II parte: Teoria delle Piccole Oscillazioni

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1 COMPLEMENTI di MECCANICA RAZIONALE Appunti dae ezioni de Prof. Giovanni FROSALI II parte: Teoria dee Piccoe Osciazioni Università degi Studi di Firenze Dipartimento di Matematica e Informatica U.Dini Firenze - 7 maggio 7

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3 Indice LE PICCOLE OSCILLAZIONI. Introduzione Equazioni di moto in forma Lagrangiana Linearizzazione dee equazioni di moto Esempi Esempio: moto unidimensionae Esempio: i bipendoo Souzione attraverso i modi normai Souzione de equazioni di moto tramite disaccoppiamento Appendice : Eementi di Agebra Lineare ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni 7. Pendoi accoppiati I doppiopendoo matematico Moto di un punto su una superficie Vibrazioni di moecoe: a moecoa diatomica La moecoa triatomica Due osciatori accoppiati Masse in serie Passaggio da un sistema discreto ad un sistema continuo Equazione dee corde vibranti Derivazione de equazione dee corde vibranti Souzione de equazione di d Aembert co metodo di Fourier 45

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5 Capitoo LE PICCOLE OSCILLAZIONI. Introduzione In moti campi dea natura è facie incontrare sistemi che osciano intorno aa oro configurazione di equiibrio stabie. La teoria che studia queste osciazioni è moto sviuppata e si rivoge a seconda dei casi a sistemi meccanici, eettrici, chimici, bioogici, ecc. Noi ci imitiamo a considerare acuni sempici sistemi meccanici in condizioni moto particoari, tai da consentire una trattazione matematica sempice. Ne secondo paragrafo presenteremo e ipotesi generai di avoro e scriveremo e equazioni di moto in forma agrangiana. Ne terzo paragrafo inearizzeremo e equazioni di moto e formueremo ipotesi dei piccoi spostamenti ne intorno di una posizione di equiibrio stabie. Dopo acuni sempici esempi per iustrare a tematica, ne quinto e ne sesto paragrafo risoveremo e equazioni di moto sfruttando due approcci differenti. Ne primo caso percorreremo a via anaitica standard determinando e souzioni particoari de probema (modi normai che ci permetteranno di costruire a souzione generae. Ne secondo seguiremo un approccio più agebrico ed arriveremo a diagonaizzare e equazioni di moto mediante un opportuno cambio di variabii. Ne settimo paragrafo riporteremo invece acuni importanti risutati di agebra ineare che sono utii nea teoria. Innanzitutto vediamo di iustrare i probema dee piccoe osciazioni. Tutti sanno che a Lagrangiana de pendoo matematico, data da L = m ϕ + mg cos ϕ dà uogo a equazione di moto nonineare θ ϕ + g sin ϕ =. Per angoi piccoi è ormai risaputo che approssimando sin ϕ con angoo ϕ, si ottiene equazione di moto per e piccoe osciazioni de pendoo ϕ + g ϕ =. (.

6 LE PICCOLE OSCILLAZIONI Se si considera direttamente a Lagrangiana e si sviuppa i potenziae per angoi piccoi, si ha ( mg cos ϕ = mg ϕ + o(ϕ Quindi, è naturae approssimare a Lagrangiana (trascurando anche i termine costante ne seguente modo L = m ϕ mgϕ. E facie verificare che questa Lagrangiana approssimata, che chiameremo Lagrangiana dee piccoe osciazioni dà uogo a equazione di moto (. I ettore attento osservi fin d ora che a Lagrangiana che ha dato uogo a equazione ineare (. si è ottenuta separando daa Lagrangiana originae a parte quadratica nea veocità e ne angoo.. Equazioni di moto in forma Lagrangiana Si consideri un sistema di n punti materiai, a vincoi oonomi, biateri, isci e fissi, soggetto a forze conservative (ne senso di indipendenti da tempo, posizionai e tai da ammettere un potenziae U(P, P,, P n di modo che, se F i è a risutante dee forze agenti su i-esimo punto si abbia grad Pi U = F i Penseremo inotre i nostro sistema caratterizzato ocamente da coordinate agrangiane q k, con k =,,,, da noi opportunamente scete, che indicheremo concisamente con q = (q, q,, q k,, q. Sotto e nostre ipotesi, a Lagrangiana de sistema assumerà a forma L( q, q = T ( q, q + U( q dove, con riferimento a capitoo precedente, U( q = U(P ( q, P ( q,, P n ( q e T ( q, q = h,k= a hk ( q q h q k Supporremo che e a hk ( q e a U( q siano funzioni isce, ameno di casse C. Come ci insegna a Meccanica Razionae espressione di T è una forma quadratica definita positiva nee q, q,, q, ovvero T ( q, q = se e soo se q =, q =,, q =, e a hk ( q = a kh ( q. Più in particoare a hk ( q = n i= P i q h P i q k. Conosciuta espressione dea Lagrangiana, possiamo scrivere e equazioni di Lagrange di seconda specie, che sappiamo essere equazioni differenziai ordinarie in virtù dea forma di T e ineari nee q, q,, q,

7 .3 Linearizzazione dee equazioni di moto 3 d L L =, k =,..., dt q k q k q k ( = qk q k ( = q k dove qk e q k sono e condizioni iniziai, espresse in termini di coordinate agrangiane. Queste equazioni ci permettono di avere una descrizione competa de moto. Sotto e nostre ipotesi infatti i teoremi di esistenza e unicità ci assicurano esistenza di una e una soa -pa di funzioni q (t, q (t..., q (t, che rappresentano a souzione de nostro sistema di equazioni differenziai..3 Linearizzazione dee equazioni di moto Innanzitutto ricordiamo che equiibrio statico di un sistema meccanico è caratterizzato da annuamento dee forze generaizzate, ovvero ( U Q k = =, k =,,,. q k (q,q...,q Viceversa se e forze generaizzate sono nue e e condizioni iniziai sono date da q k ( = qk o e q k( =, con k =,,,, aora e corrispondenti coordinate generaizzate rimangono costanti ne tempo ed uguai a vaore qk o, k =,,,. Ricordiamo brevemente che una posizione di equiibrio è detta stabie se una piccoa perturbazione de sistema, a partire daa posizione di equiibrio (neo spazio dee fasi, ha come risutato soo un piccoo movimento attorno aa posizione di equiibrio. L equiibrio è detto instabie se una perturbazione infinitesima (neo spazio dee fasi produce un moto che non è imitato attorno aa posizione di equiibrio. I comportamento quaitativo de sistema intorno aa posizione di equiibrio può essere studiato indagando i diagramma dee fasi de sistema, ma questo studio esua dai nostri scopi. Limitiamoci per fissare e idee a considerare un sistema uni-dimensionae di cui si disponga de andamento de potenziae U o de energia potenziae V = U in funzione de unica coordinata agrangiana q. I comportamento quaitativo può essere iustrato da grafico de potenziae o de energia potenziae. Se energia potenziae ha un minimo q, equiibrio sarà stabie in q ; se energia potenziae ha un massimo od un punto di infessione, aora equiibrio sarà instabie ed i sistema si muoverà verso posizioni con minore energia potenziae. Torniamo a caso generae e supponiamo che q o sia un punto di equiibrio stabie de sistema. In termini esatti questo significa che: ɛ > δ > : ( q, q ( q o, < δ ( q(t, q, q, q(t, q, q ( q o, < ε t >, dove q, q sono posizione e veocità iniziai de punto perturbato, e q(t, q, q e q (t, q, q sono posizione e veocità de punto in evouzione, a partire da punto ( q, q.

