Appunti di Matematica

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1 .5 Integrzione Integrre un funzione h un significto duplice: d un lto signific fre l operzione invers dell derivt, ovvero trovre l fmigli di tutte le funzioni che, derivte, ci dànno l funzione di prtenz; dll ltro signific clcolre l re dell prte di pino crtesino sottes dl grfico dell funzione. Normlmente, ll prim operzione si dà il nome di integrzione indefinit, ed ll second quello di integrzione definit. Apprentemente le due questioni sembrno senz relzione reciproc, ed ll inizio dello studio sembr dunque incomprensibile lo scegliere nomi (e, come vedremo, nche simboli) uguli per indicre cose così differenti: in reltà esse sono intimmente legte, come diventerà chiro nel seguito..5. Integrzione indefinit (clcolo delle ntiderivte) Come detto, si trtt di trovre l fmigli di tutte le primitive, o ntiderivte, di un dt funzione f : A (ove A ), ovvero l fmigli di tutte le funzioni derivbili F : A tli che F = f. Come si è visto, l derivzione port d un perdit di regolrità (l derivt di un funzione derivbile non è nemmeno detto che si continu, ed in generle l derivt di un funzione di clsse C k con k è un funzione di clsse C k ): dovremo dunque spettrci, nturlmente, che l integrzione indefinit porti d un migliormento dell regolrità. Il dubbio, llo stto presente, è più che ltro il seguente: dt un funzione f : A, si possono trovre sempre delle primitive di f? L rispost è sì se f è un funzione continu (m per l dimostrzione complet dovremo pzientre ncor un poco) e, nzi, se A è un intervllo di l fmigli delle primitive di f h un form prticolrmente semplice: Proposizione.5.. Si A un intervllo. Se f : A è un funzione di clsse C k (con k ) llor esiste un primitiv F : A di f di clsse C k+. Inoltre, l fmigli di tutte le primitive di f è dt d {F + k : k }, ove F è un qulsisi primitiv di f. Dimostrzione. Se f è continu, ovvero se k =, mostreremo (vedi Corollrio.5.) che esiste un primitiv F di f di clsse C ; per il momento, dunque, ssumimo che ciò si vero. Se llor f è di clsse C k con k, ess è in prticolre continu e dunque mmette un primitiv F di clsse C, m essendo F = f si h f (j) = F (j+) per ogni j k, e dunque tle F è in reltà di clsse C k+. Infine, se G : A è un ltr primitiv di f, si h (G F ) = f f = e bst ricordre l Proposizione..9(ii). Se il dominio A di f è un pluriintervllo (ovvero un unione disgiunt di intervlli), l conclusione dell proposizione precedente vle per ciscun intervllo disgiunto dgli ltri che compone A: d esempio, se si h un funzione continu f : <α >α per certi α, α con α < α, un volt che si sono determinte un primitiv F : <α Corrdo Mrstoni 4

2 di f <α ed un primitiv F : >α di f >α, tutte e sole le primitive di f sono le funzioni F : <α >α dte d F () = F ()+k (per < α ) e F () = F ()+k (per > α ) l vrire di k, k. Pertnto, non è restrittivo pensre d subito che A si un intervllo. Denoteremo llor l insieme (come visto, non vuoto) delle primitive di un funzione continu f col simbolo f() d = {F () + k : F = f, k }, detto integrle indefinito di f. Simo or di fronte l problem del clcolo delle primitive di un dt funzione continu. Se derivre un funzione qusi-elementre (cioè, ottenut operndo e componendo funzioni elementri) è mermente un questione di conti, riuscire d integrre un funzione qusi-elementre ottenendo un espressione qusi-elementre delle primitive è, l contrrio, un circostnz fortunt. 49 Dovremo dunque preprrci d un problem di soluzione elementre qusi sempre impossibile e, in generle, bbstnz ostico d ffrontre nche nei csi possibili. Tuttvi, lmeno un cos discende subito, per definizione, dll Proposizione.5.: Proposizione.5.. Se A è un intervllo di ed f : A è un funzione derivbile, vle 5 f () d = {f() + k : k }. Esercizio. Clcolre i seguenti integrli indefiniti: () α d (con α ); () d; () e d; (4) (7) sin d; (8) d; (9) + d; sin d; (5) () cos d; (6) sinh d; () cos d; cosh d. isoluzione. Dll Proposizione.5. si ricv subito () α d = α+ + k (d esempio d = + k, α+ d = + k, d = + k, d = + k, d = + k, etc.); () d = log + k; () e d = e + k; (4) sin d = cos + k; (5) cos d = sin + k; (6) d = tg + k; (7) cos d = cotg + k; (8) d = rctg + k; (9) sin + d = rcsin + k; () sinh d = cosh + k; () cosh d = sinh + k. icordndo l tbell delle derivte delle funzioni elementri e l regol di derivzione delle funzioni qusi-elementri, desumimo l tbell degli integrli immediti riportt nell Figur., ove si suppone che k, che le funzioni che ppiono bbino senso (d esempio, se si scrive rcsin ϕ() si intende che l funzione ϕ soddisfi ϕ() per ogni del suo dominio) e che α. 49 Un nlogi efficce per comprendere l differenz tr derivre ed integrre è visulizzre il derivre un funzione come l operzione (pressoché meccnic) di sminuzzre un fotogrfi, e l integrre un funzione come l operzione (ben più compless e fticos, tlvolt impossibile) di ricostruire l fotogrfi incollndo i pezzetti nei quli ess è stt precedentemente tglit, senz spere null sul suo spetto originrio. 5 Nell nlogi fotogrfic ftt poco f, ciò equivle dover ricostruire un fotogrfi sminuzzt vendo però disposizione un copi fedele dell originle d ricostruire! Corrdo Mrstoni 5

3 () (c) (e) (g) ϕ ()ϕ() α d = ϕ()α+ α + + k, (b) ϕ () ϕ() logα ϕ() d = logα+ ϕ() + k, (d) α + ϕ ()e ϕ() d = e ϕ() + k, ϕ () sin ϕ() d = cos ϕ() + k, (f) ϕ () d = log ϕ() + k, ϕ() ϕ () ϕ() log ϕ() d = log log ϕ() + k, ϕ () ϕ() d = log + ϕ() ϕ() + k, (h) ϕ () cos ϕ() d = sin ϕ() + k, (i) (k) ϕ () d = tg ϕ() + k, cos ϕ() (j) ϕ () p d = rcsin ϕ() + k, (l) ϕ() (m) ϕ () sinh ϕ() d = cosh ϕ() + k, ϕ () sin d = cotg ϕ() + k, ϕ() ϕ () d = rctg ϕ() + k, + ϕ() (n) ϕ () cosh ϕ() d = sinh ϕ() + k, (o) ϕ () p d = sett sinh ϕ() + k, ϕ() + (p) ϕ () p d = sett cosh ϕ() + k. ϕ() Figur.: Tbell degli integrli immediti. Esercizio. Clcolre i seguenti integrli indefiniti: () tg d; () cotg d; () cos sin 7 d; (4) () (6) tg log (cos ) d; (7) sin( ) d; () e d; (8) e + sin d; () (e + ) log ( ) d; (5) d; (9) sin d; () + cos ( log ) d; e e 4 d; 4 d. isoluzione. Si f riferimento ll tbell degli integrli immediti nell Figur.. () D (b) si ottiene tg d = sin d = log cos + k. () Ancor d (b) si ottiene cotg d = cos d = log sin + k. cos sin () D () si h cos sin 7 d = 8 sin8 +k. (4) D (c) si h log ( ) d = 4 log4 ( ) + k. (5) D (b) si ricv e d = log e 4 e 4 +k. (6) D (c) si h tg log (cos ) d = 4 log4 (cos )+k. (7) D (e) si h e d = e d = e +c. (8) D (f) si ricv d = log + +k. (9) D (f) si ricv d = d = log +log ( log ) ( log ) log + k. () D (g) si h sin( ) d = cos( ) + k. () D (j) si h e + d = sin (e +) cotg(e + ) + k. () D (l) si h sin d = ( + cos ) sin +( d = cos ) rctg( cos ) + k. () D (p) si ricv d = 4 ( ) d = sett cosh( ) + k. Per il resto dei csi, possimo fre ffidmento solo sugli integrli immediti, sulle proprietà e metodi (come quello del cmbio di vribili o dell integrzione per prti ) elencti nell Proposizione che segue e su lcuni metodi di risoluzione d hoc di cui prleremo tr Corrdo Mrstoni 6

4 poco. Si noterà che, differenz dell derivzione, non c è lcun formul generle per l integrle di un prodotto o di un composizione, ed in ultim nlisi è proprio ciò che rende qusi sempre impossibile integrre con risultti qusi-elementri. Proposizione.5.. Nel clcolo degli integrli indefiniti vlgono le seguenti proprietà. (i) (Linerità dell integrle) Se A è un intervllo, f, g : A due funzioni continue e λ, µ si h (λf() ) + µg() d = λ f() d + µ g() d. (ii) (Metodo di integrzione indefinit per sostituzione) Se A, B sono intervlli, f : A un funzione continu e φ : B A un funzione di clsse C, si h ( ) f() d (φ(t)) = f ( φ(t) ) φ (t) dt per ogni t B. (iii) (Metodo di integrzione indefinit per prti) Se A è un intervllo e F, G : A sono due funzioni di clsse C con derivte F = f e G = g, vle F ()g() d = F ()G() f()g() d. (In quest formul, F () è detto fttore finito e g() fttore differenzile dell integrzione per prti.) Dimostrzione. (i) Se F è un primitiv di f e G un primitiv di g, llor λf + µg è un primitiv di λf + µg. (ii) Se F () è un primitiv di f(), llor (usndo l formul di derivzione delle funzioni composte) F (φ(t)) = F (φ(t))φ (t) = f(φ(t))φ (t), ovvero F (φ(t)) è un primitiv di f(φ(t))φ (t). (iii) Essendo (F G) = fg + F g, se H() è un primitiv di f()g() llor F ()G() H è un primitiv di F ()g(). Esercizio. Clcolre i seguenti integrli indefiniti (in cui β, γ e n N): () ( 4e ) d; () ( sin( ) + 5 ) d; () ( cos ) d; (4) (5) () sin( 5) d; (6) (4) rcsin d; (7) log d; (8) sin d; (9) e sin( ) d; () + log ( + ) d; () rctg d; () tg ( ) d; (5) e β sin γ d; (6) n e β d; (7) n sin γ d. e d; cos 5 d; sin d; isoluzione. () Ponendo f() = 4e si ottiene f() d = d 4 e d = 4( ) ( )e d = + 4 e +k. () Ponendo t =, si h ( sin( )+ 5 ) d = sin( ) d + 5 d = sin t dt = cos( ) k. () Se f() = cos, Corrdo Mrstoni 7

