Carlo Greco. Appunti di Analisi Matematica I

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2 Indice. Teori degli insiemi ed elementi di logic Nozioni introduttive sugli insiemi Proposizioni e predicti Quntifictori Operzioni tr insiemi Funzioni tr insiemi Funzioni ingettive e surgettive Funzioni composte e restrizioni Insiemi finiti, infiniti e numerbili Esercizi.... Insiemi numerici Insiemi numerici Intervlli Cenni sui numeri complessi Esercizi Funzioni e loro grfici Il concetto di funzione Altri esempi di funzioni Rette Potenz n-esim Prbole Rdice n-esim Iperbole... 4 Funzioni definite " pezzi". Funzione vlore ssoluto di e funzione segno di... 4 Trslzioni Esercizi Funzioni pri, dispri, periodiche Operzioni con le funzioni Somm, prodotto e quoziente Relzione d'ordine Minornti e mggiornti; funzioni limitte e illimitte Composizione di funzioni... 5 Codominio di un funzione; funzioni surgettive ed ingettive; funzioni inverse Esercizi Funzioni monotone Successioni Esercizi Disequzioni rzionli e irrzionli Generlità sulle disequzioni Disequzioni di primo e secondo grdo Esercizi Disequzioni di grdo superiore l secondo Cso generle: polinomi fttorizzti Cso generle: decomposizione in fttori... 7 Le biqudrtiche Disequzioni del tipo n < k, n k, n > k, n k Disequzioni rzionli frtte Sistemi di disequzioni Disequzioni irrzionli... 8 n n Disequzioni del tipo A@D < B@D oppure A@D B@D n n Disequzioni del tipo A@D > B@D oppure A@D B@D Funzioni elementri L funzione esponenzile e l funzione logritmo Funzione esponenzile Funzione logritmo Le funzioni trigonometriche e le loro inverse L misur in rdinti di un ngolo Le funzioni seno e coseno Settembre 008

3 3 Le funzioni rcoseno e rcocoseno Le funzioni tngente e rcotngente... 0 Altre funzioni trigonometriche Periodicità delle funzioni trigonometriche Esercizi Disequzioni esponenzili, logritmiche e trigonometriche Disequzioni esponenzili Disequzioni logritmiche Disequzioni trigonometriche... 4 Disequzioni trigonometriche elementri... 4 Disequzioni contenenti un sol funzione trigonometric incognit... 9 Disequzioni di secondo grdo in seno e coseno... 0 Disequzioni lineri in seno e coseno Disequzioni con le funzioni trigonometriche inverse Disequzioni col vlore ssoluto Alcune disequzioni trscendenti Disequzioni vrie e clcolo del dominio di definizione di un funzione Limiti di funzioni e successioni Definizione di limite di un funzione Esercizi Funzioni che non mmettono limite Limite sinistr e destr Esercizi L definizione generle di limite Teoremi sui limiti... 5 Operzioni con i limiti... 5 Limiti di polinomi Limiti ll'infinito di funzioni rzionli Esercizi Funzioni continue L form indetermint ê Limiti delle funzioni rzionli negli zeri del denomintore Esercizi... 6 Limiti di funzioni composte... 6 Limiti di lcune funzioni irrzionli Esercizi Asintoti Permnenz del segno, conservzione delle disuguglinze e confronto Permnenz del segno e conservzione delle disuguglinze Confronto Esercizi Alcuni limiti notevoli Sin@D Il limite notevole lim Ø0 = e i limiti notevoli collegti Esercizi... 7 Prodotto di un funzione infinitesim per un limitt Somm di un funzione divergente e di un limitt Funzioni dell form f@d g@d e loro limiti Esercizi Limiti di successioni Teoremi sui limiti delle successioni L successione II +Å n Mn M e il numero di Nepero n. Altri limiti notevoli... 8 Il limite notevole lim Ø I +Å M e i limiti notevoli collegti Esercizi Funzioni continue Funzioni continue e punti di discontinuità di un funzione Definizione di funzione continu e punti di discontinuità di un funzione Prolungmento per continuità di un funzione Esercizi Minimo e mssimo ssoluto. Teorem di Weierstrss Teorem degli zeri Settembre 008

4 4 4. Esercizi Derivte Definizione di derivt Funzioni non derivbili; derivte sinistr e destr Derivte di lcune funzioni; operzioni con le derivte Esercizi Derivte successive Significto fisico dell derivt Tngenti e pprossimzioni Derivte delle funzioni elementri... 4 Derivt di... 4 Derivt di... 4 Derivt di e di 5 Derivte delle funzioni trigonometriche... 5 Derivte delle funzioni trigonometriche inverse... 6 Tbell delle derivte delle funzioni elementri... 7 Derivte di funzioni dell form f@d g@d Esercizi Clcolo dei limiti medinte l regol dell'hôpitl Esercizi Appliczioni delle derivte. Studio di grfici Alcune ppliczioni delle derivte... 4 Punti di minimo o mssimo reltivo... 4 Ricerc del minimo o del mssimo ssoluto... 6 Teoremi di Rolle, Lgrnge; crescenz e decrescenz Primi studi del grfico di un funzione Concvità e convessità, flessi, studio dei punti ngolosi e cuspidli Convessità, concvità e flessi Punti ngolosi e cuspidli Esercizi Studio di grfici Funzioni rzionli e irrzionli Funzioni logritmiche ed esponenzili Funzioni trigonometriche... 5 Funzioni vrie Esercizi Il problem dell're. Integrli definiti Cenni sull misur secondo Peno-Jordn Are del trpezoide e funzioni integrbili secondo Riemnn Esercizi Proprietà dell'integrle Esercizi Primitive e teorem fondmentle Esercizi Integrli indefiniti Integrli indefiniti immediti e integrzione per decomposizione Integrli indefiniti immediti Integrli indefiniti immediti generlizzti... 8 Integrzione per decomposizione Esercizi Integrzione per prti Integrzione di lcune funzioni rzionli frtte Integrli del tipo Integrli del tipo Integrli del tipo Integrli del tipo +b+c q+p +b+c p+q +b+c q+p +b+c, con D < , con D < , con D > , con D = Settembre 008

