7. Equazioni differenziali

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1 18 Sezione 7. Equazioni differenziali 7. Equazioni differenziali [versione: 25/5/2012] Richiamo delle nozioni fondamentali In un equazione differenziale l incognita da determinare è una funzione (e non un numero) che indicheremo solitamente con x(t), o semplicemente x. L equazione è un identità che coinvolge la funzione x e le sue derivate ẋ, ẍ,..., e una soluzione è una qualunque funzione x che soddisfa questa identità per tutti i valori di t nel suo dominio di definizione. Per esempio, una soluzione dell equazione differenziale ẍ(t)e x(t) + t 2 (x(t)) 3 = 0 è la funzione x(t) := log t. Per semplificare la notazione si omette di solito di esplicitare la dipendenza di x dalla variabile indipendente t, scrivendo quindi x al posto di x(t) e così via; in questo modo l equazione precedente diventa ẍ e x + t 2 ẋ 3 = 0. Equazioni differenziali del primo ordine. Si chiamano equazioni differenziali del primo ordine tutte quelle che si possono ricondurre alla forma ẋ = f(t, x), (1) vale a dire quelle per cui si riesce ad esprimere la derivata ẋ tramite una formula che coinvolge solamente t e x. Tipicamente le soluzioni di un equazione differenziale del primo formano una famiglia (infinita) di funzioni dipendente da un parametro. Inoltre, scelti dei numeri t 0 e x 0, risulta essere univocamente determinata la soluzione dell equazione (1) che soddisfa la condizione iniziale x(t 0 ) = x 0. (2) Quanto appena affermato è il contenuto del teorema di esistenza ed unicità (o teorema di Cauchy) per le equazioni differenziali del primo ordine; l enunciato preciso di questo teorema è piuttosto complesso e quindi lo omettiamo. Si noti che la maggior parte delle equazioni differenziali non può essere risolto con formule esplicite ma solo numericamente, vale a dire utilizzando un computer ed un apposito software per disegnare il grafico delle soluzioni. Tra le poche equazioni del primo ordine che si possono risolvere esplicitamente considereremo solo quelle a variabili separabili e quelle lineari. Equazioni a variabili separabili. Un equazione differenziale del primo ordine si dice a variabili separabili se può essere ricondotta alla forma ẋ = f(t) g(x). (3) Per risolvere quest equazione, portiamo g(x) a sinistra dell uguale, e quindi calcoliamo gli integrali indefiniti (primitive) di entrambe i membri dell equazione così ottenuta cambiando la variabile da t ad x per quello di sinistra: ẋ g(x) = f(t) ẋ g(x) dt = f(t) dt + c dx g(x) = f(t) dt + c (la presenza della costante c è dovuta al fatto che due primitive della stessa funzione non sono necessariamente uguali, ma differiscono per una costante.) Supponendo di aver trovato una primitiva F di f ed una primitiva G di 1/g, otteniamo quindi G(x) = F (t) + c con c R. (4) Per concludere basta quindi esplicitare x. Supponendo di conoscere un inversa H della funzione G, applichiamo la H ad entrambi i membri della (4), ottenendo infine la formula risolutiva x(t) = H(F (t) + c) con c R. (5) Abbiamo dunque una famiglia di soluzioni che dipende dal parametro c.