5 ponendo t = e τ = (d cui d = t dt = dτ) si h f() d = cos d d = cos t t dt τ dτ = 6 sin t τ τ +k = 6 sin ( ) +k. (4) Se h() = e, integrndo per prti con fttore finito F () = (dunque f() = ) e fttore differenzile g() = e t (dunque G() = e ) si h h() d = ( e ) ( e ) d = e + e d; integrndo e d di nuovo per prti con fttore finito F () = (dunque f() = ) e fttore differenzile g() = e (dunque G() = e ) si ottiene e d = ( e ) ( e ) d = e e = ( + )e + k, d cui, tornndo l problem originle, si h h() d = e + e d = e + ( ( + )e ) + k = ( + + )e + k. Giusto per esercizio, riprtimo d cpo usndo stvolt il cmbio di vribili t =, ovvero = φ(t) = t: si h (usndo due volte l integrzione per prti come prim) ( h() d)(t) = ( t) e t ( ) dt = t e t dt = `t e t (t)e t dt = t e t + (te t e t dt) = (t t + )e t + k d cui, ricordndo che t = si trov nuovmente h() d = ( + + )e + k. (5) Se h() = sin( 5), integrndo per sostituzione con 5 = t (e dunque = φ(t) = t+5 ) si h ( h() d)(t) = t+5 sin t dt = 4 t sin t dt + 5 sin t dt = 5 cos t t sin t dt; integrndo poi t sin t dt per prti con fttore finito F (t) = t (dunque f(t) = ) e fttore differenzile g(t) = sin t (dunque G(t) = cos t) si ricv t sin t dt = t(cos t) ( cos t) dt = t cos t + cos t dt = sin t t cos t, perciò ritornndo l problem originle si h ( h() d)(t) = 5 cos t t sin t dt = 5 cos t + (sin t 4 4 t cos t) + k = `sin 4 t (t + ) cos t + k, e perciò, ricordndo che t = 5, si h infine h() d = `sin( 4 5) ( ) cos( 5) + k. (6) Clcolimo rcsin d. Usndo il cmbio di vribile = t (ovvero = t) si h ( rcsin d)(t) = t rcsin t dt = t rcsin t dt. Ci rest dunque d clcolre rcsin t dt. Usimo un trucco: pensndo rcsin t = rcsin t, integrimo per prti con fttore finito (ovvimente) F (t) = rcsin t e fttore differenzile g(t) =, ottenendo perciò rcsin t dt = t rcsin t t t dt = t rcsin t ( ) ( t ) ( t ) dt = t rcsin t+ ( t ) +k = / t rcsin t + t + k; dunque ( rcsin d)(t) = rcsin t dt = (t rcsin t + t ) + k d cui, ricordndo che t =, si ricv rcsin d = ( rcsin + 4 ) + k. (7) Il trucco precedente funzion nche per log d: pensndo log = log e integrndo per prti con F () = log e g() = si ricv log d = log ( ) d = log d = log +k = (log )+k. (8) Clcolimo sin d. Dlle formule di bisezione ricvimo sin cos =, d cui sin d = ( cos ) d = sin cos sin = + k. (9) Clcolimo cos d. Posto t =, l integrle divent 5 cos t dt; r gionndo come prim si h llor cos t dt = (+cos t) dt = t+sin t cos t, e risostituendo t = 5 si ricv infine cos 5 d = 5 5 +sin 5 cos 5 +k = +5 sin 5 cos 5 +k. () Clcolimo e sin( ) d. Sostituendo t = (ovvero = φ(t) = t + ) si ricv ( e sin( ) d)(t) = e (t+) sin t dt = e 6 e t sin t dt. Ci simo dunque ridotti clcolre e t sin t dt: integrndo per prti due volte, si h e t sin t dt = e t ( cos t) e t ( cos t) dt = e t cos t + e t cos t dt = e t cos t + (e t sin t e t sin t dt) = e t ( sin t cos t) 4 e t sin t dt; confrontndo il primo e l ultimo membro si h llor e t sin t dt = e t ( sin t cos t) 4 e t sin t dt, d cui e t sin t dt = 5 et ( sin t cos t) + k. icordndo infine che t =, si ottiene e sin( ) d = e6 5 e( ) ( sin( ) cos( ))+k = 5 e ( sin( ) cos( ))+k. () Clcolimo + log ( +) d: si trtt di un integrle immedito, perché è qusi l derivt di +, e dunque + log ( +) d = ( +) + log ( +) d = log ( +) +k = 9 log ( +)+k. () Ponendo = t, l integrle divent rctg d = rctg t dt. Clcolimo rctg t dt per prti usndo ncor il trucco rctg t = rctg t e con F (t) = rctg t e g(t) = : si ricv rctg t dt = t rctg t t dt = t rctg t t dt = t rctg t log( + +t +t t ) + k = t rctg t log + t + k: pertnto rctg d = ( rctg log p + () ) + k = rctg log k. () Clcolimo d. Conviene usre il cmbio di vribile dto dlle formule prmetriche t = tg (dunque sin = rctg t), per cui sin = t ; si ricv perciò d = +t dt = dt = log t + k = +t sin t +t t Corrdo Mrstoni 8

6 log tg +k. (4) Posto t =, si h tg ( ) d = tg t dt = ( ) dt = (tg t t)+k = cos t (tg( ) + ) + k. (5) L integrle e β sin γ d generlizz quello proposto in (), e si risolve in modo nlogo. Integrndo due volte per prti, si h e β sin γ d = β eβ sin γ γ β e β cos γ d = β eβ sin γ γ β β eβ cos γ γ β e β ( sin γ) d = e β (β sin γ γ cos γ) γ β β e β sin γ d, d cui e β sin γ d = e β (β sin γ γ cos γ). (6) n e β d generlizz (4); procedendo in β +γ P modo nlogo, si trov eβ n n! β n+ j= ( )j (n j)! (β)n j. (7) I n = n sin γ d generlizz (5). Per prti, si ottiene n sin γ d = γ n cos γ + n γ n cos γ d = γ n cos γ + n n sin γ γ n(n ) γ n sin γ d, ovvero I n = n (n sin γ γ cos γ) n(n ) I γ γ n : in questo modo si può clcolre I n se si conosce I n. Bst dunque clcolre esplicitmente i csi n = (che dà I = cos γ, γ d cui I = ( sin γ γ cos γ) ( cos γ) = (γ sin γ( γ ) cos γ), I γ γ γ γ 4 =...) e n = (che dà I = cos γ + sin γ, d cui I γ γ =...). Integrli di funzioni rzionli frtte (csi prticolri) Per trovre le primitive di un funzione rzionle frtt f() = A() B(), con A() e B() polinomi coefficienti reli (dicimo di grdo rispettivmente m ed n), si procede come segue. Innnzitutto, se f() è un polinomio (ovvero, se A() è divisibile per B()) l integrzione è immedit: inftti, se f() = d j= j j = d d per l linerità si h ( d d ) d = d d+ d k. Così, se m n si può dividere A() per B() ottenendo A() = Q()B() + () con Q() polinomio quoziente di grdo m n ed () polinomio di grdo < n, e pertnto A() B() d = Q() d + () B() d: si è dunque ridotto il problem l clcolo di () B() d. Non è pertnto restrittivo supporre fin d subito che si m < n, ovvero che si bbi che fre con un funzione rzionle frtt propri: inizimo trttndo lcuni csi prticolri. () Come si è visto, se f() = α llor d = log α + k; α () se f() = ( α) γ con γ llor ( α) γ d = γ + k; ( α) γ () se f() = +b +c+d ove il denomintore + c + d bbi rdici reli distinte α e β, +b si possono trovre due costnti reli A e B tli che f() = (di conti si ricv fcilmente A = b+α α β e B = b+β α β ): dunque ( α)( β) = + b d = A log α + B log β + k; + c + d A α + B β Corrdo Mrstoni 9

7 (4) se invece f() = +b +c+d ove il denomintore +c+d non bbi rdici reli perché c 4d <, scrivendo +c+d = +c+ c 4 +(d c 4 ) = ( u) +v (con u = c e v = d c 4 ( u) + u+b ( u) +v v ) ci si è ridotti ll form f() = +b v +( u v u = ( u) +v ), d cui si ricv immeditmente + u+b = ( u) +v ( u) +v + b + c + d d = log( ( u) + v ) + u + b rctg u + k. v v Esercizio. Clcolre i seguenti integrli indefiniti: () d; () d; () ( + ) d; (4) + + d. 4 isoluzione. () Si f() =. Col cmbio di vribile t = + (d cui d = dt) si ricv (+) 5 f() d = 4 dt = 4 t 4 = + k = + k. () Si f() = Dividendo t 5 4 t 4 (+) 4 + il numertore per il denomintore si ottiene = ( + ) +, e perciò f() = : si h llor f() d = d, e ci simo ridotti l clcolo di d Poiché + = ( )( + ), si può scrivere per opportune costnti c, c : fcendo il denomintore comune destr si h = c + c = c (+)+c ( ) = (c +c )+(c c ) ( )(+) + = ( + 4 d cui si ricv c + c = e c c =, che dà c = e 4 c = 7. Pertnto + 7 ), d 4 + cui d = ( d + 7 d) = (log + 7 log + ) + k e, tornndo l problem inizile, f() d = (log +7 log + )+k. () Si f() =. Seguendo il procedimento 4 ++ suggerito in precedenz, si h = = + = (+) / ++ (+) + (+) + (+) + (+) +, d cui +( + ) f() d = log( + + ) + rctg` + k. (4) Si f() = +. Per i conti conviene fr diventre il denomintore monico (ovvero, con coefficiente dominnte ). Si h dunque + = + ; dividendo + per si ottiene ( + ) = ( )( ) + 5, e pertnto f() = 4 8 ( ) + 5/6, 4 d cui ` f() d = log + k = ` log + k Integrli di funzioni rzionli frtte (cso generle) e integrli binomi. Il motivo per cui si sono trttti prim lcuni csi prticolri per integrre funzioni rzionli frtte è che, per il cso generle, si può usre il seguente metodo (che non dimostrimo): Proposizione.5.4. (Metodo di Hermite) Se f() = A() è un frzione rzionle propri rele con B() A() e B() polinomi coprìmi di grdo rispettivmente m ed n, col denomintore nell form B() = ( ) m ( r) mr `( u ) + v m... `( u l ) + v m l (ove m + + m r + (m + + m l) = n), esistono e sono unici c,..., c r; d,..., d l ; e,..., e l ed un polinomio C() di grdo < n r l tle, posto B () = ( ) m ( r) mr `( u ) + v m... `( u l ) + v m l, si bbi A() B() = rx i= c i i + lx j= d j + e j ( u l ) + v l «C() + ; B () Corrdo Mrstoni

