GEODESIA: PROPRIETA GEOMETRICHE DELL ELLISSOIDE

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1 GEODESIA: PROPRIETA GEOMETRICHE DELL ELLISSOIDE PROPRIETA GEOMETRICHE DELL ELLISSOIDE Al fin di stbilir un gomtri sull llissoid di rotzion è ncssrio non solo dfinir l quzioni dll curv idon d individur in modo univoco l posizion rltiv di punti (mridini prllli) pprtnnti ll suprfici stss, m nch conoscr l loro curvtur, ch in gnrl srà vribil d punto punto. Distinguimo subito tr szioni normli szioni obliqu. Considrimo un punto P ch gic sull'llissoid l su norml: il fscio di pini ch h pr costol l norml, intrschrà l'llissoid scondo dll lin pin chimt szioni normli. Tutt l ltr lin ch si ottngono dll intrszion dll llissoid con un qulsisi fscio di pini ch non contin l norml sono chimt szioni obliqu. Godsi Slid

2 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI Sono szioni normli i mridini, non lo sono i prllli L szioni normli nl punto P hnno rggi di curvtur divrsi in funzion dll ngolo ch l szion norml form con il pino ch ssumimo com rifrimnto. RAGGIO DI CURVATURA DEL PARALLELO: Rggio di curvtur dll szion obliqu PARALLELO r X + Y ( ) cos cos N cos Godsi Slid

3 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI Considrndo l'insim dll infinit szioni normli dll suprfici, ottnuto dll'intrszion di tl fscio di pini con l'llissoid di rotzion, si può vrificr ch i rggi di curvtur dll szioni normli nl gnrico punto P considrto vrino con continuità: - d un minimo ρ (curvtur mssim) - d un mssimo N (curvtur minim) ρ N sono i rggi principli di curvtur cui corrispondono l szioni normli principli ch hnno l proprità di ssr tr loro ortogonli. Godsi Slid

4 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI - l curv mridin di rggio ρ (rggio dl mridino): intrszion fr llissoid pino contnnt l norml n l ss di - il primo vrticl di rggio N (grn norml): l curv prpndicolr l mridino (intrszion fr llissoid norml n l tngnt l prlllo) rotzion pino ch contin l L grn norml N corrispond l sgmnto di norml n comprso tr il punto P l intrszion Q con l ss di rotzion Z. Non si confond il primo vrticl con il prlllo, il cui pino è prlllo qullo qutoril. Godsi Slid 4

5 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI AK N N ( ) AQ N A Q K OQ N B N cos B Q O K OK N B Godsi Slid 5

6 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI Godsi Slid 6

7 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI Tutt l szioni dll llissoid ottnut tglindolo con di pini ch contngno l norml ll llissoid in un punto P si chimno szioni normli. Nll figur 4 si sono rpprsntt du dll infinit szioni normli, l più significtiv pr i clcoli dll topogrfi dll godsi. In prticolr l szion vrd, ch contmpornmnt contin l norml ll llissoid nl punto P l ss polr è dtt szion mridin il suo contorno è un mridino, cioè un lliss. L szion ross é prpndicolr ll szion mridin contin (com l ltr infinit szioni normli) solo l norml ll llissoid nl punto P, il suo contorno è un curv ch, com l szion mridin, h rggio di curvtur divrso in ogni suo punto (il rggio di curvtur in un punto di un curv é il rggio dl crchio ch in qul punto pprossim l curv). Godsi Slid 7

8 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI RAGGIO PRINCIPALE DI CURVATURA MINIMO: rggio di curvtur dl mridino pr P ρ ( ) ( ) sn ( ) Dov: rpprsnt il smiss qutoril dll'llissoid d l'ccntricità b Godsi Slid 8

9 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI APPROFONDIMENTI Dtrminzion dll sprssion dl rggio di curvtur minimo Rggio di curvtur dl mridino pr P Dtrminimo l sprssioni di rggi principli di curvtur: L quzion ricvt in prcdnz pr l llissi mridin è: r Z + b In un curv pin il rggio di curvtur è il limit dl rpporto tr un lmnto di rco ds l ngolo comprso fr l normli ll suprfici condott gli strmi dl sgmnto ds ( diffrnz di ltitudin). ds dr dz ρ d d + Godsi Slid 9