8 4 LE PICCOLE OSCILLAZIONI Si ricordi che in un punto simie energia potenziae V = U presenta un minimo ocae (mentre U un massimo ocae. Quaitativamente si osserva che piccoe perturbazioni de sistema, sia in posizione che in veocità, a partire daa posizione di equiibrio stabie producono piccoi movimenti attorno aa posizione di riposo. Vogiamo ora soffermarci sui moti de sistema in un intorno sufficientemente piccoo di una sua posizione di equiibrio stabie. Ci proponiamo quindi di sviuppare in serie di Tayor energia cinetica T ( q, q con centro in ( q o, e energia potenziae V ( q con centro in q o e di imitarci a considerare soo i termini di ordine non superiore a secondo, ne ipotesi che ampiezza dei moti in questione sia abbastanza piccoa da giustificare tae assunzione: V ( q = V ( q o + ( V h= q h ( q o (q h q o h+ h,k= ( V q h q k ( q o (q h q o h(q k q o k+ dove i termini de primo ordine sono nui da momento che V ha un minimo ocae in q o. Per quanto riguarda energia cinetica, poiché essa è già una forma quadratica nee q, q..., q, per ottenere T ( q, q con ordine di approssimazione desiderato (i secondo è sufficiente imitare o sviuppo dei coefficienti a hk ( q con centro in q o a ordine zero, vautando tutti i coefficienti in q o. Otteniamo di conseguenza T ( q, q = h,k= a hk ( q o q h q k. Se si fosse eseguito o sviuppo di Tayor dea T ( q, q in modo competo trascurando i termini di ordine superiore a secondo, gi unici coefficienti non nui sarebbero stati infatti quei de tipo T q h q k ( q o, = a hk ( q o. Per descrivere anaiticamente gi spostamenti de sistema da equiibrio, indichiamo con η k e variazioni che e coordinate agrangiane subiscono a partire daa posizione di equiibrio q k = q o k + η k, k =,,..., ed assumiamo queste variazioni come nuove coordinate generaizzate per descrivere i moto, (si ricorda che e η k dovranno soddisfare ipotesi fondamentae di essere spostamenti piccoi. Sostituendo otteniamo V ( η = h,k= V hk η h η k dove abbiamo posto V ( q o = dato che energia potenziae è definita a meno di una costante, e T ( η, η = M hk η h η k. h,k=

9 .4 Esempi 5 Per brevità abbiamo introdotto e seguenti matrici V hk = Ricaviamo così a Lagrangiana V q h q k ( q o e M hk = L( η, η = T ( η, η V ( η = T ( q q h q o, = a hk ( q o. k (M hk η h η k V hk η h η k h,k= da cui possiamo ricavare e equazioni di Lagrange di II specie per i moto dee piccoe osciazioni (M kh η h + V kh η h =, k =,..., h= dove η k = q k qo k e η k = q k. Da quanto detto in precedenza si deduce che: η k ( = ηk, k =,..., η k ( = η k (.. a matrice M hk è simmetrica definita positiva in quanto T ( q, q è una forma quadratica definita positiva nee q k,. a matrice V hk è simmetrica poiché è hessiano di V ( q in q o e definita positiva poichè V ( q ha in q o un minimo ocae, 3. a Lagrangiana è una funzione quadratica dee η k e dee η k, mentre e equazioni di moto sono ineari nee η k e nee η k, 4. e equazioni de sistema dipendono in generae da tutte e coordinate η k, e per questa ragione e equazioni (ineari de sistema si dicono accoppiate, 5. sotto e nostre condizioni, tae sistema ammette una e una soa souzione ocae..4 Esempi Prima di procedere, vediamo due sempici esempi..4. Esempio: moto unidimensionae L esempio più sempice, si ha quando, con riferimento a (., m hk = m, v hk = c >, h = k =. Indicando con η a coordinata agrangiana, equazione di moto assume a forma η + c m η =, (.3

10 6 LE PICCOLE OSCILLAZIONI ben nota come equazione de moto armonico. Introducendo a variabie compessa z, a (.3 può essere messa nea forma z + c m z =. (.4 Poiché questa equazione contiene soo coefficienti reai, è evidente che ogni souzione di (.4 fornisce una souzione di (.3 data daa parte reae η = Re z. Se cerchiamo souzioni nea forma esponenziae z = z e iωt, sostituendo nea (.4 si ottiene equazione agi autovaori per a frequenza ω ( ω c z =. m Supponendo z, equazione dà c ω = ± m. La souzione generae di (.4 si ottiene così per sovrapposizione ineare z(t = αe i c m t + βe i c m t, dove α e β sono costanti compesse. La souzione de probema originae può essere ottenuta direttamente da η = Re z = (z + z. dove z rappresenta i compesso coniugato. Se si scrive α + β = Ae iγ, aora a souzione si scrive nea forma η = η(t = Re (Ae i( ( c t+γ c m = A cos m t + γ. Questa è a forma comune in cui si trova a souzione de moto armonico. Si osservi che questa souzione generae reae fa uso soo de autovaore positivo e ciò è dovuto a fatto che abbiamo preso a parte reae dea souzione z..4. Esempio: i bipendoo Si consideri un pendoo doppio costituito da un punto materiae pesante di massa M sospeso ad un fio fessibie, inestendibie di unghezza L e da un secondo pendoo di massa m sospeso sotto di esso ad un fio di unghezza. I sistema si muove su un piano verticae, sotto azione de peso, così da avere due gradi di ibertà. Scegiamo come coordinate agrangiane gi angoi ϕ e θ che a verticae discendente forma con i fii di sospensione. Lasciamo a ettore di verificare che energia cinetica de sistema dei due punti è data da T = ML ϕ + [L m ϕ + θ + L ϕ θ ] cos(ϕ θ,

11 .4 Esempi 7 dove L ϕ è a veocità de primo punto materiae mentre θ è a veocità de secondo punto reativamente a primo. L energia cinetica per e piccoe osciazioni intorno a ϕ = e θ = prende a forma T = ML ϕ + m [ L ϕ + θ ] + ml ϕ θ = ML ϕ + m [L ϕ + θ]. Si osservi che a nostra sceta di coordinate energia cinetica contiene termini misti de tipo ϕ θ. Introduciamo ora e nuove coordinate { x = Lϕ y = Lϕ + θ. Un facie cacoo dà per energia cinetica in termini di ẋ e ẏ T = Mẋ + mẏ, che risuta essere a forma standard di T, contenente soo termini puramente quadratici dee veocità agrangiane. Un tae tipo di coordinate, che qui sono state introdotte con un po di fantasia a fine di sempificare a forma de energia cinetica, prende i nome di coordinate ortogonai. La funzione energia potenziae de sistema, che in generae ha a forma V = MgL cos ϕ mg (L cos ϕ + cos θ, quando gi angoi sono piccoi si approssima facimente con ( V = V + MgL ϕ + mg L ϕ + θ. Facendo uso dee coordinate ortogonai introdotte sopra per sempificare a forma de energia cinetica si ottiene V = V + (M + mg x + mg L (y x, che però contiene ancora dei termini misti. La Lagrangiana approssimata ha quindi a forma L = Mẋ + (M + mg mẏ x mg L (y x. Scriviamo aora e equazioni di Lagrange di moto per e coordinate x ed y [ (M + mg ẍ = + mg ] x + mg ML M M y ÿ = g x g. y Le equazioni che si sono ottenute non sono ancora in una forma esauriente, perchè anche se sono espicite rispetto ae derivate seconde, rimangono ancora accoppiate ne secondo membro. Nei prossimi paragrafi vedremo come si risove i probema dee piccoe osciazioni nea sua generaità.

