NUMERI TRANSFINITI. Si chiama successione di numeri reali ogni funzione f : IN IR.

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1 NTR NUMERI TRANSFINITI Successioi Le fuzioi di domiio IN vegoo tradizioalmete chiamate successioi Si chiama successioe di umeri reali ogi fuzioe f : IN IR Detta la variabile, per idicare l'immagie di i f si scrive f ( leggi: f co ) aziché f() Il umero reale f si chiama termie -esimo o termie geerale della successioe ed è l'idice di f La stessa lettera f, iiziale della parola fuzioe, viee spesso sostituita dalla lettera a Idichiamo allora ua successioe scrivedo a oppure elecado, secodo i valori cresceti dell'idice, i termii che la costituiscoo: a, a,, a, Nei casi più comui, ua successioe di umeri reali è data mediate ua formula che descrive le opera zioi da eseguire su ogi per otteere a La successioe a iita da a = è chiamata successioe armoica I suoi primi cique termii soo:,,,, 5 Molte successioi possoo essere iite per ricorreza, cioè fissado delle regole per co struire tutti i termii della successioe a partire da uo o più termii iiziali assegati E' questo il caso della successioe dei umeri di Fiboacci, iita da: a = a =, a + = a + a per i cui primi otto termii soo:,,,, 5, 8,, A volte, per costruire i termii di ua successioe, soo ecessarie due (o più) espressioi aalitiche E' questo il caso della successioe iita da a =, a = i cui primi sette termii soo:,,, 8,, 8, Occorre distiguere tra la successioe, che è ua particolare fuzioe, e l'isieme {a / IN} IR, imma gie della successioe, idicato brevemete co {a } I particolare, osserviamo che l'immagie può esse re u isieme fiito; ad esempio, per la successioe costate a =, l'immagie si riduce all'isieme {} Ua successioe a si dice limitata, limitata superiormete o iferiormete, a secoda che l'isie me {a } sia limitato, limitato superiormete o iferiormete i IR Gli estremi superiore e iferiore di {a } si dicoo, rispettivamete, estremo superiore ed estremo iferiore della successioe, idicati co sup a N e f i N a La difformità dei simboli usati per le successioi, rispetto a quelli usati per le fuzioi i geerale, trae la sua motivazioe da cosiderazioi di carattere storico Le successioi veivao ifatti cosiderate o come casi particolari di fuzioi, ma come oggetti cocettualmete distiti dalle fuzioi stesse

2 Ioltre, ua successioe di umeri reali si dice: crescete decrescete a a a strettamete crescete strettamete decrescete a a a a < a < < a < a > a > > a > Ua successioe crescete o decrescete si dice mootòa; ua successioe strettamete crescete o strettamete decrescete si dice strettamete mootòa Osserviamo che la successioe dell'esempio è strettamete decrescete, metre quella dell'esempio è crescete; la successioe dell'esempio o è mootòa La ozioe di successioe può essere facilmete geeralizzata Dato u isieme qualsiasi X, o vuoto, si chiama successioe di elemeti di X ogi fuzioe f : IN X O Sia X l'isieme di tutte le circofereze di u piao π Fissato u puto C π, le circofereze x di cetro C e raggio, co IN, costituiscoo ua successioe I questo caso i termii x, x, x, soo le circofereze di cetro C e raggi rispettivi,,, La ozioe di restrizioe di ua fuzioe si applica ache alle successioi I particolare, si chiama sottosuccessioe di ua successioe data x, ovvero successioe estratta da questa, la restrizioe di x a u qualsiasi sottoisieme ifiito di IN Se si prede come isieme degli idici l'isieme dei umeri pari, si ottiee la sottosuccessioe: x, x, x6, x8,, x, Se si prede come isieme degli idici l'isieme dei "quadrati perfetti", si ottiee la sottosuccessioe: x, x, x9, x6,, x, Equipoteza d'isiemi Cotare gli elemeti di u isieme qualsiasi A sigifica iire ua fuzioe bijettiva f : A B, u isieme "campioe" (ad esempio l'isieme delle dita di ua mao) dove B è Defiizioe catoriaa di equipoteza Dati due isiemi A e B o vuoti, si dice che A è equipotete a B e si scrive A B, se esiste ua fuzioe bijettiva f : A B Poiamo, ioltre, A A = "catoriaa" perché formulata da Georg Cator (85 98), grade matematico tedesco

