Lineamenti. BASE matematica AZZURRO. con CD ROM. Nella Dodero Paolo Baroncini Roberto Manfredi Ilaria Fragni EDIZIONE RIFORMA.

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1 EDIZIONE RIFORM Nell Dodero Polo roncini Roberto Mnfredi Ilri Frgni Linementi enti ZZURRO RO.Mth SE mtemtic lgebr con CD ROM

2 Nell Dodero Polo roncini Roberto Mnfredi Ilri Frgni Linementi.Mth ZZURRO SE mtemtic lgebr linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

3 internet: e-mil: Redttore responsbile: Tecnico responsbile: Redzione: Progetto grfico: Copertin: Impginzione e disegni: Stefno Prrvicini Dniele Pgliri Stefno Prrvicini, Federic Pizzetti, nteo D ngiò, Mrco Ferrr Dniele Pgliri Simon Corniol L Pulce rt Director: Ndi Mestri Un ringrzimento prticolre ll professoress Olg Mnnell per l collborzione l cpitolo Informtic e lgoritmi e ll rubric lgoritmi per L sezione Situzioni mtemtiche è di Lucin zzini, Luis ertzzoli, Ros Ideros, Sergio Vettore. Proprietà letterri riservt 0 De gostini Scuol Sp Novr ª edizione: gennio 0 Printed in Itly Derive è un mrchio depositto di Tes Instruments Incorported Cbri è un mrchio depositto di Cbrilog Le fotogrfie di questo volume sono stte fornite d: Europen Culturl Heritge Online (ECHO), istockphoto Foto copertin: Photos.com L Editore dichir l propri disponibilità regolrizzre eventuli omissioni o errori di ttribuzione. Nel rispetto del DL 74/9 sull trsprenz nell pubblicità, le immgini escludono ogni e qulsisi possibile intenzione o effetto promozionle verso i lettori. Tutti i diritti riservti. Nessun prte del mterile protetto d questo copyright potrà essere riprodott in lcun form senz l utorizzzione scritt dell Editore. Fotocopie per uso personle del lettore possono essere effettute nei limiti del 5% di ciscun volume dietro pgmento ll SIE del compenso previsto dll rt. 68, comm 4, dell legge prile 94 n Le riproduzioni d uso differente d quello personle potrnno vvenire, per un numero di pgine non superiore l 5% del presente volume, solo seguito di specific utorizzzione rilscit d IDRO Corso di Port Romn, 08 0 Milno e-mil: segreteri@idro.org Eventuli segnlzioni di errori, refusi, richieste di chirimento/funzionmento dei supporti multimedili o spiegzioni sulle scelte operte dgli utori e dll Cs Editrice possono essere invite ll indirizzo di post elettronic degostiniscuol@degostiniscuol.it. Stmp: C.P.M. Csrile (MI) Ristmp: nno: linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

4 Le risorse on line Indice Tutte le risorse che nel libro sono indicte con sono disponibili su nell re dedict lle risorse web di ciscun testo. Nel Lbortorio di mtemtic si trovno brevi guide introduttive Derive, GeoGebr, Foglio elettronico e Cbri esercitzioni svolte con tutti i pssggi ulteriori esercitzioni proposte per il lvoro individule o in clsse. Le schede di utovlutzione, per misurre l preprzione su ogni cpitolo, sono corredte dlle soluzioni. Oltre queste risorse, sono disponibili online nche: il glossrio English for Mth: il glossrio itlino-inglese / inglese-itlino proposto nelle pgine dei volumi, consultbile in formto digitle. Zon mtemtic: l ccesso l portle studente di etutor consente di cimentrsi utonommente con prove di utoverific già predisposte, oppure di eseguire le prove personlizzte che il docente ssegnerà ll clsse. Simboli usti nel testo VII 44 CPITOLO Frzioni lgebriche n Nozioni fondmentli Generlità sulle frzioni lgebriche Condizioni di esistenz di un frzione lgebric 3 3 Frzioni equivlenti 4 4 Proprietà invrintiv delle frzioni lgebriche 5 5 Semplificzione delle frzioni lgebriche 7 6 Riduzione di frzioni lgebriche llo stesso denomintore 9 n Operzioni con le frzioni lgebriche 0 7 Somm lgebric di frzioni lgebriche 0 8 Prodotto di frzioni lgebriche 9 Frzione reciproc di un frzione lgebric 0 Quoziente di frzioni lgebriche 3 Frzioni termini frzionri 4 Potenz di un frzione lgebric 4 n Esercizi 5 n utovlutzione on line n Lbortorio on line 4 CPITOLO Equzioni numeriche frzionrie. Equzioni e disequzioni lineri letterli n Equzioni numeriche frzionrie 46 Dominio di un equzione 46 Terzo principio di equivlenz 48 3 Risoluzione di un equzione numeric frzionri 49 n Equzioni letterli 5 4 Introduzione 5 5 Risoluzione di un equzione linere letterle 53 n Formule scientifiche e tecniche 54 6 Formul dirett e formul derivt 54 n Disequzioni letterli 56 7 Risoluzione di un disequzione linere letterle 56 n Esercizi 58 n utovlutzione on line CPITOLO 3 Disequzioni: sistemi, regol dei segni n Sistemi di disequzioni 74 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr III

5 Definizioni 74 Risoluzione di un sistem di disequzioni 75 n Disequzioni risolubili con l ppliczione dell regol dei segni 77 3 Premess e procedimento risolutivo 77 n Esercizi 83 n utovlutzione on line n Lbortorio on line CPITOLO 4 Divisione tr polinomi. Teorem e regol di Ruffini n Divisione tr polinomi 06 Definizioni 06 lgoritmo per l determinzione del quoziente e del resto 08 3 Regol di Ruffini n Scomposizione di un polinomio medinte il teorem e l regol di Ruffini 4 4 Introduzione 4 5 Rdici di un polinomio 4 6 Il teorem del resto 6 7 Teorem di Ruffini 8 n Esercizi 0 n utovlutzione on line n Lbortorio on line 35 CPITOLO 5 Rdicli: concetti fondmentli e proprietà invrintiv n Rdicli qudrtici e cubici 4 Introduzione 4 Rdicli qudrtici 4 3 Rdicli cubici 46 n Rdicli di indice n 47 4 Premess 47 5 Rdicli di indice pri 48 6 Rdicli di indice dispri 49 7 Un importnte proprietà dei rdicli con indice dispri 50 8 Indice pri, indice dispri: considerzioni conclusive 5 9 Condizioni di esistenz 5 0 Prim proprietà fondmentle dei rdicli 53 Second proprietà fondmentle dei rdicli 53 Primi pssi nel clcolo con i rdicli 56 n Proprietà invrintiv e sue ppliczioni 57 3 L proprietà invrintiv 57 4 Semplificzione di rdicli 59 5 Riduzione di rdicli llo stesso indice 6 6 Confronto di rdicli 6 n Esercizi 63 n utovlutzione on line CPITOLO 6 Operzioni con i rdicli n Prodotto e quoziente di rdicli 80 Prodotto di rdicli con lo stesso indice 80 Quoziente di rdicli con lo stesso indice 8 3 Prodotto e quoziente di rdicli con indici diversi 83 n Trsporto di un fttore fuori e dentro il simbolo di rdice 84 4 Trsporto di un fttore fuori dl simbolo di rdice 84 IV linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