12 8 LE PICCOLE OSCILLAZIONI.5 Souzione attraverso i modi normai Consideriamo e equazioni di moto inearizzate M hk η k + V hk η k =, h =,,..., (.5 k= che in forma matriciae diventano M η + V η =. I nostro scopo è queo di risovere i sistema di equazioni accoppiate. Seguendo a procedura standard, introduciamo e variabii compesse z k tai che η k = Re (z k, k =,,..., ed i sistema prende a forma M z + V z =. (.6 Ora cerchiamo souzioni nea forma z = z o e iωt : così facendo cerchiamo dei moti per cui tutte e coordinate osciano con a stessa frequenza (tai moti sono detti modi normai di osciazione. Sostituendo nee equazioni di moto (.6 si ha k= ovvero in forma matriciae (V hk ω M hk z o k =, h =,,...,. (V ω M z o =. (.7 In questo modo abbiamo trasformato originae probema di un sistema ineare omogeneo di equazioni differenziai accoppiate con coefficienti reai costanti in un sistema agebrico di equazioni ineari omogenee per e ampiezze z o k. Tae sistema ammette souzioni non banai soo se det(v ω M =, che corrisponde ad una equazione poinomiae di grado in ω, che ha radici ω s, s =,....,. Gi ω s sono detti gi autovaori dea matrice V reativi aa matrice M, mentre i vettori non nui che soddisfano (.7 sono gi autovettori di V reativi a M associati ad ω. Tai radici, date e proprietà di M e V (vedi Cor..7.4 saranno gi eementi dea diagonae dea matrice B T V B con B = A M / A dove: A è a matrice ortogonae che diagonaizza M M / = diag (µ /,..., µ /, con µ,..., µ autovaori di M

13 .5 Souzione attraverso i modi normai 9 A è a matrice ortogonae che diagonaizza M / A T V A M /. L agebra ineare ci dice inotre che tai radici saranno tutte positive (vedi Teor Se quache ω s fosse stato negativo avremmo avuto ω s compesse e di conseguenza souzioni iimitate contrariamente a ipotesi dei piccoi spostamenti ne intorno di una posizione di equiibrio stabie. I probema iniziae è stato ridotto a probema agi autovettori e autovaori de tipo (V ω M z o = equivaente a (M V ω z o =. Ricordiamo che, anche se M e V sono simmetriche definite positive, non è detto che M V sia simmetrica. La seconda formuazione de teorema spettrae.7.6 non è quindi appicabie. La versione più generae.7.4 ci dice invece che, se consideriamo a forma biineare simmetrica definita positiva xm y e endomorfismo M V x simmetrico rispetto aa forma (infatti (M V x T M y = x T V M M y = x T V y = x T MM V y = x T M(M V y, aora esiste una base costituita dagi autovettori per endomorfismo, ortonormae rispetto aa forma. A questo punto possiamo determinare a base di autovettori e sfruttara per scrivere a souzione generae de probema in modo tae da coprire tutto o spazio dee souzioni. Prima però osserviamo che, se z o s è autovettore di V reativo ad M, corrispondente a ω s, nee combinazioni ineari (V hk ωsm hk zsk o = h =,,..., k= i coefficienti sono tutti reai. Ciò impica che i rapporti z o sr z o s r =,..., sono reai. È dunque possibie scrivere autovettore nea forma z o s = ρ s e iφs, dove Φ s è una costante arbitraria reae e ρ sk (k =,,..., sono costanti reai che determineremo in seguito. Sostituendo z s o = ρ s e iφs ne sistema ineare iniziae si ha V ρ s = ω sm ρ s. (.8 Anaogamente se z o r è autovettore di V reativo ad M, corrispondente a autovaore ω r, si ha V ρ r = ω rm ρ r da cui ρ r T V = ω r ρ r T M. (.9 Motipicando a sinistra a (.8 per ρ r T, motipicando a destra a (.9 per ρ s e sottraendo membro a membro si ha (ω s ω r ρ r T M ρ s =, r, s =,,...,. (.

14 LE PICCOLE OSCILLAZIONI Ciò mostra evidentemente ortogonaità di ρ r, ρ s rispetto a M. Le (.8 permetteranno come è noto di determinare gi autovettori soo a meno di costanti. L indeterminazione può essere eiminata imponendo ortonormaità rispetto a M e cioè ponendo ρ r M ρ s = δ rs r, s =,,..., (. (con δ rs si intende i simboo di Kronecker. Facciamo notare che ciò era quanto avevamo previsto co teorema spettrae.7.4. Inotre sempre in virtù di tae teorema siamo sicuri de esistenza di una base ortonormae di autovettori anche nei casi degeneri in cui uno o più autovaori ω s abbiano motepicità non unitaria. In tae caso basta determinare una base di autovettori ( che non sarà necessariamente ortogonae a f e appicare poi a procedura di Gram-Schmidt.7.5 che ci fornisce un atra base (deo stesso spazio di autovettori ortogonae aa nostra forma f. Così facendo a vaidità formae dea (. rimane inaterata. Tutto questo sempifica notevomente a risouzione de probema poiché atrimenti in questi casi degeneri si sarebbe dovuti ricorrere aa teoria generae dei sistemi di equazioni differenziai ineari. Troviamo ora a souzione generae de probema. Se z o s = ρ s e iφs è autovettore di V reativo ad M, corrispondente a autovaore ω s, possiamo determinare e souzioni particoari corrispondenti e cioé e z sk = ρ sk e iφ se iωst, z sk = ρ sk e iφ s e iωst, k =,,..., k =,,..., dove Φ s e Φ s sono costanti arbitrarie reai. Sfruttando a inearità de sistema e i fatto che i ρ s costituiscono una base ortonormae di autovettori possiamo scrivere a souzione generae come combinazione ineare di quee particoari z k (t = s= (A s ρ sk e iφ se iωst + B s ρ sk e iφ s e iωst, k =,,..., con A s, B s costanti arbitrarie reai. Nea souzione generae compaiono 4 costanti reai (A s, B s, Φ s, Φ s sufficienti a soddisfare e condizioni iniziai compesse z k ( = zk o, k =,,...,, z k ( =, k =,,...,. Poiché avevamo posto η k (t = Re(z k (t si ha η k (t = e quindi s= z o k ( As ρ sk cos(ω s t + Φ s + B s ρ sk cos( ω s t + Φ s k =,,..., η k (t = s= C s ρ sk cos(ω s t + Φ s, k =,,...,. (.

