Analisi Matematica A

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1 Als Mtemtc A Dto u umero turle o ullo, ssumerà seguet vlor ordt {,,,,...}. S desce ttorle o ttorle d :! ( )! quest ormul è corrett solo se >, poché! Quest dezoe è dett per rcorrez, perché per cooscere l vlore del ttorle ssegtom devo prm cooscere l vlore del ttorle che lo precede. Es.!!!!!!!! 5! 5! 5 L ormul geerc srà:! ( ) ( )... Per vere u stm del vlore del ttorle sprò che: <! < Dto u seme A ormto d u umero to d elemet e preso u ltro umero turle k <, s desce dsposzoe d k elemet tr gl dt og sottoseme ordto d A ormto d k elemet, due dsposzo d k tr gl elemet soo dverse se derscoo per gl elemet oppure per l orde co cu vegoo pres gl elemet. Il umero delle dsposzo d k elemet tr gl dt è dto dl seguete prodotto: ( ) ( )... ( k ) U ltro modo per otteere l umero delle dsposzo è l seguete: ( ) ( ) ( ) ( k )!!... k k! k ( ) ( )! Essedo ( k ) ( k)! ( k )!! ( ) ( )... ( k )!! Se k, s prl d permutzo ed l umero d permutzo srà! poché! Dto u seme A ormto d elemet, preso u umero turle k <, s desce comzoe d k elemet tr gl dt og sottoseme d A ormto d k elemet, due comzo soo dverse se soo ormte d elemet dvers. Il umero d comzo d k r ( ) ( )... ( k )! gl elemet dt srà dto d: k! k! ( k)! Il rsultto dell ormul è detto coecete Bomle e s dc co: (legg su k) k Formul del omo d Neewto: dt, R e N, cerco u ormul per esprmere le seguet quttà ( ) (potez eesm del omo ) ( )... L ormul comptt srà: k k (legg sommtor per vlor d k d ) k k Per coecet s utlzz l trgolo d Trtgl Pscl

2 6 Quest tell m serve per clcolre coecet oml L propretà de coecet oml è l seguete: coecet oml equdstt dgl estrem soo tr loro ugul. Qud sst u rg () e u poszoe su d ess (k) s può scrvere l seguete propretà: tle propretà è ver e k k k L secod propretà de coecet oml m dce che l somm d due coecet oml su u rg è ugule l coecete oml che s trov sull rg successv sotto l coecete pù spostto verso destr. tle propretà è ver e k - k k k Esempo: Nell qut rg 6, e l s trov sotto l coecete oml pù destr U ultm propretà del omo d Neewto, dett che dsuguglz d Beroull, vle solo u cso prtcolre, coè co, qud vremo che: ( ) N, > deve essere mggore d poché se < - ( ) rsult more d. Quest dsuguglz vee dmostrt per rcorrez, poché l su dmostrzoe è legt ll dezoe d ttorle, coè: ) Dmostro l propretà per l prmo vlore d cosecutvo, coè ( ) L relzoe è ver per uguglz ) Suppogo ver l propretà l psso - e l dmostro ver l psso, coè d u umero ( ) l suo successvo (): Hp: ( ) - > ( ) Th: ( ) Dll potes moltplcdo etrm memr per ( ), cosderdo > -, ottego: ( ) ( ) ( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) è sempre mggore o ugule, e cosegue che ( ) >

3 Dt due sem A e B, s dce uzoe dell seme A ll seme B og legge che d og elemeto d A corrspodere uo e u solo elemeto d B: : A B L seme A è che detto domo dell uzoe e s dc co D. L seme degl elemet d B, che soo corrspodet d lmeo u elemeto d A, o prte del codomo che s dc co C C { y B : A : ( ) y} S A e B soo sottosem propr d R ( A, B R) l uzoe s può rppresetre sul po crteso. Esemp: () () ( ) ()

4 U uzoe s dce INIETTIVA se og elemeto dstto d A corrspodere elemet dstt d B, coè: y y qud () e () soo ettve. U uzoe s dce SURIETTIVA se l codomo dell uzoe cocde co B ( C B), qud () e () soo surettve. Se u uzoe è s ettv che surettve, l uzoe s dce uvoc. Dt u uzoe : A B m chedo se esste u uzoe che dcherò co : C A tle che ( y) ( ) y Quest uzoe, dett uzoe vers, posso trovrl solo se l uzoe è ettv, perché d og elemeto d prtez devo ssocre uo ed u solo elemeto d rrvo. Se : A B è uvoc llor : B A che è uvoc N: seme de umer turl; P: seme de umer pr; S: seme de umer dspr; : seme de umer ter; Q: seme de umer rzol (postv, egtv e rzo); R: seme de umer rel; ä: pprtee; / - : : tle che; - {}: seme vuoto; : clusoe propr; : clusoe mpropr; : per og;!: esste u solo : esste; : se e solo se; : se; : e cosegue che; : tersezoe; : uoe; : e; : o; : crteso P {k ; k ä N} S {k ; k ä N} Se A B due sem s dcoo dsgut; P S N gl sem P, S s descoo prtzo dell seme N poché P S e l loro somm c d l seme N.

5 Dt sem A e B, quest s dcoo equpotet o che ho l stess potez se : A B uvoc (es. P è equpotet N). Og seme A che s equpotet N s dce umerle o che h l potez umerle, s dmostr che è umerle. A su volt che Q è umerle. Dt umer p, q R, tr ess c è sempre lmeo u umero zole dverso d etrm, p q d cu possmo otre che tr p e q c soo sempre t umer rzol. Cosderdo u rett r sull qule sso u puto (orge) e sso u ltro puto dverso P, che m qud m d utà d msur e verso, e cosegue che og umero rzole > corrspode m uo ed u solo puto P, co P : OP O P P Tle uzoe è : Q r, e cosegue che quest uzoe è ettv e o surettve, qud s vrà che P r o sempre s vrà l corrspodete umero rzole (ved esempo sotto co l costruzoe de qudrto d lto utro). P P Qud l segmeto OP o h rppresetzoe ell seme Q, coè è commesurle e e m m cosegue che: : questo sgc che m e soo prm tr loro. Dmostrmo or che m quest dezoe per ssurdo, qud dmostrmo che: : m m è pr, e cosegue che u qudrto è pr se l umero è pr, e coè m p, co p N, e cosegue che m p, qud sosttuedo m s vrà: p oppure p, questo mplc che che è pr, m m ed devoo essere prm tr loro, qud l propretà zle è ssurd. Tutt put che o ho corrspodez e rzol soo cosddett rrzol.

