Introduzione ai Minimi Quadrati

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1 Introduzone a Mnm Quadrat Msure rpetute della medesma grandezza, esegute al lmte della precsone possble con l metodo e gl strument utlzzat, fornscono sempre rsultat dvers per la presenza degl error casual; tal error, non not, non possono essere elmnat. Come s può stmare l valore vero d una grandezza se non s conoscono gl error n cascuna osservazone? S assoca alle msure una modellzzazone statstca e matematca: l osservazone msura O è la somma d due component: l valore vero della grandezza osservable e l errore d msura ncognto ν. O ν Rapd cenn a dfferent tp d error Error casual, a meda nulla e d enttà dpendente dalle precson strumentale e d lettura: nelmnabl ma faclmente modellzzabl statstcamente ved subto sotto. Error sstematc o d modello, dovut a sstematsm strumental e/o errata modellzzazone delle osservazon o delle relazon fra osservazon e ncognte; n alcun cas dentfcabl e elmnabl ma non modellzzabl n senso generale vanno trattat caso per caso ved la verfca d potes. Modellzzazone de pur error casual

2 Un buon modello formale per descrvere le osservazon d precsone è quello d consderarle come estrazon d varabl casual gaussane o normal, defnte da meda e varanza σ ; f O / e πσ O σ ove f O : dstrbuzone d denstà d probabltà : valore vero, ncognto, dell osservazone osservable σ : parametro d dspersone o varanza. Nota Indchamo con m O M la probabltà d ottenere una msura che cada nell ntervallo d valor compres tra m e M ; tale probabltà è data da M m O M f O d m O

3 Indcatvamente l rsultato d una msura cade con l 99.9% d probabltà nell ntervallo -3σ e 3σ; noltre, formalmente s ha probabltà nulla d ottenere da un osservazone l valore dell osservable: nfatt O d O f Caso R m Se supponamo d avere m osservabl, coè d osservare m grandezze dverse, possamo utlzzare lo stesso modello vsto precedentemente e scrvere n modo compatto, utlzzando la notazone vettorale: ν O con m m mo O O O ν ν ν ν... ;... ;... / / det C C π O T O m m O e f ove m è la dmensone d.

4 C è la matrce d covaranza delle osservazon. C σ σ... σm σ σ σ... m σ σ σ m m... m contene: n dagonale le varanze delle sngole osservazon, fuor dagonale le covaranze fra coppe d osservazon; la matrce è smmetrca e defnta postva, qund nvertble. Nota Se O segue una dstrbuzone normale con meda e covaranza C s ndca [ ] O N, C

5 Termnologa Campone bernoullano Un campone bernoullano è un nseme d element estratt ndpendentemente da una Varable Casuale VC. Esempo: pù rpetzon ndpendent della stessa osservazone Statstche camponare Varabl casual funzon della VC dalla quale l campone è stato estratto: meda camponara: ˆ N O N,..., ; varanza camponara corretta: σˆ,..., ˆ N O N Stma de parametr statstc d una VC Calcolo de valor de parametr caratterstc d una VC ad esempo meda e varanza, a partre da un campone bernoullano per mezzo d opportun stmator, defnt n base a determnat crter statstc. Correttezza Uno stmatore è corretto se la sua meda concde con la meda della VC. Consstenza Uno stmatore è consstente se, al tendere a nfnto della numerostà del campone, la sua meda tende alla meda della VC n probabltà

6 e la sua varanza tende a n probabltà. Mnma varanza Uno stmatore è d mnma varanza se la sua varanza è la mnore tra quelle degl stmator dello stesso parametro statstco della VC. Robustezza Uno stmatore è robusto se non vene sgnfcatvamente nfluenzato da poch element del campone non appartenent alla VC consderata. ccuratezza Defnsce la dspersone de valor camponar ntorno alla meda camponara; la varanza camponara è un ndce d accuratezza. recsone Defnsce la dspersone de valor camponar ntorno alla meda teorca della VC dalla quale s rtene estratto l campone; Msure molto accurate σ pccolo rsultano poco precse se s hanno error d modello.