5 5 Integrli del tipo, con polinomio di grdo mggiore o ugule due b+c Esercizi Integrli prticolri Integrzione per sostituzione Esercizi Funzioni non integrbili elementrmente Infinitesimi e Infiniti Generlità sugli infinitesimi Infinitesimi cmpione e ordine di infinitesimo Generlità sugli infiniti Infiniti cmpione e ordine di infinito Esercizi Integrli impropri Funzioni limitte, 3. Funzioni limitte, intervlli D -, D, e D -, Funzioni non limitte, intervlli D, b@, o D, b@ Esercizi L formul di Tylor I polinomi di Tylor e l formul di Tylor col resto di Peno Esercizi Il test dell derivt n-esim per i punti di minimo, mssimo e flesso L formul di Tylor con il resto di Lgrnge Esercizi Indici Indice nlitico Indice dei teoremi Indice delle definizioni Notzioni Avvertenz sulle notzioni uste in questo testo In questi ppunti di Anlisi Mtemtic le notzioni doperte sono leggermente diverse d quelle stndrd; l rgione è dovut essenzilmente l progrmm con cui sono stti compilti. Ad esempio si us l notzione per indicre le funzioni, doperndo quindi le prentesi qudre, invece dell notzione più ust che è f HL. Anche i nomi delle funzioni elementri sono leggermente diversi d quelli stndrd: il logritmo in bse, d esempio, viene indicto con Log@D, mentre di solito si indic con log. Prticolre ttenzione dovrà essere ust per le potenze delle funzioni elementri; d esempio, per indicre il qudrto del logritmo di usimo il simbolo Log@D invece dell notzione consuet log. Bisogn dunque prestre ttenzione non confondere Log@D con LogA E, che, con le consuete notzioni si scriverebbe invece logi M. Al termine di queste dispense si trov un elenco in cui sono indicte tutte le principli differenze rispetto lle notzioni consuete. E' opportuno consultre spesso questo elenco, in modo d non vere nessun dubbio sull'interpretzione dei simboli. Settembre 008

6 . Il problem dell're. Integrli definiti 58 Il problem dell're. Integrli definiti In questo cpitolo vedremo come definire l nozione di re di un sottoinsieme del pino, e studieremo come clcolrl, introducendo il concetto di integrle definito e indefinito. Vedremo inoltre le ppliczioni di tli concetti problemi di fisic e di meccnic.. Cenni sull misur secondo Peno-Jordn Supponimo che A si un sottoinsieme di ; voglimo ssocire questo sottoinsieme un numero che ne esprim in modo rgionevole l'estensione. Questo numero srà chimto re di A, oppure, in vist di future generlizzzioni l cso in cui A si un sottoinsieme di 3, o, più in generle, di n, misur di A. Se A è un rettngolo, un tringolo, o, più in generle, un poligono, cos si debb intendere per re di A è noto dll geometri elementre. Nel cso in cui A si invece un cerchio, si incontr un difficoltà essenzile, dovut l ftto che un cerchio, differenz di un poligono, non è decomponibile in tringoli. Quest difficoltà può essere supert "pprossimndo" dll'interno e dll'esterno il cerchio con figure geometriche di cui è not l're, d esempio poligoni regolri. Si trovno, in questo modo, due clssi contigue di grndezze: quell delle ree dei poligoni inscritti, e quell delle ree dei poligoni circoscritti l cerchio. Queste due clssi contigue individuno un unico numero rele, che si ssume, per definizione, come re del cerchio. In questo consiste, in sostnz, il metodo di esustione, noto fin dll'ntichità. Esso consente, nello stesso tempo, di definire l nozione di re per un insieme non decomponibile in tringoli o in rettngoli, e di fornire un metodo prtico per il clcolo pprossimto di ess. Un generlizzzione di questo metodo consente di definire l're di figure pine molto più generli di un cerchio, ed è bsto sull procedur di pprossimre, si dll'esterno che dll'interno l'insieme dto medinte "plurirettngoli", cioé medinte unioni di un numero finito di rettngoli di. Dimo nzitutto le seguenti definizioni. Definizione.. (Rettngolo) Si dice rettngolo di il prodotto crtesino di due intervlli limitti di. Per intervllo di si intende un intervllo perto, chiuso o semiperto, eventulmente costituito nche d un solo punto. L're di un rettngolo R srà indict con» R», ed è, come l solito, il prodotto delle lunghezze dei lti. Definizione.. (Plurirettngolo) Si dice plurirettngolo di l'unione di un numero finito di rettngoli di, due due internmente disgiunti. L'insieme dei plurirettngoli di si indic con I M. Dunque un plurirettngolo è un insieme di che può essere decomposto in un numero finito di rettngoli venti due due in comune, eventulmente, un prte del bordo (dunque senz che vi sino "sovrpposizioni" delle prti interne). Definizione..3 (Are di un plurirettngolo) Se P è un plurirettngolo di, e se R,R,,R n è un su decomposizione in un numero finito di rettngoli, per cui si h: n P = Rk, k= si dice re di P, e si indic con» P», l somm delle ree dei rettngoli R,R,,R n : n» P» = k= Osservzione. Se P è un plurirettngolo, in generle esistono infiniti modi di decomporre P nell'unione di un numero finito di rettngoli. Se R, R,,R n, ed S, S,,S m sono due di queste decomposizioni, per cui: si h evidentemente che n» R k». P = ÊR k = ÊS k, n k= m k= Ê» R k» = Ê» S k», k= m k= Settembre 008

7 . Il problem dell're. Integrli definiti 59 pertnto l definizione precedente di re di un plurirettngolo è lecit mlgrdo l non unicità dell decomposizione. Si or A un sottoinsieme limitto di. Indichimo con i HAL l'insieme di tutti i plurirettngoli di contenuti in A (l'indice i st per interni), e con e HAL l'insieme di tutti i plurirettngoli di che contengono A (l'indice e st per esterni). Definizione..4 (Insieme misurbile) Si A un sottoinsieme limitto di ; se i due insiemi numerici costituiti dlle ree dei plurirettngoli interni ed esterni d A: 8»P»» P œ i HAL< e 8»P»» P œ e HAL< sono contigui, l'insieme A si dice misurbile secondo Peno-Jordn, ed il loro elemento di seprzione si dice misur secondo Peno-Jordn (o semplicemente, nel cso bidimensionle, re) di A. In tl cso, l misur di A verrà indict con» A». L definizione ppen dt di re di un insieme ppre del tutto nturle: nzitutto consente di recuperre l nozione di re not dll geometri elementre, inftti i rettngoli, i tringoli, i poligoni ecc. ecc., sono tutti misurbili secondo Peno-Jordn, e l loro misur coincide con quell già not; nlog osservzione vle per l're del cerchio. L mggior prte degli insiemi che cpit di considerre nelle ppliczioni sono misurbili secondo Peno-Jordn; tuttvi esistono nche insiemi che, invece, non lo sono. Esempio.. Si A l'insieme dei punti del qudrto unitrio coordinte rzionli: A = 8H, yl D D» œ, yœ < Ebbene, l'insieme A non è misurbile, inftti gli unici plurirettngoli contenuti in A sono quelli costituiti d un numero finito di punti, ed hnno re null, pertnto 8»P»» P œ i HAL< = 80<. D'ltr prte, qulunque plurirettngolo contenente A deve contenere nche il D D che h re, pertnto l'insieme numerico 8»P»» P œ HAL< è costituito d numeri mggiori o uguli d uno. Dunque tli insiemi numerici non sono contigui.. Are del trpezoide e funzioni integrbili secondo Riemnn Nel prgrfo precedente bbimo visto come è possibile definire l nozione di re per un sottoinsieme del pino; simo or interessti prticolri sottoinsiemi del pino, chimti trpezoidi. Definizione.. (Trpezoide) Si f:@, bd Ø un funzione positiv e limitt; si dice trpezoide di bd reltivo ll funzione f, l'insieme: T f = 8H, yl» bd, 0 y Dunque il trpezoide T f non è ltro che l prte di pino (limitt) compres tr l'sse e il grfico di f, come si vede in figur: Vedimo come è possibile (e se è possibile) individure opportuni plurirettngoli contenuti in T f e contenenti T f tti d pprossimre per difetto e per eccesso l su re (mmesso che T f si misurbile secondo Peno-Jordn). Si dunque f bd Ø un funzione positiv e limitt. Suddividimo poi bd in n intervllini medinte i punti 0,,... n, dove = 0 < < <... n = b (questi punti non sono necessrimente equidistnziti). Indichimo con il simbolo c quest suddivisione dell'intervllo: Settembre 008

