Distribuzioni di probabilità Unità 79

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1 Prerequisiti: - Primi elemeti di probabilità e statistica. - Nozioi di calcolo combiatorio. - Rappresetazioe di puti e rette i u piao cartesiao. Questa uità iteressa tutte le scuole ad eccezioe del Liceo Artistico. Gli Istituti Tecici e gli Istituti Professioali e affroterao lo studio i liea di massima el 2 bieio, i Licei ella 5 a classe. OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO Ua volta completata l uità, gli allievi devoo essere i grado di: - defiire ua variabile aleatoria - calcolare la media e la deviazioe stadard di ua variabile aleatoria - defiire il cocetto di gioco equo - defiire ua distribuzioe di probabilità - ricooscere, rappresetare e utilizzare la distribuzioe biomiale, servedosi evetualmete di uo strumeto di calcolo automatico - forire qualche esempio di distribuzioe cotiua 79.1 Variabile aleatoria Distribuzioi di probabilità Distribuzioe biomiale Distribuzioi discrete e distribuzioi cotiue. Verifiche. Ua breve sitesi per domade e risposte. Complemeti: Probabilità geometriche e metodo Mote Carlo. Distribuzioi di probabilità Uità 79 Matematica per le scuole superiori

2 79.1 VARIABILE ALEATORIA Cosideriamo l esperimeto che cosiste el laciare due dati, ciascuo co le facce umerate da 1 a 6. L esito di ogi lacio è l uscita di ua coppia ordiata di umeri, ciascuo compreso fra 1 e 6 iclusi. La fuzioe S che ad ogi lacio associa la somma dei due umeri usciti può assumere evidetemete i valori iteri da 2 a 12 iclusi. Essi però o hao la stessa probabilità di essere assuti da S. Posto, ifatti, che gli eveti elemetari siao equiprobabili (come dire che le facce dei dadi hao la stessa probabilità di uscire) e teedo presete la tabella 1, le probabilità co cui i valori suddetti soo assuti dalla fuzioe S risultao essere rispettivamete: 1 36, 2 36, 3 36, 4 36, 5 36, 6 36, 5 36, 4 36, 3 36, 2 36, E, come si può facilmete cotrollare, la loro somma vale TAB. 1 La fuzioe S è ua variabile aleatoria. I geerale: Si chiama variabile aleatoria (o casuale o stocastica) ua fuzioe X che, ad oguo degli e- veti casuali icompatibili E 1, E 2,, E di probabilità p 1, p 2,, p tali che: p 1 + p p = 1, associa rispettivamete i umeri reali x 1, x 2,, x. Possiamo rappresetarla i questo modo: 1 X = x 1 x 2 x p 1 p 2 p Per idicare che è uguale a pi la probabilità che la variabile aleatoria X assuma il valore xi si scrive: P[X=xi] = pi. La più semplice variabile aleatoria discreta è la variabile aleatoria di Beroulli (1). È suscettibile dei soli valori 1 e 0, che assume co probabilità rispettivamete p e q=1 p. Si può idicare el modo seguete: B= 1 0 p 1 p. Per esempio, abbiamo ua variabile aleatoria di Beroulli se, el lacio di ua moeta Testa-Croce, p è la probabilità che esca Testa (o ecessariamete uguale ad 1/2, come ad esempio i ua mo- i=1 p i = 1 1 Beroulli, Jakob, matematico svizzero, Matematica per le scuole superiori

3 eta truccata ), per cui è q=1 p quella che esca Croce, ed all uscita di Testa o di Croce si attribuisce rispettivamete valore 1 o valore 0. Cosiderata ua variabile aleatoria X come quella rappresetata dalla [1] si defiisce speraza matematica di X la quatità M(X) tale che: 2 M X = p i x i. Co riferimeto alla variabile aleatoria di Beroulli, si ha M(B)=p. Siccome i=1 p i =1, la [2] può essere scritta ache i questo modo: i=1 p i x i M X =. E questo giustifica il seguete fatto: i=1 i=1 p i La speraza matematica della variabile aleatoria X coicide co la media aritmetica poderata dei valori x 1, x 2,, x assuti da X, quado si predoo come pesi le rispettive probabilità p 1, p 2,, p. Poiché la media aritmetica suddetta si chiama ache media (o valor medio) della variabile aleatoria X, cocludiamo che: La speraza matematica di ua variabile aleatoria si idetifica co la sua media. È chiamata ache valore atteso. Ciò perché: La media di ua variabile aleatoria rappreseta il valore che meo si discosta dal valore che la variabile aleatoria ha la maggior probabilità di assumere. Per sitetizzare: speraza matematica di ua variabile aleatoria X, media di X, valore atteso di X soo sioimi. Risolvi il seguete esercizio. La variabile aleatoria X assume i valori 1, 2, 3, 4,. I primi 4 co probabilità rispettive 1 2, 1 4, 1 8, Determiare sapedo che il valore atteso di X è Il cocetto di speraza matematica svolge u ruolo importate el caso delle scommesse. Cosideriamo, al riguardo, u gioco i cui u giocatore ha la probabilità p1 di perdere la somma S1 e la probabilità p2=1 p1 di vicere la somma S2. Ebbee, possiamo predere i cosiderazioe la variabile aleatoria G, i cui eveti soo le somme che il giocatore può vicere, e cioè S1 (poiché i realtà è ua perdita) ed S2, co probabilità p1 e p2 rispettivamete, vale a dire: G= S 1 S 2 p 1 p 2. Poiché p1+p2 = 1, G è ua variabile aleatoria. La sua speraza matematica è: M(G) = S1p1+S2p2. Essa o è altro che il guadago medio del giocatore. Il gioco si dice equo se M(G)=0. Duque: U gioco si dice equo se il guadago medio del giocatore è ullo. Si desume facilmete che, i u gioco equo, risulta: S 1 p 1 = S 2 p 2. Matematica per le scuole superiori 3

4 Vale a dire: I u gioco equo, il prodotto dell importo che u giocatore può perdere per la probabilità di perderlo è uguale a prodotto di quello che può vicere per la probabilità di vicerlo. D altro cato, la relazioe S1p1=S2p2 può essere messa ella forma: S 1 = p 2, S 2 p 1 ragio per cui: I u gioco equo, il rapporto tra l importo che u giocatore può perdere e quello che può vicere è uguale al rapporto iverso tra le rispettive probabilità di perdere o di vicere. Ti propoiamo u paio di esercizi. 1. Giochi a dadi. Precisamete soo laciati due dadi, le cui facce, umerate i etrambi da 1 a 6, hao la stessa probabilità di uscire. Ogi volta che esce ua coppia di umeri uguali vici 10 euro, ogi volta che esce ua coppia di umeri diversi vici x euro se la loro somma è miore di 7, altrimeti perdi 12 euro. Quato deve valere x affiché il gioco sia equo? 2. Partecipi al gioco a premi Chi vuol essere milioario e sei giuto a quota euro. Se sbagli la prossima domada scedi a euro, se la idovii sali a La domada è u quesito a 4 alterative co ua sola risposta corretta. No hai la più pallida idea di quale possa essere la risposta giusta. Decidi di rispodere ugualmete, scegliedo a caso. La speraza matematica del tuo guadago è positiva, egativa o ulla? Oltre alla media M(X) di ua variabile aleatoria X, è utile cooscere il modo co cui i valori assuti da X si discostao dalla media. L idice adatto allo scopo è, come per le variabili statistiche, la deviazioe stadard, idicata co σ(x) o ache co dev(x). Per determiare l espressioe soo ecessarie alcue cosiderazioi, simili i tutto e per tutto a quelle svolte a suo tempo per le variabili statistiche. Azitutto prediamo i esame gli scarti della variabile X dalla sua media M(X). Vale a dire il seguete sistema di umeri: x 1 M X, x 2 M X,, x M X, i quali si presetao co le medesime probabilità: p 1, p 2,, p, co cui si presetao i corrispodeti valori assuti da X. Di modo che la fuzioe Y, che ad ogi e- veto associa quei umeri co le suddette probabilità, è essa stessa ua variabile aleatoria: si chiama scarto (o scostameto o deviazioe) della variabile X dalla sua media. La prima idea, per valutare come mediamete i valori di X si discostao dalla loro media M(X), sarebbe di calcolare la media di Y. Tempo sprecato, poiché M(Y)=0. Cosa che puoi dimostrare facilmete da solo. Questo sigifica che gli scostameti positivi e quelli egativi si cotrobilaciao. Allora, per avere l iformazioe suddetta, si ricorre ad ua variabile aleatoria collegata, sì, ad Y ma ella quale i segi degli scostameti o hao iflueza. Questa variabile si chiama quadrato dello scarto e si idica co Y 2. Può essere rappresetata el modo seguete, dove per comodità si è posto μ al posto di M(X): Y 2 = x 1 μ 2 x 2 μ 2 x μ 2. p 1 p 2 p La media di Y 2, vale a dire la media dei quadrati degli scarti, si chiama variaza della variabile alea- 4 Matematica per le scuole superiori

