Alberi rosso-neri. Oltre ad essere alberi binari di ricerca, gli alberi rosso-neri soddisfano le seguenti proprietà:

Transcript

1 Alberi rosso-neri Gli alberi rosso-neri sono alberi binari di ricerca in cui le operaioni Insert e Delete sono opportunamente modificate in modo tale da garantire un altea dell albero h = O(log n). A tale scopo si aggiunge un bit per ogni nodo: il colore che può essere rosso o nero. Oltre ad essere alberi binari di ricerca, gli alberi rosso-neri soddisfano le seguenti proprietà: 1. ogni nodo è o rosso o nero 2. la radice è nera. le foglie (nil) sono tutte nere. 4. i figli di un nodo rosso sono entrambi neri. per ogni nodo tutti i cammini da alle foglie sue discendenti contengono lo stesso numero bh() di nodi neri (altea nera). Notare che il nodo non è contato in bh() anche se nero. 1

2 Esempio di albero rosso-nero: Talvolta si usa una sentinella al posto di nil ? 2

3 Proprietà: Un albero rosso-nero con n nodi interni ha altea h 2 log 2 (n+1) Dimostraione: Osserviamo che i nodi rossi in un cammino dalla radice r alle foglie possono essere al più bh(r) e quindi h 2 bh(r). Basta quindi dimostrare che bh(r) log 2 (n+1) ossia che n 2 bh(r) - 1 Dimostriamo n 2 bh(r) - 1 per induione sulla struttura dell albero rossonero T. Se T = è vuoto r è una foglia, bh(r) = 0 e n = 0 = 2 bh(r) 1

4 Sia T = (r,t 1,T 2 ) e siano r 1 ed r 2 le radici di T 1 e T 2 e siano n 1 ed n 2 i numeri di nodi interni di T 1 e T 2. Allora bh(r 1 ) bh(r)-1 bh(r 2 ) bh(r)-1 n = 1+ n 1 + n 2 Per ipotesi induttiva n bh( r) bh( r1 ) bh( r2 ) bh( r) bh( r) 1 Conseguena: Su di un albero rosso-nero con n nodi interni le operaioni Search, Minimum, Maimum, Successor e Predecessor richiedono tempo O(log n). Anche le operaioni Insert e Delete su di un albero rosso-nero richiedono tempo O(log n) ma siccome esse modificano l albero possono violare le proprietà degli alberi rosso-neri ed in tal caso occorre ripristinare tali proprietà. Per farlo useremo delle operaioni elementari, dette rotaioni, che preservano la proprietà di albero binario di ricerca. Assumiamo venga usata la sentinella nil[t]. 4

5 Talvolta si usa una sentinella al posto di nil ? LeftRot(T,) right[] right[] left[], p[left[]] p[] p[] ifp[] = nil[t] then root[t] if = left[p[]] then left[p[]] right[p[]] p[], left[] LeftRot(T,) RightRot(T,) // left[] può essere nil[t] rotaioni

6 RightRot(T,) left[] left[] right[], p[right[]] p[] p[] ifp[] = nil[t] then root[t] if = left[p[]] then left[p[]] right[p[]] p[], right[] LeftRot(T,) RightRot(T,) // right[] può essere nil[t] Inserimento di un nuovo elemento InsertRB(T, ) // left[] = right[] = nil[t] Insert(T, ) color[] RED // è rosso. L unica violaione // possibile delle proprietà degli alberi // rosso-neri è che sia radice (prop. 2) // oppure che p[] sia rosso (prop 4). InsertFiUp(T, ) 6

7 InsertFiUp(T,) // è rosso e l unica violaione // possibile delle proprietà degli alberi // rosso neri è che sia radice (prop. 2) // oppure che p[] sia rosso (prop 4). if = root[t] then // l unica violaione delle proprietà // degli alberi rosso neri è che root[t] // è rosso (prop 2). color[root[t]] BLACK // Caso 0 p[] if color[] = RED then // è rosso e l unica violaione delle // proprietà degli alberi rosso neri è // che il padre è rosso (prop 4). // In questo caso non è la radice. if = left[p[]] then Caso 1: rosso p[] (p[] deve essere nero!!) p[] p[] p[]