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8 I Mnm Quadrat Formalzzazone del problema e degl obettv Non è sempre possble osservare drettamente grandezze alle qual samo nteressat. Se ad esempo voglamo determnare coordnate d punt sulla superfce terrestre, non è possble esegure la loro msura dretta; possamo però fare msure d angol e dstanze o d bas, e costrure un modello fsco e geometrco che legh tal osservabl alle coordnate de punt. In questo caso qund le osservabl angol, dstanze e bas possono essere descrtte funzonalmente a partre da parametr ncognt x le coordnate de punt. Ovvero Sano date m osservazon o... o o m o per ogn osservazone -esma valga ν o ν ; E ν ovvero [ ]

9 o ν E [ o ] : vettore delle osservabl, ncognte; o: vettore delle osservazon, note; ν: vettore degl error d osservazone, ncognt. Sa noto l modello stocastco delle osservazon, ovvero la loro matrce d covaranza: C C νν σ Q σ ove rappresenta un fattore d precsone comune ; Q è detta matrce de cofattor ed esprme n dagonale le precson relatve delle dverse osservazon, fuor dagonale le correlazon fra le dverse osservazon. Sa x un vettore contenente n parametr ncognt: x x x... x n con n m Sa noto l modello determnstco del problema, ovvero la relazone funzonale fra x e

10 f x con f funzone nota. Il sstema n x sarebbe rsolvble supponendo d conoscere le osservabl ; n tal caso nfatt s avrebbe x f erò l sstema non è rsolvble utlzzando drettamente le osservazon, perché queste sono affette da error ncognt; non è coè possble n alcun modo rsolvere la x f o poché, a causa degl error, s ha o ν f x ν f x S pone l problema d trovare un metodo che, sfruttando le nformazon dsponbl, permetta la mglor stma possble n senso statstco de parametr ncognt x xˆ e delle osservabl ˆ ;

11 s cerca noltre un metodo che permetta d stmare la precsone d stma delle ncognte; nfne sono necessar strument per valutare la presenza d error nel modello adottato. Il metodo adottato nell elaborazone delle osservazon GS e nella compensazone delle ret è quello de Mnm Quadrat. Il metodo s presta a problem lnear, ovvero nella forma o ν x b, ν, E [ ν], Cνν C σ Q ove, ν, x e C hanno l sgnfcato gà vsto; è detta matrce dsegno nota, dm[] m n, b è l termne noto, dm[b] m.

12 Mnm quadrat, prncpo e stmator Dato l problema precedentemente ntrodotto, n forma lneare, s cercano xˆ e ŷ consstent, con ŷ a mnma dstanza da ; ovvero x ˆ e ˆ tal che o o ˆ xˆ b T Q o mn Nel seguto vengono rportate senza dmostrazone le stme fornte da MQ. Dalle equazon d condzone precedentemente postulate s rcava l cosddetto sstema normale Nxˆ T Q o b, ove N è defnta matrce normale, N T Q

13 S hanno due cas: è d rango peno, ovvero le sue colonne sono lnearmente ndpendent: x x n questo caso l problema non presenta defcenza d rango; non è d rango peno, ovvero alcune sue colonne sono lnearmente dpendent dalle altre: x per qualche x n questo caso l problema presenta defcenza d rango. Soluzone del problema senza defcenza d rango Se è d rango peno lo è anche N, che è dunque nvertble. S hanno dunque le seguent stme. Stma de parametr ncognt: xˆ N T Q o b ; stma delle osservabl e degl scart: ˆ xˆ b νˆ ˆ o ˆ ;

14 La rdondanza e le stme d covaranza Rdondanza: dfferenza fra numero d osservazon e numero d parametr ncognt, detta anche numero d grad d lbertà: R m n S può dmostrare che m n ˆ, ovvero quando la rdondanza è nulla non è possble rstmare le osservazon e qund gl scart d osservazone S può noltre dmostrare che lm x ˆ x; lmˆ R R ovvero: al tendere all nfnto del numero d osservazon, gl error d osservazone s scarcano solo sulle stme degl error e non sulle stme de parametr ncognt e delle osservabl. Qund una rdondanza elevata consente: la valdazone recproca delle osservazon; una stma pù precsa de parametr ncognt; una stma delle loro precson d stma. stma del σ : σˆ T νˆ Q νˆ ; m n stma della matrce d covaranza de parametr:

15 C x ˆ x ˆ σˆ N ; stma della matrce d covaranza delle osservabl: C ˆ ˆ T σˆ N ; stma della matrce d covaranza degl scart C ν ˆˆ ν σˆ Q N T Note Il metodo de mnm quadrat fornsce stme corrette e d mnma varanza per parametr ncognt. Le stme sono ndpendent dal valore d : σ qund non è necessaro conoscere tale valore a pror; dpendono però da Q, e b modell stocastco e determnstco.

16 Esempo d applcazone de MQ Sano, B e C tre punt; sa H la quota nota d ; Sano stat msurat dslvell da a B DH Bo DH C. C DH BCo e da C a o Evdentemente vale la, da B a H B H H HC H H C B DH DH DH B C BC Soluzone medante MQ S scrve l modello determnstco del problema: DH BO DHCO DH BCO H B H H C H HC H B ν ν ν B C BC ovvero

17 ν O b x ove,, B C H H H H x b Modello stocastco Nel presente esempo s consderano le msure d uguale precsone che ndchamo con σ e scorrelate: σ σ σ C ovvero I C σ Una volta calcolate la matrce normale e la sua nversa, I Q N T T T 3 N

18 le soluzon fornte da MQ sono le seguent. arametr ncognt BCO CO BO CO BCO BO BCO CO BO T B C DH DH DH DH DH DH H H DH H DH H DH H H 3 3 ˆ ˆ ˆ b Q N x Osservabl ν ν ν ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ BCO CO BO B C BC C B DH DH DH H H H H DH DH DH b x Scart ν ν ν ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ν O

19 νˆ BO ove s è posto DH DH DH BCO recsone delle stme CO σˆ T νˆ Q νˆ m n 3ˆ ν 9 3 νˆ 3 C x ˆ x ˆ σˆ N νˆ 9 σhˆ C C xx, ν ˆ Cxx, σhˆ 3 B C ˆˆ σˆ T N νˆ 9 σd Hˆ C B ˆˆ, ν ˆ σdhˆ σ C DHˆ 3 BC

20 Il problema della defcenza d rango Nel caso non sa d rango peno non lo è neppure N; rsulta percò mpossble nvertre l sstema normale per la stma d x ˆ. Geometrcamente s ha la seguente stuazone: ad una stma ottmale delle osservabl ovvero a mnma dstanza dalle osservazon O corrspondono nfnte soluzon per parametr ncognt

21 Defnamo l nucleo N d come: { x x } N ; supponamo d conoscere l valore vero delle osservabl, ; evdentemente se xˆ è soluzone d xˆ b, anche x ˆ x lo è; nfatt xˆ x b xˆ b x ˆ ˆ n sostanza le osservazon non contengono abbastanza nformazone per stmare tutt parametr desderat; tale caratterstca non dpende dalla rdondanza ma dal dsegno del problema. d esempo s consder l anello d lvellazone nzale e s supponga d voler stmare tutte le quote dalle msure d dslvello: O ν x b DH DH DH BO BCO CO H H H B C v è facle verfcare che non è d rango peno e che, n partcolare, N t, t R

22 n effett, pensando al problema dal punto d vsta fsco, è evdente che valor delle osservabl d dslvello del trangolo non vengono modfcat aggungendo un valore H comune alle 3 quote supposte ncognte: DH DH DH B BC C H H H B C H H H B C H H H B C H H H H H H B C H H H ovvero le quote de punt parametr ncognt, presentano grado d lbertà, rspetto a dslvell osservabl; la stuazone non camba aggungendo una o pù osservazon d dslvello a ttolo d eserczo lo s verfch aggungendo ad esempo DH. C La rmozone della defcenza d rango er rmuovere la defcenza d rango n un problema a MQ s deve nnanztutto dentfcare preventvamente qual sano parametr non stmabl del problema: ad esempo n una rete d lvellazone, con sole osservazon

