x(y + z)dx dy dz y(x 2 + y 2 + z 2 )dx dy dz y 2 zdx dy dz Esempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue.

Transcript

1 /3/23 Calcolare dove x(y + z)dx dy dz = {(x, y, z) R 3 : x, y, z, x + y + z }. Calcolare y(x 2 + y 2 + z 2 )dx dy dz dove = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 z, x 2 + y 2 + z 2 3zx y }. Calcolare dove y 2 zdx dy dz = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2, 3(x 2 + y 2 ) z 2, z }. Calcolare il volume di = {(x, y, z) R 3 : y < x 2 + y 2 < x, z 2 < y 2 < x 2 }. Proprietà del ite inferiore e superiore. Insieme di Cantor. 8/3/23 sempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue. Sia (f n ) n N : R R una successione di funzioni misurabili. a) Dimostrare che inf n f n e sup n f n sono misurabili. b) Dimostrare che l insieme = {x R : (f n ) n N é di Cauchy} è misurabile. Sia f : R R. Dimostrare che a) se f è monotona allora è misurabile; b) se f è derivabile allora f è misurabile; c) l insieme {x R : f è continua } è misurabile Funzione di Cantor-Lebesgue. 25/3/23 Confronto integrale di Riemann e di Lebesgue. Dimostrare che f(x) = sin(πx) x è integrabile in senso improprio secondo Riemann su [, + ), ma non è ivi sommabile.

2 Per quali a R la funzione f(x) = e x x log x L(a, + )? (Per casa) Stabilire i valori del parametro reale α la funzione f α (x) = x α x x+α 3 sommabile su (, + ). è Per ogni n siano date le funzioni definite da f n : R R f n (x) = sin(πx/n) n 2 χ [n 2,n 2 +n). a) Dimostrare che la serie + n= f n(x) definisce una funzione continua F : R R. b) Stabilire se F è sommabile su R. (Non fatto) Determinare per quali α R la funzione è sommabile in [, + ) Sia data la serie di funzioni f α (x) = cos x x α + n= log( x n ) sin x n α, α. a) Determinare l insieme di convergenza puntuale; b) Stabilire se la convergenza è uniforme in ; c) Stabilire se la funzione somma F è sommabile in. 8/4/3 Calcolare i seguenti iti x 2 (x + 2n) n log( + x 3 ) dx; [ 2,5] + n x 5/2 x 7/2 + n dx. Sia f n (x) = sin(n 3 x) x(n + 3 x), n. a) Stabilire se f n è sommabile su R per qualche n. b) Dimostrare che f n è sommabile su (, + ) per ogni n e calcolare se esiste + f n (x) dx. 2

3 È data la successione di funzioni reali di variabile reale n sin(t n ), t [, ] ( ) f n (t) = n arctan, t (, + ) nt + a) Verificare che {f n } converge puntualmente q.o. in [, + ). b) Calcolare 5/4/23 (Non fatto) Calcolare i seguenti iti (,) (,+ ) n sin(t n ) dt; f n (t) dt. n n + n /n x 2 (x + 2n) e 2n( x ) ( + n x 5/2 )( + x ) sin(x/n) x 3 x dx. Calcolare motivando il procedimento seguito il ite π 2 tanh( x/2n) n 2/3 x 3 x + 5 dx. dx (Non fatto) Sia f n : [, ] R una successione di funzioni continue tali che i) f n (x) in [, ]; ii) F f n per ogni insieme F [, ], misurabile. È vero che f n (x) puntualmente quasi ovunque in [, ]? (Non fatto) Sia R + un aperto ilitato e f : R una funzione tale che a) x + f(x) = c; b) f L(). Può essere c? Calcolare motivando il procedimento seguito il ite Sia n x n + (n 2)(x 3 x 2 + x ) x n ( + x 2 dx. ) f(x, y) = xy x 4 + y 3. a) Stabilire se i seguenti integrali esistono e in caso affermativo, calcolarli: dx f(x, y) dy dy f(x, y) dx. b) Stabilire se f è sommabile su R 2. R R 3 R R

