Esercizi di statistica descrittiva. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
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- Carlotta Ferretti
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1 Esercizi di statistica descrittiva Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
2 Esercizio 1 Nel rilevare l altezza di un gruppo di reclute, si è ottenuta la seguente tabella delle frequenze. Si chiede di determinare l altezza media delle reclute. Altezza in cm. Frequenza assoluta Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
3 Esercizio 2 Data la stessa tabella di numeri dell esercizio 1, determiniamone la mediana, la media geometrica e la moda. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
4 Esercizio 3 Un indagine sui pesi (in kg) degli individui adulti, di entrambi i sessi, di una certa popolazione ha prodotto i risultati riportati nella tabella seguente: Peso p in Kg. Frequenza assoluta 40 x < x < x < x < x < x < x < x < x < 90 3 Calcolare la media aritmetica e lo scarto quadratico medio per i pesi degli individui considerati in tabella. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
5 Esercizio 4 Scegliere dodici dati numerici (non tutti uguali tra loro) che abbiano come media aritmetica il numero 25. Calcolare il corrispondente scarto quadratico medio. Scegliere altri dodici dati numerici in modo che la loro media aritmetica sia ancora 25, mentre lo scarto quadratico medio sia il doppio di quello calcolato al punto precedente. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
6 Esercizio 4 Scegliere dodici dati numerici (non tutti uguali tra loro) che abbiano come media aritmetica il numero 25. Calcolare il corrispondente scarto quadratico medio. Scegliere altri dodici dati numerici in modo che la loro media aritmetica sia ancora 25, mentre lo scarto quadratico medio sia il doppio di quello calcolato al punto precedente. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
7 Esercizio 5 Un indagine effettuata su un campione di 50 famiglie ha dato il seguente risultato: numero figli per famiglia frequenza assoluta Calcolare il numero medio di figli per famiglia, la deviazione standard e la distanza interquartile. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
8 Esercizio 6 In un gruppo di 5 adulti, la somministrazione di dosi diverse di un farmaco ha comportato le seguenti diminuzioni della pressione arteriosa: Dose (in mg) Diminuz. della pressione (in mm di Hg) Scrivere l equazione della retta di regressione. Calcolare la dose ottimale per ottenere una diminuzione della pressione, pari a 15 mm Hg. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
9 Esercizio 7 La tabella mostra la distribuzione della resistenza alla trazione (carico di rottura, in tonnellate) di un campione di 60 cavi prodotti da una società. Determinare il carico di rottura medio, la classe modale e la varianza del campione. Carico di rottura in tonnellate Numeri di cavi 9, 3 9, 7 2 9, 8 10, , 3 10, , 8 11, , 3 11, , 8 12, , 3 12, , 8 13, 2 1 Tot. 60 Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
10 Esercizio 8 Sono stati raccolti dati relativi alla lunghezza (in cm) dell apice vegetativo di piante di Pino strobo in vivaio. Nella tabella seguente è riportata la distribuzione delle frequenze assolute dei dati raccolti, raggruppati in classi. Classi Frequenza Freq.relativa Freq. cumulativa a) Completare la tabella con la distribuzione delle frequenze relative e delle frequenze relative cumulative. b) Calcolare la media e la deviazione standard della popolazione considerata. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
11 Esercizio 8 Sono stati raccolti dati relativi alla lunghezza (in cm) dell apice vegetativo di piante di Pino strobo in vivaio. Nella tabella seguente è riportata la distribuzione delle frequenze assolute dei dati raccolti, raggruppati in classi. Classi Frequenza Freq.relativa Freq. cumulativa a) Completare la tabella con la distribuzione delle frequenze relative e delle frequenze relative cumulative. b) Calcolare la media e la deviazione standard della popolazione considerata. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
12 Nota Si usa la deviazione standard per avere un valore espresso con la stessa unità di misura dei dati di partenza. Nell esercizio 8 la devizione standard σ 8cm. Il risultato è espresso nella stessa unità del carattere, cm, e ci dice che la lunghezza in cm dei dati raccolti si discostano mediamente dalla media aritmetica di 8cm. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