6 5 Trsporto di un fttore dentro il simbolo di rdice 86 n Potenz e rdice di un rdicle 87 6 Potenz di un rdicle 87 7 Rdice di un rdicle 88 n Trsformzioni di prticolri espressioni contenenti rdicli 89 8 Rzionlizzzione del denomintore di un frzione 89 9 Rdicli qudrtici doppi 9 n Potenze con esponente rele 9 0 Potenze con esponente rzionle 9 Proprietà delle potenze con esponente frzionrio 9 Potenze con esponente irrzionle 93 n Esercizi 95 n utovlutzione on line n Lbortorio on line CPITOLO 7 Il pino crtesino n Coordinte crtesine nel pino 38 Introduzione 38 Coordinte di un punto 38 3 Qudrnti nel pino crtesino 40 n Distnz tr due punti 4 4 Distnz tr due punti posti su un prllel un sse 4 5 Distnz tr due punti in posizione qulsisi 43 n Punto medio di un segmento 45 6 Coordinte del punto medio di un segmento 45 n Il metodo nlitico 46 7 Equzione di un luogo geometrico 46 8 Form implicit e form esplicit dell equzione di un luogo 49 9 Intersezioni tr curve 5 n Esercizi 53 n utovlutzione on line n Lbortorio on line CPITOLO 8 L rett n Rett pssnte per l origine 68 Equzione di un rett pssnte per l origine 68 Considerzioni sul coefficiente ngolre 7 3 isettrici dei qudrnti 73 4 Form esplicit e form implicit dell equzione di un rett pssnte per l origine 73 n Rett in posizione generic 74 5 Equzione in form esplicit 74 6 Coefficiente ngolre dell rett pssnte per due punti 76 7 Equzione in form implicit o equzione generle dell rett 78 8 Rette prllele 80 9 Fscio di rette improprio 8 0 Posizione reciproc di due rette 8 Rette perpendicolri 83 n Formule notevoli 85 Rett pssnte per un punto dto e con un ssegnto coefficiente ngolre 85 3 Fscio di rette proprio 85 4 Rett pssnte per due punti dti 86 5 Distnz di un punto d un rett 87 n Esercizi 89 n utovlutzione on line n Lbortorio on line INDICE linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr V

7 CPITOLO 9 Clcolo delle probbilità n Concetti fondmentli 36 Introduzione 36 Definizioni 36 3 Evento elementre, evento certo, evento impossibile, evento letorio 38 4 Eventi unici ed eventi ripetibili. Frequenz 39 n Eventi e probbilità Definizione di probbilità Probbilità e frequenz 33 Le origini del clcolo delle probbilità 333 n Esercizi 334 n utovlutzione on line n Lbortorio on line Vsetti in equilibrio 34 L tesi è pront! 34 3 ll ricerc del fenomeno l prco giochi psseggio In viggio Rott ere l lun prk L biciclett di Mrco Le merendine di Giuli 346 Celsius e Fhrenheit 347 Le stzioni meteorologiche L tvol numeric di Sundrm L nuov libreri Ciclisti confronto Sulle piste d sci VI linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

8 Simboli usti nel testo simbolo di pprtenenz 9 quntifictore esistenzile (leggi «esiste») simbolo di inclusione tr insiemi in senso stretto 8 quntifictore universle (leggi «per ogni») simbolo di inclusione tr insiemi in senso lrgo [ insieme vuoto j «tle che» [ simbolo di unione tr insiemi \ simbolo di intersezione tr insiemi simbolo di differenz tr insiemi _ ^ p simbolo di disgiunzione tr proposizioni o predicti (leggi «vel», «o», «oppure») simbolo di congiunzione tr proposizioni o predicti (leggi «et», «e contempornemente») negzione dell proposizione p! simbolo di impliczione tr proposizioni o predicti C U simbolo di prodotto crtesino tr insiemi complementre dell insieme rispetto ll insieme mbiente complementre dell insieme rispetto ll insieme mbiente U! frecci che si us per collegre due pssggi lgebrici $ simbolo di coimpliczione tr proposizioni o predicti simbolo di composizione di funzioni N insieme dei numeri nturli ffi simbolo di congruenz tr figure N Z Q R R þ R þ 0 R insieme dei numeri nturli, escluso lo zero (N f0g) insieme dei numeri interi reltivi insieme dei numeri rzionli insieme dei numeri reli insieme dei numeri reli positivi insieme dei numeri reli positivi e dello zero insieme dei numeri reli negtivi simbolo di similitudine tr figure // simbolo di prllelismo tr rette? simbolo di perpendicolrità tr rette : simbolo di equiestensione o equivlenz tr figure ) frecci di deduzione logic () doppi frecci di deduzione logic simbolo di uguglinz numeric pprossimt R 0 insieme dei numeri reli negtivi e dello zero simbolo di coincidenz tr punti o tr figure linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr VII

9 n CPITOLO Frzioni lgebriche n Esercizi di pprofondimento n ENGLISH FOR MTH linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

10 n Nozioni fondmentli n Operzioni con le frzioni lgebriche n Nozioni fondmentli Generlità sulle frzioni lgebriche Chimeremo frzione lgebric un espressione letterle dell form con 6 0 dove e sono polinomi (con diverso dl polinomio nullo). Come nel cso delle frzioni numeriche, e si chimno termini dell frzione: precismente, è il numertore e il denomintore. Un frzione lgebric indic il quoziente (rpporto) tr due polinomi, il secondo dei quli non deve essere il polinomio nullo. d esempio sono frzioni lgebriche le espressioni þ b b 5 þ y 3 þ y þ 3 þ b 3 þ c þ 5b 3c Ricordimo che un monomio può essere considerto un polinomio costituito d un solo termine quindi nche un numero, in qunto monomio di grdo zero, può essere considerto un polinomio. Sono pertnto frzioni lgebriche nche espressioni del tipo 3 4 b 3 þ b þ c þ y y 3 þ b þ y 5 ð þ bþ þ b Osservimo infine qunto segue. n Ogni polinomio può essere considerto un frzione lgebric che h come denomintore il numero. d esempio þ b þ b. linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