2 Matematica per Scienze Geologiche, a.a. 2011/12 19 Osservazioni. (i) Nel procedimento spiegato sopra si suppone implicitamente che la funzione g non si annulli mai, in modo da poter liberamente dividere per g(x). Nel caso che la funzione f si annulli per qualche valore x 0, si vede subito che la funzione costante x(t) := x 0 risolve l equazione (3); le altre soluzioni si trovano invece con il metodo illustrato in precedenza. (ii) Se oltre all equazione (3) viene specificata anche una condizione iniziale tipo la (2), è possibile determinare il valore della costante c che appare nelle formule (4) e (5) ponendo t = t 0 direttamente nella (4) ed ottenendo cosí l identità G(x 0 ) = F (t 0 ) + c da cui si ricava c = G(x 0 ) F (t 0 ). Equazioni lineari del primo ordine. Un equazione del primo ordine si dice lineare se può essere ricondotta alla forma ẋ + a(t) x = b(t). (6) La funzione a(t) è detta coefficiente dell equazione, mentre b(t) è chiamata termine noto. Per risolvere questa equazione la moltiplichiamo per il fattore e A(t) dove A(t) è una qualunque primitiva della funzione a(t). In questo modo il termine di sinistra dell equazione coincide con la derivata del prodotto e A(t) x: e A(t) ẋ + a(t) e A(t) x = e A(t) b(t) ( e A(t) x ) = e A(t) b(t). Quindi e A(t) x deve essere una primitiva di e A(t) b(t), vale a dire e A(t) x = e A(t) b(t) dt + c, e dividendo per e A(t) otteniamo infine la formula risolutiva generale [ ] x(t) = e A(t) e A(t) b(t) dt + c con c R. (7) Vale la pena di sottolineare alcuni casi particolari di questa formula: se la funzione b è identicamente nulla (nel qual caso l equazione (6) si dice omogenea) allora la (7) diventa x(t) = ce A(t) con c R. (7 ) Se invece a è una costante (nel qual caso l equazione (6) si dice a coefficienti costanti), allora la (7) diventa [ ] x(t) = e at e at b(t) dt + c con c R. (7 ) Equazioni del secondo ordine. Si chiamano equazioni differenziali del secondo ordine tutte quelle che si possono ricondurre alla forma ẍ = f(t, x, ẋ), (8) vale a dire quelle per cui si riesce ad esprimere la derivata seconda ẍ tramite una formula che coinvolge solamente t, x e ẋ. Tipicamente le soluzioni dell equazione differenziale (8) sono una famiglia di funzioni dipendente da due parametri, e scelti dei numeri t 0, x 0 e x 1, è univocamente determinata la soluzione dell equazione (8) che soddisfa le condizioni iniziali x(t 0 ) = x 0 e ẋ(t 0 ) = x 1. (9) Equazioni lineari del secondo ordine. Tra le equazioni del secondo ordine ci limitiamo a considerare quelle lineari, vale a dire quelle che possono essere ricondotte alla forma ẍ + a(t) ẋ + b(t) x = c(t). (10) Le funzioni a(t) e b(t) vengono chiamate coefficienti dell equazione, mentre c(t) viene detta termine noto. L equazione (10) si dice omogenea se il termine noto c(t) è identicamente nullo. Si dice invece a coefficienti costanti se a e b sono costanti (ovvero non dipendono da t). Infine si chiama equazione omogenea associata alla (10) l equazione differenziale ottenuta sostituendo c(t) con 0. In questo corso risolviamo solo le equazioni a coefficienti costanti omogenee oppure con un termine noto c(t) di tipo particolare.

3 20 Sezione 7. Equazioni differenziali Equazioni omogenne a coefficienti costanti. Consideriamo ora l equazione omogenea a coefficienti costanti ẍ + aẋ + bx = 0. (11) Cominciamo con due semplici osservazioni: (a) se x è una soluzione della (11) e c è un numero reale, allora anche la funzione cx è una soluzione della (11); (b) se x 1 e x 2 sono soluzioni della (11) allora anche la somma x 1 + x 2 è una soluzione della (11). (c) le precedenti osservazioni mostrano che date due soluzioni x 1 e x 2 dell equazione (11) si ottiene una famiglia a due parametri di soluzioni ponendo x := c 1 x 1 + c 2 x 2 con c 1, c 2 R. (12) Questa formula ci da in effetti tutte le soluzioni della (11) a patto che x 1 e x 2 non siano una multipla dell altra (altrimenti la (12) darebbe luogo a niente altro che i multipli di una sola funzione, vale a dire una famiglia di funzioni ad un parametro mascherata da famiglia a due parametri). Per risolvere l equazione (11) non ci resta quindi che trovarne due soluzioni che non siano una multipla dell altra. Le cerchiamo tra le funzioni del tipo x = e λt con λ parametro reale. In tal caso si ha ẋ = λe λt e ẍ = λ 2 e λt, e sostituendo queste espressioni nel termine di sinistra della (11) otteniamo (λ 2 + aλ + b)e λt = 0. Chiaramente questa uguaglianza è verificata per ogni t se il polinomio λ 2 + aλ + b vale 0, e questo avviene quando λ è una delle sue due radici. Abbiamo dunque ottenuto le due soluzioni cercate. Riassumendo, lo schema per la soluzione dell equazioni lineare omogenea a coefficienti costanti (11) è il seguente: si scrive