6 Dezoe ssomtc dell seme de umer rel (R) Su R soo dete due operzo, ddzoe e sottrzoe, che godoo dell seguete propretà:. Commuttv:, R ( ) c ( c). Assoctv:,,c R ( ) c ( c). Dstrutv: ( ) c c c,,c R. Esstez dell elemeto eutro: R 5. Esstez dell opposto o del recproco: ( ) R R, 6. Su R è stlt u relzoe d orde tle che vlgoo le seguet propretà: Trstv:, c c ; Atsmmetrc:, ; Ordmeto totle:, R s h che < oppure < ; Trsltv:, c c ;, c c ; 7. Assom d completezz: dt sem A e B coteut R ( A, B R) tl che A,B e co, A e B, llor R : A e B e cosegue che tr u umero e quello successvo c è sempre u ltro umero. Qud sppmo che R è pù che umerle, coè è u cotuo, poché è possle metterlo corrspodez uvoc co u rett. Se u seme A è equpotet R s dce che h l stess potez del cotuo. Dt, R co <, s troducoo seguet sem:,,,,,, -, -,, è equpotet R, coè : ], [ R che è u uzoe uvoc. Itervll: [ ] ] [ [ [ ] ] Semrette: [ [ ] [ ] ] ] [ Og tervllo ] [

7 Dt u equzoe lgerc rzole del tpo - co,,..., R ess o h sempre soluzo R, poché l potree essere <, vece tle equzoe srà sempre possle e vrà soluzo ell seme de umer compless C. l seme R è sempre corrspodez uvoc co put d u rett, l seme C vece è sempre corrspodez uvoc co put d u po crteso, coè l seme C è costtuto dll totltà delle coppe ordte co, R e questo seme vlgoo le seguet regole d clcolo:. (, ) ( c,d) ( c, d) ;. (, ) ( c,d) ( c d, d c) ; S verc che per queste operzo vlgoo le propretà: commuttv, ssoctv, dstrutv. Per l ddzoe l elemeto eutro è (,) metre per l moltplczoe è (,). L opposto del umero (,) è (-,-). Ad og umero complesso (,) corrspode uo ed u solo puto P del P, po sul qule s h u sstem d rermeto crteso. ( ) P Come coseguez dell regol ssegt per l ddzoe mo l possltà d scrvere l seguete dettà: (, ) (,) (, ), R Cosdero e studo or umer del tpo (,), geometrcmete c trovmo sull rett delle ordte. L somm e l prodotto d u umero co l secod coordt ull è cor u umero co l secod coordt ull, llor posso detcre umer d tpo (,) co. (, ) qud possmo ermre che R C, tle relzoe o è d cosderrs seso semstc, poché R è u seme d umer e C è u seme d coppe ordte. Cosdero or umer del tpo (,), sempre per le regole dette prm s h che: (, ) (,) (,) poché (,) ess è verct. Il ttore (,) è detto utà mmgr e s dc co l letter. (,) (, ) duque s vrà: (, ) (,) (, ), R Il vlore d vr l vrre dell su potez: (,) (,) (, ) 5 Ne cosegue che le poteze d og s rpetoo cclcmete c d c d c d c d d Esempo: ( ) ( ) { ( ) ( )

8 Cosdero or u umero che posso vedere come copp ordt o orm lgerc. Ad esso corrspode u puto P d coordte (,). L poszoe d P può essere trovt trmte ltre coordte, qul dstz OP o l golo che l rett OP orm co l rett r. O P ρ θ L dstz tr P e O è u dstz rele mggore o ugule e vee chmt modulo e s dc co ρ. Tr OP ed r o è ucmete determto u golo e s dc co θ. Se < θ < è detto rgometo prcple. ( ) ( ) ρ,θ, P s vro le seguet ormule d pssggo: sθ ρ cosθ ρ ( ) trgoometrc ormul sθ cosθ ρ sθ ρ cosθ ρ ρ, è complesso, e l suo modulo vece è rele (R ). Dto u umero complesso (,), s dce suo cougto ( ), Propretà che leg u umero l suo cougto: R,, ( ) ( ) { R, Ne cosegue che l somm e l prodotto d u umero cougto e d u umero complesso è u umero rele. Dto u umero complesso, cerco l suo recproco, -. co - moltplco e dvdo per l cougto del deomtore - Dto l umero chmeremo: R e (prte rele d ) [ved esempo ]; I m (coecete dell prte mmgr d, coè R [ved esempo ]; ) ( ) } } ( ) ( ) -

9 ) I R m e... R e I R I m e m S deve però porre u codzoe sull prm equzoe del sstem, e coè:

10 Prodotto e potez orm trgoometrc: Dt umer C scrtt orm trgoometrc: { { ρ cos θ sθ { { ρ cos θ sθ cerco modulo e Modulo Argometo Modulo Argometo rgometo d, e cosegue che: ρ( cosθ sθ ) ρ ( cosθ sθ ) qud utlzzdo le ormule d ddzoe dell trgoometr vremo che: ( ) ( ) ρ ρ cos θ θ s θ θ Modulo Argometo Qud potremo scrvere che: Modulo del prodotto prodotto de modul; Argometo del prodotto somm degl rgomet; Se, l modulo o l rgometo del suo recproco sro rspettvmete: Modulo: ρ Argometo: - θ Dt orm trgoometrc e N, vle l seguete uguglz: ρ { cos ( θ) s( θ) tle ormul è dett ormul d De Movre Modulo Argometo S dmostr or tle ormul per duzoe: ρ coθ sθ questo è vero perché è l puto d prtez. ) ( ) ) Hp: ρ ( co( θ) s( θ) ) Th: ρ ( co( ( ) θ) s( ( ) θ) ) Qud vremo che: { ρ ( cos( θ) s( θ) ) Utlzzdo l de. d pot. ( ρ ρ ) cos( θ θ) s( θ θ) [ ] ρ ( cosθ soθ) [ ] [ ] ρ [ cos( ( ) θ) s( ( ) θ) ] D qu l tes, come volevs dmostrre Dt u umero α orm trgoometrc e N, cerco u umero C : α suppogo però che >, ltrmet lzzere l prolem. Og soluzoe del prolem vee chmt rdce eesm d α. Suppogo θ rgometo prcple, coè π > θ >. L cogt è, α e soo dt, trsormo or orm trgoometrc: ρ ( coθ sθ), le cogte or soo: ρ e θ. α utlzzdo l ormul d De Movre dvet: ρ co θ s θ ρ cosθ sθ L uguglz qud srà: ( ( ) ( )) ( ) Uguglz de modul: ρ ρ ; Gl rgomet devoo derre d multpl ter d π, θ θ Kπ : K ; Oss vremo che: ρ poché essedo ρ u dstz vrà solo u soluzoe mggore d ; ρ θ Kπ θ K, per og K,,,, - s h che: θ Kπ θ < π dvduo umer compless dstt, qud l prolem h lmeo soluzo

11 Procedo or ll su dmostrzoe: Se θ >, K > Kπ θ Kπ θ Se θ < π, K < - ( ) π Kπ θ π - π π Kπ θ < Ne cosegue che per og ltro vlore d K ottego rgomet che derscoo per multpl ter d π d uo degl rgomet precedetemete scrtt, oss: θ Kπ Vlor d K Argometo θ θ π π θ π θ Dersce d K d π Qud l prolem h esttmete soluzo. Esercz: ) Trovre C : devo trovre le rdc qurte ( ) del umero. Scrvo orm trgoometrc: π θ sθ cosθ : )θ )ρ,, K Kπ π )θ )ρ ) Trovre C : le cogte soo, // 9 9 D qu s procede co l cmo dell vrle. c) Trovre Re Im e - C : ( ) ( ) ± y y 5 6 y y y y y 6 y 5 y y y // y y y Re Im, y L rsoluzoe d questo sstem c dà put d tersezoe tr u rette e u crcoerez

12 Propretà del modulo: ) ; ) se ) Tle dsuguglz è dett dsuguglz trgolre, e s dmostr el seguete modo: Suppogo d vere: { (,d) e { ( c,) e ( c, d ) P P P P P d d P T O Q R S c c No cooscedo le msure del trgolo OPS, domo dedurre le msure de suo lt dl prllelsmo de segmet d rett che c soo servt per l su costruzoe. OP P P OP P P cosderdo qud l trgolo OPP, s vrà come deduzoe logc che:, per le propretà elemetr de trgol. Nell seme de umer compless o c è l relzoe d orde (<), o h seso scrvere < essedo e C