8 di conseguenz f() d = = rx i= c i i d + rx c i log i + i= + lx j= lx j= lx j= d j + e j ( u l ) + v l d + C() B () + k q d j log ( u j) + vj + d ju j + b j v j rctg uj v j + C() B () + k. Nell form di integrli rzionli possono essere ricondotti nche lcuni integrli binomi, ovvero di funzioni del tipo f() = p ( q + b) r con, b e p, q, r Q: () se p+ si pone q + b = t h con h il q denomintore di r; () se r si pone q = t h con h il denomintore di p+ p+ ; () se + r, si pone q q q +b = t h con h il denomintore di r. 5 q Esercizio. Clcolre i seguenti integrli indefiniti: 5 () d; () d; ( ) 7( + ) ( )( + 4) () 5 ( ) d; (4) p d. isoluzione. () Si f() = 5. Trscurndo per un ttimo l costnte moltiplictiv 5 (ché tnto ( ) uscirà dll integrle), il metodo di Hermite dice che = c + ` u+v, con c, u, v costnti reli ( ) ( ) d determinre. Clcolndo l derivt, si h perciò = c + u (u+v) = c (4c+u)+(c u v) ( ) ( ) ( ) d cui, per il principio d identità dei polinomi, si h c =, (4c + u) = e (c u v) =, ovvero c =, u = e v =. Si ricv pertnto f() d = 5 d = 5 ` + d, d cui si ( ) ( ) ricv f() d = 5 + k. () Si f() = Trscurndo il fttore ( ) 7(+) ( )( +4) costnte, il metodo di Hermite dice che si può scrivere = c 7 (+) ( )( +4) + c + + d+e + ` u +v+w per costnti c +4 (+)( +4), c, d, e, u, v, w d determinre. Derivndo destr e dopo lunghi clcoli si determin che c =, c =, u = v = e w = : dunque f() d = ` d + d ` d = `log 7 + (+)( +4) 7 + log + (+)( +4) + k. () Si f() = 5 ( ). A prte il fttore costnte 5, si trtt di un integrle binomio p ( q + b) r con p =, q = p+ e r =. Essendo r e = 9, si er suggerito di porre = t, ovvero q = φ(t) = t 6 : si ricv llor f() d = 5 t ( t ) 6t 5 dt = t 8 ( t ) dt = (4t 8 4t + t ) dt = ( 4 9 t9 4 f() d = ( 4 9 t + 4 t ) + k = ( 4 9 t9 4 t ) + k. (4) Si f() = t ) + k d cui, essendo t = 6 = 6, si ricv. Anche qui si h un integrle binomio, essendo = p ( q ) r con p =, q = e r = p+. Poiché +r = =, q si porrà = t, ovvero = φ(t) = ( t ), ottenendo f() d = ( ) d = ( t ) 4 t ( t ) ` ( t )( t ) 5 dt = t t dt = t dt = t + k d cui, ricordndo r che t = =, si ottiene f() d = ( ) + k. 5 Ad esempio, nell ultimo cso, posto r = u p+ e m := + r, d q +b = t h si ricv b = h q q (t h ) q ovvero = φ(t) = b q (t h ) q, e dunque si ricv p ( q + b) r d = b p q (t h ) p q t u b r (t h ) r b q ( q )(th ) q dt = q bm t u (t h ) m dt, è l integrle di un funzione rzionle frtt. Corrdo Mrstoni

9 .5. Integrzione definit ll iemnn (clcolo delle ree) Ci occupimo or del problem del clcolo dell re di zone finite (cioè, limitte) del pino crtesino. 5 Più precismente, lo scopo è di sviluppre un metodo per clcolre in modo preciso l re di quelle zone il cui bordo si poss decomporre come unione di grfici di funzioni continue di definite su intervlli (ovvero, d curve dell form {(, f()) : A} con f : A funzione continu dell intervllo A ) ed eventulmente d rette verticli dell form = k (vedi Figur.()). Figur.: Are di un insieme pino delimitto d grfici di funzioni; ree con segno. Inizimo dunque studire l re con segno (vedi Figur.(b,c,d)) dell zon del pino compres tr il grfico di un funzione e l sse delle scisse. L espressione con segno vuole indicre il ftto che, durnte il clcolo dell re di tle zon, le ree delle prti di ess che si trovno l di sopr (risp. l di sotto) dell sse sono d considerrsi positive (risp. negtive). Funzioni integrbili su un intervllo (secondo iemnn) È opportuno decomporre il problem che voglimo trttre, inizindo dlle funzioni che meglio di ltre permettono quest operzione. Considerimo un intervllo comptto (cioè chiuso e limitto) [, b] dell rett rele, e si K un qulsisi sottoinsieme di [, b]. Definimo l funzione crtteristic χ K : [, b] ponendo { se K, χ K () = se / K : si trtt dell funzione che vle su A e ltrove. Il grfico di χ K si present dunque come uno sclino lto l di sopr di K (vedi Figur.()). Più generlmente, un funzione s : [, b] si dirà semplice (o sclino) se esiste un suddivisione di [, b] (ovvero un successione di numeri reli = < < < n < 5 in rpporto ll unità d re determint dlle unità di misur scelte nel dotre si l sse delle scisse che quello delle ordinte di un sistem di coordinte (usulmente, come sppimo, l lunghezz unitri viene scelt ugule per entrmbi gli ssi). Corrdo Mrstoni

10 n = b) tle che s si costnte qundo ristrett d ogni intervllo ] j, j [ per j =,..., n (vedi Figur.(b)). 5 Qulsisi suddivisione di [, b] tle che s bbi quest proprietà si dirà essere un suddivisione ssocit d s. Denoteremo con S([, b]) l insieme delle funzioni semplici su [, b]: è bbstnz fcile mostrre che somme, prodotti e multipli sclri di funzioni semplici sono ncor funzioni semplici. Figur.: Funzione crtteristic; funzione semplice; suo integrle. Le funzioni di S([, b]) sono proprio quelle che cercvmo per inizire prlre di re (con segno) dell zon del pino crtesino compres tr il grfico e l sse delle scisse : tle re srà, in questo cso prticolrmente eloquente, quell ottenut sommndo, con segno, le ree di un fmigli finit di rettngoli. Definimo dunque l funzione integrle ponendo : S([, b]), s = N j( j j ) j= [,b] [,b] ove ( j ) j=,,...,n è un qulsisi suddivisione di ssocit d f, e si suppone che s ]j, j [ j per ogni j =,..., N (vedi Figur.(c)). 54 Il numero rele [,b] s, detto integrle di s esteso d [, b] si denot nche come [,b] s() d. Dll definizione si vede subito che l funzione [,b] : S([, b]) è linere (ovvero [,b](λs + µt) = λ [,b] s + µ [,b] t), isoton (ovvero se s t, cioè s() t() per ogni [, b], llor [,b] s [,b] t) e soddisf ll disuguglinz fondmentle [,b] s [,b] s, con uguglinz se e solo se s. 55 Esempio. Se s = χ [,b] si h s = b (l lunghezz dell intervllo [, b]). Lo stesso risultto si ottiene [,b] scegliendo s = χ ],b[, oppure s = χ ],b], oppure s = χ [,b[. 5 Osservimo che si richiede che s si costnte nell interno degli intervlli, e che quello che ccde nei punti di seprzione non interess per null: qulsisi vlore s ssum, per quest definizione s rest sempre sclino. 54 Si noti che l definizione è buon, ovvero se si prendono due suddivisioni di ssocite s il risultto dell integrle non cmbi (fcile esercizio: tringolndo sull unione delle due suddivisioni si può supporre che un si contenut nell ltr...) 55 Per le prime due ffermzioni prendere, come già visto, due suddivisioni ssocite f ed g, e considerre l loro unione, che srà ssocit d entrmbe. L disuguglinz fondmentle è ovvi. Corrdo Mrstoni

11 Tornimo or l cso generle, che intendimo trttre pprossimndo con funzioni semplici. Se f : [, b] è un funzione qulsisi e s S([, b]) è un funzione semplice che mggior (risp. minor) f, ovvero tle che f s (risp. f s) 56, l integrle [,b] s si dirà un somm superiore (risp. inferiore) di f sull intervllo [, b] (vedi Figur.). Figur.: Somme superiori ed inferiori. Se s + e s sono un somm superiore e inferiore di un medesim f si h s s + e dunque, per isotoni, si h [,b] s [,b] s+. Diremo che f è integrbile su [, b] (secondo iemnn) se l re sottes dl grfico di f si lsci pprossimre picere d un somm superiore e d un inferiore, ovvero se { per ogni ε > esistono s + ε, s ε S([, b]) tli che s ε f s + ε e [,b] s+ ε [,b] s+ ε = [,b] (s+ ε s + ε ) < ε. In tl cso, il vlore comune di l qule tendono le somme superiori e le somme inferiori di f viene detto integrle di f esteso [, b], e si indic con i simboli 57 Si dimostr fcilmente che: [,b] f oppure [,b] f() d. Proposizione.5.5. Se f : [, b] è integrbile su [, b], llor f è integrbile su ogni ltro intervllo [, b ] contenuto in [, b]. Il significto geometrico dell integrle di f esteso [, b] è dunque chiro: ottenuto trmite convergenz di ree sclino superiori ed inferiori d un medesimo vlore [,b] f, esso rppresent l re dell prte di pino compres tr il grfico di f e l intervllo [, b] dell sse, contt col segno, ovvero in cui si considerno positive le ree l di sopr dell sse e negtive quelle l di sotto. Appre dunque bbstnz ovvio che cmbire l funzione su un numero finito di punti non cmbi il risultto: 56 Nturlmente, dt un f qulsisi, sifftte funzioni semplici potrebbero non esistere! 57 Detto in un modo più preciso: considerndo i sottoinsiemi U + f = { [,b] s+ : s + S([, b]), s + f} e U f = { [,b] s : s S([, b]), s f} di vle certmente U f U + f. Ebbene, f è integrbile su [, b] (secondo iemnn) se U f e U + f sono clssi contigue in ; e, in tl cso, l unico elemento seprtore tr U f e U + f (vedi Proposizione..) si dirà integrle di f esteso. Corrdo Mrstoni 4