4 a) Stabilire per quali α > la funzione f(x, y) = α = {(x, y) : y, < xy α < }. b) Calcolare n f(x, y) dx dy. 22/4/22 5 y 3 x+y è sommabile sull insieme Si consideri la funzione f(x, y) = y log(x 2 + y 2 ). Stabilire se f L(D), dove D = {(x, y) R 2 : x >, y < min(, /x)}. (Non fatto) Supponiamo che f n : R n [, + ] siano misurabili per n =, 2, 3,... e f f 2 f 3, f n (x) f(x) per n + per quasi ogni x R n e f L(R n ). Dimostrare che f n = f. R n R n Questa conclusione vale ancora se la condizione f L(R n ) viene omessa? Stabilire per quali valori p R la funzione f p (x, y) = {(x, y) R 2 : 4 y x }. Data e f(x, y) = cos ( ) x y x + y D = {(x, y) R 2 : x, y, x + y 2}, verificare che f è sommabile su D e calcolare D f(x, y)dxdy. Sia Determinare α R tali che è sommabile su. 29/4/23 = {(x, y, z) R 3 : z >, z 2 (x 2 + y 2 ) < }. f α (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) α 3 x (x 2 +y 2 ) p è sommabile su = Verificare che la funzione è sommabile sull insieme f(x, y, z) = y (z + )(x 2 + y 2 ) 5 4 = {(x, y, z) R 3 : xy >, < z < + x 2 + y 2, x 2 + y 2 < z + } e calcolare f(x, y, z) dx dy dz. 4

5 Verificare che la funzione è sommabile in e calcolare f(x, y, z) = xyz (x 2 + z 2 ) 2 = {(x, y, z) R 3 : x < x 2 + y 2 < y < z} f(x, y, z)dxdydz. Sia f n la successione di funzioni definite da f n (x, y) = altrove. Dato l insieme e nx2 se y >, < x < 3 e x+3y+/n D = {(x, y) R 2 : x, y x} {(x, y) R 2 : x, y 4 x }. 3 a) Stabilire se ogni f n L(D) e calcolarne la funzione ite quasi ovunque; b) Detta f la funzione ite quasi ovunque stabilire se f L(D); c) Calcolare D f n(x, y)dxdy. Sia T R 2 il triangolo aperto di vertici (, ), (, ) e (, ). Determinare tutti e soli i valori α R per i quali f α è sommabile su T dove x(sin y) q f α (x, y) = + sin 2 x cos y. Per a, b parametri reali positivi siano e D a = {(x, y) : x, x a y } F (a, b) = D a Determinare a, b > tali che F (a, b) < +. y (x 2 + y 2 dx dy. ) b Sia f : (, ) R Stabilire se f L(, ). f(x) = x x sin x ( + y) dy Sia n = {(x, y) R 2 : x < ny < n 2 }. Calcolare in dipendenza del parametro reale λ il ite x y n 2 ( + x 2 + y 2 ) λ dx dy. x 2 + y 2 Per n =, 2,... sia f n (x) = (arctan(nx))/3 log( + x) x 5/n x 3/2 a) Stabilire per quali n f n è sommabile su (, + ). 5

6 b) Determinare il ite puntuale f e stabilire se è sommabile su (, + ). c) Stabilire se vale 3/5/23 Calcolare i seguenti iti: + f n = + f. a) t + 3 x + tx dx; b) t + x 4 t 2 x x t + + t 2 x 2 dx. (Non fatto) Derivando sotto il segno di integrale calcolare F (y) = + arctan(xy) x( + x 2 ) dx. Dopo avere determinato l insieme di definizione T della funzione reale di variabile reale F (t) = + e tx + x 2 dx verificare che F è continua in T e stabilire se F è derivabile in T. Calcolare i iti alla frontiera di T e tracciare un grafico qualitativo di F. (Non fatto) Sia u(x) una funzione di quadrato sommabile in un insieme R n misurabile e itato. Trovare il minimo di φ(t) = (u(x) t) 2 dx. Data la funzione F (λ) = + arctan(λx) x 2 + λ 2 a) Verificare che F è definita su tutto (, + ); b) Verificare che F è continua in λ = ; c) Verificare che F non è derivabile in λ =. dx. (Non fatto) Calcolare insieme di definizione e derivate prime di a) F (t) = 2 log(x 2 + t 2 ) dx; b) F (x, y, z) = z e xyt2 x dt. (Non fatto) Dimostrare che ν : A PN carda è una misura σ-finita su (N, P(N)). Questa misura è detta misura di conteggio. a) Sia f M + (N, P(N)). Osservando che f = + n= f(n)χ {n} dimostrare che N f dν = + n=. b) Dedurne che per ogni famiglia di numeri reali e nonnegativi (x i,j ) si ha i j x i,j = j i x i,j. 6