15 .6 Souzione de equazioni di moto tramite disaccoppiamento Nea souzione generae compaiono costanti reai (C s, Φ s sufficienti a soddisfare e condizioni iniziai reai Le parti η k ( = ηk o, k =,,...,, η k ( =, k =,,...,. η o k ρ sk cos(ω s t + Φ s, k =,,..., di cui è composta a somma nea souzione (. sono dette modi normai de sistema, (etichettati con s. Questi non sono atro che e componenti armoniche di ampiezza ρ sk e frequenza ω s note, e di fase Φ s dipendenti dae condizioni iniziai. π Si ricorda infine che i termini C s ρ sk dipendenti anch essi dae condizioni iniziai dovranno essere sufficientemente piccoi da rispettare ipotesi di piccoi spostamenti. La matrice degi autovettori B = ( ρ, ρ,..., ρ è detta matrice modae e su di essa torneremo ne prossimo paragrafo..6 Souzione de equazioni di moto tramite disaccoppiamento In questo paragrafo, come già preannunciato ne introduzione, riconsidereremo i probema precedente da un punto di vista agebrico e arriveremo a determinare un cambiamento di variabii che ci permetterà di diagonaizzare e equazioni di moto. Come vedremo tae cambio di variabii sarà intrinsecamente egato aa matrice modae. La Lagrangiana e equazioni di moto inearizzate hanno a forma matriciae L( η, η = ( η T M η η T V η M η + V η =. (.3 Ricordiamo inotre che M e V sono simmetriche e definite positive. I nostro intento è ora cercare un cambiamento di coordinate che ci permetta i disaccoppiamento immediato dee equazioni tramite a diagonaizzazione simutanea di M e V. Sostituendo ne sistema (.3 η = B ζ, si ottiene e, motipicando a sinistra per B T, MB ζ + V B ζ = B T MB ζ + B T V B ζ =. La difficotà sta ne trovare B tae che B T MB = I e B T V B = F con F diagonae. Un risutato simie ce o assicura però agebra ineare. Se operiamo infatti i cambio di variabii η = B ζ con B = A M A in cui A è a matrice ortogonae che diagonaizza M

16 LE PICCOLE OSCILLAZIONI M = diag(µ, µ,..., µ con µ, µ,..., µ autovaori di M A è a matrice ortogonae che diagonaizza M A T V A M, i teorema.7.7 ci garantisce che non soo B T MB = I ma anche B T V B = F, dove F = diag(ρ, ρ,....ρ, ed inotre, come aggiungono i coroario.7.4 ed i teorema.7.8, ρ, ρ,....ρ sono e radici de equazione det(λm V = det(v λm =, ρ k >, per k =,,...,., e con riferimento a paragrafo precedente ρ k = ω k. A questo punto B T MB ζ + B T V B ζ = diventa finamente ζ + F ζ = ovvero ζ k + ω kζ k =, con k =,,...,. Ao stesso risutato si sarebbe ovviamente giunti anche operando direttamente sua agrangiana. Sostituendo avremmo avuto e quindi L( ζ, ζ = ( ζ T B T MB ζ ζ T B T V B ζ L( ζ, ζ = ( ζ T ζ ζ T F ζ = ( ζ k ωkζ k. Procedendo, anche in questo modo, si ottengono e equazioni di moto k= d L dt ζ L = k ζ ζ k + ωkζ k =, con k =,,...,. k I sistema ineare e disaccoppiato può essere ora facimente risoto. Ricordando che tutti i ω k = ρ k, k =,,..., sono positivi si ottiene ζ k (t = A k cos(ω k t + B k sin(ω k t, con k =,,..., dove e costanti reai sono sufficienti a soddisfare e condizioni inziai ζ( = ζ o = B η o ζ( = ζ o = B η o. E interessante sottoineare come B non sia atro che a matrice modae, ovvero B = ( ρ, ρ,.... ρ. L essere ρ r T M ρ s = δ rs, con r, s =,,...,

17 .7 Appendice : Eementi di Agebra Lineare 3 impica infatti che B T MB = I. Inotre sappiamo che (V ωsm ρ s =, ovvero V ρ s = ωsm ρ s, con s =,,..., ; motipicando a sinistra per ρ T r, concudiamo quindi che ρ T r V ρ s = ωs ρ T r M ρ s = ωsδ rs, con r, s =,,..., ovvero che B T V B = F..7 Appendice : Eementi di Agebra Lineare In questa sezione indichiamo con:. V uno spazio vettoriae di dimensione n finita. E un endomorfismo di V (appicazione ineare E : V V di matrice associata A 3. f una forma biineare (appicazione f : V V R (una forma quadratica ne nostro caso. e diamo e seguenti Definizioni. f è detta simmetrica se f(v, w = f(w, v, v, w V. f è detta definita positiva se f(v, v >, v 3. E è detto simmetrico rispetto a f simmetrica se f(e(v, w = f(v, E(w, v, w V 4. Una base B { = {v,..., v n } di V è ortonormae rispetto a f se f(v i, v j = δ ij i j dove δ ij = i = j. Teorema.7.. Gi autovaori di una matrice quadrata simmetrica sono reai. Teorema.7.. Se f è una forma biineare simmetrica su uno spazio vettoriae V e B = {v,..., v n } una base ortonormae rispetto a f, aora un endomorfismo E di V è simmetrico rispetto a f se e soo se a matrice associata a E rispetto aa base B è simmetrica. Teorema.7.3. Siano λ, λ due autovaori distinti di un endomorfismo E di uno spazio vettoriae V e ψ, ψ due autovettori corrispondenti. Se E è simmetrico rispetto a una forma biineare simmetrica f, aora ψ e ψ sono ortogonai rispetto a f, ossia f(ψ, ψ =.

18 4 LE PICCOLE OSCILLAZIONI Teorema.7.4. TEOREMA SPETTRALE REALE (versione Sia V uno spazio vettoriae e f una forma biineare simmetrica definita positiva su V. Se E è un endomorfismo simmetrico rispetto a f, aora esiste una base B di V costituita da autovettori per E ortonormae rispetto a f, ossia posto B = {ψ,..., ψ n } si ha E(ψ i = λ i ψ i e f(ψ i, ψ j = δ ij, i, j. Teorema.7.5. PROCEDIMENTO DI GRAM- SCHMIDT Sia f una forma biineare simmetrica definita positiva su uno spazio vettoriae V e {v,..., v n } una base di V. I vettori {w,..., w n } dati da w = v w = v f(v, w f(w, w w w 3 = v 3 f(v 3, w f(w, w w f(v 3, w f(w, w w w n = v n f(v n, w n f(w n, w n w n... f(v n, w f(w, w w formano una base di V e sono ortogonai rispetto a f. Teorema.7.6. TEOREMA SPETTRALE (versione Sia E una appicazione ineare con matrice associata A simmetrica. Aora esiste una base ortonormae di V formata dagi autovettori di E. Coroario.7.. Ogni matrice simmetrica è diagonaizzabie (simie a una matrice diagonae. Inotre esiste C ortogonae tae che C T AC = D dove D è diagonae e possiede sua diagonae principae gi autovaori di A. Coroario.7.. La matrice ortogonae C di cui sopra è formata dagi autovettori ortonormai di A. Coroario.7.3. Se A è una matrice simmetrica definita positiva tutti i suoi autovaori sono reai e positivi. Teorema.7.7. Siano M e V due matrici reai e simmetriche e sia M definita positiva. Aora esiste B non singoare tae che : B T MB = I e B T V B = F con F diagonae. Limitiamoci a dare a dimostrazione de Teorema.7.7 che gioca un ruoo importante nea teoria dee piccoe osciazioni. Dimostrazione Sia A a matrice ortogonae che diagonaizza M. Aora M = A T MA con M = diag(µ,..., µ, dove µ,..., µ sono gi autovaori di M e µ i > i =,,...,.,..., µ / tai Esistono quindi M / = diag(µ /,..., µ / e M / = diag(µ / che M = M / M / e che M / M / = I = M / M / e di conseguenza I = M / M / = M / M M / = M / A T MA M /.