5 toria X e di solito si idica co la scrittura σ 2 (X) o ache co var(x). Pertato: var X = σ 2 X = M Y 2 = p i x i M X 2. Già questo valore è u idice che permette di valutare come le determiazioi della variabile aleatoria X si disperdoo rispetto alla media M(X). Tuttavia, per ragioi di omogeeità co le determiazioi di X, si preferisce servirsi i sua vece della radice quadrata della variaza di X: è proprio questo valore è la deviazioe stadard. Duque: i=1 dev X = σ X = i=1 p i x i M X 2. Per esempio, acora co riferimeto alla variabile aleatoria di Beroulli, si ha: σ B = p 1 p. Possiamo fare u paio di cosiderazioi ragioado sulla formula precedete: Poiamo che restio ivariate le probabilità pi: quato più piccoli soo gli scarti x i M(X) (quato miori cioè soo gli scostameti delle determiazioi di X dalla media) tato più piccola è la deviazioe stadard e viceversa. Ammettiamo che restio ivariate le determiazioi xi della variabile aleatoria X: quato più piccole soo le probabilità degli scarti x i M(X) aveti il maggior valore assoluto (cioè quato più piccole soo le probabilità delle xi che maggiormete si discostao da M(X)) tato più piccola è la deviazioe stadard e viceversa. ESERCIZI. 1. Cosidera l esperimeto del lacio di due dadi co le facce umerate da 1 a 6, aveti la stessa probabilità di uscire. Idicata co S la somma dei puti usciti, prova che si ha: σ S 2, Nel lacio di due dadi co le facce umerate da 1 a 6, aveti la stessa probabilità di uscire, la fuzioe F associa ad ogi lacio: a) il umero 1 se i due umeri usciti soo etrambi pari; b) il umero 2 se uo dei due umeri è pari e l altro è u divisore di 3; c) il umero 3 se etrambi i umeri soo dispari; d) il umero 4 ei casi rimaeti. Spiega perché la fuzioe F è ua variabile aleatoria e di essa calcola la media e la deviazioe stadard [R. ; 2,33; 1,027] 79.2 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Cosideriamo la variabile aleatoria geerica X rappresetata dalla [1]. L isieme dei umeri p 1, p 2,, p, la cui somma è uguale ad 1, corrispodeti ai valori x 1, x 2,, x che può assumere X, si chiama distribuzioe di probabilità della variabile aleatoria X (o, più semplicemete, distribuzioe di X). La media, la deviazioe stadard e la variaza della variabile aleatoria X soo chiamate ache media, deviazioe stadard e variaza della relativa distribuzioe di probabilità. I u piao cartesiao ortogoale (solitamete o moometrico), i cui i ascisse si predoo le x i ed Matematica per le scuole superiori 5

6 i ordiate le p i, il grafico della distribuzioe di X è costituto dagli puti isolati di coordiate x i, p i, co i che varia da 1 ad. I figura (Fig. 1) è rappresetata la distribuzioe della variabile aleatoria X tale che: X= Quato vale la media di tale distribuzioe? Quato la sua deviazioe stadard? FIG Ci occuperemo tra breve di ua delle più importati distribuzioi di probabilità, ma prima vogliamo fare u ceo alla cosiddetta distribuzioe uiforme. Vale la seguete defiizioe: Ua variabile aleatoria X si dice uiforme quado le probabilità p i (i=1,2,,) co cui si presetao le sue determiazioi x 1, x 2,, x soo uguali fra loro; per cui, dovedo essere uguale ad 1 la loro somma, ciascua di esse vale 1/. La distribuzioe di tale variabile si dice, a sua volta, distribuzioe uiforme. I figura 2 è rappresetata la distribuzioe della variabile aleatoria uiforme X suscettibile dei valori 1, 2, 3, 4, 5, 6 co probabilità p 1 =p 2 =p 3 =p 4 =p 5 =p 6 =1/6. Il modello che viee i mete è la distribuzioe della variabile che ad ogi lacio di u dado associa il umero che cotrassega la faccia uscita, suppoedo ovviamete che il dado o sia truccato e le sue facce siao umerate da 1 a 6. Quato vale la media di tale distribuzioe di probabilità? Quato la sua deviazioe stadard? FIG. 2 Ti propoiamo u paio di esercizi. 1) Dimostrare che la media della distribuzioe di probabilità della variabile aleatoria X suscettibile dei valori 1, 2, 3,,, ciascuo co probabilità 1 è ) Qual è la probabilità che sia uguale a 2 la 3 a cifra decimale del logaritmo aturale di u umero reale 6 Matematica per le scuole superiori

7 positivo, scelto a caso? 79.3 DISTRIBUZIONE BINOMIALE (2) Comiciamo col risolvere questo problema. PROBLEMA. Calcolare la probabilità che, su 5 laci di ua moeta testa-croce, esca 3 volte testa, ammesso che le due facce della moeta abbiao la stessa probabilità di uscire. RISOLUZIONE. Per mezzo di u grafo che schematizzi i possibili casi che si verificao ell esperimeto dei 5 laci, si trova che il umero dei casi possibili è 32, metre quello dei casi favorevoli all eveto esce 3 volte testa è 10. Per cui la probabilità cercata è p 3 =10/32. Lasciamo a te questo calcolo, compresa la costruzioe del grafo. Noi ivece ci propoiamo di arrivare al risultato co u altro procedimeto. Per comodità diciamo E l eveto esce testa. Se esso si presetasse ei primi tre laci, e di cosegueza egli altri due si preseta l eveto cotrario E: o esce testa, si avrebbe questa sequeza: E E E E E. Ora, siccome gli eveti soo idipedeti, la probabilità che si verifichi questo fatto è: p ' =p E p E p E p E p E ; ossia, posto p(e)=p e p(e)=q (co q=1 p): p = p 3 q 2. I realtà o importa che l eveto E si maifesti ei primi 3 laci. Ciò che iteressa è che esso si verifichi esattamete 3 volte. Per cui vao bee tutte le sequeze che si ottegoo da E E E E E co ua permutazioe dei suoi elemeti; come dire che queste sequeze soo tate quate le permutazioi di 5 oggetti dei quali uo si ripete 3 volte ed uo si ripete 5 3=2 volte. Sappiamo che 5! queste soo i umero di, umero che è uguale al coefficiete biomiale 5. Ioltre ogua 3! 5 3! 3 di queste sequeze ha la stessa probabilità p 3 q 2 già vista di verificarsi. Sicché, per il pricipio delle 5 probabilità totali, la probabilità p 3 che su 5 laci esca esattamete 3 volte testa, è la somma di 3 termii uguali a p 3 q 2 ; vale a dire: [3] p 3 = 5 3 p3 q 5 3. Osserviamo adesso che el caso specifico è: p=p(e)= 1 e q=1 p= 1, di cosegueza: 2 2 p 3 = = ! = Abbiamo otteuto aturalmete lo stesso risultato trovato per mezzo del grafo. Ma i modo più complicato Qualcuo potrebbe maliziosamete isiuare che il uovo procedimeto o sia altro che u virtuosismo dei matematici, fatto apposta per complicarsi la vita e soprattutto per complicarla agli studeti. No è esattamete così. Il fatto è ivece che questo procedimeto, a differeza del primo, può essere facilmete geeralizzato al caso di u umero ache molto grade di prove e di u umero qualuque k di volte (co k ) i cui u dato eveto deve verificarsi. Basta ripetere il procedimeto 2 Questo paragrafo è opzioale per l Istituto Tecico, settore Ecoomico. Matematica per le scuole superiori 7