3 Preso u IN, l'isieme I = {,,, }, cioè l'isieme costituito dai primi umeri aturali, si presta bee come isieme "campioe" U isieme A si dice fiito, se A = oppure se esiste u IN tale che A I Gli isiemi A = {v, w, x, y, z}, B = {#, <, (, &, } e C = {α, β, γ, δ}, soo fiiti i quato A I 5, B I 5 e C I Risulta A B, metre A C (A o è equipotete a C) U isieme si dice ifiito, se o è fiito Coosciamo parecchi esempi di isiemi ifiiti Fra questi: l'isieme IN dei umeri aturali, l'isieme degli iteri relativi, l'isieme dei umeri ra zioali, l'isieme IR dei umeri reali, l'isieme IR (coppie ordiate di umeri reali), ecc Gli isiemi ifiiti hao proprietà che a prima vista sembrao paradossali Ad esempio, la fuzioe di IN ell'isieme dei quadrati perfetti (vedi schema) è bijettiva Quidi IN è equipotete all'isieme dei quadrati perfetti che, ovviamete, è u sottoisieme proprio di IN ( paradosso di Galilei ) Diciamo subito, tuttavia, che il fatto che u isieme possa essere equipotete a ua sua parte propria, lugi dall'essere paradossale, costituisce la proprietà caratteristica degli isiemi ifiiti Ifatti si può dimostrare che u isieme è ifiito se e solo se è equipotete a u suo sottoisieme proprio Preso, come ambiete, u isieme d'isiemi F, si ricoosce facilmete che la relazioe di equipoteza d'i siemi è ua relazioe di equivaleza i F; come tale essa determia ua partizioe di F i classi (pricipio di cotrazioe) Dato u X F, la classe di tutti gli isiemi equipoteti a X si chiama cardialità o umero cardiale di X e si idica co card X Poiamo: card =, card I =, card IN = ℵ Nel caso fiito, duque, il cocetto di cardialità di u isieme si idetifica co quello più familiare di umero degli elemeti dell'isieme: se X o cotiee alcu elemeto, cioè se X =, è X e quidi card X = ; se X è costituito da ( ) elemeti, risulta X I e quidi card X = Il simbolo ℵ ( alef-zero, dove ℵ è la prima lettera dell'alfabeto ebraico), si chiama cardialità del umera bile Ogi X IN si dice, ifatti, u isieme umerabile

4 Se X è u isieme umerabile, è sempre possibile disporre i suoi elemeti i ua successioe: x, x,, x, dove x è l'elemeto che facciamo corrispodere al umero aturale I u certo seso, l'isieme IN dei umeri aturali è il più piccolo isieme ifiito Ifatti, ogi isieme ifii to Y iclude u isieme umerabile X Per vederlo, prediamo u x Y Poiché Y è ifiito, Y possiede u elemeto x x Per lo stesso motivo, Y coterrà u elemeto x diverso da x e da x, e così via Gli ele meti x, x,, x, formao u isieme X, icluso i Y, equipotete a IN Dati due isiemi A e B, si dice che la cardialità di A è miore o uguale alla cardialità di B e si scrive card A card B, se A = oppure se esiste ua fuzioe iiettiva f : A B I particolare, se card A card B e card A card B, si dice che la cardialità di A è miore della cardialità di B e si scrive card A < card B Se A è u isieme fiito o vuoto di cardialità, è per iizioe A I IN Esiste allora ua fuzioe iiettiva f: A IN, e quidi ℵ Ma ℵ Quidi < ℵ Ciò dimostra che la cardialità di u isie me fiito è miore della cardialità del umerabile Vediamo alcui importati risultati sulla cardialità L'isieme è umerabile Gli elemeti di si possoo disporre ella successioe,,,,, La tabella: 5 iisce ua fuzioe bijettiva f: IN Quidi IN ν L'isieme è umerabile Cosideriamo la tabella: Essa cotiee, co ripetizioe, tutti (e solo) i umeri razioali ( m si trova ella esima riga ); i suoi elemeti distiti si possoo disporre, seguedo l'ordie delle frecce e seza ripetizioe, ella successioe,,,,,,,,, formata dalla totalità dei umeri razioali