l equazione caratteristica ad esso associata λ 2 + aλ + b = 0, (13) e se ne calcolano le radici λ 1 e λ 2. Allora e λ1t e e λ2t sono due soluzioni della (11), e la soluzione generale è data da x(t) = c 1 e λ1t + c 2 e λ2t con c 1, c 2 R. (14) Questo schema va bene se l equazione (13) ammette due soluzioni reali distinte, ovvero quando il discriminante = a 2 4b è positivo, ma va opportunamente modificato se è nullo o negativo. Caso 1: = 0. In tal caso l equazione caratteristica (13) ammette un unica soluzione reale λ; una soluzione della (11) è sempre e λt, mentre una seconda soluzione è te λt (è facile verificare che questa è una soluzione, meno facile è capire da dove salta fuori). Pertanto la formula risolutiva diventa x(t) = c 1 e λt + c 2 te λt = e λt (c 1 + c 2 t) con c 1, c 2 R. (14 ) Caso 2: < 0. In tal caso l equazione (13) ammette due soluzioni complesse che possono essre scritte nella forma λ 1,2 = s ± ωi, e due soluzioni della (11) sono e st cos(ωt) e e st sin(ωt). Pertanto la formula risolutiva diventa x(t) = e st (c 1 cos(ωt) + c 2 sin(ωt)) con c 1, c 2 R. (14 ) Osservazioni. (i) Per capire da dove vengono le soluzioni e st cos(ωt) e e st sin(ωt) utilizzate nella formula (14 ), possiamo partire dalla soluzioni x 1 := e λ1t ed x 2 := e λ2t. In questo caso λ 1 e λ 2 sono i numeri complessi s ± ωi e quindi, ricordando la definizione di esponenziale di un numero immaginario, x 1 = e st+ωti = e st e ωti = e st (cos(ωt) + i sin(ωt)) e analogamente Pertanto x 2 = e st (cos( ωt) + i sin( ωt)) = e st (cos(ωt) i sin(ωt)). e st cos(ωt) = x 1 + x 2 e e st sin(ωt) = x 1 x 2, 2 2i e siccome x 1 e x 2 risolvono la (11), lo stesso vale per e st cos(ωt) e e st sin(ωt) (bisogna usare di nuovo le osservazioni (a) e (b) nel paragrafo precedente).

4 Matematica per Scienze Geologiche, a.a. 2011/12 21 (ii) Dati due numeri reali c 1, c 2, indichiamo con r e α le coordinate polari del punto del piano con coordinate cartesiane (c 2, c 1 ). Si vede allora che la soluzione (14 ) diventa x(t) = re st sin(ωt + α). (14*) (iii) Il fatto che per trovare la soluzione generale di un equazione lineare omogenea del secondo ordine basta trovare due soluzioni x 1 ed x 2 e poi applicare la formula (12) vale anche quando i coefficienti a e b non sono costanti. Manca però un metodo per trovare x 1 ed x 2. Equazioni a coefficienti costanti non omogenee. Consideriamo ora l equazione non omogenea a coefficienti costanti ẍ + aẋ + bx = c(t). (15) Cominciamo con due semplici osservazioni: (a) se x risolve la (15) e x risolve l equazione omogenea associata, vale a dire la (11), allora la somma x := x + x risolve la (15); (b) pertanto, avendo trovato data una soluzione x della (15), la soluzione generale è la si ottiene sommando a x la soluzione generale (che indichiamo con x om ) dell equazione omogenea associata, ovvero x = x + x om. (16) Il problema a questo punto diventa quello di trovare almeno una soluzione dell equazione non omogenea (15). Quando il termine noto c(t) appartiene ad alcune particolari classi di funzioni elencate nella colonna di sinistra della tabella sottostante, è possibile trovare una soluzione della (15) nella corrispondente classe di funzioni nella colonna di destra: termine noto c(t) costante polinomio di grado d multiplo di e mt se e mt non risolve l equazione omogenea se e mt risolve l eq. omogenea ma te mt no se e mt e te mt risolvono l eq. omogenea multiplo di sin(ωt) più multiplo di cos(ωt) se sin(ωt) non risolve l equazione omogenea se sin(ωt) risolve l equazione omogenea multiplo di e mt sin(ωt) più multiplo di e mt cos(ωt) se e mt sin(ωt) non risolve l equazione omogenea se e mt sin(ωt) risolve l equazione omogenea soluzione particolare x(t) costante polinomio di grado d ae mt ate mt at 2 e mt a sin(ωt) + b cos(ωt) t(a sin(ωt) + b cos(ωt)) e mt (a sin(ωt) + b cos(ωt)) te mt (a sin(ωt) + b cos(ωt)) Dunque la procedura per risolvere l equazione non omogenea a coefficienti costanti, almeno nel caso in cui il termine noto appartiene ad una delle classi elencate sopra, è la seguente: prima si scrive e si risolve l equazione omogenea associata, e poi si cerca una soluzione particolare dell equazione non omogenea seguendo le indicazioni date in tabella. Esempi. (i) Risolviamo l equazione ẍ 4ẋ + 4x = 3t + 1. (17) L equazione omogenea associata è ẍ 4ẋ + 4x = 0, l equazione caratteristica è λ 2 4λ + 4 = 0 ed ha un unica soluzione (doppia) λ = 2. Quindi la soluzione generale dell equazione omogenea associata è x om = e 2t (c 1 + c 2 t) con c 1, c 2 R. Siccome il termine noto 3t + 1 è un polinomio di grado 1, la nostra tabella ci dice di cercare una soluzione dell equazione non omogenea (17) tra i polinomi di grado 1, vale a dire una soluzione della forma x = at + b.