8 medesimo, mettedo al posto di 5 e k al posto di 3, co u uica codizioe imprescidibile: che l esperimeto, effettuato sempre elle stesse codizioi, dia luogo a due soli eveti, E e E, il primo di probabilità p ed il secodo di probabilità q=1 p. Ebbee, la probabilità p k che, su prove ripetute elle stesse codizioi, l eveto E si maifesti k volte è: [4] p k = k pk q k. Questa formula, otteuta geeralizzado la [3], risolve quello che comuemete si chiama problema delle prove ripetute Cosideriamo adesso u esperimeto tale che, i prove ripetute elle medesime codizioi, l eveto E si preseti k volte, per cui la sua probabilità è il valore p k dato dalla [4]. Idicata co B la fuzioe che al umero k associa la probabilità che l eveto E si preseti k volte i tale esperimeto e che idichiamo co P[B=k], si ha pertato: P B = k = k pk q k. Allora, i corrispodeza degli +1 valori iteri di k cresceti da 0 ad si hao i segueti +1 valori di P[B=k]: 0 p0 q, 1 p1 q 1, 2 p2 q 2,, 2 p 2 q 2, 1 p 1 q 1, p q 0. Se la somma di questi umeri, vale a dire k=0 k pk q k, fosse uguale ad 1 la fuzioe B sarebbe ua variabile aleatoria. Di fatto, ricordado lo sviluppo del biomio di Newto, ossia: a+b = k=0 k ak b k, possiamo scrivere: k=0 k pk q k = p+q e siccome p+q=1, questa somma vale per l apputo 1. Cocludiamo pertato che la fuzioe B è effettivamete ua variabile aleatoria. La fuzioe B tale che: P B = k = k pk q k (q=1 p) è detta variabile aleatoria biomiale di ordie e di parametro p. Si è soliti idicarla co la scrittura: B, p o, se c è luogo a cofusioe, co Bi(,p). La sua distribuzioe di probabilità, cioè il sistema degli +1 umeri: 0 p0 q, 1 p1 q 1, 2 p2 q 2,, 2 p 2 q 2, 1 p 1 q 1, p q 0, geerato dall espressioe k pk q k, quado a k si attribuiscoo successivamete i valori iteri da 0 ad, si chiama distribuzioe biomiale (o ache distribuzioe beroulliaa (3) ) Può essere iteressate la rappresetazioe cartesiaa della [4], il cui grafico è evidetemete costituito da +1 puti isolati, dei quali uo disposto sul semiasse positivo delle ordiate (quello corrispodete al valore k=0) e gli altri collocati el primo quadrate. Disegiamo (Fig. 3) il grafico quado =7 e p=1/2. Sei ivitato a costruirlo i altri casi, come =2,3,4,5,6 sempre co p=1/2. Costaterai che i tutti questi casi (ei quali, lo ripetiamo, p=0,5) la rappresetazioe cartesiaa della [4] preseta ua simmetria assiale rispetto alla retta di equazioe x=/2: si dice che la distribuzioe di 3 Prede il ome da Jakob Beroulli. 8 Matematica per le scuole superiori

9 probabilità è simmetrica. FIG. 3 Se ivece p 0,5 la distribuzioe di probabilità è asimmetrica. Precisamete si ha ua asimmetria destra se p<0,5 (Fig. 4, dove p=0,2 ed =10) ed ua asimmetria siistra se p>0,5 (Fig. 5, dove p=0,8 ed =10). FIG. 4 FIG. 5 I geerale ua distribuzioe di probabilità si dice simmetrica se esiste ua retta rispetto alla quale il grafico che la rappreseta è per l apputo simmetrico. Altrimeti si dice asimmetrica. I particolare si ha ua simmetria destra (o positiva) se il grafico preseta ua coda che si alluga verso destra e si ha ua asimmetria siistra (o egativa) se il grafico preseta ua coda che si alluga verso siistra. ESERCIZI. 1. Rappreseta graficamete la distribuzioe di probabilità di ciascua delle segueti variabili aleatorie biomiali: a) el lacio di u dado, ripetuto 5 volte, esce u umero maggiore di 2; b) ell estrazioe di u umero della tombola, ripetuto 6 volte, esce u divisore di 90; c) el lacio di due dadi, ripetuto 6 volte, escoo due umeri la cui somma o è miore di 5; d) da u ura coteete 24 pallie, tra cui 7 biache e 5 ere, se e estraggoo due etrambe biache o etrambe ere, seza reiserimeto. L esperimeto è ripetuto 7 volte; e) ua ditta produce pezzi di ricambio per automobili co u procedimeto che provoca il 2% di pezzi difettosi. Su 7 pezzi, presi a caso, 1 è difettoso. 2. Piero si trova tra le mai u questioario formato da 30 quesiti a scelta multipla, ciascuo co 4 alterative, di cui ua sola è corretta. Purtroppo è scritto i tedesco e Piero o ci capisce iete. Decide u- gualmete di dare le risposte, ma i modo del tutto casuale. La tabella 2 mostra le probabilità approssimate che ha Piero di idoviare determiati umeri di risposte corrette. a) Verifica la correttezza di qualcuo dei risultati foriti dalla tabella. Matematica per le scuole superiori 9

10 b) Calcola la probabilità che ha Piero di idoviare al più 7 risposte corrette. c) Calcola la probabilità che ha Piero di idoviare o meo di 10 risposte corrette. Numero risposte corrette Probabilità % Numero risposte corrette Probabilità % Numero risposte corrette Probabilità % 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,017 La probabilità di idoviare u umero di risposte superiore a 17 è 0,004%. Tab Per calcolare la media M(B) e la deviazioe stadard σ B della variabile aleatoria biomiale B(,p) si potrebbe ricorrere alla defiizioe ma è preferibile utilizzare due formule apposite, le segueti: M B = p, σ B = pq. Sorvoliamo sulla loro dimostrazioe, ma u esempio s impoe. ESERCIZIO. Suppoi di dover rispodere ad u questioario formato da 30 quesiti a scelta multipla, ciascuo co 5 alterative ed ua sola risposta corretta. Decidi di scegliere le risposte a caso. A quati quesiti mediamete pesi di aver risposto correttamete? RISOLUZIONE. La scelta di rispodere a caso ai 30 quesiti implica che per ogi quesito hai probabilità p=1/5 di rispodere correttamete. Si tratta duque di calcolare la media della variabile biomiale B(30, 1/5). Risulta evidetemete: M(B)=30 (1/5)=6. Pertato, co la scelta delle risposte casuali, i media si rispode correttamete a 6 quesiti. La deviazioe stadard è: σ B = ,19. ESERCIZIO DA RISOLVERE. Giacomo è alle prese co u test formato da 30 quesiti a scelta multipla, ciascuo co 4 alterative di risposta, di cui ua ed ua soltato è corretta. Giacomo sa che ad ogi risposta corretta corrispode il puteggio 3, ad ogi risposta errata il puteggio 1 e ad ogi risposta o data il puteggio 0. - A 10 quesiti Giacomo sa dare la risposta corretta. - Riguardo ad altri 10 quesiti o sa idividuare l alterativa corretta, ma è certo che 2 delle 4 alterative soo errate. Decide di scegliere a caso fra le altre 2 alterative. - Per 6 dei rimaeti 10 quesiti o sa qual è l alterativa corretta, ma è certo che ua di esse è errata. Decide di scegliere a caso fra le altre 3. - Sui rimaeti 4 quesiti o sa proprio che pesci pigliare, ma decide ugualmete di scegliere ua a caso. Quale puteggio Giacomo si aspetta di otteere? [R. 42] U esercizio per riepilogare. ESERCIZIO. Si ripete per 40 volte l esperimeto di laciare due dadi co le facce umerate da 1 a 6, aveti la stessa probabilità di uscire. Calcolare: a) quate volte escoo, i media, due facce la cui somma è 7; b) la probabilità che per 5 volte la somma dei due umeri sia 7; c) la probabilità che la somma sia 7 per 5 volte al più; d) la probabilità che la somma sia 7 per più di 5 volte; 10 Matematica per le scuole superiori