13 Nota Lo scarto quadratico medio (s.q.m.), come la media aritmetica, è influenzato dalla presenza di valori anomali nella distribuzione (outlier) e la sua interpretazione può risultare fuorviante in presenza di numerosi valori anomali. Lo s.q.m. rappresenta uno strumento utile per misurare la variabilità di una distribuzione simmetrica con pochi valori anomali. I confronti tra gli s.q.m. di diverse distribuzioni hanno senso quando: caratteri sono della stessa natura e sono espressi nella stessa unità di misura; le medie aritmetiche hanno grandezza simile. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
14 Il coefficiente di variazione Se dobbiamo confrontare la variabilità di un carattere in collettivi diversi per grandezza media o di più caratteri espressi in diverse unità di misura (peso, altezza, reddito,...) lo s.q.m. non è un buon indicatore perché è espresso nell unità di misura del carattere rilevato e non ha senso confrontare una variabilità espressa in cm con una variabilità espressa in kg o in euro. Si introduce allora il coefficiente di variazione CV definito come: CV = σ x 100 Il coefficiente di variazione fornisce un valore percentuale, adimensionale, della deviazione standard rispetto alla media. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
15 Il coefficiente di variazione Se dobbiamo confrontare la variabilità di un carattere in collettivi diversi per grandezza media o di più caratteri espressi in diverse unità di misura (peso, altezza, reddito,...) lo s.q.m. non è un buon indicatore perché è espresso nell unità di misura del carattere rilevato e non ha senso confrontare una variabilità espressa in cm con una variabilità espressa in kg o in euro. Si introduce allora il coefficiente di variazione CV definito come: CV = σ x 100 Il coefficiente di variazione fornisce un valore percentuale, adimensionale, della deviazione standard rispetto alla media. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
16 Il coefficiente di variazione Se dobbiamo confrontare la variabilità di un carattere in collettivi diversi per grandezza media o di più caratteri espressi in diverse unità di misura (peso, altezza, reddito,...) lo s.q.m. non è un buon indicatore perché è espresso nell unità di misura del carattere rilevato e non ha senso confrontare una variabilità espressa in cm con una variabilità espressa in kg o in euro. Si introduce allora il coefficiente di variazione CV definito come: CV = σ x 100 Il coefficiente di variazione fornisce un valore percentuale, adimensionale, della deviazione standard rispetto alla media. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
17 Esempio coefficiente di variazione Esercizio 9 In una gara di atletica leggera sono stati rilevati i seguenti 5 migliori risultati di salto in alto (in metri) e di corsa sui 100m (in secondi): Salto in alto 1, 85; 1, 92; 1, 95; 1, 94; 1, m 11, 7; 11, 3; 11, 4; 11, 2; 11, 6. Indicare quale delle due serie di risultati presenta maggiore variabilità. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
18 Soluzione Per prima cosa calcoliamo la media e lo s.q.m. delle due distribuzioni: x s = 1, , , , , 94 5 = 1, 92m, σ s = 5 i=1 (x i x s ) 2 5 = 0, 036m; x c = 11, , , , , 6 5 = 11, 44s; σ c = 5 i=1 (x i x c ) 2 5 = 0, 185s; Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
19 Soluzione Per prima cosa calcoliamo la media e lo s.q.m. delle due distribuzioni: x s = 1, , , , , 94 5 = 1, 92m, σ s = 5 i=1 (x i x s ) 2 5 = 0, 036m; x c = 11, , , , , 6 5 = 11, 44s; σ c = 5 i=1 (x i x c ) 2 5 = 0, 185s; Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
20 Soluzione Per prima cosa calcoliamo la media e lo s.q.m. delle due distribuzioni: x s = 1, , , , , 94 5 = 1, 92m, σ s = 5 i=1 (x i x s ) 2 5 = 0, 036m; x c = 11, , , , , 6 5 = 11, 44s; σ c = 5 i=1 (x i x c ) 2 5 = 0, 185s; Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
21 Soluzione Per prima cosa calcoliamo la media e lo s.q.m. delle due distribuzioni: x s = 1, , , , , 94 5 = 1, 92m, σ s = 5 i=1 (x i x s ) 2 5 = 0, 036m; x c = 11, , , , , 6 5 = 11, 44s; σ c = 5 i=1 (x i x c ) 2 5 = 0, 185s; Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
22 Soluzione Per prima cosa calcoliamo la media e lo s.q.m. delle due distribuzioni: x s = 1, , , , , 94 5 = 1, 92m, σ s = 5 i=1 (x i x s ) 2 5 = 0, 036m; x c = 11, , , , , 6 5 = 11, 44s; σ c = 5 i=1 (x i x c ) 2 5 = 0, 185s; Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
23 Soluzione Siccome le due serie di dati sono espresse in unità di misura diverse (metri e secondi), per confrontare la loro variabilità si ricorre al coefficiente di variazione, il cui valore è un numero puro, svincolato cioè dall unità di misura. I coefficienti di variazione sono: CV s = σ s 0, = 100 1, 87%; x s 1, 92 CV c = σ c 0, = 100 1, 62%. x c 11, 44 Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
