavalli proprio nell'ordine di arrivo. e) Al gioco del lotto possono aversi cinquine del tipo (4,2$,68,27,81)? Quante sono le cinquine? Quante sono le cinquine che contengono un dato terno? d) Quante sono le possibili coppie di valori che si possono ottenere lanciando due dadi? e) Un ragazzo dispone di tre paia di pantaloni, di due camicette e tre maglioni: in quanti modi diversi può vestirsi? f) Quanti sono gli anagrammi della parola "cena"? E di "amara?" g) Quante linee di navigazione sì possono stabilire fra sei porti diversi? h) Date dodici palline di colore diverso da distribuire in tre vasi in modo che il primo ne contenga tre, il secondo quattro ed il terzo cinque, in quanti modi stpuò effettuare la distribuzione? i) Quante circonferenze sono individuate da dieci punti del piano a" tre a tre non allineati? 1) Ad un torneo di scacchi partecipano cinque persone: quante partite si disputeranno nel caso che si giochi sia l'andata che il ritorno, oppure nel caso che si giochi solo l'andata? m) Quante parole di ventisei lettere (con ripetizioni) si possono ottenere in lingua italiana, prescindendo dal significato? Quante ce ne sono realmente? n) Quanti mazzi formati da due fiori diversi si possono ottenere con margherite, ciclamini, rose, garofani, anemoni, tulipani? E quanti da quattro fiori diversi? (Confronta i risultati e commenta). o) Quanti accordi di tre note si possono ottenere con le sette note musicali? p) In un torneo di scacchi in cui ciascun partecipante ha incontrato tutti gli altri una sola volta, sono state giocate 45 partite: quanti erano i giocatori? q) Quanti numeri diversi di cinque cifre si possono scrivere usando solo le xifre dispari? E quanti con tutte le cifre? r) Con quattro bandierine rosse e tre gialle, quanti diversi segnali diversi di sette bandierine allineate si possono ottenere? s) In quanti modi diversi si possono disporre sei persone attorno ad un tavolo circolare?

11 In uno scaffale ci sono sei libri di matematica e quattro di fisica; si trovi la probabilità che tre particolari libri di matematica si trovino vicini Al bridge ciascuno dei quattro giocatori riceve 13 carte su 52 del mazzo. Trovare la probabilità che uno di essi ottenga: a) sette fiori, due picche, tre cuori, un quadri; b) una serie completa dello stesso seme Supponiamo che tre persone entrino in un cinema nel quale siano rimasti liberi solo sei posti a sedere tutti in una fila. Esse si dispongono a caso. Qual è la probabilità che si siedano senza lasciare tra loro posti vuoti? Qual è la probabilità che resti almeno un posto vuoto fra due qualunque di esse? 2.6. Quattro uomini confondono i loro cappelli. Supponendo che essi li riprendano a caso, quale probabilità vi è che ognuno dì essi recuperi il proprio cappello? 2.7. Due carte vengono estratte a caso da un mazzo di 52. Trovare la probabilità che: a) siano entrambe di picche; b) una sia di picche una sia di cuori Si prendano a caso tre lampadine da un gruppo di quindici fra le quali si sa che ce ne sono cinque difettose. Determinare la probabilità che: a) nessuna sia difettosa; b) esattamente una sia difettosa; e) almeno una sia difettosa Dieci persone si siedono a caso intorno ad un tavolo rotondo. Qual è la probabilità che due particolari di esse si siedano l'una accanto all'altra? Una macchina, produce bulloni al gicrr.c, dei quali mediamente il 3% è difettoso. Si determini la probabilità che di seicento bulloni scelti a caso 12 siano difettosi. (2.lf) Due palline sono successivamente estratte da un'urna contenente dieci palline rosse, venti azzurre, trenta bianche e quindici gialle, rimettendo dopo ciascuna estrazione la pallina estratta nell'urna. Trovare la probabilità che: a) entrambe siano bianche; b) la prima sia rossa e la seconda sia bianca; e) nessuna delle due sia gialla; d) esse siano o entrambe rosse o entrambe bianche o una rossa e una bianca; e) la seconda non sia azzurra; f) la prima sia gialla; g) almeno una sia azzurra; h) almeno una sia rossa; i) la prima non sia bianca; 1) una sola sia rossa Ripetere l'esercizio precedente con la modifica che non si rimetta la pallina nell'urna dopo l'estrazione Lanciando due volte una coppia di dadi non truccati, qual è la probabilità di ottenere sette punti in: a) solo una volta; b) almeno una volta; e) due volte Trovare la probabilità di ottenere sette punti almeno una volta in tre lanci di una coppia di dadi non truccati. Quanti lanci sono necessari affinchè tale probabilità sia maggiore di 0,95?