11 e) la probabilità che la somma sia 7 per u umero di volte compreso fra 3 e 10, estremi iclusi. RISOLUZIONE. Nel lacio di due dadi si possoo presetare 36 casi, i 6 dei quali la somma dei due umeri usciti è 7. Pertato la probabilità che, i u lacio, esca la somma 7 è: p= 6 36 = 1 6. a) Il umero delle volte i cui, mediamete i =40 laci, la somma dei due umeri è 7 è: M = p = ,67. b) La probabilità che, i 40 laci, la somma sia 7 esattamete per 5 volte è: P B=5 = ,32% c) La probabilità che, i 40 laci, la somma sia 7 per 5 volte al più è: P B 5 = 5 k=0 40 k 1 6 k k 32,39%. d) La probabilità che, i 40 laci, la somma 7 esca per più di 5 volte è l opposta di quella che esca al più 5 volte e perciò: P[B>5]=1 P[B 5] 1 0, ,61%. e) La probabilità che, i 40 laci, la somma 7 esca u umero di volte compreso fra 3 e 10 iclusi è: P 3 B 10 = 10 k=3 40 k 1 6 k k 91,43%. Ci sembra doveroso precisare che tutti i precedeti risultati soo stati otteuti utilizzado uo strumeto di calcolo automatico o, per meglio dire, u idoeo software matematico DISTRIBUZIONI DISCRETE E DISTRIBUZIONI CONTINUE La variabile aleatoria di Beroulli e la variabile aleatoria biomiale soo esempi di variabili aleatorie discrete. Più precisamete soo variabili aleatorie fiite dal mometo che i valori assuti da tali variabili costituiscoo u isieme fiito. Le loro distribuzioi soo chiamate distribuzioi discrete. Si parla acora di variabile aleatoria discreta e di distribuzioe discreta se l isieme dei valori che la variabile assume è u isieme ifiito umerabile (4). U esempio è costituito dalla variabile G(p), di parametro p (co 0 p 1) tale che: P G = = p (1 p) 1, la quale ha come modello reale: la probabilità che u eveto, avete probabilità p di verificarsi, si verifichi esattamete alla -esima prova dopo 1 isuccessi. Che si tratti di ua variabile aleatoria è giustificato dal fatto che p 1 p k 1 k=1 =1. Cosa che si dimostra facilmete dopo aver costatato che p 1 p k 1 k=1 è la somma di ifiiti termii i progressioe geometrica di primo termie p e ragioe 1 p. Azi, è proprio i base a questo fatto che la 4 Ricordiamo che u isieme ifiito si dice umerabile se può essere messo i corrispodeza biuivoca co l isieme dei umeri aturali. Matematica per le scuole superiori 11

12 variabile si chiama variabile aleatoria geometrica (di parametro p). La sua distribuzioe (Fig. 6), p()=p[g=], si chiama distribuzioe geometrica. FIG. 6 Il valor medio M(G) e la deviazioe stadard (G) di ua variabile aleatoria geometrica G di parametro p soo dati dalle formule segueti: M G = 1 p, σ G = 1 p p. Noi o e propoiamo la dimostrazioe, ma se qualcuo vuole cimetarsi su quella della prima formula (la dimostrazioe della secoda è molto più complessa) può essergli utile u suggerimeto. Precisamete, teedo presete la precedete formula [2], si ha: M G = p 1 p 1. =1 E da qui i avati la dimostrazioe diveta u iteressate esercizio sulle progressioi geometriche. Chiudiamo co la distribuzioe geometrica, propoedoti u paio di esercizi e soo gli uici su quest argometo. No ce e sarao altri ella sezioe verifiche. 1. Si lacia più volte ua moeta le cui facce hao la stessa probabilità di uscire. a) Qual è la probabilità che la faccia testa esca al 4 lacio per la prima volta? b) Qual è, mediamete, il umero di laci che bisoga effettuare affiché esca testa? c) Qual è la probabilità che la faccia testa esca al 4 lacio sapedo che o è uscita ei tre laci precedeti? d) Qual è la probabilità che la faccia testa esca almeo ua volta ei primi 4 laci? R. a) 1 16 ; b) 2; c) 1 15 ; d) Si laciao più volte due dadi co le facce umerate da 1 a 6 aveti la stessa probabilità di uscire. a) Qual è la probabilità che la somma dei due umeri usciti sia uguale a 6 al 3 lacio per la prima volta? b) Qual è, mediamete, il umero di laci che bisoga effettuare affiché esca la somma 6? c) Qual è la probabilità che la somma 6 esca al 3 lacio sapedo che o è uscita ei due laci precedeti? d) Qual è la probabilità che la somma 6 esca almeo ua volta ei primi 3 laci? R. a) 10,29%; b) 7,2; c) 13,88%; d) 36,14% 12 Matematica per le scuole superiori

13 Ua variabile aleatoria si dice duque discreta se l isieme dei suoi valori è u isieme fiito o ifiito umerabile. Ebbee, assieme alla distribuzioe di probabilità di ua variabile aleatoria discreta X si può predere i cosiderazioe ache la cosiddetta fuzioe di ripartizioe (detta ache fuzioe di probabilità cumulata o fuzioe di distribuzioe di probabilità o semplicemete fuzioe di probabilità) di X. Essa è la fuzioe F(x) tale che: F x =P X x, x R, vale a dire la fuzioe che ad ogi x reale associa la probabilità che la variabile aleatoria X assuma u valore che o supera x. Si tratta di ua fuzioe defiita da R verso [0,1], o decrescete e cotiua a destra. Si ha ioltre che F(x) 0 per x ed F(x) 1 per x +. Per esempio, se la variabile aleatoria X è l esito del lacio di u dado, le cui facce, umerate da 1 a 6, hao la stessa probabilità di uscire (e la cui distribuzioe è stata rappresetata i figura 2), la fuzioe di ripartizioe di X è la fuzioe F(x) tale che (Fig. 7): 0 se x 1 x F x = se 1<x se x>6 dove [x] rappreseta la parte itera di x. FIG Ua variabile aleatoria si dice ivece cotiua se l isieme dei valori che essa può assumere si idetifica co l isieme R dei umeri reali. Se X è ua variabile aleatoria cotiua ache la sua distribuzioe di probabilità si dice cotiua. I questo caso svolge u ruolo decisivo ua uova fuzioe, chiamata fuzioe di desità di probabilità di X. Essa è la fuzioe p(x) tale che, x R : + p x 0, p x dx = 1. Questo sigifica evidetemete che la fuzioe p(x) è collocata iteramete el semipiao y 0 e l area T sottesa dal suo grafico è uguale ad 1 (Fig. 8). Ua variabile aleatoria cotiua può assumere u umero ifiito di valori, per cui la probabilità che e assuma uo specifico è 0. Il che però o sigifica che l eveto sia impossibile, ma solo che la sua probabilità è 0. Nel caso di ua variabile aleatoria cotiua o ha perciò seso calcolare la probabilità che essa assuma u determiato valore. Matematica per le scuole superiori 13

14 FIG. 8 Ha seso ivece il calcolo della probabilità che la variabile assuma u qualsiasi valore etro u determiato itervallo. Ebbee, la probabilità P α X β che la variabile aleatoria X di desità di probabilità p(x) assuma u valore qualsiasi compreso ell itervallo α,β è data dall area sotto il grafico di p(x) relativa a tale itervallo (Fig. 9). FIG. 9 Vale a dire: β P α X β = p x dx. α Come per le variabili aleatorie discrete ache per quelle cotiue si parla di valor medio e deviazioe stadard. No foriamo le formule che permettoo di risalire a tali idici e ci limiteremo a comuicare i loro valori ei casi particolari che prederemo i esame Foriamo due esempi particolari di variabili aleatorie cotiue. U primo esempio è costituito dalla variabile aleatoria uiforme. Precisamete, ua variabile aleatoria cotiua si dice uiforme (o distribuita uiformemete) se la sua fuzioe di desità di probabilità p(x) è tale che: 1 se x a,b p x = b a 0 se x a,b Essa è rappresetata i figura 10 ed è semplice costatare che soo soddisfatte etrambe le codizioi per le quali si può parlare di variabile aleatoria cotiua. Il valor medio e la deviazioe stadard di tale variabile aleatoria X soo rispettivamete: M X = a+b 2, σ X = 3 6 b a. U altro esempio di variabile aleatoria cotiua è costituito dalla variabile aleatoria espoeziale. È defiita così la variabile aleatoria, la cui desità di probabilità p(x) è tale che: 14 Matematica per le scuole superiori

15 p x = k e kx se x 0 k>0. 0 se x<0 È rappresetata i figura 11 ed è semplice costatare che è soddisfatta la prima delle due codizioi per le quali si può parlare di variabile aleatoria cotiua. La verifica della secoda codizioe o è immediata, ma eppure troppo complicata: la lasciamo a te per esercizio. Il valor medio e la deviazioe stadard di tale variabile aleatoria coicidoo co il valore 1/k. FIG. 10 FIG Ache di ua variabile aleatoria cotiua X si può defiire la fuzioe di ripartizioe (o fuzioe di probabilità cumulata o fuzioe di distribuzioe di probabilità o semplicemete fuzioe di probabilità), esattamete come per le variabili aleatorie discrete. Vale a dire: dove adesso P X x = x F x =P X x, x R, p x dx, essedo p(x) la desità di probabilità di X. Si tratta pur sempre di ua fuzioe defiita da R verso [0,1], o decrescete e cotiua. Si ha ioltre che F(x) 0 per x ed F(x) 1 per x +. Per esempio, co riferimeto alla variabile aleatoria uiforme, ua volta costatato che si ha: a x p x dx = 0, p x dx = x a + b a, p x dx = 1, la fuzioe di ripartizioe di questa variabile aleatoria è la fuzioe F(x) tale che (Fig. 12): 0 se x < a x a F x = b a se a x b 1 se x > b FIG Cocludiamo queste brevi cosiderazioi sulla distribuzioe cotiua co alcui semplici esercizi che ti ivitiamo a risolvere. Soo gli uici che ti propoiamo al riguardo. No e troverai altri ella sezioe verifiche, che sarà completamete dedicata alle variabili discrete. 1) Misurado u asticella co u metro graduato i millimetri (mm), si trova ua lughezza compresa Matematica per le scuole superiori 15