12 Proposizione.5.6. Se f, g : [, b] sono due funzioni che differiscono solo su un numero finito di punti, llor f è integrbile su [, b] se e solo se lo è g, e vle f = g. Notimo l seguente [,b] Proposizione.5.7. Un funzione integrbile su [, b] è nche limitt su [, b], m il vicevers non è sempre vero. Inftti, se f è integrbile su [, b] llor di certo esistono s ± S([, b]) tli che s f s +, dunque f è limitt (perché lo sono si s + che s ). M non è sempre vero che un funzione limitt su [, b] è nche integrbile su [, b]. Ad esempio, dentro [, b] si consideri il sottoinsieme K = Q [, b]: llor f = χ K è ovvimente limitt in [, b] (vle f() per ogni [, b]) m non è integrbile su [, b]. Inftti, poiché K è denso in [, b], se s S([, b]) soddisf s f dev essere s() per ogni [, b] (trnne lpiù un numero finito di punti); e, similmente se t S([, b]) soddisf t f dev essere t() per ogni [, b] (trnne lpiù un numero finito di punti). Dunque l re sottes dl grfico di f non potrà venire pprossimt picere d un somm superiore e d un inferiore, perché l differenz tr un qulsisi somm superiore di f e un qulsisi somm inferiore di f è sempre. Si osservi che l esempio dto qui sopr di un funzione limitt m non integrbile è prticolrmente irregolre: l funzione, inftti, non è continu in nessun punto del suo dominio. Invece, fortuntmente, per le funzioni regolri (o perlomeno per quelle non troppo irregolri, nel senso che diremo tr un ttimo) tutto funzion bene: Proposizione.5.8. Un funzione continu su [, b] è integrbile su [, b]. 58 Più generlmente, un funzione continu su [, b] trnne lpiù un numero finito di discontinuità di prim specie (ovvero punti nei quli esistono finiti, nche se diversi, si il limite sinistro che il limite destro) 59 è integrbile su [, b]. L integrle ppen introdotto soddisf le medesime tre proprietà che bbimo visto per le funzioni semplici (omettimo l dimostrzione). Proposizione.5.9. (Proprietà dell integrle) Sino f, g : [, b] funzioni integrbili. [,b] (i) (Linerità) λf + µg è integrbile per ogni λ, µ, e (λf + µg) = λ f + µ [,b] (ii) (Isotoni) Se f g (ovvero, se f() g() per ogni [, b]) llor [,b] f [,b] g. 58 Dunque è nche limitt su [, b] (m lo spevmo già dl Teorem di Weierstrss!). 59 Un tle funzione è comunemente dett bilncit su [, b]. [,b] [,b] g. Corrdo Mrstoni 5

13 (iii) (Disuguglinz fondmentle) Vle [,b] f [,b] f. Esempio. Vedimo un esempio fcile. Dti m, q con m >, si f : [, b] dt d f() = m + q. Notimo che tle f, che come sppimo è crescente, è nche limitt (il suo grfico è un segmento chiuso e limitto dell rett y = m + q). [, b] che divide [, b] in n prti uguli dt d j Per un qulsisi n N considerimo l suddivisione di = + j b n = (n j)+jb n con j =,,..., n (si = P n j= f(j )χ [ j, j [ e s + n = noti che = < < n = b); poiché f è crescente, se si pone s n P n j= f(j)χ vle [j,j [ s± n S([, b]) e s n f s + n. Si clcol [,b] s n = P n j= (mj +q)(j j ) = b +P n (n j+)+(j )b (m ((n j+)+(j )b)+q) = (b )(m n n(n ) b n j= b) + q) = (b )( m ( n+ n +P n j= (m (n j)+jb (b )( m ( n n+ + n n è integrbile su e che [,b] n +q) = (b )(m n P n j= + n b) + q), e nlogmente n [,b] s+ n = P n j= ((n j)+jb)+q) = (b )(m P +q) = (b )(m n n n j= b)+q): poiché lim [,b] s n = lim [,b] s+ n = (b )(m b+ + (mj + q)(j j ) = n ( n(n+) b)+q) = +q), bbimo mostrto che f ( n(n ) + n(n+) n b+ f = (b )(m +q). Quest, come si verific direttmente cso per cso con considerzioni di geometri pin elementre, non è ltro che l re contt con segno dell prte di pino compres tr l rett y = m + q e l sse delle scisse nel trtto [, b], come previsto. Notimo piuttosto un ftto che per or sembr solo un curios coincidenz: l funzione F () = m + q è, come si è visto, un primitiv di f sull intervllo [, b], e si verific immeditmente che f = F (b) F (). Che non [,b] si un mer coincidenz srà chiro nel seguito, qundo vremo disposizione il Teorem fondmentle del clcolo (Teorem.5.4). Funzioni loclmente integrbili In generle, le funzioni hnno un dominio più complicto di un intervllo comptto: tle dominio potrebbe essere l unione di più intervlli, lcuni dei quli, mgri, non chiusi o non limitti. Cerchimo dunque, per qunto possibile, di trttre il cso generle. Si A. Un funzione f : A è dett loclmente integrbile se è integrbile su ogni intervllo comptto [, b] contenuto in A. Grzie ll Proposizione.5.8 si può subito notre che: Proposizione.5.. Tutte le funzioni continue (più in generle, tutte le funzioni continue trnne che in un numero finito di discontinuità di prim specie) sono loclmente integrbili. È immedito verificre (esercizio) che Proposizione.5.. (Additività rispetto l dominio d integrzione) Sino f : A un funzione loclmente integrbile, [, b] un intervllo comptto contenuto in A, e < c < b. Allor vle f = f + f. [,b] [,c] [c,b] Corrdo Mrstoni 6

14 Funzione integrle e Teorem fondmentle del clcolo Introducimo or un nuov notzione. Se f è un funzione integrbile su un intervllo comptto di estremi e b (con < b oppure b < ), si definisce il simbolo b f() d come segue: { b [,b] f() d := f se b [b,] f se > b. Si prlerà, in questo cso, di integrle di f sull intervllo orientto di estremi e b. In sostnz, con quest nuov convenzione, l integrle orientto di un funzione d or in poi potrà cmbire segno () o cmbindo il segno d f, () o invertendo gli estremi di integrzione : voglimo dire che per ogni, b A si h Inoltre, vle 6 b b f() d = b ( f()) d = b f() d. f(t) dt + c b f(t) dt = c f(t) dt per ogni, b, c A. Con l introduzione dell nozione di integrbilità locle, (che, come mostr l Proposizione.5., costituisce un generlizzzione dell nozione di continuità), si è ftto un notevole progresso nell trttzione. In effetti, se A è un intervllo di e f : A è un funzione loclmente integrbile in A, preso un qulsisi c A h perfettmente senso definire l funzione I c f : A (dett integrle di punto inizile c) in questo modo: I c f : A, (I c f)() = c { [c,] f(t) dt = f se c [,c] f se < c. In sostnz, l funzione I c f ssegn d ogni A il vlore dell integrle orientto di f d c. L proposizione che segue mostr, come prennuncito, che l regolrità dell funzione integrle srà mggiore di quell dell funzione di prtenz: nell prim prte si dice che l integrle di un funzione loclmente integrbile srà continu, mentre nell second prte, ver chive di volt dell teori, si prov che l integrle di un funzione continu srà derivbile, con derivt... l funzione stess. Proposizione.5.. Si A un intervllo di, c A e f un funzione loclmente integrbile su A. (i) L funzione integrle I c f : A è continu. 6 Bst considerre un d un le sei possibili disposizioni dei punti, b, c usndo l Proposizione.5.(iii): d esempio, se < b < c vle b f(t) dt+ c f(t) dt = f(t) dt+ f(t) dt = f(t) dt = b [,b] [b,c] [,c] c f(t) dt; se c < < b vle b f(t) dt+ c f(t) dt = f(t) dt f(t) dt = f(t) dt = c f(t) dt; b [,b] [c,b] [c,] e similmente negli ltri quttro rimnenti csi. Corrdo Mrstoni 7

15 (ii) (Teorem di Torricelli) Se f è continu in A llor I c f è derivbile in, e vle (I c f) () = f(). Come immedit conseguenz del Teorem di Torricelli, possimo finlmente dimostrre qunto lscito in sospeso nell dimostrzione dell Proposizione.5.: Corollrio.5.. (Ogni funzione continu su un intervllo mmette primitiv) Se A è intervllo di, f : A un funzione continu e c A, l funzione integrle I c f : A è un primitiv di f (cioè (I c f) () = f() per ogni A). M l conseguenz di grn lung più importnte, che mostr il legme tr integrzione definit e indefinit e pre l strd tutte le ppliczioni del clcolo integrle, è senz dubbio il Teorem.5.4. (Teorem fondmentle del clcolo) Se A è un intervllo di, f : A un funzione continu ed F : A un qulsisi primitiv di F, llor b f(t) dt = F (b) F () per ogni, b A. Dimostrzione. Se F è un primitiv di f su A, per l Proposizione.5. preso un qulsisi c A esiste un costnte k tle che F = I c f + k: dunque F (b) F () = b c f() d + k c f() d k = b f() d. Tlvolt in luogo di F (b) F () si us scrivere nche (F () b. Esempi. () Clcolimo l re con segno dell zon compres tr il grfico dell funzione f() = m + q ed il segmento [, b] dell sse delle scisse (con m, q e > ). Un primitiv di f() è F () = m +q, pertnto l re cerct è b f() d = F (b) F () = m b + q(b ) = (b )(m b+ + q) (vedi nche pg. 6). Se m = si ottiene semplicemente q(b ), l re con segno del rettngolo di lti b e q ; se = q = si ottiene mb, l re con segno del tringolo rettngolo di cteti b e m b. () Clcolimo l re del settore prbolico delimitto dl grfico dell funzione f : [, b], f() = ( ( + b) + b) (un prbol con concvità rivolt verso il bsso, pssnte per (, ), (b, ) e con vertice ( +b, +b )). e dll sse delle scisse. Un primitiv di f è F () = (+b) b, e pertnto l re cerct è ugule b (b ) f() d = F (b) F () =. () Per qunto bbimo spiegto, dovrà essere di certo π sin d = 6 (le ree tr e π e tr π e π sono uguli m di segno opposto): inftti un primitiv di f() = sin è F () = cos, e F (π) F () = ( ) =. Invece vle π sin d = ( cos)(π) ( cos)() = ( ) ( ) =. () Clcolimo l re (con segno) compres tr il grfico di f() = e e l sse delle scisse sull intervllo [, ] (l funzione, essendo continu, è nche loclmente integrbile, e dunque tle richiest h senso). Un primitiv di f() è F () = e e dunque, essendo F ( ) = e4 + 5, e F () = e,, si h f() d = F () F ( ) = e4 e 4,. Si noti che l funzione è positiv se e solo se < e dunque, quest re è l somm del contributo positivo f() d = F () F ( ) = ( e4 + )) = e4 4, 8 e del contributo negtivo f() d = F () F () = e ( e ) = +, 6. Proposizione.5.5. Nel clcolo degli integrli definiti vlgono le seguenti proprietà. Corrdo Mrstoni 8