11 PREREQUISITI È indispensbile conoscere le frzioni numeriche e le operzioni con esse, le nozioni di clcolo letterle presentte finor, in prticolre l scomposizione in fttori dei polinomi e l determinzione del MCD e del mcm di polinomi. OIETTIVI Conoscenze n Concetto di frzione lgebric n Concetto di equivlenz tr frzioni lgebriche n Proprietà invrintiv per le frzioni lgebriche e sue ppliczioni n Concetto di condizioni di esistenz di un frzione lgebric n Operzioni con le frzioni lgebriche bilità n Riconoscere se due frzioni lgebriche sono equivlenti n Semplificre un frzione lgebric n Ridurre due o più frzioni lgebriche llo stesso denomintore n Clcolre somm lgebric, prodotto e quoziente di frzioni lgebriche n Clcolre le potenze con esponente intero reltivo di un frzione lgebric n Semplificre un espressione lgebric contenente frzioni lgebriche n Se entrmbi i termini di un frzione lgebric sono monomi, l frzione lgebric è nche dett y monomio frzionrio. Sono d esempio monomi frzionri le espressioni 3z, b, 3. Se entrmbi i termini fossero monomi di grdo zero, l frzione lgebric si ridurrebbe un numero. Condizioni di esistenz di un frzione lgebric Se si ttribuiscono vlori numerici lle lettere che figurno in un frzione lgebric, ess divent un frzione numeric che vrà significto solo se il suo denomintore è diverso d zero. Pertnto un frzione lgebric h significto per tutti i vlori ttribuiti lle lettere che figurno in ess, eccetto gli eventuli vlori che rendono il denomintore ugule zero. Le condizioni d porre sulle lettere di un frzione lgebric ffinché il suo denomintore si diverso d zero sono dette condizioni di esistenz. Useremo l notzione C:E: per indicre le Condizioni di Esistenz di un frzione lgebric. Diremo nche che un frzione lgebric è definit o esiste per i vlori delle lettere che soddisfno le condizioni di esistenz. ESEMPIO Considerimo l frzione lgebric þ 3 4. Il denomintore, cioè 4, non è il polinomio nullo e quindi l frzione h significto nell insieme delle frzioni lgebriche. Sppimo poi che l frzione lgebric dt, essendo un espressione letterle, può essere trsformt in un espressione numeric ssegnndo ll letter vlori numerici nostr scelt. linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr 3

12 n Se ll letter ssegnimo il vlore 4, l frzione si trsform in un espressione priv di significto. Inftti þ 3! 4 þ e, come già si, 0 non h significto. n Per ogni ltro vlore di, cioè per 6 4, il denomintore non ssumerà il vlore 0 e quindi l espressione numeric corrispondente vrà significto. Possimo quindi concludere, con locuzioni equivlenti, che l frzione þ 3 4 non h significto per 4 h significto per 6 4 non esiste per 4 esiste per 6 4 non è definit per 4 è definit per 6 4 In questo cso per l frzione dt vi è un unic condizione di esistenz C:E:: 6 4 IMPORTNTISSIMO Nel seguito le condizioni di esistenz di un frzione lgebric non verrnno esplicitmente scritte, m srà sempre sottinteso che tli condizioni devono essere verificte. In ltre prole, nche se le condizioni di esistenz di un frzione lgebric non verrnno esplicitmente indicte, supporremo che le lettere presenti non possno mi ssumere i vlori che rendono il denomintore ugule zero. 3 Frzioni equivlenti Le definizioni e le proprietà che bbimo studito proposito delle frzioni numeriche e dei numeri rzionli si possono estendere, con opportuni cmbimenti, lle frzioni lgebriche. Sppimo che due frzioni numeriche sono equivlenti se rppresentno il medesimo quoto. Lo stesso vle per le frzioni lgebriche, tenendo presente che, in questo cso, dovremo considerre il quoziente estto oppure il quoziente con resto dell divisione tr due polinomi. DEFINIZIONE FRZIONI LGERICHE EQUIVLENTI Due frzioni lgebriche e C D si dicono equivlenti se si h C D Come nel cso delle frzioni numeriche, per indicre che due frzioni lgebriche sono equivlenti si us il simbolo di uguglinz. Quest consuetudine si fond sul ftto che due frzioni lgebriche equivlenti ssumono lo stesso vlore qulunque sino i numeri che si sostituiscono lle lettere che vi compiono, purché per tli vlori non si nnulli lcuno dei loro denomintori. nlogmente qunto ccde per le frzioni numeriche, C e D sono i due «prodotti in croce», come è illustrto dllo schem seguente: C D C D 4 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

13 CLCOLO LETTERLE (TERZ PRTE) Tenendo conto dell proprietà commuttiv dell moltipliczione tr polinomi e dell proprietà simmetric dell uguglinz, l equivlenz tr due frzioni lgebriche può essere espress in ltri modi, come d esempio D C ESEMPIO Verifichimo che le frzioni þ 3 þ e C D þ þ st verificre l uguglinz dei due prodotti in croce. Inftti risult sono equivlenti. D ð Þð þ Þ 4 þ 3 þ 4 þ 3 3 þ C ð þ 3 þ Þð þ Þ 4 3 þ þ þ 3 þ 4 þ 4 þ 3 3 þ. L equivlenz tr frzioni lgebriche gode delle seguenti proprietà. n Proprietà riflessiv: (ogni frzione lgebric è equivlente se stess) n Proprietà simmetric: C D! C D n Proprietà trnsitiv: C D ^ C D E! F E F. FRZIONI LGERICHE 4 Proprietà invrintiv delle frzioni lgebriche L proprietà invrintiv, vlid per le frzioni numeriche, si può riformulre per le frzioni lgebriche. n Proprietà invrintiv: moltiplicndo o dividendo numertore e denomintore di un frzione lgebric per uno stesso polinomio non nullo, si ottiene un frzione lgebric equivlente ll frzione dt. In prticolre è possibile moltiplicre per si il numertore si il denomintore di un frzione lgebric: ciò equivle cmbire il segno si l numertore si l denomintore. d esempio: y b ð yþ ð bþ y b Diremo poi che l frzione oppost di un frzione lgebric è l frzione lgebric che si ottiene cmbindo il segno dell frzione dt. Ricordimo che, nlogmente qunto ccde per le frzioni numeriche, l oppost di un frzione lgebric si indic cmbindo il segno che è dvnti ll frzione stess. In lterntiv si può cmbire il segno solo l numertore o solo l denomintore: d esempio, si h oppure y b y b ð yþ b y b y ð bþ y b linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr 5

14 Tli uguglinze si possono nche leggere d destr sinistr: è possibile cmbire il segno solo l denomintore (o solo l numertore) di un frzione pur di cmbire contempornemente il segno dvnti ll frzione d esempio, si h e nche ESEMPI 5 ð5 Þ þ ð Þ 5 þ Considerimo l frzione þ. Moltiplicndo numertore e denomintore per il polinomio non nullo þ ottenimo, per l proprietà invrintiv, un frzione equivlente quell considert: þ ð þ Þð þ Þ ð Þð þ Þ Puoi provre clcolre i due prodotti in croce per consttrne l uguglinz. Osservimo infine che l frzione þ definit per 6 pertnto l uguglinz þ ð þ Þ 4! þ ð þ Þð 4Þ e ð Þð þ Þ ð þ Þ 4 è definit per 6 e che l frzione equivlente ð þ Þ 4 ð þ Þ 4 h significto per 6. Considerimo l frzione 3. Per l proprietà invrintiv, possimo cmbire il segno si l numertore si l denomintore ottenendo un frzione equivlente ll frzione dt: 3 3 L oppost dell frzione þ 3 ð 3Þ ð Þ si indic scrivendo þ 3 þ 3 n Possimo trsformre tle espressione portndo il segno l numertore: þ 3 ð þ Þ 3 n In lterntiv, possimo portre il segno l denomintore: 4 L frzione þ 3 3 þ ð 3Þ þ 3 è ugule ll frzione þ. Inftti cmbimo il segno dvnti ll frzione è þ cmbimo il segno l denomintore nlogmente: y y þ y b þ c þ y b c b y z b y þ z 6 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