8 . Il problem dell're. Integrli definiti 60 c = 8 0,,... n <, e indichimo con S@, bd l'insieme di tutte le possibili suddivisioni bd. Indichimo or con m i il minimo ssoluto dell funzione in ciscuno degli i-, i D dell suddivisione fisst (mmesso che questo minimo ssoluto esist): m i = min f@d. œ@ i-, i D Considerimo or i vri i-, i D m i D; l loro unione è un plurirettngolo che indichimo con P cd: Ciò che stimo fcendo è illustrto dl seguente grfico. n P cd = Ê@ i-, i D m i D. i= Ovvimente P cd è un plurirettngolo "inscritto" in T f, l cui re pprossim per difetto quell di T f. L're del plurirettngolo P cd è: n s cd = m i H i - i- L. i= L sommtori precedente si chim somm inferiore reltiv ll suddivisione c. Nturlmente l'pprossimzione è tnto migliore qunto più fitt è l suddivisione c bd. Indichimo con A@ f D l'insieme numerico delle ree di tutti i plurirettngoli del tipo s cd l vrire di c nell'insieme delle suddivisioni bd: A@fD = 8s cd» cœs@, bd<. In modo nlogo, posto: M i = m œ@ i-, i D (sempre mmesso che tle mssimo ssoluto esist in ciscuno degli i-, i D), e posto: si h un plurirettngolo "circoscritto" T f : n f@d Q cd = Ê@ i-, i D M i D, i= Settembre 008

9 . Il problem dell're. Integrli definiti 6 l cui re è: n S cd = M i H i - i- L. (L sommtori precedente si chim somm superiore reltiv ll suddivisione c). Ponimo, di conseguenz, i= B@fD = 8S cd» cœs@, bd<. Dunque B@ f D è l'insieme delle ree di tutti i plurirettngoli circoscritti T f. E' chiro che i due insiemi numerici A@ f D e B@ f D sono seprti, nel senso che ogni plurirettngolo inscritto h re minore o ugule d ogni plurirettngolo circoscritto. Se essi sono nche contigui, il trpezoide T f è misurbile secondo Peno-Jordn, e l su misur (l su re) è, per definizione, l'elemento di seprzione tr tli insiemi. In ltri termini, è or possibile dre l seguente definizione. Definizione.. (Integrle secondo Riemnn) Con le notzioni sopr introdotte, l funzione f:@, bd Ø si dice integrbile (secondo Riemnn) se gli insiemi numerici A@ f D e B@ f D sono contigui; in tl cso il loro elemento di seprzione si chim integrle (secondo Riemnn) di f, e si indic col simbolo: Ÿ b n < Ÿ b f@d < Esempio.. ( = k) Considerimo il cso di un funzione costnte, costnte vlore k > 0, bd; in questo cso T f non è ltro che il rettngolo di bd e ltezz k, cosicché l su re è khb - L. Settembre 008

10 . Il problem dell're. Integrli definiti 6 Vedimo di ritrovre questo risultto col metodo dei plurirettngoli inscritti e circoscritti. Suddividimo l'intervllo in n intervllini, e per ciscuno di essi considerimo il minimo vlore ssunto dll funzione; nel cso di un funzione costnte, si h, ovvimente: m i = k, pertnto l're del generico plurirettngolo inscritto è: n s cd = m i H i - i- L = k H i - i- L = k H i - i- L = k Hb - L. i= Dunque, ogni plurirettngolo inscritto h sempre re ugule khb - L; ciò è evidente dll figur: n i= n i= Dunque, l'insieme A@ f D delle ree dei plurirettngoli inscritti si riduce l solo elemento khb - L: A@fD = 8k Hb - L<. In modo perfettmente nlogo si verific che nche l'insieme B@ f D è costituito dl solo numero khb - L: B@fD = 8k Hb - L<. Dunque tli insiemi numerici sono ovvimente contigui, e il loro elemento di seprzione non è ltro che khb - L. Adoperndo l simbologi degli integrli, possimo scrivere: bk = k Hb - L. Esempio.. ( = ) Considerimo or l funzione = bd; in questo cso T f è un tringolo l cui re è b. Ritroveremo nuovmente questo risultto col metodo dei plurirettngoli inscritti e circoscritti. Suddividimo l'intervllo in Settembre 008

11 . Il problem dell're. Integrli definiti 63 n intervllini, quest volt di ugule lunghezz Å b ; si h dunque: n i = Å b i, dove i = 0,,..., n. n In ciscuno degli i-, i D, il minimo di f è ssunto nel primo estremo i-, e vle proprio i- D = i- ; si h cioé m i = i- : Pertnto l're del plurirettngolo inscritto è: n n n s cd = m i H i - i- L = i- H i - i- L = i= i= i= n i- Å b n = Åb n i= b b Å Hi - L = n n i= n Hi - L. Or, l'ultim sommtori non è ltro che l somm dei primi n - interi nturli; poiché si h, com'è noto: bbimo ottenuto, in definitiv: n Hn - L n - =, s cd = b n Hn - L n Hn - L = b n. I numeri s cd = b n- n pprossimno per difetto l're del tringolo; pssndo l limite per n Ø+, si ottiene b. In modo nlogo, considerndo le ree dei plurirettngoli circoscritti, e fcendo tendere n Ø+, si ottiene ncor b. Abbimo dunque dimostrto che: 0 b = Å b. L formul ottenut può essere fcilmente generlizzt l cso di un integrle esteso bd, inftti si h: b = re del tringolo di bd - re del tringolo di D = b -. Esempio..3 ( = ) Considerimo infine l funzione = bd; T f è or l prte di pino l di sotto di un prbol: Settembre 008