8 Caso 2: nero e figlio destro di p[] ' = p[] ' = Caso : nero e figlio sinistro di p[] p[] // io alla destra del nonno right[p[]] if color[] = RED then // Caso 1 color[] color[] BLACK color[p[]] RED InsertFiUp(T,p[]) if = right[] then // Caso 2, LeftRot(T,), p[] color[] BLACK // Caso color[p[]] RED RightRot(T,p[]) 8

9 Caso 1: rosso p[] p[] p[] p[] Caso 2: nero e figlio sinistro di p[] p[] Caso : nero e figlio destro di p[] p[]

10 // io alla sinistra del nonno left[p[]] if color[] = RED then // Caso 1 color[] color[] BLACK color[p[]] RED InsertFiUp(T,p[]) if = left[] then // Caso 2, RightRot(T, ), p[] color[] BLACK // Caso color[p[]] RED LeftRot(T,p[]) Complessità di InsertFiUp in funione del livello d a cui si trova il nodo. T( d c ) a T( d 2) Casi 0,2, Caso1 dunque d T( d ) a c alog n c O(log n) 2 Quindi InsertRB ha complessità O(log n) 10

11 Eliminaione di un elemento DeleteRB(T,) // nil[t] if left[] = nil[t] or right[] = nil[t] then //se ha al più 1 figlio Successor(), ke[] ke[] // se ha 2 figli // elimino che ha un sottoalbero vuoto if left[] = nil[t] then right[] left[] // sottoalbero di, l altro è vuoto Delete // metto al posto del padre p[] p[] ifp[] = nil[t] then root[t] if = left[p[]] then left[p[]] right[p[]] // Se è rosso non ci sono violaioni // Se è nero l unica violaione delle // proprietà degli alberi rosso neri è che // i cammini che passano per contengono // un nodo nero in meno. if color[] = BLACK then DeleteFiUp(T,) 11

12 DeleteFiUp(T,) // I cammini che passano per contengono // un nodo nero in meno. if color[] = RED or p[] = nil[t] then color[] BLACK // Caso 0 // è nero e i cammini che passano per // contengono un nodo nero in meno. if = left[p[]] then // figlio sinistro Caso 0: rosso Caso 0: radice Caso 1: nero, fratello destro rosso e di conseguena padre nero

13 // figlio sinistro right[p[]] if color[] = RED then // nero, fratello destro rosso // padre nero color[] BLACK // Caso 1 color[p[]] RED LeftRot(T,p[]) right[p[]] // nero, fratello destro nero // padre rosso Caso 2: nero, fratello destro nero con figli neri

14 // nero, fratello destro nero if color[left[]] = BLACK and color[right[]] = BLACK then // nero, fratello destro nero // con entrambi i figli neri color[] RED // Caso 2 DeleteFiUp(T,p[]) Caso : nero, fratello destro nero con figlio sinistro rosso e figlio destro nero

15 // nero, fratello destro nero // ma non con entrambi i figli neri if color[right[]] = BLACK then // nero, fratello destro nero // con figlio sinistro rosso // e figlio destro nero color[left[]] BLACK // Caso color[] RED RightRot(T,) right[p[]] Caso 4: nero, fratello destro nero con figlio destro rosso

16 // nero, fratello destro nero // con figlio destro rosso color[] color[p[]] // Caso 4 color[p[]] BLACK color[right[]] BLACK LeftRot(T,p[]) // figlio destro // Situaione simmetrica. Basta // scambiare left con right. Complessità di DeleteFiUp in funione del livello d a cui si trova il nodo. I casi 0, e 4 terminano immediatamente e dunque essi richiedono tempo costante. Dopo aver eseguito il caso 1 viene eseguito una sola volta il caso 2 e quindi il caso 0. Anche il caso 1 richiede pertanto tempo costante. Solo il caso 2 può essere ripetuto sul padre di. Quindi T( d c ) a T( d 1) Casi 0,1,,4 Caso 2 16

17 T( d c ) a T( d ha soluione 1) Casi 0,1,,4 Caso 2 T( d ) ad c a2log( n 1) c O(log n) Quindi DeleteRB ha complessità O(log n) 1