5 5 La tabella: iisce ua fuzioe bijettiva f: IN Quidi IN ν L'itervallo reale ], [ o è umerabile Suppoiamo, per assurdo, che l'isieme ], [ sia umerabile I questa ipotesi, i suoi elemeti potrebbero disporsi i ua successioe x, essedo: x =, a a a a a 5 x =, a a a a a 5 x =, a a a a a 5 x =, a a a a a 5 co a i {,,,,, 5, 6, 7, 8, 9 } per ogi, i IN Prediamo ora il umero y =, b b b b, dove: b =,, se a se a =, IN Evidetemete y ], [ ma o figura ella successioe x Il umero reale y, ifatti, differisce da x almeo per la prima cifra decimale, differisce da x almeo per la secoda, da x almeo per la terza e così via Quidi l'itervallo ], [ o è umerabile ν L'isieme IR è equipotete all'itervallo ], [ Sia AB la semicircofereza aperta (cioè seza gli estremi A e B) di raggio / e tagete alla retta reale el puto di ascissa / (come i figura) Idicato co M il puto medio del segmeto [AB], iiamo due fuzioi f e g: A M B g P f / y x υ f ad ogi x IR fa corrispodere il puto P AB allieato co x e M (proiezioe cetrale); υ g ad ogi P AB fa corrispodere l'ascissa y della sua proiezioe ortogoale su IR Chiaramete f e g soo fuzioi bijettive: la prima di IR i AB, la secoda di AB ell'itervallo ], [ Risulta così iita la fuzioe g f : IR ], [ che, essedo la composta di due fu zioi bijettive, è a sua volta bijettiva Quidi IR ], [ ν IR

6 6 Ora, per la proposizioe, risulta card IR = card ], [ ma, per la proposizioe, è card ], [ ℵ Quidi card IR ℵ Poiamo card IR = (leggi: C gotica), chiamata cardialità del cotiuo Se A IN, cioè se A è u isieme umerabile, allora esiste ua fuzioe iiettiva f: A IR, perché IR IN Ne segue ℵ Ma ℵ Quidi ℵ < : la cardialità del umerabile è miore della cardia lità del cotiuo ℵ e predoo il ome di umeri trasfiiti Sviluppado la teoria, si trova che esistoo ifiiti umeri trasfiiti Ma oi ci fermiamo qui L'ipotesi del cotiuo Poiamoci la seguete domada: esiste u isieme X tale che IN X IR per cui si abbia ℵ < card X <? Nel 88 Cator cogetturò che la risposta fosse egativa, ma o riuscì a dimostrarlo Tale questioe rima se aperta, e passò alla storia della matematica col ome di ipotesi del cotiuo quado Hilbert, el 9, la euciò come uo dei problemi matematici aperti alle soglie del XX secolo Fu ecessario aspettare fio al 96, quado u matematico americao, Paul Cohe, della Staford Uiver sity, dimostrò, co u metodo estremamete igegoso, che l'ipotesi del cotiuo è idipedete dagli as siomi di Zermelo Fraekel sui quali è basata la modera teoria degli isiemi «Idipedete» sigifica che l'ipotesi del cotiuo, el sistema di Zermelo Fraekel, o può essere é provata é refutata Il problema è duque risolto, e la soluzioe è che esso o può essere risolto co le ozioi di teoria degli isiemi che soo oggi di uso comue Ciò o sigifica, ovviamete, che o possao emergere i futu ro estesioi della teoria degli isiemi che permetterao di decidere l'ipotesi del cotiuo i u seso o ell'altro, ma sigifica soltato che, per ora, ci si deve accotetare di separare i risultati provati usado det ta ipotesi (o la sua egazioe), da quelli che ivece e fao a meo L'8 agosto 9, David Hilbert, dell'uiversità di Gottiga, prese la parola al Secodo Cogresso Itera zioale della Matematica i ua gremita sala per le cofereze della Sorboa, a Parigi Hilbert, che già allora era coosciuto come uo dei più gradi matematici dell'epoca, tee ua relazioe rimasta famosa, ella quale salutava il uovo secolo elecado problemi aperti che costituivao ua grade sfida: riuscedo a risolverli, i matematici avrebbero «sollevato il velo sotto il quale è celato il futuro, per gettare uo sguardo ai progressi che attedoo la ostra disciplia e ai segreti del suo sviluppo ei secoli a vei re» L'ipotesi del cotiuo occupava il primo posto dell'eleco La teoria degli isiemi da oi studiata ell'ud Logica e isiemi, oggi viee comuemete chiamata teoria igeua degli isiemi Essa si foda su due soli pricipi che riducoo gli isiemi alle proprietà che li ii scoo Azitutto il pricipio di estesioalità: u isieme è completamete determiato dai suoi elemeti, e due isiemi co gli stessi elemeti soo duque uguali Ioltre, il pricipio di compresioe: ogi proprietà determia u isieme, costituito dagli oggetti che soddisfao la proprietà; e ogi isieme è determiato da ua proprietà, che è apputo quella di essere u oggetto apparteete all'isieme