12 . Il problem dell're. Integrli definiti 64 L su re non è not dll geometri elementre; vedremo tuttvi che, grzie l metodo dei plurirettngoli inscritti e circoscritti, ess potrà essere clcolt. Suddividimo l'intervllo in n intervllini, di lunghezz ugule; prendimo inftti i = Å b i, dove i = 0,,..., n. n In ciscuno degli i-, i D, il minimo di f è ncor ssunto nel primo estremo i-, e vle proprio i- D = i- ; si h cioé m i = i- : Pertnto l're del plurirettngolo inscritto è: n n n s cd = m i H i - i- L = i- H i - i- L = i= i= i= n b i- Å b n = Åb n i= n Hi - L = b3 n Hi - L. 3 i= n Or, l'ultim sommtori è l somm dei qudrti dei primi n - interi nturli; poiché si h: bbimo ottenuto, in definitiv: Hn - L n Hn - L H n - L =, 6 s cd = b3 Pssndo l limite per n Ø+, si ottiene b3 3. n Hn - L H n - L n 3 6 Hn - L H n - L 3 = b. 6 n In modo nlogo, considerndo le ree dei plurirettngoli circoscritti, e fcendo tendere n Ø+, si ottiene ncor b3 3. Abbimo dunque dimostrto che: 0 b = Å 3 b3. Rgionndo come ll fine dell'esempio precedente, si ottiene immeditmente: b = re del trpezoide di bd - re del trpezoide di D = b Osservimo or che non tutte le funzioni sono integrbili; un fmoso esempio di funzione non integrbile è fornito dll Settembre 008

13 . Il problem dell're. Integrli definiti 65 cosiddett funzione di Dirichlet, che è definit nel modo seguente: = 0 se œ se Il grfico di quest funzione non è disegnbile in modo completo: esso consiste di infiniti punti densmente distribuiti si sull'sse (quelli di sciss rzionle) si sull rett y = (quelli di sciss irrzionle). y Esempio..4 (L funzione di Dirichlet) L funzione di Dirichlet, sopr definit, non è integrbile; inftti, considerimo bd, e suddividimolo medinte i punti = 0,,..., n = b, come l solito; in ciscuno degli i-, i D cdono si punti rzionli che irrzionli, pertnto il minimo m i vle 0, e il mssimo M i vle ; dunque: Pertnto n n s cd = m i H i - i- L = 0 H i - i- L = 0, i= i= n n n S cd = M i H i - i- L = H i - i- L = H i - i- L = b -. i= i= i= A@fD = 80<, B@fD = 8b - <. Questi due insiemi numerici non sono contigui, quindi l funzione dt non è integrbile. L funzione dell'esempio precedente non è l'unic non essere integrbile; si possono inftti immginre molte ltre vrinti dello stesso tipo; d esempio, non è integrbile l funzione: il cui grfico è del tipo seguente: y f@d = : se œ se Per fortun, tuttvi, esistono vste clssi di funzioni integrbili, come d esempio le funzioni continue e quelle monotone. Teorem.. (Integrbilità delle funzioni continue) Un funzione continu bd è integrbile sullo stesso intervllo. Teorem.. (Integrbilità delle funzioni monotone) Un funzione monoton bd è integrbile sullo stesso intervllo. Esempio..5 Considerimo l funzione f 3D Ø così definit: Settembre 008

14 . Il problem dell're. Integrli definiti 66 = - se - < - + se se < 3 y Ess è monoton (strettmente crescente) nell'intervllo considerto, pertnto è integrbile per il teorem sull'integrbilità delle funzioni monotone. Osservzione. L definizione di integrle come elemento di seprzione tr gli insiemi A@ f D e B@ f D, non deve fr pssre in secondo pino l'ide principle, che consiste, in sostnz, nel suddividere bd in piccoli i-, i D in ciscuno dei quli l funzione (che si chim funzione integrnd) può essere considert, pprossimtivmente, costnte e nel sommre le ree dei rettngolini ottenuti. In ltri termini, l'ide principle consiste "nell'ffettre e sommre". Osservzione. Qundo bbimo considerto l somm inferiore s cd (risp. l somm superiore S cd), bbimo, in sostnz, supposto che l funzione fosse costnte, costnte vlore m i (risp. M i ) su ciscuno degli i-, i D. In reltà, non è importnte che tle vlore costnte si necessrimente il minimo m i o il mssimo M i di f su tle intervllino; ciò è comodo solo perché, in tl cso, i numeri s cd e S cd forniscono delle pprossimzioni per difetto e per eccesso di Ÿ b Invece del minimo o del mssimo, vremmo potuto scegliere il vlore di f in qulsisi punto c i i-, i D. In tl cso l're del rettngolino di i-, i D srebbe stt i DH i - i- L, e l somm delle ree srebbe stt: n s cd = f@c i D H i - i- L i= Hsomm di CuchyL. Tle numero s cd fornisce ncor un pprossimzione di Ÿ b m non è possibile spere priori se per difetto o per eccesso. In prticolre, se, d esempio, prendimo c i = i-, si h l situzione illustrt in figur: Come si vede, lcuni dei rettngolini sono contenuti nel trpezoide T f, ltri no. Nell successiv nimzione è possibile fissre un cert suddivisione bd, e scegliere poi successivmente i punti c i in quttro modi diversi: ) ciscun c i coincide col primo estremo i-, i D; ) ciscun c i coincide col secondo estremo i-, i D; Settembre 008

15 . Il problem dell're. Integrli definiti 67 3 ) ciscun c i è preso ugule l punto medio i-, i D; 4 ) ciscun c i è preso cso i-, i D. Nuov suddivisione Nuovi c i n 4 Scelt: c i = i- c i = i c i = i-+ i i- c i i Osservzione. Il simbolo Ÿ b di integrle riflette l'ide fondmentle di "ffettre e sommre". Inftti, + D è un generico intervllino dell suddivisione, di lunghezz "infinitesim" e se sceglimo di prendere il vlore di f nel primo estremo di tle intervllo, l're del rettngolino corrispondente è ; il simbolo Ÿ b (che non è ltro che un S stilizzt) esprime il ftto che si stnno sommndo le "ree infinitesime" Osservzione. Poiché Ÿ b rppresent un numero (un're) l vribile che compre nel simbolo di integrle è un vribile "pprente"; ess può essere sostituit d un qulsisi ltro simbolo senz che il vlore dell'integrle cmbi: Ÿ b f@d = Ÿ b f@td t = Ÿ b f@qd q,. Abbimo introdotto il concetto di integrle prtendo dl problem dell're; tuttvi, se l funzione h qulche significto fisico, nche Ÿ b può rppresentre un grndezz fisicmente significtiv. Esempio..6 (Spzio percorso) Un punto mterile si muove su un rett con velocità proporzionle l tempo: v@td = kt; il grfico dell velocità in funzione del tempo è quindi un rett: v b t Voglimo clcolre lo spzio percorso tr l'istnte inizile t = e l'istnte finle t = b; se l velocità fosse costnte, bsterebbe moltiplicrl per il tempo trscorso: spzio = velocità µ Hb - L; poiché non è costnte, suddividimo bd in tnti intervllini (d esempio di ugule lunghezz) in ciscuno dei quli l velocità si può supporre costnte; nel generico i-, t i D possimo supporre che ess si ugule v@t i- D; di conseguenz, lo spzio percorso in tle intervllo temporle, è circ v@t i- D Ht i - t i- L; l somm di tli spzi è: Settembre 008