15 CLCOLO LETTERLE (TERZ PRTE) 5 Semplificzione delle frzioni lgebriche Se il numertore e il denomintore di un frzione lgebric sono entrmbi multipli di un fttore comune, possimo pplicre l proprietà invrintiv e dividerli per quel fttore: otterremo un frzione lgebric equivlente quell dt. Semplificre un frzione lgebric signific dividerne i termini per un fttore comune, possibilmente per il loro MCD. Qundo si dividono i termini di un frzione per il loro MCD si ottiene un frzione ridott i minimi termini, in cui il MCD tr numertore e denomintore è : un frzione lgebric ridott i minimi termini non è ulteriormente semplificbile, perciò si dice nche che ess è irriducibile. Per eseguire l semplificzione di un frzione lgebric occorre che numertore e denomintore sino espressi come prodotti di polinomi. Se ciò non ccde, prim di procedere ll semplificzione occorre scomporre in fttori numertore e denomintore. SI GIÀ CHE... Un monomio è un prticolre polinomio quindi tr i fttori d semplificre possono esserci monomi e fttori numerici. L semplificzione di un fttore comune l numertore e l denomintore di un frzione lgebric si trduce, in prtic, nell cncellzione di quel fttore d entrmbi i termini dell frzione: y y ð yþ ð þ yþð yþ Si devono tenere presenti lcuni csi prticolri importnti. þ y n Se si semplificno tutti i fttori del numertore, dopo l semplificzione l numertore si deve scrivere : þ b 3 þ b þ b ð þ bþ. FRZIONI LGERICHE n Se si semplificno tutti i fttori l denomintore, esso diviene e quindi l frzione lgebric si riduce un polinomio ugule l suo numertore: 4 þ ð þ Þð Þ þ n Se numertore e denomintore sono uguli o, il che è lo stesso, se si semplificno tutti i fttori si l numertore si l denomintore, l frzione lgebric è ugule : 4 þ y 4 þ y n Se numertore e denomintore sono opposti, l frzione lgebric è ugule : nlogmente b b ð bþ b b b 3y 3y þ 3 4b 4b 3 y y Dopo queste considerzioni, possimo dre l seguente regol. n Regol Per semplificre un frzione lgebric, occorre procedere nel modo seguente: si scompongono in fttori si il numertore si il denomintore dell frzione dt si eliminno i fttori comuni l numertore e l denomintore C si riscrive l frzione così ottenut, equivlente ll frzione dt. linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr 7

16 ESEMPI Semplifichimo l frzione 3 b 4 c 8b 6. I due termini dell frzione hnno in comune il fttore 6b 4, che è il loro MCD. pplichimo l proprietà invrintiv e dividimo numertore e denomintore per 6b 4 : 3 b 4 c 8b 6 3 b 4 c : ð6b 4 Þ 8b 6 : ð6b 4 Þ c 3b L frzione ottenut è equivlente ll frzione dt ed è ridott i minimi termini. Nell prtic puoi operre così: 3 b 4 c 3 b 4 c c 8b 6 38b 6 3b Semplifichimo l frzione F 4b b. Scomponimo in fttori il numertore e il denomintore: F ð bþð þ bþ ð bþ Dividimo numertore e denomintore per il fttore comune b: C F ½ð bþð þ bþš : ð bþ ½ð bþš : ð bþ Ottenimo l frzione semplifict, equivlente ll dt: Nell prtic opereri così: 3 Semplifichimo l frzione 4b b 6 þ y y : 6 þ y y F þ b ð bþð þ bþ ð bþ ð þ Þð 3Þ ð þ Þ yð þ Þ þ b ð þ Þð 3Þ ð þ Þð yþ 3 y 4 Semplifichimo l frzione 4 4 : þ 4 4 ð Þ ð Þð þ Þ ð Þ þ þ bbimo semplificto i binomi opposti ð Þ e ð Þ ottenendo come risultto. NON FRLO! Per evitre di commettere grvi errori devi ricordre che, in un frzione lgebric, puoi semplificre solo i fttori comuni l numertore e l denomintore. n d esempio nell frzione þ b non è possibile operre lcun semplificzione inftti b è un fttore per il denomintore, m è un ddendo per il numertore! b n nlogmente nell frzione þ non è possibile semplificre per : inftti il monomio è un ddendo per entrmbi i termini dell frzione, non un þ y fttore! Pertnto, fi molt ttenzione non commettere gli errori seguenti: þ b b þ þ þ y þ þ y 8 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

17 CLCOLO LETTERLE (TERZ PRTE) 6 Riduzione di frzioni lgebriche llo stesso denomintore L proprietà invrintiv consente nche di ridurre due o più frzioni lgebriche llo stesso denomintore, cioè di trsformrle in frzioni equivlenti ll dt, venti tutte lo stesso denomintore: tle procedimento è del tutto nlogo quello che già conoscimo per le frzioni numeriche. n Regol Per ridurre due o più frzioni lgebriche llo stesso denomintore si oper nel modo seguente. C D Si semplificno le frzioni dte, se possibile, riducendole i minimi termini. Le frzioni così ottenute sono quelle cui si pplicno direttmente i pssggi successivi. Si determin il mcm dei denomintori delle frzioni. Esso è il minimo comune denomintore ed è proprio il denomintore comune cercto. Si divide il denomintore comune per il denomintore di ogni frzione. Si moltiplic il numertore di ciscun frzione per il corrispondente quoziente determinto l punto C i prodotti così ottenuti sono i numertori delle frzioni richieste il cui denomintore comune è quello determinto l punto. ESEMPI Riducimo llo stesso denomintore le frzioni 3b b c b 4 c 3 b 3b 4. FRZIONI LGERICHE n Procedimo secondo l regol ppen espost. Dopo ver semplificto l prim e l terz frzione, ottenimo le frzioni d ridurre l denomintore comune: 3 b bc 4 c 3b 3 Il minimo comune denomintore delle frzioni mh è il mcm dei loro denomintori: C b 3 c : ðbcþ b b 3 c : ð4 cþ3b 3 b 3 c : ð3b 3 Þ4 c mcmðbc 4 c 3b 3 Þ b 3 c D Le frzioni ridotte llo stesso denomintore sono cioè 3 b b 3 c 36 3 b b 3 c b 3b 3 b 3 c 3b 5 b 3 c 4 c b 3 c 8 4 c b 3 c 3 n Il pssggio dlle mh lle mh consiste in un evidente ppliczione dell proprietà invrintiv. nche il pssggio dlle mh lle mh3 è giustificto dll proprietà invrintiv. Inftti puoi osservre che le mh3 si possono scrivere 3 b b 3b 3 bc b 4 c 3b 3 4 c 3b 3 4 c Riducimo llo stesso denomintore le frzioni þ y 3y þ 3y y y þ y linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr 9