19 .7 Appendice : Eementi di Agebra Lineare 5 Si osserva che V = M / A T V A M / è simmetrica essendo simmetrica V (basta traspora per notaro. Sia ora A a matrice ortogonae diagonaizzante V, aora F = A T V A = A T M / A T V A M / A = B T V B dove F = diag(ρ,..., ρ con ρ,..., ρ autovaori di V e B = A M / A. Osserviamo infine che I = A T A = A T M / A T MA M / A = B T MB da cui assunto. Coroario.7.4. Gi eementi ρ,..., ρ dea diagonae dea matrice F sono e radici de equazione det(v λm = det(λm V = Dimostrazione (λ ρ (λ ρ... (λ ρ = det(λi F = det(λb T MB B T V B = det(b T (λm V B = (det B det(λm V =. Poiché det B affermazione è provata. Teorema.7.8. Se V è definita positiva anche F o è e ρ k >, k =,,...,. Dimostrazione Se q è un vettore di R e V è definita positiva aora q T V q > i cambio di variabii q = Bζ si ha q R. Appicando < (B ζ T V (B ζ = ζ T B T V B ζ = ζ T F ζ, ζ R da cui si deduce che F è definita positiva e tutti i suoi autovaori (e cioè gi eementi dea sua diagonae ρ,..., ρ sono >.

20 6 LE PICCOLE OSCILLAZIONI

21 Capitoo ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni In questo capitoo presenteremo acuni cassici probemi di piccoe osciazioni, ao scopo di iustrare appicazione dei metodi presentati ne precedente capitoo ed ao stesso tempo di anaizzarne interpretazione pratica tramite i concetti di frequenze e modi normai di osciazione.. Pendoi accoppiati O θ d P θ P Si consideri i sistema costituito da due punti P e P, ciascuno di massa m e fissato ad un soffitto con un fio (fessibie ed inestendibie di unghezza e coegati fra oro con una moa di costante eastica k e unghezza a riposo d, tutto situato in un piano verticae. Innanzitutto ricaviamo posizioni e veocità di ciascuno dei punti P e P. Le posizioni, con riferimento ad un sistema con origine in O, sono date da P O = ( sin θ, cos θ, P O = (d + sin θ, cos θ quindi, derivando, e veocità sono P = (θ cos θ, θ sin θ, P = (θ cos θ, θ sin θ. I potenziae de peso è dato da U peso = mg cos θ + mg cos θ

22 8 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni mentre queo dea forza eastica U moa = k( P P d (. = k [ (d + sin θ sin θ + ( cos θ cos θ d]. È facie verificare che, agi effetti de approssimazione de potenziae dea moa, è possibie imitarsi a considerare i potenziae ne caso d =. Infatti consideriamo i potenziae nea forma U moa = k [ ( sin θ sin θ + ( cos θ cos θ ], = ] [ k cos(θ θ, k cos(θ θ, dove ne utima espressione abbiamo tenuto conto che i potenziae può essere definito a meno di una costante. Questo ha a stessa matrice hessiana [ ] k k k k, de potenziae U moa, riportato in (.. Si osservi infine che anche i potenziae nea forma U moa = k( sin θ sin θ, = k( sin θ + sin θ sin θ sin θ presenta a stessa matrice hessiana. In questo caso i potenziae è scritto trascurando e componenti verticai dei punti P e P, che possono essere trascurate. Procediamo utiizzando i potenziae nea forma U moa e riscriviamo energia potenziae competa V = U peso U moa = mg θ + mg θ k cos(θ θ mentre energia cinetica ha a forma T = m P + m P = m θ + m θ. (. Da anaisi dee derivate parziai de energia potenziae V θ = V θ =

23 . Pendoi accoppiati 9 si nota che un punto di stabiità per V è (θ, θ = (,. Poiché a matrice hessiana di V in (, è [ ] [ ] V mg + k k = θ i θ j k mg + k, (, essa è definita positiva e quindi i punto di equiibrio è stabie. L energia potenziae per e piccoe osciazioni assume quindi a forma V = (mg + k θ k θ θ + (mg + k θ mentre energia cinetica data da (. è già quea per e piccoe osciazioni. Con riferimento ae notazioni introdotte, a matrice M ne punto di equiibrio stabie fornisce [ ] M θ i θ j (,,, = [ m m Esamineremo nei dettagi questo esercizio, seguendo passo passo a ricerca dee souzioni, e asciamo aa fine come seguendo a teoria a souzione possa essere ottenuta più concisamente. Scriviamo a Lagrangiana dee piccoe osciazioni per i sistema dei due pendoi accoppiati nea seguente forma L = ( m θ + θ k (θ θ mg ( θ + θ. (.3 Introducendo e due nuove variabii η = θ, η = θ si ha L = ( m η + η k (η η mg ( η + η. (.4 Le equazioni di Lagrange di II specie sono Si cercano souzioni de tipo ( m η + k + mg η kη = ( m η + k + mg η kη =. η (t = Cρ cos(ωt + α η (t = Cρ cos(ωt + α che corrispondono a souzioni che diano osciazioni che osciano con a stessa frequenza. Sostituiamo e espressioni di η e di η e η (t = Cρ ω cos(ωt + α η (t = Cρ ω cos(ωt + α ]

24 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni nee equazioni di moto, ottenendo dopo sempici cacoi i seguente sistema in forma matriciae k + mg k ρ m ρ k k + mg = ω. ρ m ρ Si è ottenuto così un probema agi autovaori. Per cui cercando souzioni non nue si deve avere i seguente determinate nuo: k + mg mω k k k + mg =, mω da cui ( mg mω ( mg e cui souzioni sono (a meno de segno ω = mω + k =, g, ω g = + k m. Le due frequenze corrispondono ai due moti principai θ θ θ θ I due autovettori corrispondenti sono (a meno di una costante ρ ρ ρ = ρ ρ = ρ e dopo normaizzati m, m. Si costruisce così a matrice modae B =, m

25 . Pendoi accoppiati e quindi, facendo uso dea matrice modae e dea matrice dee masse M M = m, m si possono introdurre e nuove coordinate. Se indichiamo con ξ a nuova variabie tae che η = Bξ, tenendo conto che B = B T M si ha ξ = ξ = B η = B T M η = m η = ξ m m η m = η, ovvero m ξ = (η + η m ξ = (η η Eseguiamo i cambio di coordinate, η = (ξ + ξ m η = m (ξ ξ. η. (.5 direttamente sua Lagrangiana (.4, ottenendo a nuova Lagrangiana in forma diagonae L = ( ξ ω ξ + ξ ω ξ, (.6 dove g ω =, ω g = + k m. sono e frequenze normai. Aora e equazioni di moto per e nuove coordinate diventano ξ + ω ξ =. ξ + ω ξ = Quindi a souzione è ξ (t = C cos(ω t + α ξ (t = C cos(ω t + α dove C, C, α, e α dipendono dae condizioni iniziai. Sempre con a matrice modae si può tornare ae vecchie coordinate (vedi (.5 η = B ξ. Consideriamo i caso, con condizioni iniziai η ( = α, η ( = e η ( =, η ( =.. α