16 . Il problem dell're. Integrli definiti 68 n s cd = v@t i- D Ht i - t i- L; pssndo l limite per n Ø+, si ottiene lo spzio totle come integrle dell velocità bd: i= spzio = bv@td t. Terminimo con un'ultim osservzione. Abbimo introdotto il concetto di funzione integrbile nel cso di funzioni f bd Ø limitte e positive; in questo cso l somm inferiore e quell superiore hnno il chiro significto di ree di plurirettngoli inscritti o circoscritti l trpezoide T f ; se invece l funzione dt è negtiv bd, si l somm inferiore che quell superiore ssumono vlori negtivi: n n s cd = mi H i - i- L Mi H i - i- L = S cd 0, i= i= questo perché, per un funzione negtiv, si h m i M i 0. E' llor nturle interpretre i numeri negtivi s cd ed S cd ncor come ree di trpezoidi, m contte negtivmente in qunto tli trpezoidi si trovno l di sotto dell'sse. Conseguentemente, nche l'elemento di seprzione tr le somme inferiori e quelle superiori potrà essere interpretto ncor come l're di un trpezoide, m cmbit di segno in qunto il trpezoide si trov l di sotto dell'sse. In definitiv, l definizione di funzione integrbile si estende immeditmente lle funzioni che non sono sempre positive bd. 3. Esercizi Esercizio.3. (plurirettngoli) E' dt l funzione = -, con D; considert l suddivisione D, clcolre le somme: Esercizio.3. (def. di integrle) Adoperndo l definizione, clcolre i seguenti integrli: c = 8-, -0.8, 0., 0.5, < 4 s cd = f@ i- D H i - i- L i= 4 s cd = m i H i - i- L i= 3H + L ; 0 I + M. 4. Proprietà dell'integrle Il seguente teorem rissume le principli proprietà dell'integrle. Teorem.4. (Proprietà dell'integrle) Sino f,g:@, bd Ø due funzioni limitte integrbili. Allor: ) (linerità) Se c e c sono due costnti, l combinzione linere c + c g@d è integrbile, e si h: Ÿ b Hc + c g@dl = c Ÿ b + c Ÿ b g@d. ) (dditività) Se 0 œd, b@, llor si h: 3 ) (monotoni ) Se f g bd, llor si h: Ÿ b = Ÿ 0 + Ÿ 0 b Settembre 008

17 . Il problem dell're. Integrli definiti 69 Ÿ b Ÿ b g@d. 4 ) (monotoni ) b D bd, e se f 0, llor si h: Ÿ b Ÿ b 5 ) (mggiorzione) L funzione» è integrbile e si h: Ÿ b Ÿ b Non dimostrimo il teorem precedente, m ci limitimo d osservre che le proprietà ), 3 ) e 4 ) hnno un'immedit interpretzione geometric, come si vede di seguenti grfici: 0 b Ÿ f@d + Ÿ 0 f@d y y Ÿ b f@d Ÿ b f@d 0 b b b Esempio.4. Adoperndo l proprietà di linerità dell'integrle, e gli integrli che già conoscimo, possimo, d esempio, clcolre Ÿ I Å - 3 M. Si h inftti: Å - 3 = Å - 3 = = 9 6 Dll proprietà di linerità dell'integrle segue, in prticolre, che: b -f@d =- bf@d. Poiché le funzioni e - sono simmetriche rispetto ll'sse, si ottiene d tle formul l'interpretzione geometric dell'integrle di un funzione f bd Ø negtiv bd: esso non è ltro che l're, cmbit di segno, dell regione di pino (l di sotto dell'sse ) compres tr il grfico di f e l'sse delle. Esempio.4. Clcolre Non è necessrio eseguire lcun clcolo: inftti, poichè l funzione integrnd è dispri, l're l si sopr 5D è ugule quell l di sopr 0D: y Pertnto: Esempio.4.3 Clcolre 5 = Settembre 008

18 . Il problem dell're. Integrli definiti 70 0 psin@d. Anche in questo cso bst osservre il grfico: y p p per concludere che 0 psin@d = 0. Un'ltro teorem importnte è il teorem dell medi. Teorem.4. (Dell medi) Si f:@, bd Ø un funzione continu, e sino m ed M il minimo ed il mssimo ssoluto di f bd. Si h llor: mhb - L Ÿ b M Hb - L. Esiste inoltre c bd tle che: Ÿ b = Hb - L. Anche questo teorem h un'immedit interpretzione geometric; inftti, osservndo che m Hb - L e M Hb - L non è ltro che l're dei due rettngoli nell figur seguente: è evidente che l're del trpezoide T f è compres tr m Hb - L e M Hb - L. E' pure evidente che, scegliendo opportunmente il punto c bd, l're del rettngolo trtteggito in figur finirà per uguglire l're di T f. y f@cd M m c c b Ÿ b f@d < f@cdhb-l Dimostrzione del teorem dell medi. ) Poiché m ed M sono il minimo ed il mssimo ssoluto di si h Settembre 008