16 fra 810 mm e 811 mm. Se si assume come misura dell asticella il valore mediao 810,5 mm, l errore che si commette è ua variabile aleatoria distribuita co desità di probabilità uiforme p(x) tale che: p(x)=k se 0,5 mm x 0,5 mm metre p(x)=0 se x < 0,5 mm oppure x > 0,5 mm. Calcolare: a) la costate k, il valor medio della variabile aleatoria e la deviazioe stadard; b) la probabilità che la misura dell asticella sia compresa fra 810,2 mm e 810,6 mm; c) la probabilità che la misura dell asticella sia miore di 810,5 mm. [R. a) k=1, M(X)=0, dev X 0,288; b) 40%; c) 50%] 2) U orologio co lacette è caricato a pila elettrica. Quado questa si cosuma le lacette si fermao. Sia la posizioe i cui si ferma la lacetta dei miuti sia quella i cui si ferma la lacetta delle ore soo variabili aleatorie distribuite co desità di probabilità uiforme p(x) tale che: p(x)=k se x 0,2π, p(x)=0 se x 0,2π. Calcolare: a) la costate k, il valor medio della variabile aleatoria e la deviazioe stadard; b) la probabilità che la lacetta dei miuti si fermi i ua posizioe fra 15 miuti e 16 miuti; c) la probabilità che la lacetta delle ore si fermi fra le ore 3 e le ore 4; d) la probabilità che la lacetta delle ore si fermi fra le 10 e le 12 e, el medesimo tempo, la lacetta dei miuti si fermi fra 15 miuti e 25 miuti. [R. a, M X =π, dev X 1,813; b) 1/60; c) 1/12; d) 1/36] 3) Ua variabile aleatoria è distribuita co desità di probabilità p(x) tale che: p x =e x se x 0 e p(x)=0 se x<0. Calcolare la probabilità che essa assuma u valore qualsiasi miore di u geerico x, co x>0. [R. P[X x] = 1 e x ] 4) Ua variabile aleatoria X è distribuita co desità di probabilità p(x) tale che: kx se 0 x 1 p x = kx+2k se 1<x 2 0 se x<0 oppure x>2 dove k è u umero reale positivo. Dopo aver trovato il valore di k, forire ua rappresetazioe grafica di p(x). Calcolare quidi la probabilità che X assuma u valore qualsiasi maggiore di 1/2. [R. k=1; 7/8] 5) Ua variabile aleatoria X è distribuita co desità di probabilità p(x) tale che: 1/4 se 0 x 1 p x = k se 1<x 2 0 se x<0 oppure x>2 dove k è u umero reale positivo. Dopo aver trovato il valore di k, forire ua rappresetazioe grafica di p(x). Calcolare quidi la probabilità che X assuma u valore qualsiasi miore di 3/2. [R. k=3/4; 5/8] 6) Sia data la fuzioe: f x = a x 2 +1 dove a è u parametro reale. Dimostrare che per u solo valore di a essa rappreseta la desità di probabilità di ua variabile aleatoria e rappresetare f(x) per tale valore di a. [R. a=1/ ] 7) Sia data la fuzioe: f x = kx 3 2 x2 se x 0,1 0 se x 0,1 essedo k u parametro reale. Dimostrare che per u solo valore di k essa rappreseta la desità di probabilità di ua variabile aleatoria e rappresetare f(x) per questo valore di k. Idicata co X tale variabi- 16 Matematica per le scuole superiori

17 le, calcolare: a) P 0 X 1 2, b) P X> 1 3. [R. k = 3; a 1/8, b 8) Forire u modello di distribuzioe uiforme discreta ed u modello di distribuzioe uiforme cotiua. VERIFICHE Variabile aleatoria (. 1-16). 1. Si laciao due solidi a forma di tetraedro regolare, co le facce umerate da 1 a 4. Tutte le facce hao la stessa probabilità di uscire. Dopo aver spiegato perché la fuzioe X che ad ogi lacio associa la somma dei umeri usciti è ua variabile aleatoria, calcolare la probabilità che la somma dei due umeri usciti sia: a) miore di 4; b) compresa fra 3 e 5 iclusi; c) o miore di 6. Calcolare ioltre la media e la deviazioe stadard di tale variabile aleatoria. 2. Si laciao due solidi, uo a forma di cubo co le facce umerate da 1 a 6 e l altro a forma di tetraedro regolare co le facce umerate da 1 a 4. Si cosideri la fuzioe X che ad ogi lacio associa la somma dei due umeri usciti. Posto che gli eveti i esame siao equiprobabili, spiegare perché la X è ua variabile aleatoria. Calcolare quidi la probabilità che la somma dei due umeri usciti sia: a) miore di 5; b) compresa fra 5 e 8 iclusi; c) maggiore di 8. Calcolare ioltre la media e la deviazioe stadard di tale variabile aleatoria. 3. Si estrae uo dei 90 umeri della Tombola. Si cosideri la relazioe X che ad ogi estrazioe associa il valore del umero estratto se questo è u divisore di 90 ed il valore 0 i caso cotrario. Dopo aver spiegato perché la X è ua variabile aleatoria, calcolare la probabilità che la f assuma u valore: a) o maggiore di 40; b) compreso fra 50 e 80 iclusi; c) maggiore di Sia X ua variabile aleatoria e c ua costate positiva. Si idichi co cx la variabile i cui valori si ottegoo moltiplicado per c i corrispodeti valori di X. Si dimostri che ache cx è ua variabile aleatoria e che risulta: M(cX) = c M(X), (cx) = c (X). 5. Sia X ua variabile aleatoria e c ua costate. Si idichi co X+c la variabile i cui valori si ottegoo sommado c ai corrispodeti valori di X. Si dimostri che X+c è ua variabile aleatoria e che risulta: M(X+c) = M(X) + c, (X+c) = (X). 6. Sia X ua variabile aleatoria. Si idichi co X 2 la variabile i cui valori si ottegoo elevado al quadrato i corrispodeti valori di X. Si dimostri che X 2 è ua variabile aleatoria. Si giustifichi poi che, i geere, risulta: M(X 2 ) [M(X)] 2. [R. Basta u esempio] 7. Sia X ua variabile aleatoria. Dimostrare la seguete formula: 2 (X) = M(X 2 ) [M(X)] 2. [R. Posto per comodità M(X)=, si ha: 2 (X) = M[(X ) 2 ] = M(X 2 2 X+ 2 ) =...] 8. La variabile X è il puto otteuto el lacio di u dado co le facce umerate da 1 a 6, aveti la Matematica per le scuole superiori 17