26 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni Con un po di agebra, si ottiene η = η C cos(ω t + α m C cos(ω t + α = C cos(ω t + α + C cos(ω t + α m C cos(ω t + α C cos(ω t + α con α = α = e C = C = m α. Quindi ovvero η (t = α cos ω ω η (t = α sin ω ω Ricordando e frequenze normai ω = si ha η (t = α (cos ω t + cos ω t η (t = α (cos ω t cos ω t t cos ω + ω t = α cos ωt cos Ωt t sin ω + ω t = α sin ωt sin Ωt g g e ω = k << mg + k mg, se + k mg + k mg. Quindi ω supera di poco ω se k << mg, aora in questa condizione si ha una moduazione tramite a frequenza fondamentae ω + ω. Sotto queste condizioni, ω e ω differiscono di poco fra oro, poniamo. Aora i fattore Ω = ω + ω varia moto entamente rispetto a fattore η m >> ω ω = cos ωt = ω η f = cos Ωt I fattore η m è una moduazione armonica de osciazione fondamentae ηf. Questo fenomeno è conosciuto come moduazione di ampiezza: a portante, ovvero i segnae (osciazione con frequenza ata, viene moduato da segnae con frequenza più bassa. Quando si sommano due osciazioni e cui frequenze differiscono di poco si ha i ben noto fenomeno dei battimenti. Con un po di esperienza esercizio può essere risoto più brevemente facendo uso dea teoria iustrata ne precedente capitoo. Per competezza ripercorriamo a souzione di questo esercizio.

27 . Pendoi accoppiati 3 Infatti utiizzando direttamente e espressioni dee matrici M e V, e equazioni di moto inearizzate risutano essere [ ] ( [ ] ( m θ mg + k k m + θ θ k mg + k =. θ A questo punto procediamo come nea teoria determinando autovaori e autovettori dea matrice V reativi aa matrice M de probema. L equazione degi autovaori det(v ω M = fornisce ω = g, ω = g + k m. Gi autovettori ortonormai corrispondenti si determinano risovendo Ricaviamo così (V ω sm ρ s = s =,. ρ = ( (, ρ = m I due moti normai di vibrazione sono dunque m. ρ cos(ω t + Φ e ρ cos(ω t + Φ corrispondenti ai moti de sistema. La souzione generae si ottiene appicando i principio di sovrapposizione degi effetti ( θ θ = A ρ cos(ω t + Φ + B ρ cos(ω t + Φ dove (A, B, Φ, Φ sono 4 costanti reai sufficienti a soddisfare e 4 condizioni iniziai. E facie vedere che i cambio di coordinate con B matrice modae ( θ θ B = ( ρ, ρ = disaccoppia e equazioni di moto. Infatti sostituendo ( θ θ [ = B ] ( ζ ζ ( ζ ζ + = B ( ζ ζ [ m ] e premotipicando per B T si ottiene [ g + k m g ] ( ζ L inversione de cambio di coordinate fornisce ne nostro caso ( ζ ζ = B ( θ θ = m ζ [ =. ] ( θ θ.

28 4 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni. I doppiopendoo matematico O θ Si consideri in un piano verticae i sistema costituito da due punti P e P, di massa m ed m coegati i primo con un punto fisso con un fio (inestendibie e fessibie ungo e fra oro con un fio (inestendibie e fessibie ungo. Innanzitutto ricaviamo posizioni e veocità di ciascuno dei due punti P e P. P P O = ( sin θ, cos θ θ P O = ( sin θ + sin θ, cos θ cos θ P quindi, derivando, e veocità P = ( θ cos θ, θ sin θ, P = ( θ cos θ + θ cos θ, θ sin θ + θ sin θ. L energia cinetica dei due punti è data da T = m θ + [ m θ + θ ] + θ θ cos(θ θ. I potenziae de peso è dato da U = m g cos θ + m g( cos θ + cos θ. È evidente che e posizioni θ = e θ = sono quee di equiibrio stabie. L energia cinetica per e piccoe osciazioni è quindi T = m θ + m [ θ + θ ] + θ θ, mentre i potenziae per e piccoe osciazioni assume a forma U = m g θ m g( θ + θ. La Lagrangiana dee piccoe osciazioni per i sistema dei due punti risuta L = (m + m θ + m θ + m θ θ (m + m g θ m g θ. Le equazioni di Lagrange di II specie sono (m + m θ + m θ + (m + m g θ = m θ + m θ + m g θ =

29 . I doppiopendoo matematico 5 D ora in avanti, per sempicità consideremo i caso in cui = = e m = m = m e ponendo ω = g e equazioni di moto diventano θ + θ + ω θ = θ + θ + ω θ =. (.7 Si cercano souzioni in forma compessa de tipo { θ (t = C e iλt θ (t = C e iλt che corrispondono ad osciazioni con a stessa frequenza, ma ampiezza diversa. Si ottiene i seguente sistema agebrico, { (ω λ C λ C = λ C + (ω λ C = (.8 che ammette souzioni C e C non identicamente nue se e soo se i determinante dea matrice dei coefficienti è nuo: (ω λ λ λ ω λ =, (.9 da cui e cui souzioni sono (a meno de segno λ 4 4ω λ + ω 4 =, λ = ω, λ = ω +. Le due frequenze corrispondono ai due moti principai in figura. O θ O θ θ θ Passiamo ora a probema de disaccoppiamento dee equazioni ne sistema (.7. Un sistema di coordinate che gode di tae proprietà è sicuramente queo individuato

30 6 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni dae osciazioni indipendenti e iλ t e e iλ t, che costituiscono e autofunzioni dea matrice associata a sistema (.8. I sistema ammette infinite (aa uno souzioni, una dee incognite deve essere sceta arbitrariamente, ad esempio ponendo C =, atra souzione si ottiene sottraendo ne sistema (.8 a seconda equazione daa prima, ottenendo (ω λ C ω =. Quindi ω C = ω λ A conti fatti, in corrispondenza dee frequenze λ e λ, si ottengono e seguenti souzioni per e ampiezze C, =, C, =, C, =, C, =. Le souzioni particoari de sistema (.7 sono θ (t = e iλ t + e iλ t θ (t = e iλ t + e iλ t. Considerando e osciazioni indipendenti trovate, a fisica de probema suggerisce i cambiamento di variabii θ = η + η θ =, (η η ovvero e nuove coordinate in funzione dee vecchie sono η = 4 (θ + θ η = 4 (θ. θ La nuova Lagrangiana assume a forma diagonae [( L = m + ( η + ] ( η mg η + η. Se vogiamo proprio e coordinate normai, dobbiamo fare uteriore cambio di coordinate ( ξ = m + η ( ξ = m. η La Lagrangiana diventa L = ( ξ + ξ ( λ ξ + λ ξ. e e equazioni di moto ξ + λ ξ = ξ + λ ξ =.

31 .3 Moto di un punto su una superficie 7 Quindi si ottengono due souzioni osciatorie indipendenti di pusazione λ e λ ξ (t = A cos(λ t + α ξ (t = A cos(λ t + α dove A, A, α, e α dipendono dae condizioni iniziai. Sempre con a matrice modae si può tornare ae vecchie coordinate. Commento... Se si definiscono e matrici T =, V = ω ω aora i determinante (.9 è dato da det (V λ T =..3 Moto di un punto su una superficie Supponiamo di avere a superficie di equazione parametrica x = x y z = x(q, q y(q, q z(q, q dove q, q sono e nostre coordinate agrangiane. Se x è a veocità di un punto che si muove sua superficie avremo x = ẋ ẏ ż = x q q + x q q y q q + y q q z q q + z q q Se pensiamo i punto soggetto soo a suo peso avremo Troviamo poi energia cinetica V = mgz(q, q. = x q q + x q q. T = m x x = [ x m q x q q + x q x q q q + x q x q q e definendo i coefficienti dea prima forma fondamentae dea superficie ] E(q, q = x q x q, F (q, q = x q x q, G(q, q = x q x q si ha T = (E m q + F q q + Gq.