5 22 Sezione 7. Equazioni differenziali Sostituendo quest espressione nell equazione otteniamo 0 4a + 4(at + b) = 3t + 1 ovvero (4a 3)t + (4b 4a 1) = 0, e chiaramente questa identità è verificata per ogni t se i coefficiente 4a 3 e 4b 4a 1 sono entrambi nulli, ovvero per a = 3/4 e b = 1. Dunque 3 4t + 1 è una particolare soluzione della (17); si ottiene infine la soluzione generale aggiungendo tutte le soluzioni dell equazione omogenea associata, vale a dire (ii) Risolviamo l equazione x(t) = 3 4 t e2t (c 1 + c 2 t) con c 1, c 2 R. ẍ x = 6e 2t. (18) L equazione omogenea associata è ẍ x = 0, l equazione caratteristica è λ 2 1 = 0 ed ha soluzioni λ 1,2 = ±1. Quindi la soluzione generale dell equazione omogenea associata è x om = c 1 e t + c 2 e t con c 1, c 2 R. Siccome il termine noto 6e 2t è un multiplo di e 2t, la nostra tabella ci dice di cercare una soluzione dell equazione non omogenea (18) della forma x = ae 2t (notare che e 2t non risolve l equazione omogenea). Sostituendo quest espressione nell equazione otteniamo 4ae 2t ae 2t = 6e 2t ovvero (3a 6)e 2t = 0, e chiaramente questa identità è verificata per ogni t se il coefficiente 3a 6 è nullo, cioè per a = 2. Dunque 2e 2t è una soluzione della (18) e la soluzione generale è x(t) = 2e 2t + c 1 e t + c 2 e t con c 1, c 2 R. (iii) Modifichiamo ora il termine noto dell equazione nell esempio precedente: ẍ x = 2e t. (19) In questo caso la tabella ci dice di cercare una soluzione particolare della (18) tra le funzioni del tipo x = ate t (infatti, come visto al punto precedente, e t è una soluzione dell equazione omogenea, ma te t non lo è). Sostituendo quest espressione nell equazione otteniamo a(t + 2)e t ate t = 2e t ovvero (2a + 2)e t = 0, e chiaramente questa identità è verificata per ogni t se il coefficiente 2a + 2 è nullo, ovvero per a = 1. Dunque te t è una particolare soluzione della (19), e la soluzione generale è x(t) = te t + c 1 e t + c 2 e t con c 1, c 2 R. Osservazione. Se il termine noto c(t) si scrive come la somma di due termini noti c 1 (t) e c 2 (t) per cui si sanno trovare delle soluzioni particolari x 1 e x 2 (per esempio usando la solita tabella), allora una soluzione particolare per il termine noto c(t) è data dalla somma x 1 + x 2. Per esempio, una soluzione particolare per l equazione ẍ + 2x = 4t 3e t è data dalla somma di una soluzione particolare di ẍ + 2x = 4t (per esempio 2t), e di una soluzione particolare di ẍ + 2x = 3e t (per esempio e t ). Ancora sulle equazioni lineari del primo ordine. La formula risolutiva (7) per le equazioni differenziali lineari del primo ordine è molto generale ma richiede di calcolare un integrale indefinito che talvolta risulta essere piuttosto complicato. Per questa ragione, nel caso dell equazione lineare a coefficienti costanti del primo ordine ẋ + ax = b(t) può essere più semplice utilizzare una formula risolutiva analoga a quella per le equazioni lineari a coefficienti costanti del secondo ordine, vale a dire x(t) = x(t) + ce at con c R, dove ce at è la soluzione dell equazione omogenea associata ẋ + ax = 0 e x è una soluzione particolare dell equazione non omogenea. Quest ultima può essere trovata seguendo la stessa procedura utilizzata per le equazioni del secondo ordine (in questo caso il termine noto è b(t)). Esercizi