18 stessa probabilità di uscire. Calcolare la variaza di X ricorredo alla defiizioe. Verificare poi che si ottiee lo stesso risultato calcoladola co la formula precedete. [R. Var(X) 2,91] 9. I u sacchetto vi soo 15 pallie, di cui 5 biache. Il giocatore A estrae a caso ua pallia e, seza rimetterla ell ura, e estrae ua secoda. Egli vice 300 euro se le due pallie estratte soo etrambe biache, perde 100 euro se o lo soo. Il gioco è equo? E se o lo è, è vataggioso per il giocatore A o o? 10. U ura cotiee 20 pallie, di cui 5 biache. U giocatore estrae a caso ua pallia e, dopo a- verla rimessa ell ura, e estrae ua secoda. Egli puta 100 euro. Calcolare quato dovrebbe guadagare affiché il gioco sia equo, i ciascua delle segueti situazioi, elle quali egli vice se: a) etrambe le pallie estratte soo biache; b) essua delle pallie estratte è biaca; c) ua ed ua sola delle pallie estratte è biaca. 11. U ura cotiee 50 pallie, delle quali 20 soo biache, 18 ere e 12 rosse. U giocatore e- strae a caso ua dopo l altra tre pallie e ogi volta la pallia estratta viee rimessa ell'ura. Egli puta 100 euro. Calcolare quato dovrebbe guadagare affiché il gioco sia equo, i ciascua delle segueti situazioi, elle quali egli vice se: 1) le tre pallie estratte soo biache; 2) le tre pallie estratte soo ere; 3) almeo due delle pallie estratte soo biache. [R. ; U ura cotiee 50 pallie, delle quali 25 soo biache, 15 ere e 10 rosse. U giocatore e- strae ua dopo l altra tre pallie seza rimetterle ell ura. Egli puta 100 euro. Calcolare quato dovrebbe guadagare affiché il gioco sia equo, i ciascua delle segueti situazioi, elle quali egli vice se: a) le tre pallie estratte soo ere; b) almeo due delle tre pallie e- stratte soo ere; c) due e due soltato delle tre pallie estratte soo ere; d) la prima e la terza pallia soo rosse, la secoda o; e) le tre pallie estratte soo dello stesso colore. [R. a ; b 374,6; c 433,3; d ; e) 581,7] 13. Se il gioco del Lotto fosse equo (cosa che ivece o è, poiché fortemete sbilaciato a favore dello Stato), calcolare quate volte lo Stato dovrebbe pagare la posta ad u giocatore che realizzasse: a) u sigolo; b) u ambo; c) u tero; d) ua quatera; e) ua ciquia. [R. 1) 17; 2) 399,5; 3) ; 4) ; 5) ] 14. Spiegare perché, el seguete esperimeto, la fuzioe X è ua variabile aleatoria e calcolare la media e la deviazioe stadard: Nell estrazioe casuale di u umero della Tombola, X associa ad ogi umero estratto: il umero dei divisori di 10 se esso è pari e multiplo di 3; il umero dei divisori di 30 se è dispari e multiplo di 3; il umero dei divisori di 50 se è u umero primo diverso da 3; il umero dei divisori di 70 i ogi altro caso. [R. 1/6, 1/6, 23/90, 37/90] 15. Idem per il seguete esperimeto. U ura cotiee 20 pallie, di cui 6 biache e 4 rosse. Si e- strae a caso ua pallia e, seza rimetterla ell'ura, se e estrae ua secoda. Pierio guadaga: 10 euro se le due pallie estratte soo biache; 20 euro se soo rosse; 15 euro se la prima è biaca e la secoda è rossa; 15 euro se la prima è rossa e la secoda è biaca. Egli perde ivece la putata, pari a 5 euro i ogi altro caso. La fuzioe X associa ad ogi doppia estrazioe il guadago relativo (positivo se è ua vicita, egativo se è ua perdita) di Pierio. 16. Idem per il seguete esperimeto. Nel gioco della Roulette (a 37 umeri, da 0 a 36: lo 0 è 18 Matematica per le scuole superiori

19 verde, 18 umeri soo rossi e 18 eri). Pierio puta ua certa somma 3 S. Egli riscuote: S se esce uo dei 18 umeri rossi; 8 S se esce uo dei primi 4 umeri eri; 36 S se esce lo 0. I ogi altro caso perde la posta. La fuzioe X associa ad ogi umero estratto il guadago relativo di Pierio. Distribuzioi di probabilità ( Si suggerisce l uso di u foglio elettroico). 17. Le facce di u dado truccato, cotrassegate co i umeri da 1 a 6, escoo co le probabilità qui sotto specificate: faccia probabilità 1/4 7/24 1/6 1/6 1/24 1/12 Spiegare perché la fuzioe, che ad ogi lacio del dado associa la probabilità che esca il umero che cotrassega la faccia uscita, è ua variabile aleatoria. Forire la rappresetazioe grafica della sua distribuzioe di probabilità e calcolare la media e la deviazioe stadard. [R. ; 2,7; 1,5] 18. Determiare la distribuzioe di probabilità della variabile aleatoria, che associa ad ogi lacio di u dado il umero che cotrassega la faccia uscita (si suppoe che le facce del dado siao umerate da 1 a 6 ed abbiao la stessa probabilità di uscire). Forire la rappresetazioe grafica della distribuzioe trovata. Calcolare ioltre la media e la deviazioe stadard. [R. ; 3,5; 1,7] 19. Co riferimeto allo stesso dado descritto ell esercizio. 17, si cosideri la fuzioe che ad ogi doppio lacio del dado associa la somma dei due umeri usciti. Dopo aver dimostrato che si tratta di ua variabile aleatoria, forire la rappresetazioe grafica della sua distribuzioe di probabilità e calcolare la media e la deviazioe stadard. 20. Si laciao tre moete testa-croce, le cui facce hao le medesime probabilità di uscire. Si cosideri la fuzioe che ad ogi lacio associa il umero di teste uscite. Dopo aver spiegato perché si tratta di ua variabile aleatoria, forire la rappresetazioe grafica della sua distribuzioe di probabilità e calcolare la media e la deviazioe stadard. Distribuzioe biomiale ( Si suggerisce l uso di u idoeo software matematico). 21. Calcolare la probabilità che, i 100 laci di u dado, la faccia cotrassegata dal umero 1 esca esattamete: a) 10 volte; b) 2 volte; c) 98 volte; d) 16 volte. Si suppoe che le facce del dado, cotrassegate co i umeri da 1 a 6, abbiao la stessa probabilità di uscire. [R. a) 2,14 % ; b) 2, % ; c) 1, % ; d) 65,94 % ] 22. Calcolare la probabilità che, i 200 laci di ua moeta, la faccia testa esca esattamete: a) 100 volte; b) 50 volte; c) 150 volte; d) 10 volte. Si suppoe che le facce della moeta abbiao la stessa probabilità di uscire. [R. a) 5,63 % ; b) 2, % ; c ; d 1, % ] 23. Calcolare la probabilità che, i 50 laci di ua coppia di dadi, la somma dei umeri che compaioo sulle facce: Matematica per le scuole superiori 19

20 a) per 5 volte sia uguale a 7; b) per 4 volte sia uguale a 10; c) per 6 volte sia uguale a 14; d) per ua volta sia uguale a 12. Si suppoe che le facce dei dadi, cotrassegate etrambe co i umeri da 1 a 6, abbiao la stessa probabilità di uscire. [R. a) 7,45% ; b) 20,29% ; c) 11,57% ; d) 34,93% ] 24. Per 50 volte si estrae a caso u umero della Tombola. Calcolare la probabilità che esso: a) per 12 volte sia u umero primo; b) per 25 volte sia u umero pari; c) per 30 volte sia u multiplo di 3; d) per 5 volte sia u divisore di 90. [R. a) 11,95% ; b) 11,23% ; c) 6, % ; d) 16,37% ] 25. Rappresetare graficamete la distribuzioe di probabilità della seguete variabile aleatoria biomiale: 1) Nel lacio di u dado oesto, ripetuto per 6 volte, esce u umero miore di 5. 2) Nell estrazioe casuale di u umero della tombola, ripetuto per 5 volte, esce u multiplo di 7. 3) Nel lacio simultaeo di due dadi oesti, ripetuto 8 volte, escoo due umeri la cui somma o è miore di 5. 4) Da u ura coteete 20 pallie, di cui 6 biache e 5 ere, se e estraggoo a caso due etrambe biache o etrambe ere. L esperimeto è ripetuto 7 volte. 5) Ua ditta fabbrica pezzi di ricambio per automobili co u procedimeto che determia il 2,5% di pezzi difettosi. Su 60 pezzi, presi a caso, 1 è difettoso. 26. Co riferimeto agli esperimeti dell esercizio precedete, cosiderati ello stesso ordie, calcolare quate volte i media: 1) esce u umero miore di 5; 2) esce u multiplo di 7; 3) escoo due umeri la cui somma o è miore di 5; 4) si estraggoo due pallie etrambe biache o etrambe ere; 5) su 60 pezzi, presi a caso, 1 è difettoso. Calcolare ioltre la deviazioe stadard della variabile aleatoria biomiale esamiata. [R. 1) 4; 0,35. 2) 0,78; 0, Due dadi oesti vegoo laciati simultaeamete 6000 volte. Calcolare quate volte, i media, escoo due umeri la cui somma è almeo 10. Calcolare ache la deviazioe stadard della variabile aleatoria biomiale associata all esperimeto. [R. 1000; 28,87] 28. Si cosideri l esperimeto cosistete el lacio simultaeo di tre dadi co le facce umerate da 1 a 6, aveti la stessa probabilità di uscire. 1. A) Giustificare che la relazioe S, che ad ogi lacio associa la somma dei tre umeri usciti, è ua variabile aleatoria. B) Forire la rappresetazioe grafica della distribuzioe di probabilità di S. C) Determiare il risultato più atteso e la deviazioe stadard di S. 2. A) Calcolare la probabilità p k che, i 200 laci, esca k volte la somma 10 e, i particolare, utilizzado u idoeo software matematico, ricavare: a P S 8, b P 4 S 10, c P S>8. B) Calcolare quate volte, i media su 200 laci, esce la somma Matematica per le scuole superiori