19 . Il problem dell're. Integrli definiti 7 m M bd; per l prim proprietà di monotoni dell'integrle, integrndo i tre membri dell diseguglinz ess si conserv: b m b f@d bm. Ricordndo che Ÿ b k = khb - L, si h l prim formul del teorem. ) Dll formul già dimostrt si h immeditmente: m b b - f@d M, cioé, posto y 0 = b- Ÿ b si h y 0 M D. Ricordndo che, per il teorem di Bolzno M D non è ltro che il codominio di cioé l'insieme dei suoi vlori, si h, ppunto, che esiste c bd tle che d cui l second formul del teorem. à Il numero f@cd = b b - f@d, b- Ÿ b f@d si dice vlor medio dell funzione bd. Esempio.4.4 (Velocità medi) Un punto si muove lungo un rett con velocità v@td = 0 t (lo spzio è misurto in Km e il tempo in ore). Clcolre lo spzio percorso dopo h e 30m, e l su velocità medi. Lo spzio percorso è dto dll'integrle: L velocità medi è dt d: spzio = 0 5ê v@td t = 0 5ê 0 t t = 0 0 5ê t t = 0 µ Å 3 Å5 3 = 65 5ê 5 ê v@td t = Å = 5 = 0.83 = Km ê h. 6 = 5.08 = Km. 5. Esercizi Esercizio.5. Spiegre perché (dditività) 0 pcos@d = 0. Esercizio.5. Dimostrre che (stim) 0 psin@d <p; p p Å 4 < Sin@D < Åp ; > 0. Settembre 008

20 . Il problem dell're. Integrli definiti 7 Esercizio.5.3 (medi) Dimostreremo in seguito che - + = Åp. Determinre il vlore (o i vlori) di c D in modo che si bbi: Interpretre poi geometricmente il risultto ottenuto. 6. Primitive e teorem fondmentle - + = f@cd. Riprendimo i risultti ottenuti nel secondo prgrfo integrndo bd le tre funzioni = k, g@d =, h@d = ; bbimo ottenuto: bk = k Hb - L. b = b -. b = b Fissimo l'ttenzione, d esempio, sul terzo integrle; considerimo l funzione G@D = 3, e osservimo qunto segue: 3 G'@D = 3, e b = G@bD - G@D. L funzione G@D si chim primitiv o ntiderivt di 3, e l formul precedente dice che il vlore dell'integrle definito Ÿ b è dto dll differenz tr i vlori ssunti dll primitiv G@D dell funzione integrnd negli estremi dell'intervllo di integrzione. L stess circostnz si present nche per il primo ed il secondo integrle. Inftti si h: prendendo G@D = k: G'@D = k, e bk = G@bD - G@D; prendendo G@D = : G'@D =, e b = G@bD - G@D. Vedremo tr poco che queste formule vlgono per "qulsisi" funzione integrnd e forniscono il principle metodo per il clcolo effettivo degli integrli definiti, che verrà quindi effettuto medinte l ricerc di un primitiv dell funzione integrnd. Ad esempio, supponendo che qunto detto sopr vlg nche per l'integrle: si potrà procedere nel modo seguente: 0 +, ) si cerc un primitiv G@D dell funzione integrnd; in questo cso prendimo G@D = LogA + E, dto che: ) scrivimo l formul fondmentle: G'@D = +. Settembre 008

21 . Il problem dell're. Integrli definiti 73 = G@D - G@0D = Log@D. 0 + Dunque: 0 + = Log@D. Approfondimo or le considerzioni precedenti, e inizimo col dre l seguente definizione. Definizione.6. (Primitiv o ntiderivt) Si f:x Ø un funzione definit in un intervllo X di ; un funzione derivbile G:X Ø si dice primitiv o ntiderivt di f se, per ogni œ X si h G'@D = Esempio.6. L funzione G@D = 3 + +Å è un primitiv dell funzione = 3 -, inftti G'@D = 3 -. Esempio.6. L funzione G@D = ArcTnA E è un primitiv dell funzione = 4 +, inftti G'@D = Osservimo or che, se G@D è un primitiv di nche tutte le funzioni G@D + c, dove c è un costnte, sono primitive di f, inftti D@G@D + cd = G'@D = Ad esempio, le funzioni 3, 3 +, 3-3.4,... sono tutte primitive dell stess funzione. Vicevers, due primitive dell stess funzione differiscono per un costnte; più precismente, si h il seguente teorem. Teorem.6. (Differenz di due primitive) Si X un intervllo di, e sino F@D e G@D due primitive dell stess funzione f:x Ø. Esiste llor un costnte c œ, tle che F@D = G@D + c. Dimostrzione. Considerimo l funzione j@d = F@D - G@D; l su derivt è null, inftti j'@d =F '@D - G'@D = - = 0. Per il teorem sulle funzioni derivt null, l funzione j@d è costnte sull'intervllo X, dunque esiste c œ, tle che j@d = c, cioé tle che F@D - G@D = c, d cui l tesi. à Abbimo considerto fino desso integrli definiti su un bd, quindi con < b; è però opportuno, per un motivo che vedremo tr poco, dre significto l simbolo Ÿ b nche nel cso in cui b, in modo che si possno considerre integrli definiti come i seguenti: 5 3, p 0Sin@D, ecc. ecc Si pone, questo scopo, Dunque si h, d esempio: f@d -Ÿ = f@d se > 0 se = 5 3 =- 5 3 = = 0, =-39, ecc. ecc.. Molte delle proprietà dell'integrle definito enuncite precedentemente vlgono nche nel cso in cui b; d esempio l linerità, l proprietà dditiv e il teorem dell medi, come si potrebbe verificre fcilmente. Con tle convenzione, possimo dre l seguente fondmentle definizione. Definizione.6. (Funzione integrle) Si X un intervllo di si œ X, e si f:x Ø un funzione continu. L funzione F :X Ø così definit: F@D = Ÿ t Settembre 008

22 . Il problem dell're. Integrli definiti 74 si dice funzione integrle. Dunque, se <, non è ltro che l're del trpezoide di D reltivo ll funzione f. Se invece >, F@D è l're del trpezoide di D cmbit di segno. Si noti che, in ogni cso, F@D = Ÿ t = 0. Esempio.6.3 Si = ; l funzione F@D = Ÿ 4 4 tle funzione; si h inftti: t è un funzione integrle di In questo cso, è fcile clcolre esplicitmente F@D = t 4 t = Å 4 t t = Å = I3 - M. Nell seguente figur si vede il grfico di = 4. y Il grfico dell funzione F@D = I3 - M è invece il seguente: y = Ad esempio, F@D rppresent l're del trpezoide reltivo ll funzione f, di D; in effetti, dll figur precedente si vede che tle re è ll'incirc ugule 59 mm, e, d'ltr prte, F@D = I3 - M = 7 º Si h poi, ovvimente, F@D = 0, mentre F@-D rppresent l're del trpezoide di bse D, cmbit di segno. Tle re è ugule (come si vede contndo i qudrtini) ll'incirc 76 mm. Il clcolo conferm questo conto, inftti F@-D = IH-L3 - M =-Å 3 = Esercizio.6. (Funzione integrle) Nei seguenti grfici, osservre come vri l're l vrire di ; osservre, in prticolre, qundo è positiv, negtiv, qundo cresce e qundo decresce l crescere di. Settembre 008

23 . Il problem dell're. Integrli definiti 75 - f@d y F@D = Ÿ f@d y - f@d y F@D = Ÿ f@d y Settembre 008