12 20 CAPITOLO 3: PROBABILITÀ1 CONDIZIONATA E INDIPENDENZA. Probabilità condizionata Per illustrare la nozione di probabilità condizionata, serviamoci dì un esempio. Consideriamo l'insieme dei 90 numeri della tombola, che costituiscono gli eventi elementari dell'insieme S~{ 1,2,3,..., 88,89,90}, nel senso che ogni evento consiste nell'estrazione a sorte di uno dei novanta numeri dati. Supponiamo che si sia verificato l'evento A, riguardante l'uscita dei primi quaranta numeri, cioè A^} 1,2,3,...,39,40). Definiamo l'evento B come costituito dai numeri della tombola che sono esattamente divisibili per dieci, cioè B={10,20,30,40,50,60,70,80,90}. In tali condizioni ci domandiamo; qual è la probabilità che si manifesti l'evento B posto che si sìa verificato A? II caso appena descritto è un esempio di probabilità condizionata che si scrive P(B/A) e si legge "probabilità di B dato A". La risposta alla domanda che ci siamo posti si ottiene seguendo questo ragionamento: sapendo che si è verificato A, Io spazio degli eventi elementari che interessa considerare non è più S, ma il sottoinsieme A; d'altra parte gli elementi che soddisfano la nostra condizione provengono dall'intersezione dei due insiemi; RI 0,20,30,40}, quindi numero elementi di AflB 4 1 P(B/A)= - = - = - numero elementi di A Se vogliamo ricondurci alla probabilità definita in S, basta dividere nurneratore e denominatore della frazione per il numero di elementi di S, ottenendo nel caso generale; numero AfìB numero S P(AfÌB) P(B/A) = (1) numero A P(A) numero S In modo utile per le applicazioni pratiche, possiamo anche scrivere: P(ATÌB)-P(A)*P(B/A) (2) Verificare come esercizio che la probabilità definita dalla (1) è ancora una probabilità, cioè soddisfa gli assiomi. Esempio 3.1. Si calcoli la probabilità di estrarre in due tempi successivi due assi da un mazzo di 40 carte. Se non rimettiamo la prima carta nel mazzo si ottiene... Se rimettiamo la prima carta nel mazzo si ha invece

13 21 I risultati ottenuti si possono estendere facilmente al caso di più eventi: ) Questo teorema trova applicazione nei cosiddetti processi stocastici finiti, cioè successioni finite di esperimenti nelle quali ogni esperimento ha un numero finito di esiti con date probabilità. Esempio 3.2. Sono date tre scatole tali che A contiene 10 lampadine di cui 4 difettose, B contiene 6 lampadine dì cui una difettosa, C contiene 8 lampadine di cui 3 difettose. Prendiamo una scatola a caso e scegliamo una lampada a caso. Qual è la probabilità che la lampada sìa difettosa? Abbiamo una successione di due esperimenti: 1) scelta della scatola; 2) scelta della lampadina. All'evento E "viene estratta una lampadina difettosa" si può arrivare da tre vie, che corrispondono a tre eventi incompatibili (le tre scatole). La probabilità di E si ottiene allora sommando le probabilità dì tale tre eventi: P(E)=P[(AnD)U(BnD)U(CnD)]=P(AnD)+P(BRD)+P(CnD)= =P(A)*P(D/A)+P(B)*P(D/B)+P(C)*P(D/C)- -*- + -* *- -» C -> / Q O " LC\ J Possiamo visualizzare i! processo con un diagramma aù albero in cui ad ogni ramo corrisponde la relativa probabilità. Esempio 3.3. Lanciamo in tempi successivi due dadi non truccati, cioè tali che ogni faccia abbia la stessa probabilità di presentarsi. Definiamo i tre eventi:

14 22 A) comparsa di sei al primo lancio; B) i due dadi forniscono un totale di sette punti; C) i due dadi forniscono un totale di otto punti. Calcoliamo P(B/A), cioè la probabilità che i due dadi forniscano un totale di sette punti, data l'uscita dì una faccia contrassegnata con sei al primo lancio e P(C/A), cioè la probabilità che i due dadi diano un totale di otto punti, essendosi presentata la faccia sei al primo lancio. Lo spazio campionario dell'evento A consta dì sei elementi, quello degli eventi B e C invece di 36 eventi elementari, come si deduce dalla seguente tabella: t i j Per il modo in cui sono stati definiti, i tre eventi hanno le seguenti probabilità: P(A)=l/6; P(B)=6/36=l/6; P(C)=5/36. Inoltre P(AfB)=l/36 e P(AfìC)=l/36. Si ottiene quindi per la (1): P(B/A) = P(C/A) - P(Af)B) 1/36 1 P(A) 1/6 6 P(ADC) 1/36 1 P(A) 1/6 Osserviamo che P(B/A) è uguale a P(B), mentre P(C/A) è diverso da P(C). Indipendenza. Nell'esempio appena esaminato abbiamo visto che P(B/A)=P(B), cioè la conoscenza del verificarsi dell'evento A era del tutto irrilevante circa la probabilità del verificarsi dell'evento B. Ogni volta che si verifica tale relazione, cioè P(B/A)=P(B), si dice che i due eventi A e B sono statisticamente indipendenti. Se si verifica il caso contrario, cioè se P(B/A)^P(B), i due eventi sono statisticamente dipendenti. La relazione di indipendenza fra eventi è simmetrica, cioè se B è indipendente da A si può dimostrare che anche A è indipendente da B. Osserviamo che se i due eventi A e B sono indipendenti, cioè se P(B/A)~P(B), la (2) diventa P(Af]B)=P(A)*P(B) (3) La (3) costituisce la definizione formale di indipendenza: gli eventi A e B sono indipendenti se P(AfìB)=P(A)*P(B), in caso contrario essi sono dipendenti.

15 23 Per determinare praticamente l'indipendenza di due eventi qualunque, raramente si va a verificare se P(Af B)-P(B); l'approccio usuale è dato dall'intuizione a partire dall'esperienza. Ad esempio è chiaro che se viene testa nel lancio di una moneta, il fatto dì scegliere un'altra moneta non altera la probabilità che nel lancio di quest'ultima esca ancora testa, se le due monete non sono collegate in alcun modo. Analogamente la nascita di un figlio maschio da una madre, non altera la probabilità che nasca un altro maschio (o una femmina) da un'altra madre. Allarghiamo la definizione al caso di tre eventi. Tre eventi A, B e C sono indipendenti se lo sono a coppie e se P(AnBnC)=P(A)*P(B)*P(C). Esempio 3.4. Viene lanciata una coppia di monete. Siano A: esce testa sulla prima moneta B: esce testa sulla seconda moneta C: esce testa su una e una sola moneta. Gli eventi A, B e C sono indipendenti? Sì calcoli P(A) = P(B) = P(Q- P(Af]B) - P(AfìC) - P(BRC) =. Si noti che, affinchè più eventi siano fra loro indipendenti, non è sufficiente che essi siano indipendenti a due a due. Esempio 3.5. Supponiamo che le facce di un tetraedro siano colorate come segue: la prima sia rossa (A), la seconda verde (B), la terza blu (C) e la quarta di tutti e tre i precedenti colori (AfìBrìC). Si verifica facilmente che la probabilità che, lanciando il tetraedro, esca il rosso è 1/2, in quanto sono due le facce che contengono ìl rosso. Allo stesso modo si ricava che P(B)-P(C)=P(A/B)=P(B/C)=P(C/A)-P(B/A)=P(C/B)=P(A/C)-l/2. Inoltre si verifica facilmente che gli eventi A, B e C sono a due a due indipendenti per la (3), tuttavia se sì sono verificati sia l'evento B che l'evento C si è senz'altro verificato anche A, quindi P(A/Bf C)-Bl. Dunque gli eventi A, B e C sono collettivamente dipendenti.

