DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

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1 UNITÀ. DISEQUAZIONI ALGEBRICHE. Generalità e definizioni sulle diquazioni algebriche.. Diquazioni di primo grado.. Diquazioni di condo grado.. Diquazioni di grado superiore al condo.. Diquazioni fratte. 6. Sistemi con diquazioni di primo grado. 7. Sistemi con diquazioni di condo grado. 8. Sistemi con diquazioni di grado superiore al condo.. Sistemi con diquazioni fratte.. Equazioni irrazionali.. Diquazioni irrazionali di prima specie e di conda specie.. Il valore assoluto e le sue proprietà.. Equazioni con valore assoluto.. Equazioni con più valori assoluti.. Diquazioni con valore assoluto. 6. Diquazioni con più valori assoluti. 7. Problemi vari che si risolvono con diquazioni o con sistemi di diquazioni.

2 . Generalità e definizioni sulle diquazioni algebriche. Una diquazione algebrica è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti un incognita, che è verificata soltanto per alcuni valori dell incognita. Per empio, la diquazione contenente l incognita, non è verificata per ma è verificata per. Le soluzioni di una diquazione sono tutti i valori dell incognita che, sostituiti nella diquazione, verificano la disuguaglianza. Risolvere una diquazione significa trovare tutte le sue soluzioni. Una diquazione si dice impossibile non ha alcuna soluzione. Per empio è impossibile. Le diquazioni algebriche sono quelle che al primo e al condo membro contengono polinomi, o frazioni algebriche o espressioni irrazionali, come nei guenti empi: diquazione algebrica razionale intera; diquazione algebrica razionale fratta; diquazione algebrica irrazionale intera; diquazione algebrica irrazionale fratta. Una qualunque diquazione, dopo aver svolto gli opportuni calcoli, si riconduce mpre ad una delle guenti forme: a b è di primo grado; a bc è di condo grado; a b cd è di terzo grado e così via. Due diquazioni si dicono equivalenti hanno le stes soluzioni. Per risolvere una diquazione bisogna trasformarla in una diquazione equivalente applicando ripetutamente il principio di addizione e il principio di moltiplicazione. Principio di addizione: aggiungendo o sottraendo ai due membri di una diquazione uno stesso numero, si ottiene una diquazione equivalente con lo stesso verso; da questo principio congue che è possibile trasportare un addendo dal primo al condo membro, cambiandolo di gno. Principio di moltiplicazione: moltiplicando o dividendo i due membri di una diquazione per uno stesso numero maggiore di zero, si ottiene una diquazione equivalente con lo stesso verso. moltiplicando o dividendo i due membri di una diquazione per uno stesso numero minore di zero si ottiene una diquazione equivalente con il verso contrario. Da questo principio congue che è possibile trasportare un fattore positivo dal numeratore del primo membro al denominatore del condo membro o dal denominatore del primo membro al numeratore del condo membro, lasciando lo stesso verso della diquazione. Congue anche che è possibile trasportare un fattore negativo dal numeratore del primo membro al denominatore del condo membro o dal denominatore del primo membro al numeratore del condo membro, cambiando il verso della diquazione.

3 . Diquazioni di primo grado.. Diquazioni di condo grado.. Diquazioni di grado superiore al condo.. Diquazioni fratte. 6. Sistemi con diquazioni di primo grado. 7. Sistemi con diquazioni di condo grado. 8. Sistemi con diquazioni di grado superiore al condo.. Sistemi con diquazioni fratte.. Equazioni irrazionali.. Diquazioni irrazionali di prima specie e di conda specie.. Il valore assoluto e le sue proprietà. Il valore assoluto di un numero a si indica con a ed è uguale allo stesso valore a a, all opposto di a a. Quindi per definizione di valore assoluto risulta: Per empio: a a a a a Rapprentando i numeri reali su una retta orientata R, il valore assoluto di un numero corrisponde alla distanza di quel numero dall origine O. R Il valore assoluto possiede importanti proprietà che sono molto utili nella risoluzione di alcune equazioni e diquazioni che contengono il valore assoluto. Se ed y sono due numeri reali qualsiasi, valgono le guenti proprietà, che si possono dimostrare applicando la definizione di valore assoluto. Per comprendere e ricordare queste proprietà bisogna pensare al valore assoluto come una distanza. ) ) ) è impossibile ) ) 6) y y y 7) y y 8) y y ) ) ) ) y y

4 . Equazioni col valore assoluto. Sono equazioni che contengono l incognita all interno di un valore assoluto. L espressione che si trova nel valore assoluto si chiama argomento del valore assoluto. In generale, per risolvere un equazione con valore assoluto, è possibile, si cerca di utilizzare qualche proprietà del valore assoluto per ottenere la soluzione più rapidamente. Empio. Empio. equazioneimpossibil e Empio. ; Empio. ; Empio. ; ( ) ( ) La prima equazione ha le guenti soluzioni: La conda equazione non ha soluzioni e L equazione col valore assoluto ammette perciò due soluzioni: e

5 Quando non si può utilizzare alcuna proprietà del valore assoluto bisogna applicare la definizione di valore assoluto e considerare entrambi i casi: argomento e argomento. Si ottengono così due sistemi da risolvere: le soluzioni dell equazione col valore assoluto sono date dall unione tra le soluzioni del primo sistema e le soluzioni del condo sistema. Empio 6. 8 s oluz. 6 s oluz. L equazione col valore assoluto ammette perciò due soluzioni: 6 e Empio 7. non 6 L equazione col valore assoluto ammette perciò solo la soluzione:

6 . Equazioni con più valori assoluti. Se l equazione contiene più valori assoluti, si studia il gno di ciascuno di essi, si rapprentano i gni su una retta orientata e per ogni intervallo ottenuto si risolve un sistema. Empio. Risolvere l equazione: valore assoluto: cioè per valore assoluto: per non

7 . Diquazioni con valore assoluto. Sono diquazioni che contengono l incognita all interno di un valore assoluto. Per risolvere queste diquazioni, è possibile, si cerca di utilizzare qualche proprietà del valore assoluto per ottenere la soluzione più rapidamente; ciò non è possibile bisogna utilizzare la definizione di valore assoluto e considerare entrambi i casi: argomento e argomento. Si ottengono così due sistemi da risolvere: le soluzioni della diquazione col valore assoluto sono date dall unione tra le soluzioni del primo sistema e le soluzioni del condo sistema. Empio. Risolvere la diquazione: 7 Si può utilizzare una proprietà del valore assoluto e si ottiene la diquazione: 7 Si aggiunge 7 a tutti i membri della diquazione: 7 7 Si dividono tutti i membri per e si ottiene la soluzione: Empio. Risolvere la diquazione: Si può utilizzare una proprietà del valore assoluto e si ottengono due diquazioni: Empio. Risolvere la diquazione: Non si può utilizzare alcuna proprietà del valore assoluto e perciò si devono risolvere due sistemi:

8 6. Diquazioni con più valori assoluti. Se la diquazione contiene più valori assoluti, si studia il gno di ciascuno di essi, si rapprentano i gni su una retta orientata e per ogni intervallo ottenuto si risolve un sistema. Empio. Risolvere l equazione: valore assoluto: cioè per valore assoluto: per Soluzione finale: 7. Problemi vari che si risolvono con diquazioni o con sistemi di diquazioni.

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