23 d dslvell, sono stmabl le quote d tutt punt della rete meno uno. tale punto sono possbl e necessar due approcc alternatv.. S vncolano parametr non stmabl del problema: cò equvale a fssare un Sstema d Rfermento n cu verranno fornte le soluzon per restant parametr realmente stmabl. Nel problema della rete d lvellazone questo equvale ad attrbure la quota zero ad uno de punt della rete stessa. Tale approcco è quello seguto, appunto, nella defnzone de Sstem d Rfermento, global o nazonal.. S rformula l problema aggungendo nuove osservazon su parametr non stmabl; ad esempo, nella rete d lvellazone, msurando drettamente la quota d uno o pù punt ed nserendo le relatve equazon d osservazone nel sstema. Tpcamente, nell ambto delle ret geodetche, tal osservazon agguntve, dette anche pseudoosservazon, non sono non possono essere ottenute drettamente, ma dervano da font esterne, che abbano rsolto a monte l problema d defnre un Sstema d Rfermento. d esempo, n Itala, è prass nquadrare le ret local d lvellazone a caposald IGMI Isttuto Geografco Mltare Italano, utlzzando per quest le quote trascrtte nelle monografe de punt.

24 La lnearzzazone d un problema non lneare Non esste una formulazone de MQ analoga a quella gà vsta nel caso lneare x b e applcable al problema generale n forma non lneare f x ove f x f f f m x x x, x, x..., x,..., x,..., x n,..., x n n er rsolvere l problema generale è prma necessaro lnearzzarlo S suppone d conoscere valor approssmat per parametr ncognt:

25 [ T x xn ],..., x : x x,..., xn xn T x ; è allora possble lnearzzare la relazone f x medante uno svluppo d Talor arrestato al prmo ordne nell ntorno d x : f f f x x x... x x xn f f x x x... x x xn f m f x x x x... x x x x x n n f x x x n n m f m ovvero m n x x n x n f x J x x x o anche η ξ ove η f x : η f x,..., ηm m fm x ξ x x : ξ x x,..., n x ξ n xn f [ ] dm m n; j x x j

26 Nella prass operatva s svolgono dunque le seguent operazon: s fornscono valor approssmat x ; s calcolano corrspondent ; s calcolano le dervate e qund gl element j ; s calcola l vettore η O O. S ottene dunque l problema lneare η O η ν E η O η [ ] ξ con dm[η Ο, η, ν]m; dm[ξ]n; dm[] m n. Medante MQ s rsolve l problema lneare rspetto al vettore de parametr ncognt ξ; s calcolano parametr fnal medante la xˆ x ξˆ ˆ ηˆ Nota l metodo da adottars per rcavare valor approssmat dpende da caso a caso e non vene consderato n questa esposzone generale.

27 Gl effett della lnearzzazone causa delle approssmazon ntrodotte dalla lnearzzazone xb per l problema fx le prme stme xˆ, ˆ fornte da MQ non possono essere consderate defntve. In partcolare gl ˆx dvengono nuov valor approssmat x a partre da qual s effettua una nuova stma. Il processo teratvo termna quando due stme successve dfferscono n modo non sgnfcatvo, ovvero quando x ˆ n x n < ε con ε assegnato.

28 Un esempo d lnearzzazone per un problema non lneare Sa un punto d poszone ncognta n R 3 : sano nvece,, 3 e 4 quattro punt d poszone nota: Da sono state msurate le dstanze a quattro punt, ottenendo valor ; s ndch con l vettore delle osservazon d dstanza. O O O O 4 3 ; ; ; ρ ρ ρ ρ O ρ E noto un valore approssmato della poszone d

29 s vuole stmare la poszone d. rocedmento La generca equazone d osservazone da a è ρ O ν ρ ρ la relazone che lega le dstanze osservate a meno degl error alle ncognte la poszone d è non lneare; l sstema è rdondante: 4 osservazon per 3 ncognte; è possble rsolverlo medante MQ ma deve prma essere lnearzzato. Lnearzzazone della generca dstanza da a :

30 ρ ovvero e ξ ρ ρ ove ρ dstanza calcolata ne valor approssmat ρ e versore approssmato da a

31 ξ correzon da apportare alle coordnate approssmate Il problema assume dunque la forma ξ ξ ξ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ O O O O e e e e e e e e e e e e ovvero ξ η ν η ν ρ ρ ρ ρ η O O ora rsolvble medante MQ.