10 Godsi Slid 0 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI APPROFONDIMENTI Drivimo l quzioni prmtrich dll llissoid trovt in prcdnz: ( ) - Z cos r ( ) ( ) ( ) cos d dz cos cos cos cos cos - d dr + + ( ) ( ) ( ) 6 cos d dz d dr ρ + + Si ottin quindi: ( ) ρ

11 GEODESIA: TEOREMA DI MEUSNIER Torm di Musnir : il rggio di curvtur di un szion obliqu R θ (r) in un punto P, è ugul l rggio di curvtur dll szion norml R n (N), corrispondnt l pino ch contin l tngnt in P ll szion obliqu, moltiplicto pr il cosno dll'ngolo formto di pini dll du szioni (θ). R θ R n cosθ Godsi Slid

12 GEODESIA: TEOREMA DI MEUSNIER Godsi Slid

13 GEODESIA: TEOREMA DI MEUSNIER Godsi Slid

14 GEODESIA: TEOREMA DI MEUSNIER Godsi Slid 4

15 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI RAGGIO PRINCIPALE DI CURVATURA MASSIMO: Rggio di curvtur dll szion primo vrticl pr P Pr il Torm di Musnir, pnsndo l prlllo pr P com un szion obliqu, n driv ch: r N cos L grn norml N è sprss dll sgunt rlzion: N r X + Y cos cos cos sn cos sn Torm di Musnir : il rggio di curvtur di un szion obliqu R θ (r) in un punto P, è ugul l rggio di curvtur dll szion norml R n (N), corrispondnt l pino ch contin l tngnt in P ll szion obliqu, moltiplicto pr il cosno dll'ngolo formto di pini dll du szioni (θ). R θ R n cosθ Godsi Slid 5

16 GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI Dll sprssioni di ρ d N si possono trrr l sgunti considrzioni: ρ ( ) ( sn ) ( ) N sn -N è smpr mggior o ugul ρ; -l diffrnz tr i rggi principli di curvtur: N ( ) ( sn ) ( ) sn sn sn ρ -è mssim ll'qutor (0 sn0); -è null i poli (90 sn) Godsi Slid 6

17 GEODESIA: RAGGIO MEDIO DI CURVATURA Rggio mdio di curvtur In un punto P, si dfinisc rggio mdio di curvtur dll infinit szioni normli ll llissoid, l mdi gomtric tr il rggio minimo mssimo: R m R R Risult minimo ll qutor (0) mssimo i poli (90 ). ρn sn E' un prmtro di grnd intrss nll smplificzion dll lborzioni nlitich godtich topo-crtogrfich. Vdrmo ch tl rggio R m può considrrsi com il rggio di un sfr, dtt sfr locl, tngnt ll llissoid nl punto P (h quindi l stss norml) ch mglio l'pprossim in un intorno di circ 00 km di rggio dl punto stsso Godsi Slid 7

18 GEODESIA: RAGGIO DI CURVATURA DI UNA GENERICA SEZIONE NORMALE Rggio di curvtur di un gnric szion norml Il rggio di curvtur R α di un gnric szion norml ch form un ngolo α, (chimto zimut) con il mridino in funzion dl rggio principl di curvtur minimo (ρ) mssimo (N), è dto dl Torm di Eulro: Torm di Eulro R α cos α + ρ α N Godsi Slid 8

19 GEODESIA: PROPRIETA GEOMETRICHE DELL ELLISSOIDE ESEMPIO 5: Il vrtic IGM di M.t Pglino ( ordin) h coordint su ROMA40: lt lon Hyford Hyford Clcolr nl punto: ) Rggi principli di curvtur ρ, N. ) Rggio sfr locl R. ) Rggio dl prlllo 4) Rggio di curvtur dll szion obliqu di zimut α45 d inclint di β60 risptto ll norml. # + #'/60 + #''/ Godsi Slid 9

20 GEODESIA: PROPRIETA GEOMETRICHE DELL ELLISSOIDE ( - ) ρ m N m R ρn m r N cos m R α cos α ρ + α N R α N ρ N cos α + ρ α m R β R α cosβ m Godsi Slid 0

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