13 Dto u seme A R og M R s dce mggorte per A se s verc che M, A Es. A, N M M è mggorte Se M è mggorte per A M > M s h M > A. Se A mmette u mggorte A s dce tto superormete. A tto superormete { M R : M, A equvle Se A o h mggort, s dce o tto superormete, coè: A o tto superormete M R A : > M N,, Q, R o soo tt superormete, m o è tto superormete che ], [. A tto erormete m R : m <, A A o tto erormete m R A : < m N.B. A tto s superormete che erormete m, M R : m M, A S dce mssmo l prmo de mggort, che è l pù pccolo d ess e st ell seme A, coè: M è mggorte e M A S dce mmo l prmo de mort, che è l pù grde d ess e st ell seme A, coè: m è morte e m A Esempo: A, N A è tto A [,] è mssmo per A, è morte, m o è mmo poché N Dto u seme A R e u umero L R, L s dce estremo superore per A L sup.a sup. se: A ) L è mggorte per A; ) L è l pù pccolo de mggort; Scrvedo modo equvlete l secod codzoe, vremo che: se predo u umero strettmete more d L, esso o è pù mggorte per A. ε > cosdero che L ε o è mggorte per A, oss A : > L ε (ε: quttà postv). I detv vremo che: ε > A : > L ε Dto u seme A R e u umero l R, l s dce estremo erore per A l.a. se: A ) l è morte per A; ) l è l pù grde de mort; Scrvedo modo equvlete l secod codzoe, vremo che: se predo u umero strettmete mggore d l, esso o è pù morte per A. ε > cosdero che L ε o è morte per A, oss A : < l ε (ε: quttà postv). I detv vremo che: ε > A : < l ε Rssumedo: ) L sup A L, A e ε > A : > L ε ) l A l, A e ε > A : < l ε

14 Dto l seme A, N e A dmostro le propretà precedetemete descrtte: ), N tle propretà è lmete ver; ) ε > A : < ε l cogt è ed ε è l dto del prolem. Cosdero u geerco ε > e cerco : < ε. < ε >, poché tutt umer soo postv. Per rsolvere questo prolem ho sogo dell uzoe prte ter d : R R così det, d og umero R ssoco l umero turle o ullo che è l pù grde tero <, llor se < < s h (). Tle uzoe s dc co l sego [ ]. Il grco d quest uzoe qud srà: [ ] [ ] qud rsoluzoe l prolem d prm vremo che:, N > ε ε qud come volevmo dmostrre l prolem h lmeo u ε soluzoe questo cso h te soluzo. Vle l seguete Teorem (d WEIEERSTRASS) [teorem vldo che se tt erormete]. Se A R è tle che A e A è tto superormete, coè h lmeo u mggorte, llor L R : L supa (esstez dell estremo superore R). Il teorem o vle Q, d esempo se A { Q : < }, tle seme è tto, o vuoto e l estremo superore d A è Q. Dto u seme A, mo stuzo: ) A tto superormete, llor supa R ; ) A o tto superormete, llor scrveremo smolcmete supa ;

15 Dezoe d ttezz: Se ho A tto, llor m, M R : m M, A, m equvletemete s h: A tto supero K R : K, A, per dmostrre quest uzoe vremo che:. K utlzzdo l propretà del vlore ssoluto, equvle : - K K, e cosegue che posso predere m -K e M K. K m m, M. { } Dezo loghe d uzo (. I.,. Sup.) Dt u uzoe : D R M R è mggorte per se M è mggorte per C (codomo), oss () { Codomo < M, D Esempo: () R C R o tt superormete. Dmostro che o tt superormete, coè: supc sup () coè equvle : M R R : () > M el ostro cso () > M dvet () > M. L cogt è soprssegt ed M è d cosderrs u dto del prolem, qud rsolvo () > M rspetto. M < R Se: I coclusoe possmo re cocluso: M < M > M M ; ( ) è uzoe d M, coè dpede d M ( ) Posso scrvere l dezoe co M R, coè: R M R M R Dt : D R e dto u umero L R s desce estremo superore () L, D L sup () D ε > D : () > L ε

16 Successo S desce successoe og uzoe l cu domo cocde co N, qud soo legg che d og N ssoco u umero rele o complesso ( ). Le successo s dco co l seguete oppure smolog: { } ( ) Esemp:. N. sup N se P se D se P se D - N N. ( ) sup. (-) sup N N Dezo d mooto Dt u uzoe : D R co D R, ess s desce mooto se:, D co < s h () ( ) tle mooto è det o decrescete. Se vece,, D co < s h ( ) < ( ) l uzoe è dett crescete. Se v è u uzoe, D co < s h () ( ) l uzoe è dett o crescete. Se v è u uzoe, D co < s h ( ) > ( ) l uzoe è dett decrescete. Esemp:. () e è u uzoe mooto crescete;. [ ] () è u uzoe mooto o decrescete; Se u uzoe è mooto crescete o decrescete llor l uzoe è ettv, e cosegue che posso costrure l uzoe vers ( ) Dezoe d mooto per le successo: Dt u successoe { } ess s dce mooto o decrescete se, N co < s h. Solo N questo equvle : N s h D quest s rcvo le ltre dezo rgurdt l mooto delle successo. Se ho u successoe che s mooto crescete o decrescete s h m N

17 Esercz:, N > poché l prmo terme è mggore del secodo, e cosegue che v è ttezz erore e è u morte. Per comodtà trsormo l m successoe: ( ) è crescete l somm è crescete perché lo soo seprtmete due dded. è decrescete Cocludedo è u successoe decrescete. All luce d questo rsultto vremo che: m sup. Ammettedo mssmo l uzoe è tt, prtcolre < <, N N. N Or verco se lo è te:, N ε > : < ε Verco l secod propretà: preso ε >, cerco : < < ε devo porre due codzo, coè che s u quttà postv e che ed ε o lo stesso sego. ( ) < ε vremo: ε < cosdero ε < ed elevo uovmete l qudrto: ε ε ε < ( ) ( ε ) ( ε ) ε > ε > posso predere d esempo: Cocludo qud che N ε ε () l Il domo dell seguete uzoe srà: D ], [ ], [, qud quest uzoe srà studt due momet: ) >, > > l > l, posso cocludere che questo trtto l uzoe è erormete tt qud è morte per () per ], [. Sempre questo trtto, co ], [ l () o è superormete tt; ) < -, < < l < l, posso cocludere che questo trtto l uzoe è superormete tt per ]-, [. Sempre questo trtto, co ]-, [ l () o è tt erormete; Qud totlmete l uzoe o è tt, e superormete e erormete.

18 Elemet d topolog R Dto R, cosdero ε >, chmo tervllo cetrto o e d rggo ε, l seme ] ε, ε[, qud geercmete srà: -ε ε Dto A R, u puto R s dce puto d ccumulzoe per l seme A se og tervllo cetrto o c è lmeo u elemeto o put d A, coè: ] ε, ε[ ε > A : e o che ε > s h l seguete propretà: A ε, ε ] [ { } ø Dto u seme suppogo che R d ccumulzoe per A, preso ε ο >, voglo spere qut elemet d A sto ] ε, ε [. L rspost è: lmeo uo, m o può essere solo uo, poché se cosdero ε > : ] ε, [ elemeto d A (ved grco sotto); che questo tervllo v srà u ε -ε ε -ε -ε Qud mo dmostrto u teorem, coè se A h u puto d ccumulzoe, llor A h t elemet. Tle codzoe è ecessr (CN) perché u seme A elemet d ccumulzoe, però quest codzoe o è sucete (CS) perché o put d ccumulzoe. Esercz: < z < essedo z y, qud vremo che: y ( y ), qud z ( ) ( y ) z cosegue che l dsequzoe equvlete srà: e < z < < ( ) ( y ) < 9. I put d quest dsequzoe rppresetero put d u coro crcolre.