24 76 - f@d y F@D = Ÿ f@d y Esercizio.6. Nel seguente grfico, osservre come vri l funzione integrle F@D l vrire dell funzione in prticolre, osservre cos ccde ll funzione in corrispondenz dei minimi e dei mssimi di F@D. Reset f@d y F@D = Ÿ f@d y Il seguente fondmentle teorem mostr l relzione che sussiste tr l funzione integrle F@D, che bbimo definito precedentemente, e l funzione Teorem.6. (Funzione integrle) Si X un intervllo di si œ X, e si f:x Ø un funzione continu. L funzione integrle F@D = Ÿ t è un primitiv di si h cioé F'@D = In un esempio precedente bbimo clcolto esplicitmente l funzione integrle ), ottenendo F@D = I3 - M. Si h, in effetti: F '@D = 3 =. Il teorem sull funzione integrle fferm che ciò è vero per qulsisi funzione 4 Dimostrzione del teorem sull funzione integrle. Fissimo un 0 œ X, e clcolimo il rpporto incrementle: Settembre 008

25 D Ÿ f@td t - 0 Ÿ f@td t = = * Ÿ f@td t + Ÿ 0 f@td t Ÿ ** 0 f@td t = (l'uguglinz * è dovut l ftto che, per definizione, Ÿ 0 t = -Ÿ 0 t, mentre l ** deriv dll proprietà dditiv dell'integrle). Osservimo or che, per il teorem dell medi, esiste c, pprtenente ll'intervllo di estremi 0 ed, tle che: 0 f@td t = f@cd H - 0 L. Dunque: Ÿ 0 f@td t - 0 = f@cd H - 0L - 0 = f@cd. Per Ø 0 si h c Ø 0 e quindi, dt l continuità di f in 0, si h Ø 0 D. Pertnto: F@D - F@ 0 D F'@ 0 D = lim = lim f@cd = f@ 0 D, Ø0 - cø0 0 e il teorem è dimostrto. à Vle infine il seguente fondmentle teorem. Teorem.6.3 (Fondmentle del clcolo integrle) Si f:x Ø un funzione continu definit nell'intervllo X di, e si G@D un su primitiv; per ogni, b œ X, si h: Ÿ b = G@bD - G@D. Dimostrzione. Fissimo, b œ X, e considerimo l funzione integrle F@D = Ÿ t; ess è un primitiv di f, pertnto, per il teorem sull differenz di due primitive, deve differire d G@D per un costnte: esiste quindi c œ tle che F@D = G@D + c, cioé: f@td t = G@D + c. Ponendo = nell precedente espressione, si h: 0 = f@td t = G@D + c, d cui c =-G@D. Dunque Ÿ t = G@D - G@D, e, in prticolre, ponendo = b, si h l tesi del teorem. à Il teorem precedente costituisce l chive di volt per il clcolo degli integrli definiti, e pone il problem dell ricerc delle primitive di un dt funzione. Esempio.6.4 Clcolre il seguente integrle: pê -pê Cos@D. L funzione Sin@D è, ovvimente, un primitiv di Cos@D, e nzi, tutte le primitive di Cos@D sono del tipo Sin@D + c, l vrire di c œ. Posto G@D = Sin@D, il teorem fondmentle ssicur che: pê -pê Cos@D = GB p Å F - GB- Åp F = SinB Åp F - SinB- Åp F = - H-L =. Terminimo osservndo che, per brevità, si us scrivere G@bD - G@D b, e quindi, d esempio, osservndo che 5 5 un primitiv di 4 : è Settembre 008

26 78-4 = B 5 5 F b = H-L 5 = Esercizi Esercizio.7. (Primitive) Trovre un primitiv delle seguenti funzioni:,, Sin@D, +. + Esercizio.7. (Funzione integrle) Bsndosi sul seguente grfico di trccire un grfico pprossimtivo di F@D = Ÿ - t. y =- Esercizio.7.3 (Funzione integrle) Bsndosi sul seguente grfico di trccire un grfico pprossimtivo di F@D = Ÿ 0 t. y =- Settembre 008

27 . Integrli indefiniti 79 Integrli indefiniti Nel cpitolo precedente bbimo visto l definizione di integrle definito, e il teorem fondmentle del clcolo integrle, che fornisce un metodo efficiente per il clcolo degli integrli definiti medinte l formul: bf@d = G@bD - G@D, ptto di conoscere un "ntiderivt" G@D dell funzione integrnd In questo cpitolo vedremo come clcolre, ppunto, le primitive, ossi le ntiderivte, di lcune semplici funzioni. Se è un funzione definit e continu in un certo intervllo X, l'insieme delle sue primitive si denot col simbolo: f@d, che si dice integrle indefinito di Ad esempio, se =, un su primitiv è 3 3 ; poiché l ltre primitive di = differiscono per un costnte d 3 3, esse sono del tipo: C, dove, ppunto, C è un numero rele rbitrrio. L'insieme di tutte le primitive di = è dunque l fmigli d un prmetro di funzioni C, l vrire di C in. Il grfico di queste funzioni è il seguente. y Il trtto più spesso indic l funzione 3 3 (che si ottiene dll formul C prendendo C = 0), le ltre curve si ottengono dndo C ltri vlori. Per definizione, questo insieme di funzioni si indic con il simbolo Ÿ, cioé si pone: = C. Dunque, l'integrle indefinito di un cert funzione è l'insieme di tutte le primitive di quell funzione, e non bisogn confonderlo con l'integrle definito, il cui significto geometrico è quello di un're, cioé di un numero, e non certo di un insieme di funzioni. Clcolre un integrle indefinito è dunque sinonimo di trovre tutte le primitive di un dt funzione, e tr poco vedremo come clcolre gli integrli indefiniti più semplici. Osservimo infine che, per definizione, vle l formul: f'@d = f@d + C, cioé, ovvimente, l'integrle indefinito di un derivt è l funzione stess, più un costnte dditiv. Settembre 008