18 Scomponimo in fttori i termini delle frzioni per semplificrle e per determinre poi il mcm dei denomintori: ð þ yþ 3yð þ yþ ð þ yþð yþ ð yþ Semplifichimo l prim e l second frzione ottenimo þ y 3y y ð yþ Il minimo comune denomintore delle frzioni ridotte è il mcm dei loro denomintori: mcm½ð þ yþ ð yþ ð yþ Šð þ yþð yþ C ½ð þ yþð yþ Š : ð þ yþ ð yþ ½ð þ yþð yþ Š : ð yþ ð þ yþð yþ ½ð þ yþð yþ Š : ð yþ ð þ yþ D Le frzioni ridotte llo stesso denomintore sono ð yþ ð þ yþð yþ 3y ð þ yþð yþ ð þ yþð yþ ð þ yþ ð þ yþð yþ n Operzioni con le frzioni lgebriche 7 Somm lgebric di frzioni lgebriche L somm di due o più frzioni lgebriche si clcol in modo nlogo quello che si us per le frzioni numeriche. Pertnto vremo l seguente definizione. DEFINIZIONE SOMM LGERIC DI FRZIONI LGERICHE L somm lgebric di due o più frzioni lgebriche con lo stesso denomintore è l frzione che h per denomintore lo stesso denomintore delle frzioni dte e per numertore l somm lgebric dei numertori: C þ C þ C Se le frzioni d sommre non hnno lo stesso denomintore, occorre prim ridurle llo stesso denomintore e poi sommrle. L lgoritmo per clcolre l somm di due o più frzioni lgebriche è espresso dll seguente regol. n Regol Per clcolre l somm lgebric di due o più frzioni lgebriche, si oper nel modo seguente: si scompongono in fttori i denomintori e i numertori e, se possibile, si semplificno le frzioni che costituiscono i termini dell somm d clcolre si riducono le frzioni llo stesso denomintore, che srà di solito il mcm dei denomintori C si scrive un unic frzione lgebric che h per denomintore il denomintore comune e per numertore l somm lgebric dei numertori D si svolgono i clcoli l numertore e si riducono gli eventuli termini simili, lscindo il denomintore scomposto in fttori E si scompone in fttori il numertore, se possibile, per procedere ll eventule semplificzione dell frzione somm. 0 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

19 CLCOLO LETTERLE (TERZ PRTE) ESEMPIO Clcolimo l somm S þ þ C D E Scomponimo in fttori il denomintore dell second frzione ddendo ed entrmbi i termini dell terz poiché in essi figur un fttore comune, procedimo ll semplificzione: S þ ð þ Þ ð Þ ð þ Þð Þ þ ð þ Þ Riducimo i tre ddendi l minimo comune denomintore: S þ ð þ Þ þ ð þ Þ ð þ Þ þ þ ð þ Þ ð þ Þ Scrivimo l frzione lgebric che h come denomintore il minimo comune denomintore e come numertore l somm lgebric dei numertori: S ð þ Þþ ð þ Þ Tieni presente che, nell prtic, può essere comodo pssre direttmente dl punto l punto C. Eseguimo i clcoli indicti l numertore e riducimo i termini simili: S þ þ ð þ Þ þ þ ð þ Þ Il trinomio l numertore è lo sviluppo del qudrto di ð þ Þ scomponimolo e semplifichimo l frzione: ð þ Þ S ð þ Þ! S þ. FRZIONI LGERICHE 8 Prodotto di frzioni lgebriche DEFINIZIONE PRODOTTO DI FRZIONI LGERICHE Il prodotto di due o più frzioni lgebriche è l frzione lgebric che h per numertore il prodotto dei numertori e per denomintore il prodotto dei denomintori: C D C D Prim di procedere ll moltipliczione conviene scomporre in fttori le singole frzioni per semplificrle, se possibile, e nche eseguire le eventuli semplificzioni in croce: i fttori che compiono l numertore di un frzione possono essere semplificti con quelli che compiono l denomintore di un ltr. Per moltiplicre un polinomio per un frzione lgebric bst ricordre che un polinomio può essere considerto un frzione lgebric con denomintore ugule : inftti P P. Quindi per moltiplicre un frzione lgebric per un polinomio (o vicevers), è sufficiente moltiplicre il numertore per il polinomio: P P Pertnto è possibile semplificre il polinomio con il denomintore dell frzione, dopo verli eventulmente scomposti in fttori. linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

20 ESEMPI Clcolimo il prodotto 3b c 4c 9b 3. n pplicndo direttmente l definizione, ottenimo 3b c 4c 9b 3 n Nell prtic conviene operre così: 3 b 4 þ 3 b þ b b þ b 3b c 3b 4c c 9b 3 4c 9b 3 ð b Þ 3 ð þ bþ 3b c ð þ bþ ð bþ bc 38c b 3 3b c 4c 39b 3 3b c ð þ bþð bþ ð bþ þ b ð bþ 9 Frzione reciproc di un frzione lgebric L definizione di frzioni lgebriche reciproche è del tutto nlog quell che bbimo formulto suo tempo per i numeri rzionli. DEFINIZIONE FRZIONI LGERICHE RECIPROCHE Due frzioni lgebriche si dicono reciproche o inverse se il loro prodotto è ugule. Come nel cso dei numeri rzionli, il reciproco di un frzione lgebric è l frzione che h per numertore il denomintore dell frzione dt e per denomintore il numertore dell frzione dt. Quindi, dt l frzione lgebric, con diverso dl polinomio nullo, il suo reciproco è l frzione : le due frzioni lgebriche e sono reciproche o inverse. Inftti si h Il reciproco di un frzione lgebric si indic scrivendo. Utilizzndo l notzione già ust per i numeri rzionli, si può nche rppresentre il reciproco dell frzione scrivendo. Quindi, per qunto detto sopr, potremo scrivere oppure Ricordndo che un polinomio può essere considerto un frzione lgebric con denomintore ugule,sihcheil reciproco di un polinomio è un frzione lgebric che h l numertore e il polinomio dto l denomintore. ESEMPI L frzione reciproc di Possimo scrivere Il reciproco di þ 3 è 3 þ. þ 3 b þ b è b þ b 3 þ o nche þ 3 3 þ b þ b il reciproco di 3 þ è 3 þ. linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

21 CLCOLO LETTERLE (TERZ PRTE) 0 Quoziente di frzioni lgebriche DEFINIZIONE QUOZIENTE DI DUE FRZIONI LGERICHE Il quoziente di due frzioni lgebriche, l second delle quli con numertore diverso dl polinomio nullo, è il prodotto dell prim per il reciproco dell second: : C D D C Occorre ricordre che l divisione non gode né dell proprietà commuttiv né dell proprietà ssocitiv: quindi, se incontri diverse operzioni di divisione indicte di seguito un ll ltr senz lcun segno di prentesi, devi eseguirle nell ordine in cui si presentno, d sinistr verso destr. ESEMPI 4 b 3y 3 : b b 3y b 3 y 3 þ þ : þ þ ð þ Þ ð þ Þð Þ ð þ Þ : ð Þ þ ð Þ ð þ Þ. FRZIONI LGERICHE Ricordimo lcuni csi prticolri importnti. n Se dividendo e divisore sono due polinomi P e Q, il quoziente è l frzione lgebric che h per numertore il dividendo e per denomintore il divisore inftti si h P : Q P Q n Per dividere un frzione lgebric per un polinomio bst moltiplicre il denomintore dell frzione per il polinomio divisore inftti si h : P P P P In entrmbi i csi ricord di semplificre, se possibile, l frzione ottenut. n Se il divisore è un fttore del numertore, il quoziente si ottiene sopprimendo tle fttore dl numertore dell frzione e lscindo inlterto il denomintore inftti si h P : P P P n Come già per le frzioni numeriche, il quoziente di due frzioni lgebriche uguli è inftti si h : ESEMPI 3 ð þ Þ : ð4 Þ þ 4 ð þ Þ ð þ Þð Þ þ 3 þ : ð9 Þ 9 6 þ ð3 þ Þð9 Þ ð3 Þ 3 ð3 þ Þð3 þ Þð3 Þ ð3 þ Þ 5 b 5b þ 6 b þ : ðb Þ ðb Þðb 3Þ b þ b b 3 b þ b þ : b þ linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr 3