16 (i) (Metodo di integrzione definit per sostituzione) Sino A, T intervlli di, φ : B A un funzione di clsse C, [t, t ] T un intervllo comptto, j = φ(t j ) A (per j =, ) ed f : A un funzione continu. Si h llor φ(t ) φ(t ) f() d = t t f ( φ(t) ) φ (t) dt. (ii) (Metodo di integrzione definit per prti) Sino A un intervllo e F, G : A due funzioni di clsse C con derivte F = f e G = g. Allor per ogni intervllo comptto [, b] A vle b F ()g() d = ( F ()G() b b f()g() d. Dimostrzione. (i) V innnzitutto ricordto che l intervllo in A di estremi φ(t ) e φ(t ) è comptto (si ricordi l Proposizione..7(d)), e dunque il primo membro h senso. Se F è un primitiv di f, F φ è un primitiv di (f φ)φ e dunque mbo i membri vlgono (F (φ(t)) t t. (ii) Bst clcolre ( b di mbo i membri dell formul di integrzione indefinit per prti. Esempi. () Si debb clcolre f() d, dove f è un qulsisi funzione continu. Se (per fre un esempio) si vuole pplicre tle integrle il cmbio di vribile = φ(t) = t(t ), si noti che φ(t) = per t = + (con t = +, 7 e t = +, 7), e che φ(t) = per t = 6 (con t = 6, e t = + 6, 8. Pertnto l integrle di prtenz è ugule d uno qulsisi dei quttro integrli t t f(t(t ))(t ) dt, ove t si libermente scelto tr t e t diffeomorfismi φ : [t, t ] [, ] e φ : [t, t ] [, ].) () Si h tet dt = e t tr t e t. (Si noti che φ induce et `t et dt = e 6 e ` e t = e6 +e ( e6 e ) = 5e6 +e. () icordimo che l funzione potenz α con esponente rzionle α = m denomintore n dispri è definit per ogni se α >, e per ogni n se α (vedi pg. 4): d esempio, ( 8) = 8 = e ( ) 5 = = Pertnto, l integrle definito ( ) 5 ( 5 ) = 5 4. d h senso, perché l funzione (7 ) (7 ) = (7 ) è definit e continu (dunque loclmente integrbile) per 7, e lo stesso vle per 5 = ( ) 5 il risultto srà positivo (l funzione integrnd negtivo (l funzione integrnd d 5, perché l funzione è definit e continu (dunque loclmente integrbile) per. Inoltre, nel primo cso 5 è positiv su [, ]) mentre nel secondo srà (7 ) è negtiv su [, ]). Pssimo or l clcolo preciso di questi integrli. Utilizzndo rispettivmente il cmbio di vribile t = 7 (dunque = t+ ) e τ = 7 (dunque = τ + ), si ottiene = (t 7 ] 8 = (( ) ( )) = > e 7 7 d 5 = d (7 ) = 7 8 dt t dτ 5 τ = 5 (τ ] = 5 (( ) ( ) 5 ) = 5 ( 5 8) <. 4 Esercizio. Clcolre i seguenti integrli definiti: () + d, () e d, () 5 π sin (sin + cos ) d. Corrdo Mrstoni 9

17 isoluzione. () Dividendo il numertore per il denomintore si ottiene + = ( + )( ) + + d cui + = Poiché = ( + )( 4), esistono + due numeri A, B tli che = A + B : di clcoli risult che A = e B =. Si h + 4 pertnto + = , e perciò + d = d cui + d = ( log 5 log ) = log 4 log 5 = 9 4 log 5, 8. () Sostituendo = t + + log 4 log + + k, + + log 4 log + ] = + + log log 5 ( + si ottiene d = dt, t d cui e 5 d = t 5 e t ( t dt) = t e t dt. Integrndo ripetutmente per prti si h poi t e t dt = t e t t e t dt = t e t (t e t te t dt) = t e t t e t + 6 te t dt = t e t t e t + 6(te t e t dt) = t e t t e t + 6te t 6e t + k = (t t + 6t 6)e t + k, d cui finlmente e 5 d = t e t dt = (t t + 6t 6)e t + k = ( vle perciò ( e ] = trigonometriche di dupliczione si h π + 6 6)e + k = e + k. L integrle definito e d 5 e 6 6+ e = 9 8 e e, 54. () Usndo le formule sin (sin + cos ) d = π sin ( sin cos + cos ) d = π ( sin cos + sin cos sin ) d = ( sin cos () + cos ] π = ( + ) ( + ) =. Misur nel pino, re di regioni pine Chimeremo rettngoli i sottoinsiemi di del tipo A B con A e B intervlli limitti di e plurirettngoli i sottoinsiemi ottenuti unendo un numero finito (eventulmente nche molto grnde, m finito) di rettngoli. Di ogni rettngolo possimo clcolre l re nel modo usule, e lo stesso potremo fre per ogni plurirettngolo spezzndolo come unione disgiunt di rettngoli di cui sommeremo le singole ree. 6 In generle, dto un sottoinsieme limitto D di, considerimo i sottoinsiemi di U + D U D = {Are(P ) : P plurirettngolo limitto, D P }, = {Are(P ) : P plurirettngolo limitto, P D}. In ltre prole, U + D è l insieme delle ree dei plurirettngoli limitti che pprossimno D dl di fuori, mentre U D è l insieme delle ree di quelli che pprossimno D dl di dentro : vle certmente U D U + D. Il sottoinsieme D si dirà qudrbile, o elementrmente misurbile (con misur finit) se U D e U + D sono clssi contigue in, ovvero se { per ogni ε > esistono due plurirettngoli limitti P ± ε tli che P ε D P + ε e Are(P + ε ) Are(P ε ) = Are(P + ε \ P ε ) < ε. In tl cso, l unico elemento seprtore tr U D e U + D con Are(D). si dirà re di D, e srà denotto Sino or A e f : A un funzione loclmente integrbile. Se [, b] è un intervllo comptto contenuto in A, bbimo detto più volte cos signific geometricmente l integrle definito b f() d: esso è l re con segno dell prte di pino compres tr il grfico di f e l sse delle scisse nel trtto [, b]. Poiché bbimo introdotto un nozione 6 Questi discorsi, che fccimo con grn velocità, richiederebbero in reltà un cert ttenzione: d esempio, dovremmo dimostrre (verific lborios) che di un plurirettngolo si clcol l stess re in qulunque modo lo si suddivid come unione disgiunt di rettngoli. Corrdo Mrstoni

18 di re per sottoinsiemi di, dobbimo mostrre che quest è comptibile con l nostr costruzione precedente. Se u : A è un funzione loclmente integrbile positiv (ovvero u ) e [, b] A è comptto, definimo il trpezoide T [,b] (u) di u su [, b] (vedi Figur.4()) proprio come T [,b] (u) = {(, y) : b, y u()}. L seguente proposizione mostr il legme tr l integrle definito di f e le ree di trpezoidi nturlmente ssociti d f (icordimo che l funzione prte positiv f + : A è definit come f + () = f() se f() e f + () = se f() <, mentre l funzione prte negtiv f : A è definit come f () = se f() e f + () = f() se f() <. Si noti che f +, f, f = f + f e f = f + + f.) Proposizione.5.6. Sino A, f : A un funzione loclmente integrbile e [, b] A un intervllo limitto. Allor i trpezoidi T [,b] (f ± ) sono qudrbili e vle b f() d = Are(T [,b] (f + )) Are(T [,b] (f )). Dimostrzione. Inizimo dl cso in cui f. Se f [,b] è semplice, si può suddividere [, b] in intervlli disgiunti (eventulmente degenerti d un punto) I < < I m di modo che f = m i= α iχ Ii con α i per i =,..., m: ne risult T [,b] (f) = m i= (I i [, α i ]), e pertnto b f() d = m i= α i λ (I i ) = Are(T [,b] (f)). Tornndo l cso generle, se f è loclmente integrbile tli sono nche f ± e dunque, per qunto ppen visto, T [,b] (f ± ) sono qudrbili e vle b f ± () d = Are(T [,b] (f ± )); essendo b f() d = b f + () d b f () d, si ottiene qunto voluto. Figur.4: Trpezoide; ree di pino delimitte d grfici di funzioni Dopo quest doveros preciszione, terminimo l trttzione dell integrzione precisndo come clcolre l re di un vst clsse di sottoinsiemi qudrbili di. Supponimo di vere un sottoinsieme D il cui bordo si poss decomporre in trtti descrivibili Corrdo Mrstoni