32 Error d modello: ntroduzone alla verfca statstca d potes Error d modello determnstco: errata costruzone delle e.o. fra osservazon e ncognte, ovvero d e b. In generale s ha modello determnstco adottato x b ν O modello determnstco corretto δ x b δb ν O d esempo, msuro O una lunghezza n pollc e stmo l rsultato x n centmetr, senza convertre: relazone adottata O ax ν, a relazone corretta O ax ν, a.54cm / nc ossono essere su tutto l modello ma tpcamente su sngole osservazon, ovvero: a δ a x b δb O solo per l osservazone -esma. Sono elmnabl a pror medante corretta costruzone delle e.o. non sempre possble;

33 dentfcabl a posteror solo ma non sempre se non compaono sstematcamente n tutte le osservazon. Comportano stme errate prncpalmente de parametr ncognt. Error d modello stocastco: errata potes sulla struttura della matrce C d covaranza delle osservazon; tpcamente sovrastma della precsone d alcune osservazon: relatv σ C sottostmat "pccol"; sottostma delle correlazon fra coppe d osservazon: relatv sottostmat o post a zero. C j Ovvero: modello stocastco adottato per l osservazone -esma σ σ ; σ j σ j,..., m j modello stocastco corretto σ σ δσ ; σ σ δσ j,..., m j j Elmnabl a pror medante corretta costruzone d C non sempre possble; dentfcabl a posteror solo ma non sempre se s dspone d osservazon rdondant. Comportano stme errate prncpalmente della matrce d covaranza de parametr ncognt. Il metodo de MQ non è uno stmatore robusto: error d modello determnstco o stocastco, j

34 global o su osservazon solate outler, possono dstorcere le stme. Esstono algortm per: verfcare a posteror la correttezza globale de modell adottat test del χ ; dentfcare eventual error d modello su sngole osservazon dentfcazone degl outler e data snoopng. La verfca statstca d potes E' un operazone che consente d stablre se, statstcamente, ovvero con una certa probabltà d errore, due valor sono ugual o dvers. Tpcamente: s pone l potes H che le grandezze oggetto d verfca sano ugual; s costrusce una statstca camponara che, sotto l potes H, debba segure una dstrbuzone nota; che vceversa, qualora H sa sbaglata, vada ad assumere valor grand, ovvero non accettabl statstcamente; s confronta qund la statstca camponara con

35 valor lmte ammess dalla sua dstrbuzone teorca. Nelle nostre applcazon la verfca vene fnalzzata al controllo d presenza d error d modello. Lvello d sgnfcatvtà α del test: probabltà d errore che s accetta nell esegure l test, tpcamente.,.5,.. Esempo: test del χ per l controllo d accuratezza. Uno strumento d msura deve essere caratterzzato da accuratezza σ. Vene effettuata una sere d osservazon O vene calcolata la varanza camponara ˆσ ; s vuole verfcare se ˆσ sa statstcamente uguale a a un certo lvello d sgnfcatvtà α: H σˆ : σ Teora non dmostrata: se fosse vera l potes H dovrebbe valere la σ σˆ ˆ χ N N O N n ove χ è la V.C. chquadro a n grad d lbertà, ˆ N O σ N[, ] N e σ

36 la relazone comporta σˆ N χ χ sp N σ N α s defnsce χ l valore lmte tale che χ N χ N χ N > χ N α α α α perché l'potes σ ˆ σ sa soddsfatta s deve avere χ sp χ N α se χ sp χ N ovvero α H : s σ è vera

37 se χ sp > χ N α H : s σ è falsa La verfca d potes per dat e le ret GS Nell elaborazone de dat GS e nella compensazone d ret rlevate medante GS tpcamente v sono outler dovut sa all approssmata conoscenza del modello stocastco le osservazon vengono potzzate pù accurate e meno correlate d quanto non sano n realtà; sa alla presenza d solat error d modello determnstco alcune osservazon possono contenere termn d dsturbo d enttà sgnfcatva e non modellzzabl: ad es. l multpath o uno stazonamento fuor centro. ertanto, n genere, prma s verfca la correttezza del modello globale, po s ndvduano eventual outler, nfne s corregge l modello stocastco. Il test del χ o test globale sul modello