19 Re Im z y z - ( y -) z - ( y -) y ( y ) Per l rsoluzoe d questo sstem mmgo che l posto delle dsuguglze c so delle uguglze e vlor comu l trovo sul grco. Le soluzo del sstem soo put coteut ell crcoerez l d sopr dell rett.

20 Propretà sul teorem d esstez d put d ccumulzoe (Teorem d Bolzo Weerstrss). Se A R h t elemet ed è tto, llor R d ccumulzoe per A. Dto A R co t elemet (CN perché A put d ccumulzoe), c soo possl cs: ) A tto ( R d ccumulzoe per A); ) A o tto? [Rele mplto R {,- } vlor]. Se R ~ R ± soo de smol, metre R ~ soo u seme d R ho cosderto ] ε, ε[ co ε >, se predo gl estrem, s sosttuscoo le semrette ] M, [ co ]-, M[ co M R. Dto M R, se vece predo - gl estrem, s sosttuscoo le semrette A R, è d ccumulzoe per A se M > (oppure M R ) ] [ A : M, qu o pomo poché è u cos ovv. Oss: M > A : > M, cò equvle seme o tto superormete, qud possmo cocludere che: A o tto superormete se e solo se è d ccumulzoe per A; A o tto erormete se e solo se - è d ccumulzoe per A; L seme de umer turl N o è tto superormete, e cosegue che h come elemeto d ccumulo ed è l uco, coè o h ltr elemet d ccumulzoe. TOPOLOGIA Puto tero: Dto A R, A umerle llor o h put ter. Dto A R, dco co A tutt put ter d A. ],[ [ [, Esempo: A ] ] [ ] ho lo stesso A ],[,, Dmostrzoe:,, < s dce tero se > : ] ε, ε [ A ] [ è tero ], [ ] [ < o è tero > : ] ε, ε [ ],[ ε ε. Se A è -ε ε Oss < ε e > ε < ε ε < ε < ε < ε > < ε < umero postvo umero postvo more tr (o -, - o) h te soluzo

21 Ad esempo ε m (, ) Dezoe d seme perto: Se A A, llor A s dce perto, e s dc co le pretes qudre perte ], [ A s dce chuso se l suo complemetre rspetto R è perto, d esempo [, ] è chuso. Ie c soo sem che o soo e pert e chus, coè: [, [ e],] Dto A R, R s dce d roter se ε > s h che: ] ε, ε[ C{ A ] ε, ε[ A d esempo put e soo put roter per ], ] / / Complemetre e Lmte per uzo (e successo) Dt : A R ed essedo A D. Preso o, voglo dre sgcto ll stuzoe seguete: qudo s vvc o, ovvmete rmedo A e o rggugedo o, s h che () s vvc d u elemeto l che chmo te d () co tedete o [ () ] CN (codzoe ecessr) per poter prlre d per D. Qud vremo che: () l è che o s d ccumulzoe per A, qud () l comuque s pred u toro I del vlore l, { } s h che () u toro I D quest dezoe possmo vere vr cs: Cso: R, l R d : I A I () l ε > δ > : Or scrvo ] δ, δ[ modo equvlete δ < < δ δ < - < δ - < ] l - ε,l ε[ () l ε () < ] δ, δ[ A { } s h che () ] l - ε,l ε[ () l co, l R e co o puto d ccumulzoe per A D () ε > : co < - < δ e A s h () - l ε ε >, δ δ < < - δ Cso:, l R co D o tto superormete. () l ε >, M ε () > : co > M e D s h () - l < ε tutt cs cu o, ess cotegoo l successoe, poché l domo delle successo è N e è l suo uco puto d ccumulzoe. Dt u successoe ( ), mo seguet cs: l R ± / Successoe Covergete Successoe Dvergete Successoe Oscllte

22 Provmo or dedurre l dezoe N l R ε >, M M ε l dll dezoe d te: () > : co > M e N s h - l < ε s può toglere, poché essedo u successoe questo è ovvo, qud equvletemete s l R ε >, ε : > s h - l < h che: ( ) ε M >, M >, ( M) : > s h > M ( M) : > s h < M Esemp d t per le successo:., essedo l, vremo l < ε co ε >,.,. (-) L uzoe è oscllte ess o può eche vere te l poché l dezoe d te deve essere ver > Teorem dell uctà del te: Se llor esso è uco Dmostrmo per ssurdo quto ppe ermto, suppomo coè che Hp: > > * l l co l < l l - ε l l ε l - ε l l ε L ssurdo s verc qudo sovrppogo dseg, coè qudo predo t vlor d ε > s verc che: l ε < l - ε. L ssurdo s verc > m(, * ) Teorem d Lmttezz: Se { } è covergete llor è tt (o vle l vcevers). [Per vercre u proposzoe ls è sucete orre u esempo]. Esempo d successoe tt m o covergete: (-) Teorem del Vlore Assoluto: Se l R llor l, coè l te del vlore ssoluto è ugule l vlore ssoluto del te, e o vcevers. Esempo: m / Eserczo: Scrvere co l dezoe l seguete uguglz: l R ε > () ε : > s h - l < ε l. Essedo y y, y R posso scrvere l l, m dll dezoe d te l < ε qud l l < ε d coseguez l < ε llor l dezoe d te rsult cor ver che quest orm: l co l R ε > (ε) : > s h l < ε

23 Teorem dell permez del sego: Se l R {} llor * : l >, > * Dmostrzoe: Cso l > Devo dmostrre che * : > > * l ε >, (ε) : > s h l < ε o che l ε < < l ε Dovedo dre se >, cosdero ε > : l ε >, d esempo: ε llor ottego > l >, > () oss >, > * co * () Ivece d scrvere l s può scrvere l; l; s sotttede poché è l uc soluzoe possle. l Vle l seguete teorem: l l m o l l tre el cso l Poché le due dezo d te soo detche. Teorem d coroto: Dte { } e { } se * :, > *. ;. - - ; llor s h che vlgoo le seguet propretà: Teorem de crer: Dte { } ; { } ; {c } tl che * : c, > * oltre sppmo che: c l R llor s coclude che l Dmostrzoe: Hp: c, > * ε > (ε) : > (ε) s h l < ε coè l ε < < l ε ε > I (ε) : > I (ε) s h l ε < c < l ε Th: ε > II (ε) : > II (ε) s h l ε < < l ε Dll Hp vld > * l ε < c < l ε Dll Hp vld > (ε) Dll Hp vld > I (ε) D cu l ε < < l ε ver > m( ; *, I ) Essedo: l ε < ver > (ε); c, ver > * ; c < l ε ver > I (ε); Qud II (ε) m( ; *, I )

24 Teorem: Dte { } e { } tl che * : > * ed l R, l R, l tes è llor l l Se l prm potes è < > * s h cor l l Esempo:, l, l Regole d clcolo de t Teorem: Dte { } e { }, se l R ed l R llor vremo che: ( ) l l ed ( ) l l Coè l te d u somm (o d u prodotto) è ugule ll somm (o l prodotto) de t. Attezoe però che può esstere l te dell somm (o del prodotto), e o esstere l te degl dded (o de ttor); Esempo: (-) - Può: ed ( ) e ello stesso tempo / Teorem del recproco: Dte { } e { }, se l R ~ llor se l R -{} l se l ± * * se l e : > > * * se l e : < > Esemp:.. (-) perché / * : è sego costte > * se P (-) / (-) - se D Se ho Teorem del quozete: l Dte { } e { }, se l R e l R {} llor l Tle teorem rsult dl teorem del recproco, poché: se ho Forme determte: Somm: -.. del tpo (- ) Prodotto: ±.. del tpo ± Quozete: ± ±.. del tpo.. del tpo