16 24 Esercizi del terzo capitolo Posto P(A)=3/10, P(B)=2/S, P(B/A)=l/2, calcolare P(A), P(AfìB), P(AUB), P(AflB), P(ATì ) La probabilità che un uomo viva ancora dieci anni è 1/3; la probabilità che sua moglie viva ancora dieci anni è 2/5. Trovare la probabilità che: a) vivano entrambi ancora dieci anni; b) almeno uno viva dieci anni Un'urna contiene due palline bianche e tre nere. A, B e C estraggono a turno una pallina e non la rimettono nell'urna. Qua! è la probabilità che B estragga per primo una pallina bianca? E C? 3.4. L'urna I contiene tre palline rosse e cinque bianche, mentre l'urna II ne contiene quattro rosse e due bianche. Si sceglie una pallina a caso nell'urna I e la si mette, senza osservarne il colore, nella IL Si estrae poi una pallina dall'urna II. Determinare la probabilità che la pallina così estratta sia bianca. 3.5."Tre persone A, B e C si dispongono a caso in riga. Consideriamo le proposizioni r, "B è alla destra di A", e s, "C è alla destra di A". Qual è il valore di P(r^s)? Le due proposizioni r e s sono indipendenti? 3.6. Siano A e B due eventi tale che P(A)=3/8, P(B)^5/8 e P(AUB)=3/4. Determinare P(A/B) e P(B/A). 3.7.)Sia A un evento generico di uno spazio S; siano B,, B«e B-, tre eventi a due a due incompatibili e tali che B^UB^UB^^S. Si dimostri la validità della seguente uguaglianza: P(A)-P(B1)*P(A^1)+P(B2)*P(A/B2)+P(B3)*P(A/B3) Ogni domanda di un questionario d'esame prevede cinque risposte di cui una sola esatta. Se uno studente è preparato non ha dubbi nel rispondere, se-inyece è stato negligente deve affidarsi al caso. Consideriamo le proposizioni p, "urlo studente ha compiuto il suo dovere", e q, "egli risponde esattamente a questa domanda". Sapendo che P(p)=a: - esprimere in funzione di a la P(p/q); - dimostrare che, qualunque sia a, risulta P(p/q)>=P(p) e indicare quando, nella relazione, vale il segno di uguaglianza.,3.9. Vengono scelte a caso due cifre fra quelle che vanno da 1 a 9. La somma è pari. Determinare la probabilità che entrambi i numeri siano dispari Si abbia un dado A con due facce rosse e quattro bianche e un dado B con due facce bianche e quattro rosse. Si disponga inoltre di una moneta che sì lancia. Se la moneta da testa si lancia il dado A, se da croce il dado B. a) Qual è la probabilità dell'evento "faccia rossa alla prima prova"? b) Qual è la probabilità che in due prove venga una volta bianco e una volta rosso? e) Sapendo che è uscito rosso, qual è la probabilità che sia stato usato il dado A?