38 funzonale e stocastco Ipotes fondamentale H : σ σ. ˆ σ Statstca d test: σ se H è vera: χ ˆ m n sp χ ; sp χ mn sa α l lvello d sgnfcatvtà del test; sa χ mn α l valore teorco tale che χ m m χ α α n n se χ se χ sp sp χ > χ mn mn α H vene accettata; α H vene rgettata: sono present error d modello. Esecuzone del test sul modello globale

39 S effettua la stma a MQ de parametr ncognt e delle osservabl; s stmano gl scart d osservazone νˆ e qund l σˆ ; s fssa l lvello d sgnfcatvtà α per l test; s rcava l valore d s calcola l χ sp χ mn α da apposte tabelle; e lo s confronta con l valore teorco. Nota: l valore χ m n α vene rportato n tabella come χ α a ν grad d lbertà, ν m n ad esempo: sa stata effettuata una compensazone d osservazon n ncognte; a fronte d un σ cm dcharato a pror s sa ottenuto un ˆ σ. 375cm. Sa fssato α 5% : α 95%. 95; da dat precedent s rcava m n 8; dalla tabella s estrae l valore corrspondente alla colonna χ e alla rga v 8, ovvero 95. χ χ sp ˆ σ m n σ > 5.5

40 Il test non è superato: qund v è, a un lvello d probabltà del 95%, un errore d modello. Se s fosse fssato α %, s sarebbe ottenuto colonna della tabella χ χ > χsp ovvero v sono error d modello a lvello d sgnfcatvtà 5%, ma non a lvello d sgnfcatvtà %.

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42 Il test locale sulla sngola osservazone potes d osservazon ndpendent Serve per dentfcare error d modello determnstco o stocastco su una sngola osservazone : O Ipotes fondamentale d assenza d error d modello: ovvero H : ˆ ν νˆ Statstca d test: τsp; σˆ ν se H è vera: τ sp τ mn ove τ mn è la dstrbuzone d Thomson a m n grad d lbertà; α lvello d sgnfcatvtà del test. Nota Il test è a due code, ovvero: s devono valutare sa scart negatv sa scart postv, n modulo troppo grand Qund, defnto τ m n α / l valore teorco tale che

43 τ mn τ mn α / α τm n > τmn α / α se τ τ α / H vene accettata; sp mn se τ > τ α / H vene rgettata: sp mn l osservazone -esma è un sospetto outler. Esecuzone del test locale La non robustezza de MQ rende complcata l dentfcazone degl outler poché un outler modfca anche gl scart delle altre osservazon; qund è necessaro un procedmento teratvo per dentfcare gl outler Data snoopng. ogn terazone s ndvdua l osservazone k per la quale: τ sp τ k sp > mn k τ maxτ α / per gestre l sospetto outler v sono due approcc: l sospetto outler vene elmnato dall nseme delle osservazon tpcamente quando la sp τ è sgnfcatvamente superore al valore lmte; sp

44 l sospetto outler vene conservato nell nseme d osservazon, dmnuendone però l peso d compensazone ovvero aumentandone la varanza: emprcamente s può adottare New [ ] C, ν New σ approcco adottable solo se l osservazone è ndpendente dalle altre e la τ sp è superore ma confrontable con l valore lmte; qund vene rpetuta la stma a MQ e l test globale; c s arresta quando non v sono pù osservazon sospette. S devono po controllare le osservazon elmnate calcolando loro scart per elmnarle defntvamente o rentrodurle. Qualora l test sul modello globale non venga superato ma non v sano sospett outler scart normalzzat omogene v è tpcamente un problema d sottostma generale degl element della matrce d covaranza delle osservazon sovrastma delle precson.