25 Esemp: - studo ) - ) ) - (-) - se P - se D (-) o h te è oscllte Teorem dell Somm: Se (- ) e M R : > M ( < M ), coè l successoe è tt erormete llor ( ) (- ) OSSERVAIONE: Se l R ~ l successoe { } è scurmete tt erormete se l R oppure l, qud se l h quest vlor posso esegure l somm. Esempo:. c - (-) c co - - ;{ } è tt e cosegue che c -. ( s ) c co s è tt qud c Teorem del Prodotto:. Se e > : M (totlmete tt), llor ( ) Esempo: (-) poché è l prodotto d e (-) che è tt. Se e M > e : > M, > ({ } è dscost postvmete dllo zero) llor ( ) Se e M > e : < -M, > ({ } è dscost egtvmete dllo zero) llor ( ) - OSSERVAIONI: Se l R ~ llor { } è dscost postvmete dllo zero se l R oppure l ; No st rchedere che >, > perché tl cso potree essere che l ; Lmt Prtcolr:. α co α R α α < α < α α α > per l teorem d cu α < α -α teorem del recproco Qud rssumedo vremo che: α -α > dl cso precedete -α e per l -α se α > se α se α <

26 P() polomo d grdo r N P() o r r r Rccogledo l terme d grdo mssmo vremo che: P() { { { r... r se Il rsultto le dpede d o, qud vremo che: P() se P(). co P() d grdo r N e Q() d grdo s N Q() Q() s o s s r... r P() r Q() s... s s r-s... r r... s s < > r-s se r > s se r s se r < s se r > s e > P() se r > s e < qud Form determt, o rsolvle co teorem. Q() se r s se r < s. co R > > : d cu vremo che ( ) > (dsuguglz d Beroull), m ( ) per l teorem del coroto s h ; ; - < < cosdero: < < llor > : d cu per l teorem sul recproco ; < <, llor studo < < essedo qud vremo che ;, ( ) qud < <, oss vremo che (per u teorem del vlore ssoluto; cosdero: - (-) è u successoe oscllte; < - posso scrverlo come (-) d cu (-) >, qud l successoe è oscllte;

27 Qud rssumedo vremo che: se > se se -< < o < / se - Esercz: ( - -) ( - - )( - ) ( -) ( ) ( - ) ( -) -

28 Successo Mootoe: Teorem se { } è mooto llor sup se c'è mooto crescete o o decrescete se c'è mooto decrescete o o crescete Dmostrzoe: Nel cso d { } crescete o o decrescete e sup R Hp: ), (oppure < ) ) sup L R, coè: ) L, ; ) ε > (ε) : > L - ε Th: L coè ε > * (ε) : > * s h L - ε < < L ε Dll potes, vremo che: L, e L > L ε, ε >, d cò < L ε, Per l potes vremo che > L - ε, m per l mooto dell prm potes vremo, > d cò > L - ε, >. I coclusoe L - ε < < L ε, > d cu l tes co * L - ε L L ε dll Hp Cs Prtcolr: s dmostr che l successoe è crescete e tt, e cosegue che per l teorem ppe dmostrto ovvero che R, per dezoe questo te s poe ugule e. e se R e S dmostr che e se R se l se R l se d cò s deducoo seguet rsultt: - se l e se l R ( ) () R ~ l l llor e se l qud vremo che: se l - l l se l R l ( ) se l - se l Alogh rsultt s vro per e e per l Successo Espoezl:

29 ( ) ( ) ( ) ( ) l l, R, > e e studo l te ( l ) ( ) è orm determt se e solo se lo è l ( l ), vremo che:, coè se o l, uo tede e l ltro tede, qud vremo che:,,, poché l tede o, ssume cert vlor. Teorem: l R e l R Esempo: Se ( ) ( l ) orm espoezle - Porto l se ll orm - essedo tede e 6 tede e Termologe: Se (- ) llor e tede 678 (-) / / (-) (-) tede / / { tede orde superore, e cosegue che è u.. (-) (-) l.. ( ) (-) tede e poché è d ( )

30 ( ) grdo mssmo. per rsolvere questo te s possoo rccoglere term d Termolog: Se (- ) llor dremo che { } è u to Coroto r It: ± ± l R -{}dremo che soo dello stesso orde o che ho l stess veloctà ± dremo che{ } è d orde superore { } dremo che{ } è d orde erore { } / dremo che{ } e { } soo o corotl Esemp: Se ( ( ) ) stesso orde { { } } è d orde superore { è d orde erore { ( ) qud / } } ( ) Se llor s scrve ( stotco ) Dt quttro t { }, { }, {c }, {d } tl che { } s d orde erore { } e {d } s d orde erore {c }, tede } Cosdero: Ne cosegue che l te d prtez s rduce c d c d { c tede tede Nello studo d quozet d t.. s possoo trscurre e/o ere umertore c e/o deomtore quegl t d orde erore rspetto rmet. Coroto d t Fodmetl: Se cosdero co > s h è d orde superore se > Se cosdero co > s h ( è d orde superore ( ) se > Itt: ( ) ( ) ) qud > d cu l te srà

31 Gl It: l vle che per (log, > e! vle che per (,, > ) > ) è d orde superore è d orde superore tede tede } Altr rsoluzoe: 5 { 5 tede tede 7 5 Coroto tr l ( ) e l ( ), soo dello stesso orde? Per sperlo studo l te: l ( ) } l l l l ( ) l l { l Essedo l te ugule gl t precedet soo dello stesso Coroto tr l ( e ) e ( ) } l e l ( e ) e l e l e Soo dello stesso orde Cosdero: orm espoezle determt del tpo l l l e e studo or l espoete e l suo te l poché l è u to d orde erore e e l ( l ( ( ) ).. ( ) ) l l ( ) l ( ) l ( ) Crescez degl t, coè scededo cresce l orde e { e l ( ) l l ( l ( ) ) studo l te dell espoete l ( ) e

32 5 l 5 l 5 e.. l 5 e studo l te dell espoete 5 l l (5 ) 5 5 l 5 l 5 e l5 l5 Sottosuccesso: Dt u successoe { } N cosdero N I N m co t elemet, chmo sottosuccessoe l legge che d og N I ssoc e l dco { } N I oppure N I N l R ε > (ε) : > (ε), N I s h I l < ε questo cso N è olgtoro Vle ovvmete l seguete teorem: Se l R ~ llor og sottosuccessoe d { } N h te l. Se dt u successoe { } N,esstoo due sue sottosuccesso che ho t dvers tr loro e cosegue che / Cs prtcolr d sottosuccesso soo:. N I P sottosuccessoe d posto pr. N I D sottosuccessoe d posto dspr (-) P I due t soo dvers llor / (-) D Teorem: Se P l R ~ e D l llor l Esemp: ( ) ( ) ( ) P Ne cosegue che / D ( ) ( ) - oppure ( ) ( ) {

33 P ( ) ( ) D () Qud - ( ) Dt l successoe s chede se è mooto e se è tt. ) Verco che <,, coè < essedo tutte quttà postve, equvle < ( ) ( ) < ( ) ( ) < ( ) < < È clmorosmete ver, qut l successoe è crescete. ) Essedo crescete posso ermre che è tt erormete. sup R? No poché l sup e l successoe è crescete. Qud l successoe o è tt. Eserczo: A,,,,,..., A, A A A O/ poché è u to umerle. Ne cosegue che l seme o è perto perché put ter dovreero cocdere.