22 Frzioni termini frzionri nlogmente qunto ccde per le frzioni numeriche, si h C : C D D C D Quindi nche un frzione i cui termini sono loro volt frzioni lgebriche può essere ricondott un frzione lgebric. ESEMPIO : ð Þ 3 4 ð þ Þð Þ þ In prticolre C : C C C C : C C C Potenz di un frzione lgebric DEFINIZIONE POTENZ DI UN FRZIONE LGERIC L potenz di un frzione lgebric è l frzione lgebric che h per numertore l potenz del numertore e per denomintore l potenz del denomintore: n n n Se l esponente è negtivo, si h n n n ESEMPI 3 3 b ð 3 bþ 3y ð3y Þ 4 6 b 9 y 4 3 " # 3 b ð þ bþð bþ 3 þ 3 b þ 3b þ b 3 ð þ bþ b ð bþ3 ð bþ ð þ bþ ½ð þ bþ Š 3 ð þ bþ 6 b þ b þ b b þ b þ b ð þ bþ TTENZIONE! Prim di clcolre l potenz di un frzione, ti conviene semplificre, se possibile, l frzione stess. 4 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

23 CLCOLO LETTERLE (TERZ PRTE) n n n n n Nozioni fondmentli Operzioni con le frzioni lgebriche Esercizi di riepilogo utovlutzione on line Lbortorio on line. FRZIONI LGERICHE Nozioni fondmentli RICORDIMO L TEORI n Frzione lgebric: è un espressione letterle dell form con 6 0 dove e sono polinomi e è diverso dl polinomio nullo e sono i termini dell frzione: è il numertore, il denomintore. n Condizioni di esistenz di un frzione lgebric Un frzione lgebric h significto (o è definit o esiste) per i vlori numerici che, ttribuiti lle lettere che figurno in ess, non nnullno il suo denomintore þ þ 4 n Frzioni lgebriche equivlenti h significto per 6 4! C:E:: 6 4 Due frzioni lgebriche e C sono equivlenti se D C. D Se si ttribuiscono dei vlori numerici lle lettere che figurno in due o più frzioni lgebriche equivlenti, queste ssumono lo stesso vlore, purché nessuno dei loro denomintori si nnulli. n Proprietà invrintiv: moltiplicndo o dividendo il numertore e il denomintore di un frzione lgebric per uno stesso polinomio non nullo, si ottiene un frzione lgebric equivlente ll dt. n Le frzioni lgebriche e i segni dei loro termini L oppost dell frzione è l frzione b y b y b y b y b y þ 3 þ 3 þ 3 3 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr 5

24 n Semplificzione di un frzione lgebric Devi dividere il numertore e il denomintore per un divisore comune se esso è il loro MCD, l frzione equivlente ottenut si dice ridott i minimi termini, cioè irriducibile b by 3 3 bð yþ y ðmcdð Þ bþ b 3 3 b 3 n Riduzione di più frzioni lgebriche llo stesso denomintore Per ridurre più frzioni llo stesso denomintore, devi trsformrle in frzioni equivlenti venti tutte lo stesso denomintore (minimo comune denomintore). Il procedimento è nlogo quello usto per ridurre più frzioni numeriche llo stesso denomintore e, precismente: C D si semplificno le frzioni dte le frzioni così ottenute sono quelle cui si pplicno direttmente i pssggi successivi il denomintore comune cercto è il mcm dei denomintori (minimo comune denomintore) si divide il denomintore comune per il denomintore di ciscun frzione si moltiplic il numertore di ciscun frzione per il corrispondente quoziente determinto l punto C i prodotti così ottenuti sono i numertori delle frzioni richieste il cui denomintore comune è quello determinto l punto. QUESITI Che cos è un frzione lgebric? Qule operzione rppresent? Come vengono chimti i termini di un frzione lgebric? Che cos sono le condizioni di esistenz di un frzione lgebric? 3 Illustr il concetto di frzioni equivlenti. 4 Enunci, per le frzioni lgebriche, l proprietà invrintiv. 5 Qule proprietà pplichi qundo semplifichi un frzione? 6 Spieg il procedimento che devi seguire per semplificre un frzione lgebric. Qundo si può dire di verl ridott i minimi termini? 7 Qul è il risultto dell semplificzione di un frzione i cui termini sono polinomi opposti? 8 Spieg il procedimento che devi seguire per ridurre due o più frzioni llo stesso denomintore. 9 Se si riducono i minimi termini due frzioni lgebriche e si ottengono risultti uguli, che cos si può concludere? Giustific l rispost. COMPLETRE :::::: þ þ b 3b b c d 4 :::::: :::::: þ y þ y 3 þ b 3 þ b y ::::::: m 6 m 3 m 6 :::::::: :::::::: 3 3 þ b ::::::::::: þ b þ y b ::::::::: y 4 :::::::::: 4 þ b þ b 3 b :::::: y 3 y 4 3 þ y ::::::::: m n :::::::::::: þ n þ b c y z ð Þ3 b y y 3 ð:::::::þ3 b y ::::::: ::: :::::::: :::::::::::: þ y b :::::::::: b b 5 :::::::: 5 þ b ::::::::::::::: y z 4 y 4 ::::::: y ð 3Þ 3 y ð:::::::þ 3 b c þ d b :::::::: y :::::: b 3 b :::::: :::::: 3 b :::::: 6 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

25 CLCOLO LETTERLE (TERZ PRTE) VERO O FLSO? 8. Un frzione lgebric h significto purché il suo numertore si diverso dl polinomio nullo. b. L frzione 3 è irriducibile. c. Un frzione lgebric non può vere il denomintore ugule. d. Le frzioni y e y sono equivlenti. 9. L espressione si può considerre un frzione lgebric. b. Per qulsisi vlore di l frzione rppresent sempre il numero. c. L frzione h significto per d. L frzione 0. L frzione þ y è sempre definit. 3 esiste per 6 3. b. L frzione þ y 4 þ 6 esiste per 6 3. c. Le frzioni þ e 3 þ hnno significto per gli stessi vlori di. þ þ d. Due frzioni equivlenti hnno le stesse condizioni di esistenz.. FRZIONI LGERICHE. m n þ n m y y b y 5 y 3 b. þ b. 3b b 3b b c. d c. þ b þ b 5 d. b c þ b þ b 5 þ b þ c c. b y b y d pplicndo l definizione di frzioni equivlenti, verific che sono equivlenti le frzioni 4 þ 3 þ 6 þ 5 þ 5 5 pplicndo l definizione di frzioni equivlenti, verific che sono equivlenti le frzioni þ 3 3 þ 3 þ 4 þ 3 Condizioni di esistenz di un frzione lgebric Determin le condizioni di esistenz delle seguenti frzioni lgebriche. ESERCIZI SVOLTI 6 y 3 y 3 z Per l esistenz dell frzione il denomintore deve essere diverso d zero e quindi C:E:: 6 0 ^ 6 0 ^ y 6 0 ^ z 6 0 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr 7