17 25 CAPITOLO 4: TEOREMI DI BAYES E DI BERNOULLI Teorema di Bayes (o della probabilità a posteriori! Abbiamo visto che, al verificarsi di un evento A- dello spazio campionario S, si può verificare anche l'evento B con probabilità P(B/A.). Forzando il linguaggio, si può dire che P(B/A-) è la probabilità che l'evento A- sia la "causa" del verificarsi dell'evento B. A questo punto possiamo invertire i termini del problema chiedendoci qual è la probabilità che l'evento A- sia stato la "causa" del verificarsi di B. Supponiamo che gli eventi A,, A-, A^,..., A costituiscano una partizione di^uno spazio campionario S, cioè: 1) ricoprano tutto S: per i che va da 1 a n U A- = S; 2) siano incompatibili: A-flA-=0 per i~j; 3)P(A.)>0 ViNQ. l J Un qualsiasi evento B<S (con P(B)>0) può essere scritto come dove gli A-fìB sono eventi incompatibili, S Per P3 segue che Ricordiamo che, per definizione di probabilità condizionata, avendo supposto P(B)>0 e P(A-)>0 Vi NO, sia ha per ogni i: P(Ai/è)-P(A-RB)/P(B) e P(AirìB)=P(Ai)*P(B/Ai). Unendo i risultati ottenuti si può scrivere: P(A:/B) = P(A1)*P(B/A1)+P(A2)*P(B/A2)+...+P(An)*P(B/An) In questa formula, che costituisce il teorema di Bayes, si osserva un'inversione dell'ordine in cui si considerano gli eventi: al primo membro c'è la probabilità che avvenga un A-, ammesso che si sia venficato B; al secondo membro invece si studia il verificarsi di B, essendo noti gli A-. SÌ può quindi parlare di ricerca di"probabilità delle cause", intendendo gli A- come "cause" del verificarsi di B.

18 ( 26 Esempio 4.1. Due fucili sparano allo stesso bersaglio. Si sa che, mentre il primo spara nove colpi, il secondo ne spara dieci, e che in media otto colpi su dieci del primo centrano ìl bersaglio, mentre nel secondo solo sette su dieci lo centrano. Viene colpito il bersaglio. Ci si chiede la probabilità che a sparare sia stato il secondo fucile. Siano A,-"spara il primo fucile"; A2~"spara il secondo fucile". Si può dire che P(A1)±=019*P(A2), dato che A~ spara dieci volte, mentre A, nove. Se B è l'evento "il bersaglio viene colpito", possiamo dire che P(B/A,)=0,8 e P(B/A-)=0,7. B avviene. Sono verificate le ipotesi del teorema di Bayes, quindi la probabilità che abbia sparato il secondo fucile è: P(A2)*P(B/A2) P(A1)*P(B/A1)+P(A2)*P(B/A2) P(A2)*0,7 0,9*P(A2)4P(A2)*0, 0,72+0,7-0,493. Schema di Bernoullì Co delle prove ripetute). Consideriamo un caso particolare di eventi indipendenti, costituiti dai risultati ottenuti in n prove successive, tali che ognuna possa avere solo due esiti, o A (successo) o A (insuccesso), il cui verificarsi non viene influenzato dall'esito della prova precedente, né è determinante sulla prova successiva. Se p è la probabilità di A, evidentemente A ha probabilità q=l-p. Si vuole trovare una legge per determinare la probabilità che l'evento A si verifichi in k,prove delle n effettuate, senza dare importanza all'ordine. Esempio 4.2. La nascita di un figlio in una famiglia può considerarsi, per quanto riguarda il sesso, un esempio di schema di Bernoulli; o maschio o femmina con p-q-1/2; ìl sesso del primogenito non influenza quello del secondogenito e così via. Vogliamo determinare la probabilità che in una famiglia con tre figli ci siano due maschi e una femmina. Potremmo usare un diagramma ad albero: HHH HMF MFH HFF