19 come grfici di funzioni f (),..., f m () due due privi di intersezioni, eventulmente interclti d trtti verticli (ovvero, gicenti su rette del tipo k ). Il cso più semplice è il seguente: Proposizione.5.7. Si [, b] un intervllo comptto di, f, f funzioni integrbili tli che f > f : llor (vedi Figur.4(b)) : [, b] due D = {(, y) : [, b], f () y f ()} è qudrbile, e vle Are(D) = b ( f () f () ) b d = f () d + b f () d. Dimostrzione. Si k un qulsisi costnte; se cmbimo f e f con f + k e f + k, l effetto è quello di trslre i grfici di f e f (e dunque nche D) verticlmente di k; gli effetti dell uguglinz d dimostrre non cmbi null (si noti che inftti nessuno dei due membri risente del cmbimento). Possimo dunque supporre che si f > f >. M llor si h ovvimente Are(D) = Are(T [,b] (f )) Are(T [,b] (f )); usndo llor l Proposizione.5.6, si h Are(D) = b f () d b f () d, come voluto. L ide è dunque quell di prtire dl punto (, f ()) e, percorrendo il grfico di f () in senso orrio (ovvero positivo, d sinistr destr), integrre f d b; indi, portndosi dl punto (b, f (b)) l punto (b, f (b)) (eventulmente spostndosi lungo l rett verticle = b verso il bsso; in ogni cso, quest operzione è innocu dl punto di vist dell re), percorrere ritroso il grfico di f () integrndo perciò f d b d ; infine, portrsi dl punto (, f ()) l punto (, f ()) (sempre spostndosi lungo l rett verticle =, ltr operzione innocu ) d cui ervmo prtiti, chiudendo così il circuito dto dl bordo di di D. M nche se fossimo prtiti d esempio dl punto (b, f (b)) percorrendo il bordo di D sempre in senso orrio (che stvolt dunque è negtivo, d destr sinistr) seguendo le stesse tppe fino tornre llo stesso punto (b, f (b)), il risultto l secondo membro non srebbe cmbito; nzi, è fcile vedere che, prendendo un qulsisi c [, b] e fcendo l stess operzione (cioè, prtendo d (c, f (c)) oppure d (c, f (c)), integrre muovendosi in senso orrio sul bordo di D fino tornre l punto di prtenz) il risultto continu non cmbire, dndo sempre l re di D. Insomm, per clcolre l re di D bst prendere un punto qulsisi del bordo di D e percorrere il bordo in verso orrio integrndo, nel verso scelto, l funzione sul grfico dell qule ci si st muovendo, fino chiudere il circuito tornndo nel punto d cui si er prtiti. Quest ide funzion esttmente llo stesso modo nche nel cso più generle delineto ll inizio, in cui il bordo di D si poss decomporre in trtti descrivibili come grfici di più funzioni due due privi di intersezioni, eventulmente interclti d trtti verticli (vedi Figur.4(c)). Dt un fmigli (senz lcun ordine) di m + punti distinti {,..., m+ } di con = m+, per j =,..., m si denoti con I j l intervllo comptto di estremi j e j+ (dunque I j e I j+ hnno l estremo j+ in comune) e si considerino delle funzioni continue f j : I j i cui grfici non bbino intersezioni né tr di loro né con i segmenti verticli l j d ( j+, f j ( j+ )) e ( j+, f j+ ( j+ )), e si consideri il Corrdo Mrstoni

20 sottoinsieme D delimitto di grfici delle f j e di segmenti l j : llor 6 Are(D) = m j+ j= j f j (t) dt. Esercizio. Si clcoli l re dell regione pin limitt D rcchius inferiormente dl grfico dell funzione f() = e, superiormente, di grfici di g() = 4 + per < e di h() = per >. isoluzione. I grfici di f e g si intersecno in A = (, ) e A = ( 5, ); quelli di g e h in B = (, ) e 4 B = (, 7 ); quelli di f e h in C = ( 5, ), 4 4 C = (, ) e C = (, 6). L regione D (vedi Figur.5(i)) risult delimitt inferiormente dl grfico di f() per e superiormente dl grfico di g() per e di h() per ; si h dunque Are(D) = g() d + h() d + f() d. Delle primitive di f, g, h sono rispettivmente F () = 6, G() = + e (essendo h() = 4 + = ), H() = 4 + log : pertnto Are(D) = G() G( ) + H() H() + F ( ) F () = ( 4) + 4 ( log ) + ( 8 + 6) ( ) = log 9, 7. Figur.5: Le regioni pine D, S e S degli esercizi. Esercizio. Disegnre le seguenti regioni del pino crtesino e clcolrne l re: () S = {(, y) :, log( + ) y π + rcsin }, () S = {(, y) : π, y, sin y (π )}. isoluzione. () L re di S = {(, y) :, log( + ) y π + rcsin } (vedi Figur.5(ii)) è ( π + rcsin ) d + log( + ) d. Si h (per prti) rcsin d = ( rcsin ) d = rcsin d = rcsin + ( )( ) d = rcsin + ( ) + k = rcsin + + k, e (ponendo t = + ) log( + ) d = log t dt = ( log t) dt = t log t t dt = t(log t ) + k = t 6 L dimostrzione, che non scrivimo in dettglio, si può ottenere riducendosi ciò che ccde sopr un singolo intervllo I k ed pplicndo il cso bse dell Proposizione.5.7. Menzionimo solmente il ftto che quest espressione è un cso prticolre dell formul di Green nel pino: se U è un sottoinsieme perto del pino, φ : U un funzione differenzibile tle che il chiuso D = φ ( ) di U si comptto con bordo D = φ () U curv regolre, llor si h Are(D) = φ ds, ove il secondo D membro denot l integrle curvilineo dell funzione φ(, y) lungo l curv D. Corrdo Mrstoni

21 ( + )(log( + ) ) + k, d cui l re risult ( π + rcsin + ] + (( + )(log( + ) )] = π + log, 85. () Le due funzioni e (π ) si intersecno in = e = π, dunque l re di S = {(, y) : π, y, sin y (π )} (vedi Figur.5(iii)) è π d+ π (π ) d+ ( sin ) d. Essendo (per prti) sin d = cos ( cos ) d = π π sin cos + k, l re è ( ]π + (π ]π π + ( sin + cos ] π = ( (π ) ) + ( π π π (π ) + (π ) ) + ( + π) = π +π+ 6, 7. 6 Integrzione definit generlizzt. Nell trttzione ppen termint, l integrle (ll iemnn) di un funzione si è considerto sempre e solo su un intervllo comptto (inftti gli integrli delle funzioni loclmente integrbili vengono sempre effettuti su intervlli comptti contenuti nel loro dominio). Ci occupimo or di studire il problem seguente: se A è un intervllo non comptto (ovvero perto oppure illimitto) di e f : A è un funzione loclmente integrbile (dunque l integrle di f h senso su tutti i comptti contenuti in A), cos ccde se volessimo considerre l integrle di f esteso tutto A, nel senso di limite dell integrle di f esteso d un intervllo comptto di A qundo il comptto tende d A? In ltre prole: l re con segno compres tr il grfico di f e l sse tenderà d un vlore finito, oppure no? Figur.6: Lo studio degli integrli generlizzti si chiede se integrli definiti come questi convergono o no. Dimo qulche esempio per renderci conto dell interesse dell questione. Esempi. () Inizimo con lcune ovvietà. Se f : [, b[ (con, b ) è un funzione continu tle che lim b f() d esiste finito, llor il suddetto limite d re su A = [, b[ esiste finito (perché f si può estendere per continuità d un funzione f e : [, b] con f() e = lim b f() d, e lim ξ b [,ξ] f() d = f() e d ). Se invece g : [, + [ è un funzione continu tle che [,b] lim + g() d esiste diverso d zero, llor il suddetto limite d re su A = [, + [ diverge (perché l zon di pino compres tr il grfico di g e l sse delle scisse d un certo punto in poi contiene un rettngolo illimitto destr, e dunque l su re con segno deve per forz divergere ). () Si A =], ] (che è limitto m non chiuso, dunque non comptto), e sino f, g, h :], ] dte d f() = sin, g() = e h() = log. Che ne è dei loro integrli su intervlli comptti dentro ], ], qundo questi intervlli tendono ], ]? Si trtterà, in sostnz, di prendere ξ ], [, considerre f() d [ξ,] Corrdo Mrstoni 4

22 e poi considerre il limite di questo integrle per ξ +. Per f non ci srà problem: inftti ess è prolungbile per continuità tutto [, ] ponendo f() =, ed un funzione continu è sempre integrbile su un comptto. Più intrignte invece il problem per g e per h: tli funzioni divergono rispettivmente + e, m divergernno nche le loro ree oppure no? Per g, bbimo lim ξ + g() d = ξ lim +( ξ ] ξ = lim +( + ξ ) = + (dunque nche l re diverge), mentre per h bbimo ξ lim ξ + h() d = lim ξ ξ +((log )] ξ = lim ξ +( ξ(log ξ )) = (dunque l re converge ). Può dunque ccdere che un funzione diverg, m l su re no. () Si A = [, + [ (che è chiuso m non limitto, dunque non comptto), e sino f, g, h : [, + [ dte d f() = rctg, g() = e h() =. Stvolt si trtterà di studire il limite per ξ + dell integrle dell log funzione su [, ξ]. Per f tle limite srà di certo + (bst pensre che, essendo lim + f() = π, l prte di pino compres tr il grfico di f e l sse delle scisse conterrà il rettngolo illimitto di ltezz π 4 ξ d un certo punto in poi), m comunque, clcolndo, si h lim ξ + f() d = lim ξ + ( rctg log + ] ξ = lim ξ + (ξ rctg ξ log p ξ + π + log ) = lim ξ + (ξ rctg ξ) = +. D ltr ξ prte, per g, si h lim ξ + g() d = lim ξ + ( ]ξ = lim ξ + ( + ξ ) =, mentre per h si h lim ξ + ξ h() d = lim ξ + (log log )] ξ = lim ξ + (log(log ξ) log(log )) = + : si g che h sono infinitesime in +, m l re sotto il grfico di g converge l vlore finito di h diverge., mentre quell Motivti d questi esempi, definimo il problem in modo generle. Si [, b[ un intervllo di, con e b > {+ } (si trtt dunque di un intervllo limitto oppure illimitto, m in ogni cso senz mssimo), e si f : [, b[ un funzione loclmente integrbile: pertnto, per ogni ξ [, b[ l integrle [,ξ] f() d = ξ f() d h senso. Diremo che l funzione f è integrbile in senso generlizzto in ξ [, b[ se il limite lim ξ b f() d esiste finito; in tl cso tle limite si denoterà b f() d, e srà chimto integrle generlizzto (oppure integrle improprio) su [, b[. In reltà, in tle problem il solo punto che cont è b ξ, perché se si prende un ltro punto c [, b[ llor, essendo lim ξ b f() d = c ξ lim ξ b f() d c f() d, l funzione f è integrbile in senso generlizzto in [, b[ se e solo se lo è in [c, b[: dunque si us dire, più semplicemente, che f è integrbile (in senso generlizzto) in b. Anlog definizione si dà nel cso in cui f si definit in ], b] con b e <b { }: si dirà che f è integrbile (in senso generlizzto) in + b se se il limite lim ξ + f() d esiste finito. (Nel seguito, per ξ brevità, scriveremo spesso in s.g. in luogo di in senso generlizzto.) L esempio fondmentle è quello dell potenz f() = α, con α. Ess è definit e di clsse C (dunque continu, dunque loclmente integrbile) in ], + [, perciò l integrbilità generlizzt v esmint in + e in +. Studimo prim l integrbilità in +, cioè lim ξ + ξ α d. Se α si h lim ξ + ξ α d = ξα+ +( ) che è finito se e solo se α + > (ed in tl cso vle ); nel cso α+ α+ α = il limite è lim ξ + d = lim ξ ξ +(log ] ξ = lim ξ +( log ξ) = +. icpitolndo, l funzione α è integrbile (in s.g. ) in + se e solo se α >, ed in tl cso vle α d = >. Lo α+ α+ lim ξ +( α+ ] ξ = lim ξ stesso rgionmento vle per un qulsisi ltro c : l funzione c α è integrbile (in s.g. ) in c ± se e solo se α >. Pssimo ll integrbilità in +, cioè lim ξ + ξ α d. Se se α si h lim ξ + ξ α d = lim ξ + ( α+ α+ ]ξ = lim ξ + ( ξα+ vle ); nel cso α = il limite è lim α+ ξ + Pertnto α è integrbile (in s.g. ) in + se e solo se α+ <, ed in tl cso vle + ξ ) che è finito se e solo se α + <, ovvero α < (ed in tl cso α+ d = lim ξ + (log ] ξ = lim ξ + (log ξ) = +. α d = >. α+ Lo stesso rgionmento vle per : l funzione α è integrbile (in s.g. ) in ± se e solo se α <. Tornimo l cso generle. Se l funzione è definit e loclmente integrbile su un intervllo perto ], b[ (con { } e b > {+ }), bisognerà controllre seprtmente l integrbilità generlizzt prim in + e poi in b : l funzione si dirà integrbile (in senso generlizzto) in ], b[ se e solo se lo Corrdo Mrstoni 5