26 L frzione non h significto qundo 5 0 0! 5ð 4Þ 0! 4 Pertnto l frzione h significto per 6 4 e scriveremo þ b 4 þ 3 Il denomintore si nnull qundo C:E:: þ 3 0! ð 4 þ 3Þ 0! ð Þð 3Þ 0 Il prodotto l primo membro dell equzione precedente è ugule zero per 0, oppure per, oppure per 3 (legge di nnullmento del prodotto). Quindi C:E:: 6 0 ^ 6 ^ 6 3 þ 5 3 þ L frzione non h significto qundo 3 þ 0! ð þ Þ 0 Il prodotto ð þ Þ è nullo solo per 0, perché il fttore þ non può mi essere ugule zero (è l somm di un qudrto con il numero positivo ). Pertnto l frzione dt esiste per 6 0: C:E:: 6 0 y y Il denomintore, che possimo scrivere nell form ð yþð þ yþ, si nnull per y oppure per y. Quindi scriveremo le condizioni di esistenz nell form seguente: C:E:: 6 y ^ 6 y oppure, il che è lo stesso, C:E:: 6 y þ b þ b Il denomintore þ b può essere ugule zero solo se risult b 0. Quindi ffinché l frzione bbi significto e b non possono essere contempornemente nulli þ y þ 3b 7 3y b 3 5 ð þ 3Þ 3 þ b 5 y b þ b 5 4 ð 3Þð 8Þ 6 þ b 4b y 3 y y ð bþ 4 þ þ þ 4 5 þ y 3 3y þ 9 3 ð þ 9Þ y 4 þ 5 þ þ b þ 3 þ y þ ð þ yþ 5 ð 0Þð 3Þð3 6Þ þ y þ ð 3Þð 5Þ ½ ^ y 6 0Š ½ 6 0 ^ b ^ 6 3Š ½ 6 b ^ 6 8Š ½ b y 6 0 ^ y 6 Š ½ 6 0 ^ 6 b y Š ½ ^ 6 Š ½ 6 ^ ^ 6 ^ 6 Š ½ þ y 6 3 þ y ^ 6 Š ½ 6 5 ^ 6 3 ^ 6 esiste per ogni Š ½ 6 0 ^ 6 ^ 6 4 esiste per ogni Š 8 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

27 CLCOLO LETTERLE (TERZ PRTE) þ y ð Þ 3 b þ þ y þ þ b b þ 3 4 þ m þ þ b m m b 9 þ 9b þ þ b b þ b 4 3 þ 3 þ 3 þ þ y þ 4y þ 4 b þ 4 4b þ b þ c þ þ b þ b c c ½ y 6 Š ½ bš ½ 6 3 ^ bš ½ 6 b ^ m ^ þ b 6 cš ½ 6 b ^ 6 sempre definit trnne che per b 0Š Semplificzione delle frzioni lgebriche VERO O FLSO? 47. b b 0 b 0 b. þ þ y þ þ y y 48. b. c. d ð þ Þ 3 ð þ Þ þ ð 3Þ ð 3Þ ð 3Þ ð 3Þ ð þ Þ 3 3 ð þ Þ 5 ð þ Þ 3 3 ð þ Þ 5 3 ð þ Þ 3 ð þ Þ 4 ð þ Þ 3 ð þ Þ 4 ð þ Þ ð þ Þ ð Þ 4 b. ð3 Þ 6 ð 3Þ 5 c. ðy Þ 3 ð yþ d. ð Þ 3 ð Þ 4 b. 3 ð Þ4 ð Þ 3 ð 3Þ6 ð 3Þ 5 3 ð yþ3 ð yþ ð Þ3 ð Þ 4 3 þ 3 þ y 3 þ 3 þ y y y þ y y þ y þ 0 ð yþ y c. d. þ 5 3 ð þ 5Þ þ 5 3 ð þ 5Þ 3 c. þ ð þ Þ þ ð þ Þ þ d. b þ b þ b þ. FRZIONI LGERICHE Semplific le seguenti frzioni. ESERCIZI SVOLTI b 4 c 36 4 b 3 d Il MCD dei due termini dell frzione è 3 b 3. pplichimo l proprietà invrintiv dividendo si il numertore si il denomintore per 3 b 3 : 60 3 b 4 c 36 4 b 3 d b 4 c b 3 d 5bc 3d linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr 9

28 þ 4 þ 4 Scomponimo in fttori i due termini dell frzione: 4 þ 4 þ 4 ð þ Þð Þ ð þ Þ Dividimo numertore e denomintore per il fttore comune ð þ Þ: þ b 3b 9 trinomio prticolre ð 6Þ ð 4Þ 4 þ 4 þ 4 ð þ Þð Þ ð þ Þ þ ð 3Þð þ Þ ð þ Þð Þ 3 n Scomponimo in fttori il numertore e il denomintore: 3 þ b 3b ð 3Þþbð 3Þ ð 3Þð þ bþ 9 ð3 Þð3 þ Þ ð3 Þð3 þ Þ Osservimo che i fttori ð 3Þ e ð3 Þ sono binomi opposti e quindi il loro rpporto è : ð 3Þð þ bþ ð3 Þð3 þ Þ ð þ bþ 3 þ þ b 3 þ n vremmo potuto nche operre nel modo seguente, cmbindo i segni l denomintore dell frzione dt e cmbindo contempornemente il segno dvnti ll frzione: 3 þ b 3b 9 ð 3Þþbð 3Þ ð 3Þð þ 3Þ ð 3Þð þ bþ ð 3Þð þ 3Þ þ b þ Conviene cmbire i segni si l numertore si l denomintore (ciò equivle d pplicre l proprietà invrintiv moltiplicndo i due termini dell frzione per ): þ 6 6 þ 8 ð Þð þ 3Þ ð Þð 4Þ þ 3 4 þ Possimo seguire indifferentemente uno dei seguenti procedimenti. n þ ð Þ ð Þ ð Þð Þ ð Þ ð Þ Ricordimo che il rpporto di due binomi opposti è e quindi. n þ þ ð Þ ð Þ bbimo subito cmbito il segno del denomintore cmbindo contempornemente il segno dvnti ll frzione. n þ ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ bbimo osservto che due binomi opposti hnno lo stesso qudrto e quindi ð Þ ð Þ y 3 y b b bc 4 b 3 4 y y 3 z 4 3 yz b b 4 4 b c 6 3 c 59 7y 4 y b 8b 4 c 44 5 b 3 6 b 4 3 y 3b y 4z 3 3c b y b b 4 y b 3 c b 0 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

29 CLCOLO LETTERLE (TERZ PRTE) b 8 m b 5 m 36 b 3 c 54 3 b 9 d 8m 3 n 4 48m n 3 7 b 6 c 6 3 bc 0 b 9 ð 3Þ 5 b 4 3 b b 6 b b b y y þ y 3 b b þ b 3 b 4 3 y 3 4 y y 4 b b b 3 b 4 b 3 8 b 3y 6 y 6y b b b þ b þ b y 4 þ y y y 4 y y y þ b þ y þ by 5 þ 5b þ þ b þ m 4 m þ 4m þ 4 5 b 6 4 b 5 3 b b b b 4 b þ b b 3 3b by y b b 0 5b 0 þ 5b y y y 6y þ b b 4 b þ b 3 3b þ þ þ þ þ 4 6 þ 3 3 b þ b þ 4 4 þ þ þ b b 3 þ þ 3 6 þ þ 8 5 þ þ 3 þ 3 3 þ 3 3 þ þ 3 þ 8 þ 4 þ 3 þ 3 3 þ y b by b þ b 3 3 m m þ mn n 3m þ 3mn b þ b b b 5 y þ 5y 50 þ 6b þ 9b b þ 6b b þ c b c b þ c þ b þ c y y b 3 m 3 4 b 5 3 c 3b 6 d 3 8m 8 n b 6 9 b 6 b 4 y þ b b þ ðy Þ ðb Þ b b b b 4 ð Þ b 5 b y þ b 3 þ 3 y 3 b 4 3b þ b 3 þ y 5 þ b b 3 þ m m þ þ 3 þ b ð Þ þ b ð þ Þ 3 þ 4 þ þ 3 þ 3 þ ð Þ þ þ 3 þ y b 3 y ð5 þ Þ 3 bð Þ þ m 3m þ 3b þ y b. FRZIONI LGERICHE linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