21 [R. ; 2B) Bisoga teer presete che i u lacio (dei tre dadi) la somma 10 esce co probabilità p=27/216=1/8, per cui 29. Si suppoga che sia il 20% la probabilità che ua certa coppia di geitori abbia u figlio biodo. Quella coppia ha 5 figli. Calcolare la probabilità che: a) due figli (e due soltato) siao biodi; b) almeo due figli siao biodi. Calcolare ache: c) il valore più probabile, d) la deviazioe stadard. [R. a) 25,6% ; b) 26,3% ; c) 1 figlio biodo; d) 0,89 figli biodi] 30. La probabilità che, i ua data famiglia, ua persoa viva più di 70 ai è del 60%. Ammesso che quella famiglia sia composta da 8 persoe, calcolare la probabilità che: a) la metà esatta dei compoeti superi i 70 ai di età; b) o più della metà superi i 70 ai. Calcolare ache: c) il valore più probabile, d) la deviazioe stadard. [R. a) 23,2% ; b) 40,6% ; c) 4,8 persoe; d) 1,4 persoe] 31. Ad ua classe di studeti viee sommiistrata ua serie di 25 quesiti, ciascuo del tipo scelta multipla a 4 alterative co ua sola risposta esatta. Uo studete decide di segare a caso le risposte. Calcolare la probabilità che egli forisca: a) 12 risposte esatte; b) al più 7 risposte esatte. Calcolare ache: c) l esito più probabile, d) la deviazioe stadard. [R. a) 0,74% ; b) 72,65% ; c) 6,25 risposte esatte; d) 2,16 risposte esatte] 32. Cotrolli accurati hao mostrato che il 7% delle lampadie fabbricate da ua ditta soo difettose. Posto che u acquirete compri 8 di quelle lampadie, calcolare la probabilità che: a) al più due di esse siao difettose; b) essua sia difettosa. Calcolare ioltre: c) l esito più probabile, d) la deviazioe stadard. [R. a) 9,85% ; b) 55,96% ; c) 0,56 lampadie difettose; d) 0,72 lampadie difettose] 33. La probabilità di trovare u aalfabeta, i ua certa comuità, è del 15%. Prededo a caso 700 persoe di quella comuità, calcolare la probabilità che gli aalfabeti siao u umero: a) miore di 100; b) compreso fra 100 e 120 iclusi. [R. pa 28,30% ; pb 66,45% ] 34. U ura cotiee 30 pallie, di cui 18 biache. Si esegue il seguete esperimeto per 200 volte: si estrae casualmete ua pallia dall ura e, seza rimettervela, se e estrae ua secoda. Calcolare la probabilità che le due pallie estratte siao etrambe biache per: a) almeo 80 volte; b) al più 65 volte; c) o meo di 65 e o più di 75 volte. [R. pa 8,85% ; pb 23,77% ; pc 58,44%.] 35. Su 100 studeti che s iscrivoo alla prima classe di ua scuola secodaria di 2 grado, 30 o coseguoo il diploma. Calcolare la probabilità che, prededo a caso 120 studeti iscritti ad ua di tali prime classi, di essi o coseguao il diploma: a) almeo il 30% ; b) al più 1/3 degli studeti ; c) o meo del 25% ma o più del 35%. [R. pa 53,44% ; pb 81,57% ; pc 80,51% ] 36. Da u ura si estrae a caso uo dei 90 umeri della Tombola: se è pari si mette da parte, se è dispari si rimette ell ura; quidi si estrae u secodo umero. 1. Calcolare la probabilità che: A) etrambi i umeri estratti siao dispari; B) il secodo umero estratto sia pari. Matematica per le scuole superiori 21

22 2. A) Per ogua delle due situazioi calcolare il risultato più atteso e la deviazioe stadard. 3. Immagiado di ripetere 10 volte l esperimeto, calcolare la probabilità che: A) o più di 3 volte etrambi i umeri estratti siao dispari; B) almeo 5 volte il secodo umero estratto sia pari. [R. 1A 1/4, 1B 49,719%; ; 3A) 77,58%, 3B) 61,61% ] 37. C è il fodato sospetto che ua certa macchia produca pezzi difettosi. Per stabilire i quale percetuale sul totale dei pezzi prodotti, le maestraze decidoo di cotrollare 100 pezzi scelti a caso e scoproo che 2 soo difettosi.. a) Quale percetuale di pezzi difettosi si può stimare che la macchia produca sul totale dei pezzi prodotti? b) Qual è la probabilità che su 100 pezzi prodotti e siao difettosi esattamete 2? c) Qual è la probabilità che su 1000 pezzi prodotti e siao difettosi 20? d) Qual è la probabilità che su 100 pezzi prodotti e siao difettosi più di 2? [R. a ; b) 27,34%; c) 8,97%; d) 32,33%] UNA BREVE SINTESI PER DOMANDE E RISPOSTE DOMANDE. 1. È vero che ua variabile aleatoria è ua fuzioe che assume valori del tutto casuali al variare della variabile idipedete? 2. È vero che, el lacio di u dado, la fuzioe che associa il valore a all uscita di u umero primo e il valore b all uscita di u umero composto, è ua variabile aleatoria? 3. È vero che la speraza matematica di ua variabile aleatoria è la media aritmetica poderata dei valori che essa assume quado si predao come pesi le rispettive probabilità? 4. Quato valgoo la media e la variaza di ua variabile aleatoria, suscettibile dei valori 1 e 0 co probabilità rispettivamete 1/5 e 4/5? 5. Nel gioco della ROULETTE (a 37 umeri da 0 a 36: lo 0 verde, 18 umeri soo rossi e 18 eri), se puto 10 euro sull uscita del rosso e vico, guadago 10 euro. Il gioco è equo? 6. Quado u variabile aleatoria si dice uiforme? 7. Cos è ua distribuzioe di probabilità? 8. Lacio tre moete e vico se escoo almeo due teste. La probabilità che, i 10 laci, vica o più di 4 volte è: 0, k=0. È vero? k 9. Ti viee sommiistrato u questioario formato da 40 quesiti a scelta multipla co 4 alterative, di cui ua sola corretta. Per ogi quesito risolto correttamete ottiei 3 puti, per ogi quesito risolto i maiera errata ottiei -1 puti, per ogi risposta o data ottiei 0 puti. Tu decidi di rispodere a caso a tutte le domade, metre il tuo compago decide di o rispodere a essua domada. È vero che il puteggio più probabile per te è lo stesso puteggio che verrà attribuito al tuo compago? 10. Quado ua distribuzioe di probabilità si dice discreta? Quado cotiua? Forisci qualche e- sempio di distribuzioe cotiua. 22 Matematica per le scuole superiori

23 RISPOSTE. 1. No. Ua variabile aleatoria (o casuale) è ua fuzioe che assume determiati valori x i co determiate probabilità p i tali che la somma di queste probabilità è No. I realtà u umero primo (2-3-5) esce co probabilità 3/6 e u umero composto (4-6) esce co probabilità 2/6 e la somma di queste due probabilità o è 1. I effetti è stata trascurata la possibilità che esca il umero 1, che o è primo é composto. 3. La risposta è affermativa. Ifatti, ricordado che i=1 p i =1, si ha: M x = i=1 p i x i = i=1 i=1 p i p i x i. 4. La media della variabile aleatoria B i esame è M(B)=1/5, metre la variaza è Var(B)=4/ Poiché guadago la stessa somma che puto, il gioco sarebbe equo se avessi uguali probabilità di vicere che di perdere. Cosiderato ora che ella roulette ci soo 37 umeri, 18 dei quali soo rossi e 18 eri, metre lo 0 è verde, ho probabilità 18/37 di vicere e probabilità 19/37 di perdere. Quidi il gioco o è equo. 6. Ua variabile aleatoria di dice uiforme se le sue determiazioi hao le medesime probabilità. Si capisce che la somma delle probabilità delle determiazioi della variabile deve essere uguale ad 1 perché si possa parlare apputo di variabile aleatoria. 7. Distribuzioe di probabilità di ua variabile aleatoria X è l isieme dei umeri p1, p2,, p tali che la loro somma sia uguale ad 1, corrispodeti delle determiazioi x1, x2,, x di X. 8. La probabilità che vica i u lacio delle tre moete (cioè la probabilità che escao almeo due teste ) è 1/2. Quidi la probabilità che, i 10 laci, vica o più di 4 volte (ossia che vica 0 volte oppure 1 volta o 2 volte o 3 volte o 4 volte) è: 4 k=0 10 k 1 2 k k = 1 2 La risposta alla domada è duque affermativa. 9. È così. Il tuo compago, ifatti, o rispodedo ad alcua domada, otterrà puteggio 0. Tu, rispodedo a caso, hai la probabilità di otteere 1 40=10 risposte esatte e, ovviamete, 30 risposte sbagliate. Duque il tuo puteggio più probabile sarà ( 1)= Ua distribuzioe di probabilità di ua variabile aleatoria X si dice discreta quado l isieme dei valori che può assumere X è u isieme fiito o ifiito umerabile. Si dice ivece cotiua quado tale isieme si idetifica co l isieme dei umeri reali. U esempio di distribuzioe cotiua è costituito dalla distribuzioe cotiua uiforme; u altro esempio dalla distribuzioe cotiua espoeziale. COMPLEMENTI: PROBABILITÀ GEOMETRICHE E METODO MONTE CARLO (5) 1. Quado parliamo di probabilità geometrica dobbiamo cosiderare u sistema di puti formati ua figura F (ua superficie, ua liea, u solido), di misura defiita, all itero della quale è coteuta u altra figura F, essa pure di misura determiata (ache ulla, evetualmete). Ebbee, scelto ca- 5 Questo paragrafo è opzioale k=0 10 k. Matematica per le scuole superiori 23