24 Soluzione Siccome le due serie di dati sono espresse in unità di misura diverse (metri e secondi), per confrontare la loro variabilità si ricorre al coefficiente di variazione, il cui valore è un numero puro, svincolato cioè dall unità di misura. I coefficienti di variazione sono: CV s = σ s 0, = 100 1, 87%; x s 1, 92 CV c = σ c 0, = 100 1, 62%. x c 11, 44 Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
25 Soluzione Siccome le due serie di dati sono espresse in unità di misura diverse (metri e secondi), per confrontare la loro variabilità si ricorre al coefficiente di variazione, il cui valore è un numero puro, svincolato cioè dall unità di misura. I coefficienti di variazione sono: CV s = σ s 0, = 100 1, 87%; x s 1, 92 CV c = σ c 0, = 100 1, 62%. x c 11, 44 Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
26 Esercizio 10 In un campionamento vengono considerati 290 individui scelti a caso in una popolazione, la cui età varia tra i 35 e i 58 anni. Questo intervallo di età viene suddiviso in 4 intervalli di numeri interi: I 1 = [35, 40], I 2 = [41, 46], I 3 = [47, 52], I 4 = [53, 58]. Dei 290 individui, 70 hanno un età appartenente all intervallo di valori I 1, 50 hanno un età appartenente ad I 2, 120 a I 3, e 50 a I 4. a) Si disegni un istogramma delle frequenze assolute di questi dati. b) Si determini l età media degli individui del campione. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
27 Esercizio 10 In un campionamento vengono considerati 290 individui scelti a caso in una popolazione, la cui età varia tra i 35 e i 58 anni. Questo intervallo di età viene suddiviso in 4 intervalli di numeri interi: I 1 = [35, 40], I 2 = [41, 46], I 3 = [47, 52], I 4 = [53, 58]. Dei 290 individui, 70 hanno un età appartenente all intervallo di valori I 1, 50 hanno un età appartenente ad I 2, 120 a I 3, e 50 a I 4. a) Si disegni un istogramma delle frequenze assolute di questi dati. b) Si determini l età media degli individui del campione. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
28 Soluzione a) Istogramma delle frequenze assolute dei dati: b) x = , , , , = = 46, Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
29 Esercizio 11 I dati sotto riportati sono relativi alle lunghezze, misurate in millimetri, di un campione di 13 parassiti Aphis fabae: 1, 21; 1, 39; 1, 21; 1, 21; 1, 21; 1, 21; 1, 20; 1, 18; 1, 23; 1, 21; 1, 23; 1, 24; 1, 33. Disegnare l istogramma delle frequenze assolute e calcolare media, moda e mediana dell insieme dei dati. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
30 Soluzione Istogramma delle frequenze assolute dei dati: , 18 1, 20 1, 21 1, 23 1, 24 1, 33 1, 39 Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
31 Soluzione x = 1, , , , , , , , 23; Moda è 1, 21. m e = x = x 7 = 1, 21; Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
32 Esercizio 12 In un laboratorio è stato misurato il peso di 15 cavie e si sono ottenuti i seguenti valori in grammi: 28, 32, 37, 29, 31, 30, 32, 26, 32, 27, 29, 30, 28, 31, 31. a) Calcolare la media aritmetica, la mediana, l intervallo di variazione e la deviazione standard dei pesi delle cavie. b) Quale variazione subisce la media se si toglie il valore anomalo 37? c) Cosa accade alla mediana se si toglie ancora il valore 37? Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
33 Esercizio 12 In un laboratorio è stato misurato il peso di 15 cavie e si sono ottenuti i seguenti valori in grammi: 28, 32, 37, 29, 31, 30, 32, 26, 32, 27, 29, 30, 28, 31, 31. a) Calcolare la media aritmetica, la mediana, l intervallo di variazione e la deviazione standard dei pesi delle cavie. b) Quale variazione subisce la media se si toglie il valore anomalo 37? c) Cosa accade alla mediana se si toglie ancora il valore 37? Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
34 Esercizio 12 In un laboratorio è stato misurato il peso di 15 cavie e si sono ottenuti i seguenti valori in grammi: 28, 32, 37, 29, 31, 30, 32, 26, 32, 27, 29, 30, 28, 31, 31. a) Calcolare la media aritmetica, la mediana, l intervallo di variazione e la deviazione standard dei pesi delle cavie. b) Quale variazione subisce la media se si toglie il valore anomalo 37? c) Cosa accade alla mediana se si toglie ancora il valore 37? Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
35 Esercizio 12 In un laboratorio è stato misurato il peso di 15 cavie e si sono ottenuti i seguenti valori in grammi: 28, 32, 37, 29, 31, 30, 32, 26, 32, 27, 29, 30, 28, 31, 31. a) Calcolare la media aritmetica, la mediana, l intervallo di variazione e la deviazione standard dei pesi delle cavie. b) Quale variazione subisce la media se si toglie il valore anomalo 37? c) Cosa accade alla mediana se si toglie ancora il valore 37? Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