32 8 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni La Lagrangiana de sistema è quindi L(q, q, q, q = (E m q + F q q + Gq mgz. Supponiamo ora che (q o, qo sia un minimo ocae dea superficie, ovvero che z q (q o, q o =, z q (q o, q o = con [ zq,q z q,q z q,q z q,q ] (q o,qo definita positiva. Consideriamo ora a agrangiana e sviuppiamo con Tayor in (q o, qo,, trascurando i termini di ordine superiore a secondo mg [ L(q, q, q, q = (E m q + F q q + G q z q,q (q q o + z q,q (q q o (q q o + z q,q (q q o ] dove E, F, G, z q,q, z q,q, z q,q sono E, F, G, z q,q, z q,q, z q,q cacoati in (q o, qo. Poniamo infine Q = q q o, Q = q q o in modo da avere L(Q, Q, Q, Q = (E m Q + F Q Q + G Q ] mg [z q,q Q + z q,q Q Q + z q,q Q Sostituendo nee equazioni di Lagrange possiamo ora scrivere e equazioni di moto inearizzate m [ E F F G ] ( Q Q Da probema agi autovaori corrispondente [ ] det mg [ z q,q z q,q z q,q z q,q + mg [ z q,q z q,q z q,q z q,q ω m [ E F F. ] ( Q si possono infine trovare e frequenze proprie e i modi normai di vibrare de sistema. Per curiosità facciamo notare che se consideriamo i coefficienti dea seconda forma fondamentae di una superficie e(q, q = EG F G Q ] ] x q,q y q,q z q,q x q y q z q x q y q z q = =.

33 .3 Moto di un punto su una superficie 9 f(q, q = g(q, q = EG F EG F x q,q y q,q z q,q x q y q z q x q y q z q x q,q y q,q z q,q x q y q z q x q y q z q è facie far vedere che, poiché ne nostro caso si ha z q = z q =, e = z q,q, f = z q,q, g = z q,q. Ricordando che e curvature principai di una superficie K, K in un suo punto quasiasi (q o, qo sono gi autovaori de probema si nota subito che det ( [ e f f g ] K [ E F F G K = ω g, K = ω g. Le frequenze proprie dee piccoe osciazioni ne intorno de punto di equiibrio stabie (q o, qo sono quindi proporzionai ae curvature principai dea superficie in que punto. ] =

34 3 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni.4 Vibrazioni di moecoe: a moecoa diatomica Si vogiono studiare e vibrazioni di una moecoa. Si consideri, in questo primo esercizio, una moecoa diatomica, che possiamo modeare come due masse m ed M, connesse con una forza eastica di costante k e unghezza a riposo b e ibere di osciare unga a inea retta che unisce e due masse. Siano x e x e coordinate come in figura. x m k b x M Notiamo che non si può parare di spostamento da equiibrio perché a coordinata x può essere quasiasi. L energia cinetica e energia potenziae sono: T = mẋ + Mẋ V = k(x x b. Innanzitutto rendiamo espressione de potenziae omogenea con a trasformazione ottenendo z = x, z = x b, T = mż + Mż V = k(z z. Combinando opportunamente e coordinate z e z si può passare ae coordinate normai η = m M z + z, η = z z, ovvero z = M m + M (η + η, z = M m + M η m m + M η. La Lagrangiana dea moecoa diatomica diventa M m + M η + mm m + M η k η. Lasciamo a ettore di verificare che e equazioni di Lagrange sono η = η + k(m + M mm η =

35 .5 La moecoa triatomica 3 Se eccitiamo i modo η, aora dobbiamo sopprimere i modo η, ovvero cioè = η = z z x = z = z = x b co risutato che x e x devono differire per una costante, ovvero devono muoversi di trasazione uniforme. In questo caso ω =, e non si ha osciazione. Se eccitiamo i modo η, aora dobbiamo sopprimere i modo η, ovvero = η = m M z + z cioè x = z = M m z = M m x + M m b = M m (x b. Questo equivae a due punti che si muovono osciando intorno a centro di massa. Si noti che abbiamo mx + Mx = Mb. In questo caso a frequenza è ω = k(m + M mm frequenza con a quae e due masse osciano rispetto a centro di massa. m M m M Nea figura sono mostrati schematicamente i due possibii modi normai dea moecoa diatomica..5 La moecoa triatomica Si consideri una moecoa di diossido di carbonio CO. CO è una moecoa ineare triatomica, e se i moto è vincoato ad una retta, i suoi gradi di ibertà sono tre e tre sono i modi normai. O C 4 O Figura.. Moecoa di CO Si modea una moecoa triatomica con due masse aterai di massa m ed una massa centrae di massa M, connesse con due forze eastiche di costante k aventi unghezza a riposo b.

36 3 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni m x x b k M x 3 k b m Con e variabii agrangiane scete come in figura, e espressioni de energia cinetica e de energia potenziae sono: T = m(ẋ + ẋ 3 + Mẋ V = k(x x b + k(x 3 x b. L anaisi di V x i = con i =,, 3 ci dice che V è stabie in tutti i punti de tipo x x x 3 = s s + b s + b s R. La forma dee matrici M e V è invece m M m e k k k k k k k. E facie vedere che a matrice V ha determinante nuo ed è soo semidefinita positiva. L essere det V = indica che a rigore non possiamo dire nua su tipo di equiibrio in questione. È intuitivamente chiaro però che si tratta di equiibrio indifferente (fatto che risata a occhio se osserviamo a struttura di V. I fatto invece che V sia soo semidefinita positiva impica a possibie esistenza di autovaori nui ne probema agi autovaori e autovettori che anaizzeremo tra poco. Poniamo ora η i = x i x i con i =,, 3, con s =, di modo che T = m( η + η 3 + M η e V = k(η η + k(η 3 η, mentre e equazioni di moto diventano M η + V η =. I probema agi autovaori e autovettori di V reativi ad M è i seguente: (V ω M ρ =

37 .5 La moecoa triatomica 33 che richiede Da esso ricaviamo det(v ω M =. ω =, ω = k m, ω 3 = k m ( + m. M L annuarsi di un autovaore deriva da fatto che a moecoa può trasare rigidamente ungo i proprio asse, moto questo che non ha nua a che vedere con una vibrazione. In ta caso energia potenziae è nua benché e η i con i =,, 3 siano tutte uguai e diverse da zero, in accordo co fatto che V è soo semidefinita positiva. (Si ricordi che si aveva una trasazione rigida nea moecoa diatomica, che avevamo ricavato dae equazioni di moto senza averne dato una interpretazione matematica. Sostituendo i vaori di ω in (V ω M ρ = possiamo trovare gi autovettori de probema ovvero ρ = m + M corrispondenti ai modi normai, ρ = m, ρ 3 = m(+ m M M(+ M m m(+ m M m M m In questo caso a matrice modae è B = m+m m m(+ m M m+m M(+ M m m+m m m(+ m M. Facciamo notare come per determinare B si sia partiti daa V singoare e semidefinita positiva. I teoremi.7.4 e.7.7 continuano tuttavia a vaere (soo che a matrice M V associata a endomorfismo de teorema T4 diviene ora singoare mentre a matrice V de teorema.7.7 è anch essa singoare ma continua ad essere simmetrica. La matrice B mantiene quindi e sue proprietà diagonaizzanti. Un prezzo però o paghiamo: a singoarità di V si rifette infatti nea singoarità di B T V B = F, sua