6 Matematica per Scienze Geologiche, a.a. 2011/ Verificare le seguenti affermazioni (senza ricorrere ad alcuna formula risolutiva): a) x(t) := sin 2 t risolve l equazione ẋ 2 = 4x(1 x); b) x(t) := (t + c) 2 risolve l equazione ẋ 2 = 4x 3 per ogni c R; c) x(t) := log t risolve l equazione ẍ e x + t 2 ẋ 3 = 0; d) x(t) := ce t2 /2 risolve l equazione ẍ = (t 2 1)x per ogni c R. 2. Determinare per quali a R la funzione x(t) := t a risolve l equazione t 2 ẍ 6x = Determinare per quali a, b R la funzione x(t) := ae bt risolve l equazione ẍ 4x = e t. 4. Per ciascuna delle seguenti equazioni differenziali dire se sono a variabili separabili, lineari del primo ordine, lineari del secondo ordine, o altro; nel caso di quelle lineari specificare se sono omogenee e/o a coefficienti costanti: a) ẋx 2 = t, b) ẋ 2x 2 = t, c) ẋ 2x 2 = 0, d) ẍ = tx+e t, e) ẍ+tẋ+3t 2 x = 0, f) ẍ = t 2 x, g) ẍ = 3x + 4ẋ, h) ẋ = 2x + e t, i) ẋ = x 2 + t 2, l) ẍ = tx. 5. Risolvere le seguenti equazioni differenziali a variabili separabili: a) ẋ = t x, b) ẋ = x2 + 1, c) ẋ = e x cos t, d) ẋ = e t x, e) ẋ = t 2 x a) Per ciascuna delle equazioni differenziali nell esercizio precedente trovare la soluzione che soddisfa la condizione iniziale x(0) = 1. b) Cercare le soluzioni delle equazioni d) ed e) che soddisfano la condizione iniziale x(1) = Si consideri l equazione a variabili separabili ẋ = f(t) g(x) e un numero x 0 tale che g(x 0 ) = 0. Verificare che la soluzione dell equazione che soddisfa la condizione iniziale x(0) = x 0 è la funzione costante x(t) := x Risolvere le seguenti equazioni lineari del primo ordine utilizzando la formula (7): a) ẋ 4x = 8, b) ẋ + 2tx = 0, c) ẋ + x t + 1 = 6t, d) ẋ et x = Per ciascuna delle equazioni differenziali nell esercizio precedente trovare la soluzione che soddisfa la condizione iniziale x(0) = Verificare direttamente vale a dire senza utilizzare alcuna formula risolutiva le seguenti proprietà delle equazioni lineari omogenee del primo e secondo ordine (cioè quelle della forma ẋ + a(t) x = 0 oppure ẍ + a(t) ẋ + b(t) x = 0): a) Se x è una soluzione dell equazione allora ogni multiplo di x è pure una soluzione; b) Se x 1 e x 2 sono soluzioni dell equazione la somma x 1 + x 2 è pure una soluzione; c) se a e b sono costanti, la funzione e λt è una soluzione se λ risolve l equazione caratteristica associata (vale a dire λ + a = 0 per quella del primo ordine e λ 2 + aλ + b = 0 per quella del secondo ordine). 11. Per ciascuna delle seguenti equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, scrivere l equazione caratteristica, risolverla, e quindi determinare la soluzione generale dell equazione differenziale: a) ẍ 3ẋ + 2x = 0, b) ẍ 2ẋ 3x = 0, c) ẍ + 2ẋ + 5x = 0, d) ẍ + 9x = 0; e) ẍ + 4ẋ + 4x = 0, f) ẍ 4x = 0, g) ẋ + 2x = 0, h) ẋ 3x = Trovare le soluzioni dei seguenti problemi ai dati iniziali: { ẋ + x = 0 ẍ 4x = 0 ẍ + x = 0 a), b) x(0) = 2, c) x(0) = 2 x(0) = 2 ẋ(0) = 0 ẋ(0) = 1 ẍ + 2ẋ + x = 0, d) x(0) = 1 ẋ(0) = 0.