36 Esercizio 13 I dati sotto riportati sono le età, espresse in anni, di 40 dipendenti di un azienda: 29, 30, 30, 30, 30, 32, 33, 34, 34, 35 48, 48, 50, 51, 51, 52, 52, 53, 53, 36 24, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 28, 28 38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 44, 45, 47 a) Determinare la media aritmetica, la mediana, la moda e la deviazione standard delle età dei dipendenti; b) Quale sarà tra 10 anni l età media degli stessi dipendenti, supponendo che siano tutti vivi? c) Che cosa succede della deviazione standard rispetto al nuovo valore trovato della media? Giustificare la risposta. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
37 Esercizio 13 I dati sotto riportati sono le età, espresse in anni, di 40 dipendenti di un azienda: 29, 30, 30, 30, 30, 32, 33, 34, 34, 35 48, 48, 50, 51, 51, 52, 52, 53, 53, 36 24, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 28, 28 38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 44, 45, 47 a) Determinare la media aritmetica, la mediana, la moda e la deviazione standard delle età dei dipendenti; b) Quale sarà tra 10 anni l età media degli stessi dipendenti, supponendo che siano tutti vivi? c) Che cosa succede della deviazione standard rispetto al nuovo valore trovato della media? Giustificare la risposta. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
38 Esercizio 13 I dati sotto riportati sono le età, espresse in anni, di 40 dipendenti di un azienda: 29, 30, 30, 30, 30, 32, 33, 34, 34, 35 48, 48, 50, 51, 51, 52, 52, 53, 53, 36 24, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 28, 28 38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 44, 45, 47 a) Determinare la media aritmetica, la mediana, la moda e la deviazione standard delle età dei dipendenti; b) Quale sarà tra 10 anni l età media degli stessi dipendenti, supponendo che siano tutti vivi? c) Che cosa succede della deviazione standard rispetto al nuovo valore trovato della media? Giustificare la risposta. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
39 Esercizio 14 La popolazione degli stambecchi del Parco Nazionale dello Stelvio è composta da circa 800 esemplari adulti (dati del 2004), la cui lunghezza L varia tra i 130 e i 160 centimetri. Più precisamente la lunghezza L è distribuita come nella tabella che segue, dove F rappresenta la frequenza assoluta di ogni classe: L(cm) F [127, 5 132, 5) 32 [132, 5 137, 5) 41 [137, 5 142, 5) 158 [142, 5 147, 5) 268 [147, 5 152, 5) 116 [152, 5 157, 5) 70 [157, 5 162, 5) 115 Disegnare il poligono delle frequenze assolute di L. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
40 Soluzione: poligono delle frequenze assolute di L Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
41 Esercizio 15 I un campione di 8 individui si conoscono le età ed i libri letti nell ultimo anno Età Libri letti a) Disegnare il diagramma a dispersione; b) Dopo aver calcolato l età media ed il numero medio di libri letti in un anno, determinare l equazione della retta dei minimi quadrati. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
42 Esercizio 15 I un campione di 8 individui si conoscono le età ed i libri letti nell ultimo anno Età Libri letti a) Disegnare il diagramma a dispersione; b) Dopo aver calcolato l età media ed il numero medio di libri letti in un anno, determinare l equazione della retta dei minimi quadrati. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
43 Soluzione a) Il diagramma a dispersione (32, 15) Libri letti (21, 7) (28, 10) (34, 8) (40, 10) (15, 3) (19, 1) (27, 2) Età Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
44 Soluzione b) x = 27 età media; y = 7 il numero medio di libri letti. Determiniamo la retta dei minimi quadrati y = mx + q m = 8 i=1 (x i 27) (y i 7) 8 i=1 (x i 27) 2 = , 2 = 1 5 ; q = y mx = = 8 5. La retta dei minimi quadrati è y = 1 5 x Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
45 Esercizio 16 Nella tabella seguente sono riportati i valori dell ossigeno consumato da una persona che cammina in corrispondenza della velocità della sua andatura: Velocità (in Km/h) Ossigeno (litri/ora) , 5 21, , 5 24 Scrivere l equazione della retta dei minimi quadrati. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
46 Soluzione Vogliamo scrivere l equazione della retta dei minimi quadrati: y = mx + q. Calcoliamo la velocità media x x = = 36 9 = 4, e l ossigeno medio y y = , , , = 196, , Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
47 Soluzione Quindi m = 9 i=1 (x i 4) (y i 22) 9 i=1 (x i 4) 2 = , 6 = 3 5, e L equazione dei minimi quadrati è q = y mx = = y = 3 5 x Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30
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