Soluzione. Soluzione. Soluzione. Soluzione

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Elisa Valli
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1 SUCCESSIONI E PROGRESSIONI Esercizio 78.A, 5, 8,, 4, La differenza tra ogni termine e il suo precedente è sempre uguale a 3. Pertanto si tratta di una progressione aritmetica crescente di ragione 3. La rappresentazione per ricorsione è + 3 > La rappresentazione analitica è del tipo + ( ) cioè + 3( ) Esercizio 78.A 54, 36, 4, 6,, Il rapporto tra ogni termine e il suo precedente è sempre uguale a 3. Pertanto si tratta di una progressione geometrica decrescente di ragione 3. La rappresentazione per ricorsione è 54 > La rappresentazione analitica è del tipo cioè 54 Esercizio 78.A3,,,,... La differenza tra ogni termine e il suo precedente è sempre uguale a Pertanto si tratta di una progressione aritmetica crescente di ragione La rappresentazione per ricorsione è + > La rappresentazione analitica è del tipo + ( ) cioè + ( ) Esercizio 78.A4,,,,... Il rapporto tra ogni termine e il suo precedente è sempre uguale a. Pertanto si tratta di una progressione geometrica crescente di ragione. Matematica

2 La rappresentazione per ricorsione è > La rappresentazione analitica è del tipo cioè Esercizio 78.A5,,,,... La successione non è una progressione aritmetica (la differenza fra ogni termine e il suo precedente non è costante). La successione non è una progressione geometrica (il rapporto tra ogni termine e il suo precedente non è costante). I numeratori sono potenze di aumentate di un unità. Il denominatore è costante uguale a. Pertanto la rappresentazione analitica è La rappresentazione per ricorsione si ottiene osservando che per ottenere il termine successivo è sufficiente raddoppiare il termine precedente e sottrarre. La rappresentazione per ricorsione è > Esercizio 78.A6 7,, 6,, 5... La differenza tra ogni termine e il suo precedente è sempre uguale a. Pertanto si tratta di una progressione aritmetica decrescente di ragione. La rappresentazione per ricorsione è 7 > La rappresentazione analitica è del tipo + ( ) cioè 7 ( ) Esercizio 78.A7 In una progressione geometrica,. Determina. Utilizzando la formula per il calcolo della somma di n termini si ha: ; ; ; ; ; Matematica

3 Esercizio 78.A8 In una progressione aritmetica e. Determina. Utilizzando la relazione tra due termini di una progressione aritmetica determiniamo la ragione: + ( ) ; + ( 8) ; ; 4 6 ; 3. Utilizzando la relazione generale di una progressione aritmetica determiniamo il primo termine: + ( ) 3 ; + ( ) 3 ; ; Esercizio 78.A9 Determina il numero dei termini di una progressione aritmetica in cui e. Utilizzando la formula del termine n-esimo di una progressione aritmetica, determiniamo la ragione: + ( ) ; + (5 ) ; ; 4 ; 3. Impostando il sistema: + + ( ) ± ( ) (3 + ) 5 ± ± , Delle due soluzioni solo la seconda 8 è accettabile, perché è un numero intero positivo. Esercizio 78.A Il perimetro di un pentagono irregolare misura 80 cm e le misure dei suoi lati sono in progressione aritmetica. Calcola la lunghezza di ogni lato sapendo che la differenza tra il lato più lungo e quello più corto è di cm. Indichiamo con,,,, le misure dei tre lati del pentagono, con > 0, > 0, > 0, > 0, > 0. Trattandosi di una progressione geometrica si hanno le seguenti relazioni: Calcoliamo la ragione: ( + ) ( ) ; + (5 ) ; ; 4 ; 3. In definitiva le misure dei lati sono: 0, 3, 6, 9,. Matematica 3

4 Esercizio 78.A Il perimetro del triangolo ABC è lungo 57 cm e le misure dei lati sono in progressione geometrica. Sapendo che la differenza fra il lato maggiore e il minore è 5 cm, determina le lunghezze dei lati. Indichiamo con,, le misure dei tre lati del triangolo, con 0 < < <. Trattandosi di una progressione geometrica si hanno le seguenti relazioni: Sostituendo le ultime due espressioni nelle prime equazioni si ottiene un sistema di equazioni in incognite: ( + + ) 57 ( ) 5 Ricaviamo dalla seconda equazione ( 0) e sostituiamo l espressione trovata nella prima equazione: 5 5 ( + + ) 57 5 ( + + ) 57 ( ) , 8 La soluzione La soluzione + è accettabile. Continuando a risolvere il sistema si ha: In seguito si determinano: non è accettabile, perché in questo caso i termini (misure dei lati) sarebbero negativi In definitiva le misure dei tre lati sono: 8 7. Matematica 4

5 Esercizio 78.B Data la successione: + a. determina i primi cinque termini b. determina la forma analitica c. calcola. 4,, 5,, 6 La rappresentazione analitica è del tipo + ( ) cioè 4 + ( ) Il 00-esimo termine è: 4 + (00 ) Esercizio 78.B Dimostra che la successione il cui termine generale è è crescente. Occorre dimostrare che <. Sostituendo l espressione analitica si ottiene: 4 + 4( + ) + < + 3 ( + ) + 3 ; < ; < 0 ; ( + 4)(4 + ) ( + 3)(4 + 5) < 0 ; < 0 ( + 3)( + 4) ( + 3)( + 4) ( + 3)( + 4) < 0. Il numeratore è negativo. Il denominatore è positivo (perché quindi 0) Pertanto la frazione è negativa. Pertanto la disequazione è verificata e la successione è crescente. Matematica 5

6 Esercizio 78.B3 Calcola le seguenti somme: a Il rapporto tra ogni termine e il suo precedente è sempre uguale a 5. Si tratta quindi di una progressione geometrica crescente di ragione 5. La rappresentazione analitica è ; Essendo (sesto termine) La somma vale: termini b (7 ) Si tratta quindi di una progressione geometrica decrescente con e ragione. c ; (7 ) ( ) Si tratta quindi di una progressione geometrica decrescente con 3 e ragione ( ) Matematica 6

7 d Il rapporto tra ogni termine e il suo precedente è sempre uguale a. Si tratta quindi di una progressione geometrica decrescente di ragione. La rappresentazione analitica è ; 3 Essendo ( + -esimo termine) La somma vale: n+ termini ( ) 3 ( ) Mentre la somma dei primi n termini della progressione è : ( ) 3 3. Matematica 7

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