23 Figur.7: Per le potenze reli α d esponente negtivo, l funzione di integrbilità generlizzt in + e in +. rppresent un confine è si in + che in b. Ad esempio, se f : è un funzione loclmente integrbile, l espressione f è integrbile in senso generlizzto su signific f è integrbile in s.g. si in che in + (si h dunque un concetto ben più generle di integrbilità su ll iemnn : nell integrbilità generlizzt non si richiede fftto che f bbi supporto comptto, nzi!) Esempi. () α non è mi integrbile in ], + [: inftti, per nessun α ess lo è contempornemente si in + = + che in b = +. () ibdimo che i controlli vnno ftti in modo indipendente in + ed in b. Ad esempio, se f : è un funzione loclmente integrbile, vedere se f è integrbile in s.g. su non ξ equivle controllre se esiste lim ξ + f() d: inftti, quest ultim condizione è necessri m non ξ sufficiente (ovvero, questo integrle potrebbe esistere senz che f si integrbile in s.g. su ). Ad esempio, se f è un qulsisi funzione dispri si h ξ f() d e dunque nche lim ξ ξ ξ + f() d =, ξ m ovvimente l grn prte delle funzioni dispri è lungi dll essere integrbile in s.g. su (esempio: f() = non è integrbile né in né in + ). Vicevers, se f si integrbile in senso generlizzto su (con integrle generlizzto + f() d) llor nche lim ξ ξ + f() d esiste e coincide con ξ + f() d. () f() = è integrbile in s.g. su : inftti lo è si in che in +, essendo + η lim ξ ξ + d+limη + d = lim + ξ (rctg(+) ξ +lim η + (rctg(+) η = ( π ) + π = π: e si è nche clcolto che + + d = π. Qundo si riesce clcolre un primitiv F dell funzione loclmente integrbile f, il problem dell integrbilità generlizzt di f in un punto ± viene ridotto l clcolo di lim ± F (): tutti gli esempi che bbimo visto fino d or (d esempio α,, log...) sono stti risolti in questo modo. Tuttvi, ++ come sppimo, il clcolo dell primitiv di un funzione risult spesso impossibile, e dunque dobbimo preprrci ll eventulità di non poterne disporre. In questo cso, in reltà il più frequente, si dovrà essere comunque in grdo di dire se f si o no integrbile in s.g. in ±, senz mbire, in cso positivo, clcolre l estto vlore dell integrle generlizzto: per quest ultim operzione, srebbe indispensbile l presenz di un primitiv e ciò, come detto, è spesso impossibile. D or in poi ci preoccuperemo dunque di stbilire criteri per determinre il crttere di integrbilità generlizzt di f in ±, ovvero se ess si integrbile in senso generlizzto, o se l integrle diverg ± in ±, o se non converg. Se f : [, b[ è loclmente integrbile, tle è nturlmente nche f ; diremo che f è ssolutmente integrbile in senso generlizzto in b se f è integrbile in senso generlizzto in b. Che relzione c è tr le due nozioni? Proposizione.5.8. Se f è ssolutmente integrbile in senso generlizzto in b, llor ess è nche integrbile in senso generlizzto in b ; il vicevers non è sempre vero. Dimostrzione. L prim ffermzione verrà mostrt tr un ttimo (Teorem del confronto). Vicevers, l funzione f : [, + [ dt d f() = ( )[] non è ssolutmente integrbile in + (inftti f () = Corrdo Mrstoni 6

24 che, come sppimo, non è integrbile in + ) m è integrbile in + (come vedremo col Teorem di Abel-Dirichlet) Dunque le due nozioni di integrbilità in senso generlizzto ed ssolut integrbilità in senso generlizzto non sono equivlenti. M sono dvvero così distnti? Niente fftto: si noti che per trovre un controesempio (cioè un funzione che si integrbile senz esserlo ssolutmente) bbimo dovuto cercre un funzione oscillnte (ovvero, che continui cmbire segno ll intorno del punto nel qule si st studindo l integrbilità). Il motivo è che se l funzione h segno costnte ll intorno del punto (cos che ccde qusi sempre) le due nozioni coincidono: Proposizione.5.9. Si f : [, b[ un funzione loclmente integrbile che bbi segno costnte ll intorno di b (ovvero, tle che esist un intorno di b nel qule f bbi segno costnte): llor f è integrbile in senso generlizzto in b se e solo se f è ssolutmente integrbile in senso generlizzto in b. Dimostrzione. Si c ], b[ tle che f [c,b[ bbi segno costnte (supponimo, d esempio, positivo): sppimo che f (risp. f ) è integrbile in s.g. in [, b[ se e solo se f (risp. f ) è integrbile in s.g. in [c, b[, m f = f su [c, b[. Dopo quest fondmentle osservzione, trttimo nel seguito dei criteri di integrbilità generlizzt per funzioni positive, tenendo bene mente che essi vlgono sempre come criteri di ssolut integrbilità generlizzt per funzioni qulunque (usndo f ). Torneremo considerre le funzioni oscillnti (vere sole eccezioni ll identità tr integrbilità ed ssolut integrbilità) prlndo del Teorem di Abel-Dirichlet. Proposizione.5.. (Criteri di integrbilità generlizzt per funzioni positive) (i) (Criterio del confronto) Sino f, g : [, b[ due funzioni loclmente integrbili. () Se f g ll intorno di b (d esempio, se lim b f() g() = ) e g è integrbile in b, llor tle è nche f; (b) Se g f ll intorno di b (d esempio, se lim f() b = + ) e g non è integrbile in g() b, llor non lo è nemmeno f. (ii) (Criterio di sintoticità) Sino f, g : [, b[ due funzioni loclmente integrbili dello stesso ordine in b (ovvero, f b g). Allor f è integrbile in b se e solo se lo è g. Dimostrzione. (i) Poiché f e g sono positive, gli integrli ξ f() d e ξ g() d sono funzioni crescenti di ξ. Le conclusioni discendono llor dl Teorem del Confronto per i limiti. (ii) Essere dello stesso ordine signific che esiste λ > tle che f λg = o b (g), ovvero f = (λ + σ)g con σ infinitesimo in b : pertnto esiste c ], b[ tle che λ g() f() λ g() per ogni c < < b. Bst llor pplicre l ppen dimostrto criterio del confronto. Pertnto, per l integrbilità generlizzt delle funzioni loclmente integrbili positive (e dunque, come osservto, di tutte le funzioni di segno costnte ll intorno del punto in questione), grzie l Criterio di sintoticità bsterà rgionre meno dell ordine nel punto in questione (fondmentle ppre, questo punto, vere già studito il comportmento dell scl di potenze reli α, e più generlmente di c α ll intorno di un qulsisi c ). Vedimo ncor qulche conseguenz elementre del Teorem del confronto: Corollrio.5.. Per funzioni positive vlgono i seguenti ftti. () (Integrbilità delle funzioni limitte in punti di ) Sino < b +, e si ϕ : [, b[ un funzione loclmente integrbile. Se esiste l > tle che ϕ < l ll intorno di b, ovvero se ϕ è limitt ll intorno di b (d esempio, se lim b ϕ() esiste ed è finito), llor ϕ è integrbile in b. () (Non integrbilità delle funzioni lontne d zero in ± ) Si ϕ : [, + [ un funzione loclmente integrbile. Se esiste l > tle che ϕ > l ll intorno di + (d esempio, se lim + ϕ() Corrdo Mrstoni 7

25 esiste ed è, ovvero, se ϕ diverge o mmette sintoto orizzontle y = k > ), llor ϕ non è integrbile in +. Dimostrzione. Per () bst pplicre il Criterio del confronto () con f = ϕ e g l (che è ovvimente integrbile in b ); per (), ncor un volt il Criterio del confronto (b) con g l (che è ovvimente non integrbile + ) e f = ϕ. Queste osservzioni ci fnno cpire che, dt un funzione loclmente integrbile e positiv f : [, b[, gli unici csi l cui integrbilità in senso generlizzto di f in b può non essere di comprensibilità immedit sono quelli in cui () b e f non è limitt ll intorno di b (in prticolre, se lim b f() = + ); () b = + e f non si mntiene lontn d ll intorno di + 6 (d esempio, se lim + f() = + ). 64 Figur.8: Integrbilità generlizzt: csi chiri e csi dubbi. Esercizio. Discutere l esistenz dei seguenti integrli generlizzti e, se possibile, clcolrli : r () log d; () d; () + log d; (4) d; ( + ) + + (5) + e / d; (6) + ( + ) d; (7) π ( ) α cos α d. isoluzione. Si noti che, in tutti gli esercizi proposti che seguono, le funzioni di cui si vuole studire l integrbilità in s.g. in un certo punto hnno segno costnte ll intorno di quel punto. () f() = log è integrbile in s.g. in + : inftti ess è negtiv ll intorno di +, e dunque per ess l integrbilità in s.g. log equivle ll ssolut integrbilità in s.g. ; poi, come noto, si h lim + / = lim + log = 6 cioè per ogni ε > ed ogni M > esiste > tle che > M e f() < ε. 64 V notto un ftto: se f : [, + [ è un funzione positiv, sppimo bene che nche se lim + f() d = + non è detto che f si integrbile in senso generlizzto + (l ovvio controesempio è f() = ). M non è vero nenche il vicevers: ovvero, se f e integrbile in senso generlizzto + non è detto che si lim + f() d = +. Tutto quello che si può dire è, come visto sopr, che di certo f non si mntiene lontn d ll intorno di +. Ad esempio, f : [, + [ che vle sugli intervllini [n, n + ] (per n =,,,... ) e ltrove è, loclmente integrbile, non infinitesim (lim n + f() non esiste) m è integrbile in + : inftti lim + f(t) dt = lim N N, N + PN è finito (inftti, com è noto, l somm infinit P + n= converge se e solo se α > ). n α n= n, e tle limite Corrdo Mrstoni 8