34 o A, A qud A o è perto r. A A r A ε > s h ] - ε, ε[ A ] - ε, ε[ CA se A s h ] - ε, ε[ A e ] - ε, ε[ CA poché A è umerle e ] - ε, ε[ è cotuo. è d roter per A ε, ε A poché sup e ε, ε CA poché l elemeto v è scurmete coteuto, qud r. A A, r. A,, cc. A, cc.a ε >, A : e ] ε, ε[ cc. A poché U seme s dce perto se cotee suo put d ccumulzoe. Il ostro seme qud è chuso poché è d ccumulzoe m o pprtee d A. Esemp: ( ) ( ).. ( ) ( ) ( ) {.. ( ).. spedo che ( ) ( )( ) cosdero e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se gl t d tpo ( ) ( ) rccogledo l te pù lto. o ( ) soo d orde dverso posso procedere e vr mod o

35 devo rcodurl u orm del tpo e ( ) e S stud e l espoete ( ) ( ) ( ) Ne cosegue che e e Fuzo: Dt : A R (A D) s dce uzoe pr o smmetrc se () (-), A (smmetr rspetto ll sse delle y); S dce uzoe dspr o smmetrc se () -(-), A (smmetr rspetto ll sse delle ); S dce perodc d perodo t se () ( t), A Esemp: () è pr () è dspr () se è perodc d perodo π Fuzoe Ivers:

36 : A R ettv llor - : - (y) y () Se è mooto crescete o decrescete llor è ettv, oss vertle Composzoe d Fuzo: : A C g : B Cg F : A Cg F() g(()) duque C B g A C B Cg F g o e s legge composto g F Esemp: F() () g() F() s () g() s (prm s esegue () e po g(), coè l rdce qudrt d ()) Restrzoe e prolugmeto: Dt : A R cosdero u sottoseme del D coè u seme A I A, s chm restrzoe dell uzoe d A I l uzoe I : A A I R così det I () () A Se cosdero A II A chmo prolugmeto d og uzoe g : A II R : g () A Dt : A R o ecessrmete ettv s cerc A I A tle che I : A R A s ettv, coè s lvor co l restrzoe, e se cò è possle, llor I h uzoe A vers. Fuzo verse:. Cosdero () è pr, o ettv el suo domo. Se l restrgo R llor R è ettv (h mooto crescete) duque è vertle. y, R l su vers è y Se cosdero l uzoe vers come uov uzoe, coè g(), l suo grco srà:

37 Cosdero () s è perodc duque o ettv. Se l restrgo ll tervllo π π, ho mooto crescete e duque ettvtà e l grco srà: π π π π, y s [-, ] - (y) rcs y. Cosdero () cos, cosdero l restrzoe [, π] Esemp: ) () D R è pr poché () (-) Qud vremo che L uzoe, >, utlzzdo l grco dell uzoe ed eseguedoe l smmetrco rspetto ll sse y vremo l grco dell uzoe, tle smmetr però v esegut solo per l prte postv. Dl grco s ot che l uzoe h u te eroreche vrà vlore, coè () o h però sup (te superore); R ) () per <, quest codzoe o è l domo, m è stt post perché voglo studre l uzoe ell prte egtv, qud s h < qud < < () è tt, oltre < sup. Ioltre ell tervllo cosderto è < mooto decrescete, poché è decrescete l espoete è u uzoe compost ) () D R - {-}

38 Dl grco s ot che l uzoe o è tt, m se cosdero l su restrzoe ]-, [ llor ho mooto decrescete, d cu ettvtà ed esstez dell verso. ]-, [ ], [ Per clcolre - () e - () s procede el seguete modo - - (y) () y co y cerco : - () oss cerco : () N.B. ho solo u soluzoe, ltrmet o vre potuto svolgere - ) - () - () ) Dsegre l uzoe () [ ] [ ] < [] () < [] () e così v Teorem: Dt : A R cosderto R ~ d ccumulzoe per A s h () l R~ { } co s verc che ( ) l (Crtterzzzoe sequezle del te) Questo vuol dre che tutt teorem sulle successo vlgoo che per t tre eccezo. Teorem del vlore Assoluto: Se () l R llor () l Per le successo o vle l vcevers se o co l Esempo: Cerco () : (), m / () () Q preso R / - R -Q () poché vco l puto o c soo t rzol e t rrzol. Tutte le uzo che ho u soluzoe su rzol e u sugl rrzol s dcoo uzo d DIRICHLET. Lmte d Restrzoe: Dt : A R cosderto B A suppogo che s d ccumulzoe per B. () l R oppure che R, coè B ε >, δ(ε) > : < - < δ, B () l < ε essedo B vrò che () l < ε B Dt quest dezoe esste scurmete l seguete: Teorem:

39 Se () l (co R ~ e l R ~ ) llor B A purché s d ccumulzoe che per B s h che () l B Se (B e B ) vet come puto d ccumulzoe e tl che () B () llor B / () l Esemp: ) () - B Q Q R -Q B R Q () e () - B B R llor s h che è d ccumulzoe s per B che per B () B () - Soo dvers qud / B ) Voglo dmostrre che / s ± B { R : kπ, k } (- ) è d ccumulzoe per B poché B è o tto superormete (o erormete). Se rtego () s () () B ± B π B R : kπ, k ± d ccumulzoe per B () () B ± due t soo dvers r loro e qud / s ± N.B: No è ecessro predere B e B complemetr. B Cs prtcolr d Restrzo: : A R cosdero R d ccumulzoe per A predo B { A : > } e B { A : < } e suppogo d ccumulzoe per B e B () l R ε > δ(ε) > : < - B < δ, B () l < ε () - δ δ < < δ co A che equvle < - < δ, B Ivece d scrvere d () per che s vvc d destr. Alogmete l posto d scrveremo B () scrveremo B () l R ε > δ(ε) > : - δ < < co A () l < ε () coè te Teorem:

40 Se () l R ~ e () l llor () l Esempo: Studo del uso l teorem del te sul recproco spezzo l te te destro e sstro per vlor postv Qud / per vlor egtv - Successo dete per rcorrez:. Se,,.,,.,, Se,,,... è crescete? Lo srà se > oss > pochè è sotto rdce, > qud elevto l qudrto > dvdedo per, vremo > Cocludedo: se > è ver l successoe è crescete ( )

41 L successoe è crescete se e solo se s verc che. <, Dmostro che <, per duzoe: Per ho < <, < < mplc che < 9 rcorddo che > s h < 9 d cu mo d cu l tes. L successoe è crescete e tt ( < <, ) duque l R e l sup e l l relzoe ( ) l l Allor mo l seguete dettà: l l l l l - l l( l - ) possmo cocludere che l poché o è ccettle. se è dspr, 5 se è spr / poché è oscllte dmostrle per duzoe >,. d cu FUNIONI poché possmo cocludere, per u teorem d coroto, s h Teorem d ttezz locle: Se ( ) l R llor è loclmete tt, coè vco o M > e r > : M, r, r D se ( ) ] [ ( R) () D R o tt ( ) R Teorem sulle uzo mootoe: Dt : A R mooto o decrescete o crescete, llor c teorem dverso dlle successo. ( ) ( ) ( ) sup ( ) > < c X