45 ccuratezza de parametr stmat Sono stat esegut l test globale sul modello e l data snoopng con est postv. S consdera dunque ruscta la stma de parametr, xˆ ; la loro accuratezza è data dalla relatva matrce d covaranza nel caso senza defcenza d rango C x ˆ x ˆ σˆ N. C s chede quale sa la regone d confdenza per l valore vero de parametr ncognt, ovvero la regone dello spazo n-dmensonale alla quale l vettore x appartene con lvello d probabltà assegnata. La regone d confdenza per l vettore de parametr ncognt ad un certo lvello d probabltà -α è data dalla T x xˆ Cxx ˆˆ x xˆ Fn, mn α ove F n, m - n α è l valore della funzone F d Fsher a n, m - n grad d lbertà, corrspondente alla probabltà - α; α: n genere s scelgono valor.,.5,., ovvero -α99%, 95%, 9%. Nota Tpcamente s è nteressat alla regone d confdenza per un sottonseme d parametr ncognt, ξ, dm[ξ]r. er analzzare la regone d confdenza d ξ:

46 s estrae dal vettore xˆ l sottovettore ξˆ corrspondente a parametr ξ d nteresse; qund s estrae dalla matrce d covaranza totale C xˆ ˆx la matrce d covaranza del vettore ξˆ, ; Cξˆ ˆξ sa x x x,... x n C xx ˆˆ σ σ... σn σ σ σ... n σ n σn... σn se ad esempo x ξ s ha x j C σ σ σj ξˆ ξˆ j σ j la regone d confdenza con probabltà -α per l vettore ξ è data dalla T ξ ξˆ C ξ ξˆ Fr, mn ξξ ˆˆ α d esempo, nel caso d una compensazone d rete geodetca, tpcamente s vuole conoscere per ogn punto la regone trdmensonale d confdenza delle coordnate [,, ] del punto stesso. La regone d confdenza n questo caso è data da un ellssode centrato n [ ˆ, ˆ, ˆ ], cu parametr semass e relatve drezon dpendono dalla matrce d covaranza delle stme delle coordnate del punto.

47 Ellssode d confdenza n tre dmenson

48 Tabella della F d Fsher

49 pplcazon de MQ rlevant al corso Elaborazone delle osservazon GS Le relazon che legano le osservazon GS fas e codc alle ncognte poszone del rcevtore o component della base sono sml alle equazon d dstanza; n generale le osservazon sono rdondant, anz, tpcamente m>>n. Nella maggor parte de programm per l elaborazone de dat GS l problema d stma vene lnearzzato e qund rsolto medante MQ. I programm n genere applcano a dat l test del χ per fornre a posteror un ndcatore d qualtà de rsultat; vene noltre effettuato un data snoopng delle sngole osservazon, per la rmozone d eventual outler.

50 Compensazone d ret geodetche Sa stato adottato uno schema d rlevo rdondante su una rete geodetca. E possble effettuare una compensazone a MQ sulla rete, concettualmente smle al caso della lvellazone: le osservazon n ngresso sono le stme delle bas fornte dall elaborazone de dat GS e le relatve matrc d covaranza; parametr ncognt sono le coordnate relatve de punt della rete. La compensazone d rete permette: una valutazone pù realstca sulla precsone delle stme delle poszon rspetto a quella fornta dall elaborazone de dat; l dentfcazone d eventual anomale su sngole sesson error nelle efemerd, atmosfera,... o su sngol punt errore nell altezza d antenna,...

51 utovalutazone su Mnm Quadrat: argoment e quest d mportanza fondamentale Fornsc una defnzone per error casual, d modello determnstco e d modello stocastco. Descrv l prncpo d stma de MQ e scrv gl stmator per x,, ν, ˆσ, Cxx e C fornt dal metodo n assenza d defcenza d rango. Descrv l problema della defcenza d rango e d come possa operatvamente essere rsolto nella compensazone d ret geodetche. Spega l metodo d lnearzzazone per un problema non lneare e applcalo all esempo delle osservazon d dstanza. Descrv l test del χ : le fnaltà, la statstca d test e la sua esecuzone. Descrv l test sulla sngola osservazone: le fnaltà, la statstca d test e la sua esecuzone. La defnzone d regone d confdenza per parametr stmat e per un loro sottonseme.