7 (Non fatto) Per ciascuno dei due esempi seguenti dimostrare che a) µ è una misura; b) determinare la famiglia degli insiemi trascurabili rispetto a µ in Ω. c) precisare a che condizione una proprietá è vera quasi ovunque in Ω. d) per f M + (Ω, F) esprimere ω fdµ. Ω è un insieme qualunque, F = P(Ω), a è un elemento di Ω fissato e µ è definito da µ(a) = χ A (a). 2. Ω = N, F = P(N ) e µ è definita da µ(a) = n A n con µ( ) =. Si definisca l applicazione µ : P(N) [, + ] per ogni A N da µ(a) = n A se n 2 A è finito, con la convenzione = +, µ(a) = + se A è infinito e µ( ) =. a) dimostrare che µ è additiva; b) Dimostrare che µ non è una misura. (Non fatto) Sia (Ω, F) uno spazio misurabile, µ : F [, + ] un applicazione additiva con µ( ) =. Dimostrare l equivalenza i) ii). i) µ è una misura; ii) Per ogni successione crescente (A n ) di elementi di F si ha µ( n A n ) = n µ(a n ). 27/5/23 Calcolare l area della superficie sferica di R 3 Area superficie cilindrica. Area delle superfici di rotazione. Sia S 2 (, r) = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 }, r >. M = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = cosh 2 (z), z } un pezzo della catenoide. Verificare che M è H 2 misurabile e calcolare H 2 (M). 3/6/23 Calcolare l integrale superficiale della funzione f(x, y, z) = x + y x 2 + y 2 sulla superficie S di equazione x 2 + y 2 z 2 = compresa tra i piani z = e z = 2 la cui proiezione sul piano z = è l insieme {(x, y) R 2 : < x 2 + y 2 < 4, < x < 3y}. Calcolare il baricentro della porzione di superficie della sfera unitaria di centro l origine compresa tra i due piani 3y + x = e 3y x = e situata nel semipiano positivo delle x. 7

8 sercizio 3 dei temi d esame 2//2; 2/2/23; 29//23. /6/23 Si calcoli D x 2 dx dy dove D = {(x, y) R 2 : < x 2 + y 2 < 2} usando il TFCI. (Non fatto) Si calcoli il flusso del campo vettoriale F (x, y) = ( 2x 3 y, 2 x4 ) uscente dalla circonferenza di centro (, ) e raggio sia direttamente che usando il teorema della divergenza. (Non fatto) Calcolare il valor medio di divf su B () R 3 dove F (x) = sin( x 2 )x. (non fatto) Sia F (x, y, z) = (z, x 2 y, y 2 z) e sia Ω = {(x, y, z) R 3 : 2 x 2 + y 2 < z < + x 2 + y 2, x 2 + y 2 < }. Calcolare il flusso di F uscente dal bordo di Ω. Calcolare il flusso di F (x, y, z) = (3y, x 2 cos 5 z, 2z) uscente dal bordo del cilindro Ω = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 r 2, z h}. (Non fatto) Calcolare il flusso di F (x, y, z) = (x + y, z y, x 3 y) uscente dalla superficie con sostegno Σ = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2, x 2 + y 2 2} nella direzione < ν, e 3 ><. sercizio 4 dei temi d esame 29//23, 2/2/23. 8