42 Applczo mportt d questo teorem ) () e uzoe crescete, qud e sup e poché l uzoe è o tt superormete: () e e e R () e e e e e R sup e e > < e e co l dezoe d te destro ε >, δ() ε > : < < δ e e < ε Dmostro che vercre quest dezoe vuol dre trovre δ () ε > e e e e e < ε e - ε < e > e ε ε > o llor per l mooto e > e > e - ε, ε > qud > è verct per og > o, qud rsolvo e e ε rsult l ( e ε ) < ( e ε) > qud mo l δ() ε l( e ε) ( e ε) l Alogmete s dmostr che che l e e, qud per l teorem e e - ) () ε >, δ () ε > : < < δ < ε lo dmostro co l dezoe d te < ε poché > equvle < ε d cu < ε coè < ε coclusoe < ε () ε ε < < ε qud predo δ Questo rsultto può essere esteso, coè:, R s può dmostrre che, cmdo vrle o h h o h R h ( h) h h h r r r r Neewto, coè: ( ) rsultto srà solo e quest ultm l dmostro co l omo d qud per quto dmostrto prm h qud l

43 c) () se dmostro che se dmostro che l se rggo ugule ), qud è espresso rdt. co u teorem d coroto e co l cercho trgoometrco (coè d B C A AB s h che : BC se BC < AB d cu < se < per l teorem de crer se se lo dmostro co l cmo d vrle -y - y se (- y) - [ se y] y y questo rsultto può essere esteso, coè: ( h) se se, R se se h utlzzdo le ormule d ddzoe vrò: se cos { h cos s { h se dmostrmo che cos h vremo che h se se d) cos posso cosderre π - < < cos - s pochè s cos spedo che se π per cu cos > llor per teorem su t vremo che: se ( - se ) ( - se ) d cu l tes. D cò deduco che cos cos, R (s dmostr come per e ) l per l teorem sulle uzo mootoe crescet mo che l sup l perché o è tt superormete R Dscorso logo per l l >

44 Lmt Notevol ( ) ( ) P ) Q se P se D ) Coroto d t: co P e Q polom ( ) ( ) stess rsultt delle successo, ttet però : s dce che è u to se che: g( ) ( ) llor posso corotre () e g(), se però tutte e due ho o l R - { } e g s dcoo t dello stesso orde ( ) s dce d orde erore g, o g d orde superore g( ) ( - ) ved l R - { } / e g o soo corotl Vle l seguete propretà (prcpo d sosttuzoe degl t) Nello studo d quozet d t s possoo trscurre umertore e/o deomtore (seprtmete) gl t d orde erore rspetto rmet. Per seguet t soo d orde crescete: l (log, > );, > ; e (, > ); ESEMPIO: 5 è d orde superore pochè l l è d orde superore Per spere se è d orde superore e e l l e l -l pochè : l ( l - l ) - l Qud vremo che è d orde superore. Coroto or l deomtore pochè l te srà ) e ( ) d qu s vede che o studo è d orde superore qud d cò mo che se () ( ) o llor s h o () () e llor o ( ) e tt, cosderdo seprtmete

45 te destro e te sstro y ( ) ( ) e y y pogo y poché y ESEMPI: ) e e 6.. ) c) 5 ( ) per l teorem dell permez del sego l espoete tede e l se tede.. N.B: ttezoe o coodere co poché o soo t d grdo superore o erore. ( ) 5 5 ( ) e l ( ) l( ) l l l l l l l l l l l l l l l e l l l.. ) l d) ( ) ( ) rccogledo l s h che ( ) α l, α R qud h seso clcolre solo poche è puto d ccumulzoe d α. l solo d destr. l α l l y l y y l pogo y α α α y y y α l l 5) R.. e e e

46 log ( ) log ( ) 6) > e log ( ) log ( ) log ( ) log e pochè ( ) e cso prtcolre e log ( ) 7) - R - per cosdero e > (logmete s può studre - e < <) Pogo y y ( ) > - per > - log y y y y log log y y y y e log log e y y y y qud vremo per l teorem sul - recproco log e l > per e y y log e log y e - poché l e 8) s co msurto rdte s.. per trovrel vlore del s te utlzzo l teorem d coroto e l cosdero solo destr poché l uzoe è s s pr, sccome è l quozete d uzo dspr, llor cosdero, posso trm studre < < π (l mportte è che s el prmo qudrte). Cosdero or l cerch trgoometrco. BC s ; AB ; AD? I trgol OBC e OBA soo sml, llor possmo scrvere: BC : OC AD : OA BC se d qu rcvo AD t essedo OA OC cos D BD < AB < AD oss s < < t s B s < < dvdo per s (poché s cos > smo el prmo qudrte) e otttego < < qud per l teorem de X s cos O C A crer l d qu per l teorem sul s s recproco posso cocludere l

47 9) t - cos ) - cos.. ( - cos ) ( cos ) s s t cos s cos cos.. s cos - cos s ( cos ) cos cos. ESERCII ) s s s.. s s s se s cosderv t vre vuto s t che: t ) e - cos e - - cos.. e - cos e - - cos e - - cos e - - cos t - - c).. l. ( - ) - t t t ( -) t t l l t t d) e - e.. poché e è d orde superore s s poché s e) s... s per comodtà cmo orm determt s s.. t essedo t s t t t

48 Grc Qulttv A. () s Per dsegre l uzoe m procuro seguet dt:. Cerco dt dove () soè dove. s kπ k - {} π π π k,,,, kπ - ±, ±,..., ± π π π π. Cerco put dove () coè s kπ k k π kπ,,,... s π 5π 9π - B. () s g() per k - {} kπ g() π kπ - < g() < g() < Ne cosegue che l ostr uzoe oscll tr e - s ( ) α ) α R α α ( ) ( ) e l αl( ) e α l( ) α α α l( ) Cs Prtcolr: α ( ) α l α α ( ) ( ).. α ( ) ( ) α e l t e t α l( ) t t ( ( ) ) ( ) - - α -

49 Itesm e loro coroto Se ( ) Se ( ) g( ) l R - {} ( ) g( ) ± llor l dremo INFINITESIMA. llor pomo le seguet dezo: e g soo dello stesso orde s dce d orde superore g o g d orde erore / g s dce d orde superore o d orde erore g e g o soo corotl s e ho lo stesso orde - cos e ho lo stesso orde s è d orde superore Se ( ) s e ( ) ( ) g s / s equvle g( ) / s ± Negl tesm coto gl sem d orde pù ss ( ) g( ) g g ( ) ( ) co ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e g ( ) ( ), ( ) g( ) g( ) g tl cso s h ( ) g ( ) g ( ) g Possmo eucre l seguete prcpo d Sosttuzoe degl tesm. Nello studo d quozet d tesm s possoo ere umertore e/o deomtore seprtmete quegl tesm d orde superore rspetto rmet. e cos ( e ) ( cos ) cos e Studo e come tesmo e per rcodurm d u.. cerco l uzoe che h o o meglo α α co e cos α α R e α > α o - coè α α y y y pogo - y y e y y e e e α α