38 34 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni diagonae principae dea quae compare, come abbiamo visto, un autovaore nuo. È facie vedere a questo punto che i cambiamento di coordinate η = B ζ disaccoppia e equazioni di moto. Infatti sostituendo η = Bζ e premotipicando per B T si ha ζ ζ k ζ + m ζ =. k ζ 3 m ( + m M ζ 3 La prima equazione di moto ζ = conferma in sintonia con quanto detto precedentemente a presenza de aspetto trasatorio de moto. Osserviamo infine che se avessimo vouto avremmo potuto impostare i probema in modo che a radice ω = (che può trarre in inganno rimanesse escusa sin da principio. Avremmo per esempio potuto imporre fin da inizio che i centro di massa (che normamente si muove di moto rettiineo uniforme essendo i sistema isoato resti fisso ne origine cioè che m(x + x 3 + Mx =. In ta caso o studio dea moecoa triatomica si sarebbe ridotto ad un probema con due soi gradi di ibertà.

39 .6 Due osciatori accoppiati 35.6 Due osciatori accoppiati Si consideri un sistema di due masse coegate fra oro con moe e con due pareti distanti fra oro 3a come in figura. Le due masse hanno a stessa massa m, sono coegate fra oro con moe di costante eastica k e unghezza a riposo uguae ad a. a a a x x m m m m Introdotte e coordinate come in figura, e forze agenti sui punti sono F = k(x a + k(x x a F = k(x x a + k(a x. L energia potenziae ed energia cinetica de sistema sono V = U = k(x a + k(x x a + k(a x T = m x + m x. L anaisi di V x i =, i =, ci dice che V ha un punto di stabiità in (a, a. La matrice V in tae punto è [ V x i x j ] (a,a,3a = [ k k k k ] ed essendo definita positiva indica che i punto di equiibrio è stabie. La matrice M è invece: [ M ẋ i ẋ j ] (a,a,, = [ m m ]. Con i cambio di coordinate η = x a, η = x a,

40 36 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni (che non sono atro che i piccoi spostamenti rispetto aa posizione di equiibrio otteniamo a Lagrangiana L = m( η + η kη k(η η kη η m m a a a η e quindi e equazioni di moto (ineari sono [ ] ( [ ] ( m η k k η + =. m η k k η Possiamo a questo punto trovare autovaori e autovettori di V rispetto ad M. L equazione det(v ω M = ci fornisce ω = k m, ω = 3k m. (. Gi autovettori ortonormai rispetto ad M corrispondenti si determinano risovendo (V ω sm ρ s =, s =,. Imponiamo che sia nuo i suo determinante, e con ω e ω dati da (. ricaviamo così gi autovettori ρ =, m ρ = I due modi normai di vibrazione sono dunque m ρ cos(ω t + Φ, ρ cos(ω t + Φ, corrispondenti ai moti de sistema. La souzione generae si ottiene appicando i principio di sovrapposizione degi effetti ( η η = A ρ cos(ω t + Φ + B ρ cos(ω t + Φ dove (A, B, Φ, Φ sono e 4 costanti reai sufficienti a soddisfare e 4 condizioni iniziai. In questo probema a matrice modae sarà B = ( ρ, ρ = m

41 .6 Due osciatori accoppiati 37 ed è facie vedere come, a partire dae equazioni di moto ineari, co cambio di coordinate ( η η = B ( ζ e premotipicando per B T si ottiene i sistema ineare e disaccoppiato ζ [ ] ( ζ ζ + [ k m ζ 3k m ] ( ζ ζ =. L inversione de cambiamento di coordinate fornisce ne nostro caso ( ( ζ = B η = m. η ( η η Come sappiamo con e coordinate normai energia cinetica T e energia potenziae V prendono una forma senza termini misti, cioè sia T che V sono forme quadratiche omogenee. Ciascuna dee equazioni di moto contiene soo una coordinata normae, ovvero e equazioni sono separate e ciascuna dee souzioni rappresenta un soo modo separato di vibrare. Commento.6.. a x m A a x m B a Se poniamo attenzione su un modo simmetrico e supponiamo, come in figura, che entrambi i punti siano spostati a destra dea stessa distanza x, si osserva facimente che a moa mediana non subisce aungamenti e a soa forza su punto B è F = kx ı che spinge verso sinistra. Questo in accordo co fatto che a pusazione è uguae a ω. a A m x a x m B a Se poniamo attenzione su un modo antisimmetrico e supponiamo, come in figura, che i punti siano spostati a sinistra ed a destra dea stessa distanza x, si osserva facimente che a moa mediana subisce un aungamento x e quee aterai un accorciamento x. Pertanto a soa forza su punto B è F = 3kx ı che spinge verso sinistra. Questo in accordo co fatto che a pusazione è uguae a ω.

42 38 ESERCIZI sue Piccoe Osciazioni.7 Masse in serie Si consideri un sistema di tre masse coegate fra oro con moe e con due pareti distanti fra oro 4a come in figura. Le tre masse hanno a stessa massa m, sono coegate fra oro con moe di costante eastica k e unghezza a riposo uguae ad a. m m m k k k k a a a a m m m x x x 3 4a Introdotte e coordinate come in figura, e forze agenti sui punti sono F = k(x a + k(x x a F = k(x x a + k(x 3 x a F 3 = k(x 3 x a + k(3a x 3. L energia potenziae ed energia cinetica de sistema sono V = U = k(x a + k(x x a + k(x 3 x a + k(3a x 3 T = mx + mx + mx 3 L anaisi di V x i =, i =,, 3 ci dice che V ha un punto di stabiità in (a, a, 3a. La matrice V in tae punto è [ ] k k V = k k k x i x j k k (a,a,3a ed essendo definita positiva indica che i punto di equiibrio è stabie. La matrice M è invece: [ ] m M = m. ẋ i ẋ j m Con i cambio di coordinate (a,a,3a,,, η = x a, η = x a, η 3 = x 3 3a,

43 .7 Masse in serie 39 (che non sono atro che i piccoi spostamenti rispetto aa posizione di equiibrio otteniamo a Lagrangiana L = m( η + η + η 3 kη k(η η k(η 3 η kη 3 m m m η η η 3 a a a a e quindi e equazioni di moto (ineari sono m η k k m η + k k k m η 3 k k η η η =. Possiamo a questo punto trovare autovaori e autovettori di V rispetto ad M. L equazione det(v ω M =, imponendo che sia nuo i suo determinante (k mω (mω 4 4kmω + k =, fornisce ω = ( k m, ω = k m, ω 3 = ( + k m. Gi autovettori ortonormai rispetto ad M corrispondenti si determinano risovendo ricavando così gi autovettori ρ = (V ω sm ρ s =, s =,, 3. m, ρ = I tre modi normai di vibrazione sono dunque m, ρ 3 = ρ cos(ω t + Φ, ρ cos(ω t + Φ, ρ 3 cos(ω 3 t + Φ corrispondenti ai moti de sistema. m. La souzione generae si ottiene appicando i principio di sovrapposizione degi effetti η η = A ρ cos(ω t + Φ + B ρ cos(ω t + Φ + C ρ 3 cos(ω 3 t + Φ η 3