7 24 Sezione 7. Equazioni differenziali 13. a) Verificare direttamente che la funzione te 2t risolve l equazione omogenea ẍ 4ẋ + 4x = 0. b) Verificare che se l equazione caratteristica λ 2 + aλ + b = 0 ha un unica soluzione reale λ allora te λt risolve l equazione differenziale ẍ+aẋ+bx = 0. [Si osservi che in questo caso = 0, e quindi b = a 2 /4 e λ = a/2.] 14. Verificare direttamente che le funzioni e t sin t e e t cos t risolvono l equazione ẍ 2ẋ + 2x = a) Trovare i valori del parametro a per cui la funzione x(t) := t a risolve l equazione lineare omogenea a coefficienti non costanti ẍ 2ẋ t + 2x t 2 = 0. b) Scrivere la soluzione generale di quest equazione. c) Trovare la soluzione che soddisfa le condizioni iniziali x(1) = 0 e ẋ(1) = a) Dati c 1, c 2 numeri reali, indichiamo con r e α le coordinate polari del punto del piano con coordinate cartesiane (c 2, c 1 ). Dimostrare che per ogni x R si ha c 1 cos x + c 2 sin x = r sin(x + α). b) Utilizzare quanto fatto al punto a) per ottenere la formula (14*). c) Utilizzare quanto fatto al punto a) per disegnare il grafico di x(t) := sin t + 3 cos t. d) Utilizzare quanto fatto al punto a) per disegnare il grafico di x(t) := e t (sin t + 3 cos t). 17. Trovare una soluzione particolare per ciascuna delle seguenti equazioni lineari non omogenee utilizzando le indicazioni della tabella data sopra (per le prime equazioni queste indicazioni sono esplicitate tra parentesi): a) ẍ ẋ x = 3e 2t [cercare x della forma x = ae 2t ]; b) ẍ 3ẋ + 2x = e t [cercare x della forma x = ate t ]; c) ẋ x = 4e 3t [cercare x della forma x = ae 3t ]; d) ẋ + 2x = e 2t [cercare x della forma x = ate 2t ]; e) ẍ x = 9 sin(2t) [cercare x della forma x = a cos(2t) + b sin(2t)]; f) ẋ + x = 3t; g) ẍ + 2ẋ + 2x = e t ; h) ẍ 2ẋ + x = e t ; i) ẋ + 2x = 4 cos(2t); l) ẍ + 3x = Siano x 1 e x 2 rispettivamente soluzioni delle equazioni lineari non omogenee ẍ + a(t) ẋ + b(t) x = c 1 (t) e ẍ + a(t) ẋ + b(t) x = c 2 (t). Verificare che x 1 + x 2 risolve l equazione ẍ + a(t) ẋ + b(t) x = c 1 (t) + c 2 (t). 19. a) Trovare la soluzione generale dell equazione ẋ + 2x = 0. b) Trovare una soluzione particolare dell equazione ẋ + 2x = 2t 3e t. [Si suggerisce di cercare separatamente una soluzione di ẋ + 2x = 2t ed una di ẋ + 2x = 3e t, e poi applicare quanto fatto nell esercizio precedente.] c) Scrivere la soluzione generale dell equazione ẋ + 2x = 2t 3e t. 20. Si consideri l equazione lineare del primo ordine ẋ + 4x = 16t. (20) a) Risolvere l equazione omogenea associata alla (20). a) Trovare una soluzione particolare della (20). c) Scrivere la soluzione generale della (20). d) Trovare la soluzione della (20) che soddisfa la condizione iniziale x(0) = 1.

8 21. Si consideri l equazione lineare del secondo ordine Matematica per Scienze Geologiche, a.a. 2011/12 25 ẍ + x = e 2t. (21) a) Risolvere l equazione omogenea associata alla (21). a) Trovare una soluzione particolare della (21). c) Scrivere la soluzione generale della (21). d) Trovare la soluzione della (21) che soddisfa le condizioni iniziali x(0) = 1 e ẋ(0) = Si consideri l equazione lineare del secondo ordine a) Risolvere l equazione omogenea associata alla (22). a) Trovare una soluzione particolare della (22). c) Scrivere la soluzione generale della (22). ẍ + 2ẋ + 2x = 1 + sin t. (22) 23. Trovare le soluzioni dei seguenti problemi ai dati iniziali: { ẋ = x 2 cos t ẍ x = 2t { ẋ + 2x = 4 a), b) x(0) = 0, c) x(0) = 1 x(0) = 1 ẋ(0) = 0, d) { ẋ = 3t 2 (1 + x 2 ) x(0) = Utilizzando il cambio di variabile x = tz risolvere l equazione differenziale ẋ = x t + t 2x.