50 CONTINUITÀ: Dt : A R, preso A co cc.a, s dce cotu o se ( ) ( ) co l sosttuzoe o h, l dezoe d cotutà dvet: ( h) ( ) S h cotutà destr (o sstr) o ( ) ( ) ( ) Qud l uzoe srà totlmete cotu o se e solo se l uzoe è cotu o s d destr che d sstr. Esempo: ( ) [ ] co vremo che : ( ) ( ) ( ) ( ) Se o è cotu A llor s dce dscotu. Esstoo vr tp d dscotutà:. Dscotutà d prm spece: A slto: ( ) ed ( ) R, m dvers tr loro; Dvers d ( o );. Dscotutà d secod spece, se / o o è to l te destro o quello sstro o etrm; Se è costte o, llor per teorem su t, s ho le seguet propretà: ) è loclmete tt o ; ) Se ( ) llor r > : ( ) ( ) >, ] r, r[ A (permez del sego); c) è cotu o ; d) Se ( o ) llor è cotu o ; Se e g soo cotue ello stesso put o, llor: e) g e g soo cotue o ; g ) Se ( o ) llor è cotu o ; NB: l somm d due uzo può essere cotu sez che lo so gl dded, come d questo cso le due dscotutà s compeso. esempo: [ ] [ ] Teorem: Se è cotu o e g è cotu y o ( o ) llor composto } g g ο è cotu o. Fuzo cotue odmetl: ( tutt put del loro domo) ) ( ), N cotu o polom soo uzo cotue); e, cotu o e,e ; ) ( ) ) () l ; α ) ( ),α R, D R scrvedo l vlore d α co se e s vrà: cotu quto composzoe d uzo cotue; l, R è cotu e compost poché e ; 5) ( ) ( polom e quozet d α α l αl e e è

51 6) () s è compost poché s s ; 7) () cos è compost poché cos cos ; Esercz: s se ) ( ) C chedmo se è cotu el domo (D); se s esste e D R R - { } vco o, mo che () cocde co: s, che è cotu tutt put cu è det perché: s è cotu poché è u uzoe compost d uzo cotue; s è cotu perché è l prodotto d uzo cotue L cotutà o ( ) ( ) coè s cò è vero poché s è tt e tede. se ) ( ) D R le uzo e soo cotue. se < Verco or l cotutà d o ; () è ecessro cosderre te destro e te è cotu destr d o, sstro. ( ) ( ) () ( ) () o è cotu sstr d o ; Propretà delle uzo cotue tervll del tpo [,] Cosdero : [,] R che s cotu og puto dell tervllo [,], llor vlgoo le seguet propretà: è tt coè l e L sup s h che l, L (l cotutà [,] è [,] ( ) [,] ( ) R CS per l ttezz); l, L soo vlor ssut d (), coè h mssmo e mmo ssolut, coè, [,] : ( ) l e ( ) L è detto puto d mmo ssoluto, è detto puto d mssmo ssoluto;

52 Propretà. Se è cotu [,], tt [,] Esemp: () per [, [ è cotu m o tt; () ], ] è cotu, m o tt;. Teorem d Weerstrss: Se è cotu [,] llor h mssmo e mmo [,]. Esempo: tt [,] m o cotu tutto [,] ] [ se, coè < < ( ) se o l L [,] : ( ) o ( ) / poché o è cotu e o e o. Teorem degl zer d u uzoe cotu Se è cotu [,] e (). () < (ssumoo vlor d sego opposto gl estrem), : llor ] [ ( ) () < () > N.B.: o c è u sol soluzoe, se ce e soo pù d u scurmete soo umero dspr.

53 Se devo rsolvere u equzoe d tpo () co cotu el suo domo oss cerco soluzo pproprte, coè cerco, : (). () < llor ],[ soluzoe dell equzoe. Alogo dscorso per l equzoe del tpo () k ( () k ). Teorem de vlor termed Se è cotu [,] llor pres y e y C co y < y, coè soo dvers, llor y : ] y, y [, [, ]. ( ) y Se u uzoe cotu ssume vlor llor ssume, y che tutt vlor termed, o che se y e y C [ ] C y 5. Se è cotu [,] ch è C? Per l teorem d Weerstrss s h che l m (mmo) e L M (mssmo), llor per l teorem de vlor termed [ m, M] C per l sgcto d m, M s h che C [ m,m] Oss le uzo cotue trsormo tervll chus tervll pert. 6. Teorem d cotutà dell uzoe vers Dt : [,] R ed è cotu e mooto crescete o decrescete [,] llor : m,m, [ ] [ ] cotu. Fe Fuzo Cotue

54 CALCOLO DIFFERENIALE DERIVATE E DERIVABILITÀ Cosdero : A R co A D e dom potro essere: Itervll; Semrette; Uo d tervll e semrette; Tutto R; Preso u puto o del domo dell uzoe ( o A), cosdero h R-{}, tle che o h A (h s dce cremeto e o h s dce puto d cremeto rspetto o ). Chmmo rpporto cremetle dell uzoe el puto o ( h ) ( ) o se cremeto vrle dpedete s dce dervle h cremeto vrle dpede te ( h) ( ) R h h dce DERIVATA d el puto o e s dc co: ( o ); D ( o ); (coè l te deve essere to) Il vlore del te s d ( ) d Co l cmo d vrle o h s h l dezoe equvlete ( h) ( ) s dovedo sostture s h h h h h precedetemete vsto, coè o è dervle e destr e sstr d o. ( ) ( ) - R s dce dervle destr (e sstr) o se R tle vloros dc co h h ( ) ( ) o d ( ) [ ( ) o s ( )] Per teorem su t s h che è dervle o dervle destr e sstr d o e devoo essere ugul, coè ( ) - ( ) Esemp: h ( ) studo l dervltà destr ( ) h h ) h po studo l dervltà sstr ( ) h h ) è dervle destr e sstr d o, m o dervle el puto stesso. s se ( ) dervltà o. Il rpporto cremetle d o è se h s ( h) ( ) h m esso /, come

55 Teorem: se è dervle o llor è cotu o. h h Dmostrzoe: cotu o ( ) ( ) [ ( ) ( )] h ( ) ( ) } h h h h ( ) ( ) [ ( h) ( )] h h ( ) h m: per l teorem sul prodotto s h l tes, coè Osservzo: dervltà o cotutà o, o è vero l cotrro, coè c soo uzo cotue o, m o dervl esso, come d esempo (). L cotutà o è CN, m o CS per l dervltà. Regole d Dervltà ) Se e g soo dervl o llor: g è dervle o e D( g) ( o ) ( o ) g ( o );. g è dervle o e D(. g) ( o ) ( o ). g( o ) ( o ). g ( o ); SOMMA: l rpporto cremetle dell somm è: [ ( h) g( h) ] [ ( ) g( )] ( h) ( ) g( h) g( ) h g g qu s pss l ( )( ) ( ) ( ) h PRODOTTO: l rpporto cremetle del prodotto è: [ ( h) g( h) ] [ ( ) g( )] h ( h) g( ) ( ) g( h) ( ) g( h) ( ) g( ) coè ho h g h. gguto e tolto l stess quttà ( ) ( ) ( ) ( h) ( ) g ( ) ( h) g( ) h g g ( ) ( ) ( ) h h d ( ) g( ) g ( ) ( ) h h h Per Hp teorem su somm e prodotto soo t e dervltà mplc cotutà. D Il Rpporto cremetle ( h) ( ) ( h) ( ) ( h) ( ) ( h) ( ) h h h ( h) ( ) ) Se è dervle o e () llor è dervle o e ( ) N.B: ( h) pccol ( h) g ( ) ( ) ( ) ( ) è: ( ) ( ) ( o ) è molto mportte, e cosegue che per tervll molto poché () è dvers d tutto l toro d o.

56 c) Se e g soo dvsl o e ( o ) llor g è dervle o e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g g D