30 þ þ 3 þ 3 þ 3 þ 4b þ 4b b 4b þ y þ 5 þ 5y 5b þ 5by 3 3y þ y þ 3 þ y þ 6 y þ y y y þ 3y 3 y 3y þ þ 5 b b þ 4 þ þ b b b y þ y b 4 þ b þ 4b þ 4b þ b b þ m þ m 4 þ 4 y 4y þ 4 y 5y þ 6 6y 6 4y 4 þ 4y 4 4 þ 4 þ 4 þ 4 y y þ y 6 þ þ þ 3 þ m bm 6 þ 3b b þ 4 y y þ 3 y 3y 8 3 y 3 3 þ 6 y þ 3y 4 þ 4 þ þ 5 þ 6 4 þ 4 3y 3 4 6y þ þ 8 þ 4 þ 4 y þ 6y þ 9 y þ y 3 b b þ b þ b 6 3 þ ð Þ þ 3 8 þ 6 þ b 6b þ 9 b b 3 7 þ 3 9 þ þ 6 y þ 6 y þ 9 y þ y 6 4 4y þ y y 3 þ þ y 3 þ y þ þ y þ 4b þ 4b 3 8b 3 y þ 3y 4y y 6y 3 3 þ 3 3 ð þ bþ ð þ Þ 3b 3 ð þ Þ ðþ3þ þ 4 y 4 y 3 y þ y y y 3y y ðb þ Þ y y þ b þ 3 þ 3 þ þ þ 3 þ 3 þ þ þ þ y y þ y 3 3b þ b 6 þ 9 þ 4 þ 4 þ 4 b b þ b þ b b þ 5 5b 3ð þ Þ 8 þ y þ y ð þ yþ ð þ Þ þ 3 3 5ð Þ þ b þ y ðb þ Þ b þ b þ m þ 4 þ ðy Þ y 3 4ðy þ Þ þ 3 m þ b þ 4 y y ðy þ Þ y þ 3 ð þ Þ y 3 ð þ Þ 3 þ 3 5 þ 4 y þ 3 þ y b þ þ 4 þ 3 þ 3 3 þ b 3 b þ 3 þ 9 y þ 3 þ 3 þ y þ 3 y þ y b þ y y þ 3 y y y þ b þ b þ 4b þ þ 4 þ þ ð Þ þ þ þ y þ b þ 3ðb þ Þ b 3 b 3 þ b linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr

31 CLCOLO LETTERLE (TERZ PRTE) þ y y 3 þ y 3 y þ y y 3 þ b 6b 4b þ 4b b þ b b þ þ þ þ þ 3 5 þ 3 0 þ 3 5 þ 0 þ 5 þ b þ b þ b b 6y 4 8y þ 4y þ 4y þ 9 þ 4 b þ 4 3b þ 4 þ 4 þ b þ þ b þ þ b y þ by þ y þ b þ b þ b 3 þ b 3 b þ b b 3 8y 3 y y 3 3 þ b b 3 þ þ þ y þ y b b 7 3 b 6 b b b 4b 4b 6 þ 8 4 þ 4 þ þ b y þ y þ 3b b þ y þ y þ b þ þ þ þ b 5 þ þ 3 þ 4 þ þ ðy Þ 3 b þ þ þ þ b þ þ y þ þ þ þ þ y þ 4y þ y þ y b þ b b 4 þ 4 þ 4 þ þ ð þ Þ þ. FRZIONI LGERICHE þ b þ b þ b 4 þ 4 4b b y 4y 4 þ y þ þ 4b þ 4b 4 þ b þ b b þ þ b þ b þ b þ ½ þ b þ þ bš y þ b b b þ Nei seguenti esercizi sono stti commessi degli errori trovli e correggili. þ b y 3 b b þ bc b bc y þ 4y y ð þ bþ y ð3 bþ bðb þ cþ bðb cþ yð þ 4yÞ y þ b b þ b 3 b þ b b þ c b c þ 4y 3y y y þ y 3y yð þ yþ 3y ð bþ ð þ bþ b þ b 3 b 4 3 b 3 b b þ y þ y þ y 3 3 þ 3 3 þ 3 þ 3 þ þ 3y b þ b þ y 3y 3 ð bþ ð þ bþ b þ b b b ð Þ3 ð þ Þ 3 þ þ þ þ þ ð þ Þ 0 þ 0 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr 3

32 Riduzione di frzioni lgebriche llo stesso denomintore Riduci llo stesso denomintore le seguenti frzioni. ESERCIZI SVOLTI 7 3 bc 3 b 7 c 8b 3 c b þ c 4 b Semplifichimo innnzitutto l prim e l second frzione: 3 bc 3 b 7 6 c 3 b 6 c Le frzioni d ridurre llo stesso denomintore sono quindi 3 b 6 c 9b 3 c 98b 3 c b þ c 4 b 9b 3 c Il minimo comune multiplo dei denomintori è 36 4 b 6 c. Dividimo il denomintore comune trovto per il denomintore di ogni frzione: 36 4 b 6 c : ðb 6 cþ b 6 c : ð9b 3 cþ4 4 b 3 C 36 4 b 6 c : ð 4 bþ3b 5 c Le frzioni, ridotte llo stesso denomintore, sono b 6 c 36 4 b 6 c ðb þ cþc 36 4 b 6 c b 6 c 4 4 b b 6 c ðb þ cþ3b 5 c 36 4 b 6 c b 6 c 4 5 b b 6 c 3b 5 cðb þ cþ 36 4 b 6 c 8 4 þ þ 4 þ 4 þ 4 Scomponimo in fttori i termini delle frzioni e semplifichimo: ð Þ 3 ð þ Þ ð Þð þ Þ ð þ Þ Le frzioni che dobbimo considerre sono perciò 3 ð Þ ð þ Þ þ Il minimo denomintore comune è ð þ Þð Þ. Clcolimo ð þ Þð Þ : ð Þ ð þ Þ ð þ Þð Þ : ½ð þ ÞŠ ð Þ C ð þ Þð Þ : ð þ Þ ð Þ Le frzioni, ridotte llo stesso denomintore, sono ð þ Þð Þ 3 ð þ Þð Þ ð ÞC ð þ Þð Þ cioè ð þ Þ ð þ Þð Þ 3ð Þ ð þ Þð Þ 3 ð Þ ð þ Þð Þ 4 linementi.mth zzurro lgebr 0 De gostini Scuol S.p.. - Novr