26 ed llor, essendo / integrbile in s.g. in +, per il criterio del confronto lo srà nche log. D ltr prte f() non è integrbile in s.g. in +, perché lim + f() d esiste ed è diverso d zero (vle + ). () Studimo l integrbilità in s.g. di f() = in ], + [. Si noti che f è definit e loclmente 4 + ( +) integrbile (oltreché positiv) in ], + [, dunque vnno controllte l integrbilità in + e in +. Per +, si h f() +, ed essendo = integrbile in s.g. in + (inftti > ) nche f lo srà. Per +, si h f() 4 + ( ) = 5 4, ed essendo 5 4 integrbile in s.g. in + (perché 5 < ) 4 nche f lo srà. Dunque l integrle generlizzto + f() d h senso, e srà un numero rele certmente > (perché f > ). In questo cso è nche possibile clcolrlo, perché si trov 65 che un primitiv di f è 4 F () = ( + ( rctg 4 ), e dunque, preso un qulsisi ], + [ si h + f() d = f() d+ +) + f() d = F () lim ξ + F (ξ) + limη + F (η) F () = limη + F (η) lim ξ + F (ξ) = ( π ) ` ( ) = 4 + π. () Esminimo l integrle generlizzto q + f() d con f() =. + L integrbilità v controllt solo in + : poiché f() +, essendo = integrbile in + tle srà nche f. Per il clcolo scrivimo f nell form binomile f() = 5 (+) : converrà dunque porre t = t, d cui = φ(t) =, e l integrle generlizzto di prtenz divent l integrle generlizzto + t (convergente per t ) dto d ( t) t t dt = ( t) (t 5 t ) dt = ( (t ) t = 4 ( ). t (4) Poiché l funzione integrnd è pri, l integrle generlizzto + log d esiste se e solo se esiste + + log d, e srà il doppio di questo. Or f() = log è infinitesim (e dunque integrbile) in log, m in + si h f() + = log > ; m llor, poiché non è integrbile in +, per il criterio del confronto non lo srà nemmeno f(). Pertnto l integrle proposto è privo di significto. (5) Si f() = e /, e studimo + f() d. L funzione f è infinitesim, e dunque integrbile, in +, mentre in + si h f() +, integrbile: dunque l integrle proposto h senso. Esso è nche clcolbile elementrmente, perché f() = (e / ) e dunque F () = e è un primitiv di f: si ottiene + f() d = lim ξ + e ξ lim η + e η = =. (6) f() = (+) è integrbile in ], + [ perché f() + e f() + =. Anche qui è possibile il conto poiché (d esempio, usndo il metodo binomile) si trov l primitiv F () = rctg di f, d cui + f() d = π. (7) Per quli α h senso l integrle generlizzto π ( ) α cos α d? L funzione f α() = ( ) α cos α è continu (dunque loclmente integrbile) in ], π [, e bisogn dunque controllre l integrbilità in s.g. nei due estremi. Per +, si h cos + e dunque f α + ( ) α, d cui l condizione α >, ovvero α <. Poiché π e cos π ( π ), si ricv che fα() π ( π )α, dunque deve essere α >. In definitiv, l integrle h senso se e solo se < α <. Funzioni eulerine Le funzioni più importnti dopo quelle elementri sono probbilmente le funzioni eulerine, definite trmite integrli impropri. Inizimo dll integrle + t e t dt (ove l vribile di integrzione è t, mentre è un prmetro rele). Poiché t e t + t, l integrbilità in + richiede che si >, ovvero > ; d ltr prte cus dell decrescenz rpidissim di e t, l integrbilità in + è ssicurt per ogni (più formlmente, poiché lim t e t + = per ogni α, bst t α scegliere d esempio α =, per cui t è integrbile in +, ed pplicre il criterio del confronto). In sostnz, rest definit un funzione Γ : >, Γ() := + t e t dt dett funzione Gmm di Eulero. Ess h un proprietà fondmentle: per un qulsisi > si h (integrndo per prti) Γ( + ) = + t e t dt = ( t e t + + t ( e t ) dt = + 65 Ad esempio, col cmbio di vribile = t 4 si ottiene (usndo nche l integrzione per prti) che f() d = 4 t(t+) dt = t (t + ) dt = ( t+ t+ dt) = ( rctg t) + k, d cui (t +) (t +) t + t + t + il risultto si ottiene risostituendo t = 4. Corrdo Mrstoni 9

27 + t ( e t ) dt = Γ(), ovvero Γ( + ) = Γ(). Pertnto, essendo Γ() = + e t dt = ( e t + =, si ricv Γ(n + ) = n! = n(n ) : in ltre prole, l funzione Gmm è un interpolzione rele del fttorile. Un ltr funzione (di due vribili reli) di grnde interesse si h studindo l integrle improprio t ( t) y dt, ove l vribile di integrzione è t ed, y sono prmetri reli: esso converge se e e solo se, y >, ottenendo così l funzione B : > >, B(, y) := t ( t) y dt dett funzione Bet di Eulero. Menzionimo solmente le seguenti identità, vlide per ogni, y > : 66 B(, y) = Γ()Γ(y) Γ( + y), B(, y) = B(y, ), π B(, y) = cos θ sin y θ dθ = + ξ dξ. (ξ + ) +y Integrli oscillnti Come promesso, terminimo l trttzione dell integrzione prlndo degli integrli oscillnti, in prtic gli unici esempi significtivi di integrli impropri che si sottrggono llo studio del cso prticolre delle funzioni positive. Ad esempio, si f : [, + [ dt d f() = sin : mn mno che tende verso +, l funzione f continu d oscillre tr le funzioni e : pertnto, l re è un somm di contributi lterntivmente positivi e negtivi, e sempre più piccoli. Che ne srà dell integrle generlizzto + f() d (detto integrle di Dirichlet)? Convergerà oppure no? Stess questione, sempre +, per g() = sin( ), o + con h() = sin. Il problem è trttto nel Teorem di Abel-Dirichlet, di cui non dimo l dimostrzione. In esso, il prototipo d seguire è quello di + sin sin d, (con > ), in cui l funzione f() = è il prodotto di un fttore oscillnte ϕ() = sin (che possimo crtterizzre dicendo che h un primitiv limitt : vorrà dire che l re sottes dl grfico non potrà mi umentre più di tnto qundo +, indizio evidente del ftto che ϕ cmbi segno in continuzione) e di un fttore decrescente e infinitesimo ψ() =. Proposizione.5.. (Teorem di Abel-Dirichlet sugli integrli oscillnti) Sino, b > {+ } e ϕ, ψ : [, b[ due funzioni loclmente integrbili. Supponimo che: () ϕ bbi (lmeno trtti) un primitiv limitt; () ψ si di clsse C, decrescente e infinitesim in b. Allor f() = ϕ()ψ() è integrbile in senso generlizzto su [, b[. Esempi. () Come si er detto, l funzione f : [, + [ dt d f() = ( )[] è integrbile in s.g. in + : bst pplicre il Teorem di Abel-Dirichlet con ϕ() = ( ) [] (che h primitiv continu e limitt Φ() = n sui trtti ]n, n + [ e Φ() = + (n + ) sui trtti ]n +, (n + )[ con n, il cui grfico è un seg con denti lti ) e ψ() =. () L integrle di Dirichlet + sin d converge: in + l funzione f() = sin tende e dunque è integrbile, e + bst pplicre il Teorem di Abel-Dirichlet con ϕ() = sin (che h primitiv continu e limitt Φ() = cos ) e ψ() =. M f() non è ssolutmente integrbile: inftti se k si h kπ sin d kπ sin d = π P k jπ sin j= d P k jπ (j )π j= sin d = P k jπ (j )π π j=, e qundo k + l serie numeric j tende come sppimo +. () Alcuni integrli oscillnti con mpiezz non decrescente o persino P k j= j 66 Le ultime tre formule discendono di cmbi di vribile t = τ, t = cos θ e t = ξ, che sono ξ+ diffeomorfismi rispettivmente di ], [, ], π [ e ], + [ con ], [ (vedi Proposizione.5.5). L prim formul, invece, richiede l uso di un risultto (Teorem di Fubini) sull integrzione multipl, che v oltre i limiti del corso. Corrdo Mrstoni

28 Figur.9: Per il Teorem di Abel-Dirichlet, questi integrli oscillnti convergono. divergente possono risultre convergenti cus di un sufficiente rpidità di oscillzione : Ad esempio, l integrle di Fresnel + sin α d con α > (un seno con oscillzioni sempre più frequenti ll umentre di ) si può trsformre, col cmbio di vribile = t α, nell integrle generlizzto + t ( α ) sin t dt che α è un integrle di Abel-Dirichlet non ppen ( ) <, ovvero α > ; stesso discorso per + sin α d α con α >. (4) Si può studire il cso generle I αβ = + α sin β d, con α, β. Se β >, l ordine dell funzione integrnd in + è quello di α+β, d cui l condizione α + β > ; in +, scrivendo I αβ = + α β+ β sin β d ci ccorgimo che, poiché ϕ() = β sin β h primitiv limitt Φ() = cos β, se α β + < possimo pplicre il Teorem di Abel-Dirichlet, mentre se α β + si dimostr che l integrle non può convergere. Dunque, se β > l integrle converge se e solo se β > α+. Se β = il termine col seno sprisce, e l integrle converge in + (risp. in + ) se e solo se α > (risp. α < ); in prticolre, l integrle I α, non converge su ], + [ per nessun α. Infine, se β < ci si riconduce fcilmente l cso inizile col cmbio = t, ottenendo integrbilità in + (risp. in + ) se e solo se β < α + (risp. β < α ); dunque, se β < l integrle converge se e solo se β > α +. Unendo il tutto, possimo ffermre che l integrle generlizzto I αβ converge se e solo se β > α + (d esempio, come visto, se (α, β) = (, ), (, r) e (, r + ) con r > ). Corrdo Mrstoni