24 sualmete u puto della figura F, la probabilità p che esso appartega alla figura F è: misura di F p = misura di F. ESEMPIO 1. Se la figura F è u dato cerchio ed F è il quadrato iscritto i esso, idicato per comodità co r il raggio del cerchio, scelto a caso u puto di F, la probabilità che esso appartega ad F è: area quadrato p = area cerchio = r 2 πr 2 = 2 π 63,66%. ESEMPIO 2. Se la figura F è u triagolo equilatero ed F è uo dei suoi lati, idicata per comodità co L la lughezza del lato del triagolo, scelto a caso uo dei puti del cotoro del triagolo, la probabilità che esso appartega al lato cosiderato è: lughezza lato p = = L perimetro 3L = 1 3. ESEMPIO 3. Se la figura F è u cubo ed F è la sfera iscritta i esso, idicata per comodità co L la lughezza dello spigolo del cubo, scelto a caso u puto del cubo, la probabilità che esso appartega alla sfera è: 4 volume sfera p = volume cubo = 3 π L 3 2 L 3 = π 6 52,36%. U esercizio per te, tratto dall esame di Stato 2008, idirizzo scietifico sperimetale, sessioe ordiaria: Siao dati u coo equilatero e la sfera i esso iscritta. Si scelga a caso u puto all itero del coo. Si determii la probabilità che tale puto risulti estero alla sfera. 2. Abbiamo avuto occasioe i passato di proporti u problema, la cui soluzioe può essere trovata ache seguedo u procedimeto basato sulla probabilità geometrica. Riprediamo questo problema, le cui formulazioe e risoluzioe soo attribuite al matematico fracese Émile Lemoie ( ). PROBLEMA. Dispoi di u bastocio. A caso lo dividi i tre parti. Qual è la probabilità che queste parti costituiscao i lati di u triagolo? RISOLUZIONE. Idichiamo co a la lughezza del bastocio e co x ed y le lughezze di due dei tre pezzi i cui esso è casualmete ripartito, la lughezza del terzo pezzo è evidetemete a (x+y). Per la possibilità del problema deve risultare: 0<x<a, 0<y<a, 0<x+y a. Queste tre disequazioi idividuao la superficie del triagolo colorata i figura 13. I casi favorevoli al verificarsi dell eveto soo espressi dalle segueti disequazioi: x<y+ a x+y, cioè: x< a 2 ; y<x+ a x+y, cioè: y< a 2 ; a x+y <x+y, cioè: x+y> a 2. Queste altre codizioi idividuao il triagolio colorato fucsia di figura 14. Il problema si traduce allora ei segueti uovi termii: «Scelto a caso u puto del triagolo giallo, quat è la probabilità che esso sia itero al triagolo fucsia?» Poiché il triagolo fucsia è la quarta parte del triagolo giallo, e cosegue che la probabilità cercata è: p= Matematica per le scuole superiori

25 FIG. 13 FIG Modifichiamo appea u po l euciato del problema precedete, otteedo u uovo problema che pure si può risolvere co cosiderazioi di probabilità geometrica. PROBLEMA. Dispoi di u bastocio ed a caso lo dividi i due parti. Scelta a caso ua delle due parti, la dividi a caso acora i due parti. Qual è la probabilità che le tre parti i cui è stato diviso il bastocio costituiscao i lati di u triagolo? RISOLUZIONE (Idicazioi). Se dopo la prima suddivisioe la scelta casuale cade sul pezzo più corto o c è triagolo. Bisoga allora supporre che quella scelta (casuale) cada sul pezzo più lugo e ciò accade co probabilità 1/2. A questo puto idichiamo co a la lughezza del bastocio, co x la lughezza del pezzo più lugo dopo la prima suddivisioe e co y uo dei due pezzi il cui si è suddiviso casualmete il pezzo lugo x. Le tre parti i cui il bastocio risulta diviso hao quidi le segueti lughezze: a x, y, x y. Per la possibilità del problema, i seguito alla scelta casuale del pezzo più lugo, deve risultare: a <x<a, 0<y<x. 2 I casi favorevoli all eveto (esisteza del triagolo) soo tali che: x> a 2, y< a 2, x y< a 2. Fatte le debite cosiderazioi, si trova che la probabilità dell esisteza del triagolo, dopo la prima suddivisioe, è 1/3. La probabilità dell esisteza del triagolo è pertato: p = = I realtà, il primo problema di probabilità geometrica è stato il cosiddetto problema dell ago di Buffo. Si tratta di ua questioe posta el 1777 ell opera Essai d Aritmetique morale dal aturalista e matematico fracese Georges-Louis Leclerc, cote di Buffo ( ), ma risolta correttamete circa u secolo dopo. PROBLEMA DELL AGO DI BUFFON. Sia dato i u piao u isieme di rette parallele equidistati e sia D la distaza comue. U ago di lughezza assegata L (L<D) viee fatto cadere a caso sul piao. Calcolare la probabilità che esso itersechi ua delle rette dell isieme dato. Per esempio, i figura 15 soo rappresetate 5 situazioi: i 2 di esse l ago iterseca ua retta, i 3 o. Matematica per le scuole superiori 25

26 RISOLUZIONE. Idichiamo co x l agolo che l ago forma co la direzioe delle rette (evidetemete: 0 x ) e co y la distaza del puto medio M dell ago dalla retta più vicia (ovviamete: 0 y D/2 Fig. 16). Detto per iciso, quado diciamo che l ago cade a caso sul piao itediamo affermare che x ed y soo valori casuali ed idipedeti. Le possibili posizioi dell ago, determiate dai valori x ed y, soo date dai puti iteri ad u rettagolo di lati lughi D π D e, la cui area A è evidetemete. Le posizioi dell ago favorevoli al verifi- 2 2 carsi dell eveto (l ago icide ua retta) soo quelle per cui risulta 0 y L si x. 2 La situazioe, rappresetata i figura 17, porta a cocludere che la probabilità p cercata è uguale al rapporto fra l area A sotto il grafico della curva y= L si x, relativa all itervallo [0, ] e l area A del 2 rettagolo suddetto. L area A può essere calcolata co gli strumeti dell aalisi matematica e si trova: Pertato risulta: p= 2L πd. A = 0 π L si x dx 2 = L 2 cos x 0 π = L. FIG. 15 FIG. 16 FIG U altro problema iteressate, la cui risoluzioe può essere trovata ricorredo alla probabilità geometrica è il seguete. PROBLEMA DELL INCONTRO (6). Due persoe A e B si dao apputameto i u dato posto fra le 12 e le 13; la prima attede 20 miuti poi se e va. Che probabilità vi è che A e B si icotrio se essi arrivao a caso ell ora fra le 12 e le 13 e i tempi di arrivo soo idipedeti, cioè se il tempo di arrivo di ua persoa o iflueza i alcu modo quello dell altra? RISOLUZIONE. Siao allora x l istate di arrivo di ua delle due persoe sul luogo dell apputameto ed y l istate di arrivo dell altra, etrambi compresi fra le ore 12 e le ore 13. Affiché l icotro fra le due persoe avvega è ecessario e sufficiete che risulti: x y 20 (MINUTI). Ora tutte le possibilità soo espresse dai puti del quadrato Q rappresetato i figura 18, metre le possibilità favorevoli all eveto soo espresse dai puti del quadrato tali che 20 x y 20: puti che soo rappresetati dalla regioe S. area (S) Pertato la probabilità p cercata è: p = area (Q) = = Tratto da Boris V. Gedeko, Teoria della probabilità, Roma, Editori Riuiti, ristampa 1987, pag Matematica per le scuole superiori

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