19 27 Si osserva che la situazione desiderata è ottenuta in tre punti terminali; quindi occorre sommare i prodotti della probabilità che si trovano sui rami che portano a quei punti: P(2M e 1F) = * * i * * i * * 8 II metodo del diagramma ad albero, pur molto chiaro ed intuitivo, mostra seri limiti quando aumenta il numero delle prove, infatti il numero delle ramificazioni aumenta esponenzialmente (pensiamo ad esempio di voler calcolare la probabilità che su quindici lanci di monete escano sei teste). Occorre quindi ricavare una legge generale. Se si chiedesse la probabilità che A si verifichi nelle prime k prove ed A nelle altre n-k, poiché per ipotesi si tratta dj eventi indipendenti, basterebbe eseguire il prodotto delle probabilità, cioè p (1-p). Questo risultato rimane valido comunque si voglia stabilire l'ordine di uscita dei k eventi A e dei restanti n-k A_ Volendo allora la probabilità ^;he A esca k volte indipendentemente dall'ordine delle n prove, occorre sommare p *(l-p) " tante volte quanti sono i modi in cui A si può verificare k volte sulle n prove. Questi modi sono le combinazioni delle n prove k a k. Quindi la probabilità cercata è: k,,..n-k Verifichiamo il risultato già ottenuto col diagramma ad albero: n-3, k=2, P(A)=l/2, P(A)=ì/2, P(2MelF)= tl\ 1 = 3

20 28 Esercizi del capitolo Una moneta è stata coniata in modo che la probabilità che, lanciandola, si presenti testa è 0,7, mentre quella che si presenti croce è 0,2; inoltre vi è la probabilità che, ricadendo, si posi di taglio, Qual è la probabilità che non si presenti testa, nell'ipotesi che non si presenti croce? <pì«>*<& Trovare la probabilità di ottenere, lanciando una coppia di dadi non truccati, sette punti in: a) esattamente una volta; b) almeno una volta; e) due volte Se il 10% delle viti prodotte da una macchina è difettoso, determinare qua! è la probabilità che su cinque viti scelte a caso a) nessuna sia difettosa; b) esattamente una sia difettosa; y e) almeno due siano difettose In un questionario costituito da dieci domande alle quali si deve rispondere SI o NO, qual è la probabilità di dare almeno il 70% delle risposte esatte supponendo di rispondere a caso? 4.5. Supponiamo che sìa stato accertato che la probabilità che un siluro colpisca una nave è 1/3. Quanti siluri devono essere lanciati affinchè la probabilità che la nave accusi almeno un colpo sia maggiore di 0,9? 4.6.-Tre macchine A, B e C producono rispettivamente il 60%, il 30% e il 10% del numero totale dei pezzi prodotti da una fabbrica. Le percentuali di produzione difettosa di queste macchine sono-rispettivamente del 2%, 3%, 4%. Viene estratto a caso un pezzo che risulta difettoso. Determinare la probabilità che quel-pezzo sia stato prodotto dalla macchina C Si pone una cavia davanti a cinque labirinti e la si lascia libera di scegliere uno di essi a caso. Sapendo che le probabilità che la cavia trovi m tre minuti la via d'uscita dal labirinto scelto sono rispettivamente 0,6 0,3 0,3 0,1 0,1, nonché sapendo che la cavia riesce effettivamente ad uscire dopo tre minuti, calcolare la probabilità che essa abbia scelto il primo e quella che abbia scelto il secondo labirinto Un giovane è stato avvertito che, di tre slot-machìne, una lascia vincere con probabilità 1/2, mentre gli altri due lasciano vincere con uguale probabilità 1/3. a) Se quel giocatore sceglie una macchina a caso ed effettua con questo due giocate, qual è la probabilità che egli perda la prima volta e vinca la seconda? b) Se quel giocatore perde la prima volta e vince la seconda, qual è la probabilità che abbia scelto la slot-machine più vantaggiosa? a.vw«* 4.93 La probabilità che durante il mese di maggio si abbia un-feese di pioggia è 0,2. Il Milan ha probabilità di vincere una partita uguale a 0,7 in una giornata serena, ma uguale a 0,4 in una giornata piovosa. Sapendo che la suddetta squadra, nel mese di maggio, ha vinto una certa partita, determinare la probabilità che il giorno in cui essa fu disputata piovesse Quanti dadi si debbono lanciare affinchè la probabilità di ottenere almeno un sei sia maggiore di quella di non ottenerlo?

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