28 . Integrli indefiniti 80. Integrli indefiniti immediti e integrzione per decomposizione In quest sezione studieremo gli integrli definiti immediti, e un prim regol di integrzione indefinit che si chim integrzione per decomposizione. ü Integrli indefiniti immediti L tvol delle derivte delle funzioni elementri, lett in senso inverso, fornisce già un prim tvol di integrli indefiniti, che chimeremo immediti. Inftti, spendo, d esempio, che D[Sin[]] = Cos[], conoscimo nche tutte le primitive dell funzione Cos@D, che sono: Sin@D + C. In ltri termini, bbimo clcolto l'integrle indefinito Ÿ Cos@D, e possimo scrivere: Cos@D = Sin@D + C. In modo nlogo si procede con le ltre funzioni elementri, e si h: Esempio.. Clcolre l'integrle indefinito Ÿ 3 ; L Ÿ = C Hse -L L Ÿ Å = Log@»»D + C 3L Ÿ = + C 4L Ÿ = Log@D 5L Ÿ Sin@D =-Cos@D + C 6L Ÿ Cos@D = Sin@D + C 7L 8L Ÿ 9L Si deve utilizzre l prim formul, con =3: - = ArcSin@D + C + = ArcTn@D + C Cos@D = Tn@D + C 3 = Å C. Esempio.. Clcolre l'integrle indefinito Ÿ ; Anche in questo cso utilizzimo l prim formul con =0, dto che 0 =. Si h: = Å + C = + C. Si solito l'integrle Ÿ si scrive, più semplicemente: Ÿ. Esempio..3 Clcolre l'integrle indefinito Ÿ ; Essendo = ê, possimo utilizzre l prim formul con = Å : = Å = +Å +Å + C = Å 3 3ê + C = Å 3 + C, Settembre 008

29 . Integrli indefiniti 8 cioé: = Å 3 + C. Esempio..4 Clcolre l'integrle indefinito 3 ; Essendo 3 = -ê3, utilizzimo l prim formul con =-Å 3 : 3 = -Å 3 = -Å 3 3 -Å 3 + C = Å Å C = Å 3 + C, cioé: 3 = Å C. ü Integrli indefiniti immediti generlizzti Dll regol di derivzione delle funzioni composte bbimo che, d esempio: e nlogmente per le ltre funzioni elementri. Si ottiene così: D[Sin[j[]]] = Cos[j[]] j'[], L D@j@D D =j@d - j'@d L D@Log@»j@D»DD= j@d 3L D@ j@d D = j@d j'@d 4L D@ j@d D = j@d Log@D 5L D@Sin@j@DDD = Cos@j@DD j'@d 6L D@Cos@j@DDD =-Sin@j@DD j'@d 7L D@ArcSin@j@DDD = 8L D@ArcTn@j@DDD = 9L D@Tn@j@DDD = -j@d j'@d +j@d j'@d Cos@j@DD j'@d Dll precedente tbell, che possimo chimre delle derivte delle funzioni elementri generlizzte, si ottiene l seguente tvol dei cosiddetti integrli indefiniti immediti generlizzti: Settembre 008

30 . Integrli indefiniti 8 L Ÿ j@d j'@d = + j@d+ + C Hse -L L 3L Ÿ j'@d = Log@»j@D»D+ C j@d Ÿ j@d j'@d = j@d + C 4L Ÿ j@d j'@d = j@d Log@D 5L Ÿ Sin@j@DD j'@d =-Cos@j@DD + C 6L Ÿ Cos@j@DD j'@d = Sin@j@DD + C 7L -j@d j'@d = ArcSin@j@DD + C 8L 9L +j@d Cos@j@DD j'@d = ArcTn@j@DD + C j'@d = Tn@j@DD + C I seguenti esempi illustrno l'uso degli integrli indifiniti immediti generlizzti. Esempio..5 Voglimo clcolre l'integrle indefinito: CosA E. Se ponimo j@d =, possimo utilizzre l 6) dell tbell precedente, e ottenere immeditmente: CosA E = SinA E + C. Esempio..6 Clcolre: Sin@D Cos@D. Quest volt utilizzimo l 3); si h immeditmente: Sin@D Cos@D = Sin@D + C. Esempio..7 Clcolre: Possimo scrivere: = + I 3 M DA3 E ; utilizzndo l 8) si h immeditmente: = + I 3 M DA3 E = ArcTnA 3 E + C. Esempio..8 Clcolre: Settembre 008

31 . Integrli indefiniti 83 Si h: = Sin@D D@Sin@DD ; utilizzndo l ) con =, si h: Sin@D Cos@D = Sin@D D@Sin@DD = Å 3 Sin@D3 + C. ü Integrzione per decomposizione Dll linerità dell derivt si deduce immeditmente l seguente formul, che si dice di integrzione per decomposizione: Hc f@d + c g@dl = c f@d + c g@d. In prticolre, bbimo le seguenti due formule: cf@d = c f@d, Hf@D + g@dl = f@d + g@d. Cioé: un costnte (rispetto d ) può essere "portt fuori" dll'integrle, e l'integrle di un somm è ugule ll somm degli integrli. L formul di integrzione per decomposizione consente di umentre di molto l portt delle formule viste sopr per gli integrli indefiniti immediti e generlizzti, come è illustrto nel seguente esempio. Esempio..9 Voglimo clcolre l'integrle indefinito: CosA E. Un integrle simile questo, e precismente l'integrle Ÿ CosA E è stto già clcolto in uno degli esempi precedenti, servendoci dell formul: Cos@j@DD j'@d = Sin@j@DD + C. Inftti, nel cso dell'integrle Ÿ CosA E, il ruolo dell funzione j@d è svolto d. Nel cso ttule, invece, mnc, nell'integrle, l costnte! per ovvire questo inconveniente, ricorrimo l trucco di moltiplicre e dividere per due l'integrle, portndo poi il fttore sotto il segno di integrle: CosA E = Å CosA E = Å CosA E = Å ISinA E + CM = Å SinA E + C. Si noti che, nell'ultimo pssggio, non bbimo scritto Å C, dto che, essendo C un costnte rbitrri, scrivere ÅC soltnto C è del tutto indifferente. In definitiv bbimo ottenuto: oppure CosA E = Å SinA E + C. Esempio..0 Clcolre l'integrle indefinito: Settembre 008

32 . Integrli indefiniti Quest volt osservimo nzitutto che: + = Log@D + per l formul di decomposizione. Il primo dei due integrli è un integrle immedito generlizzto, inftti, ricordndo che D@Log@DD = Å, possimo scrivere: Log@D = Log@D D@Log@DD ; ricordndo poi che: j@d j'@d = + j@d+ + C Hse -L e quindi, in prticolre: j@d j'@d = Å j@d + C, si h: Log@D = Log@D D@Log@DD = Å Log@D + C, e così il primo dei due integrli è clcolto. Il secondo è immedito, essendo: = Å = +Å +Å + C = Å 3 Å3 + C = Å 3 + C. Pertnto l'integrle dto srà ugule ll somm dei due risultti ottenuti, cioé: Log@D + = Log@D + = Å Log@D + C + Å 3 + C = Å Log@D +Å 3 + C. Si noti che, nche in questo cso, bbimo scritto, nell'ultimo pssggio, C e non C, sempre perché C è un costnte del tutto rbitrri.. Esercizi Esercizio.. Clcolre i seguenti integrli indefiniti immediti: 3 3 ; ; 4 ; ; 5 ;. Esercizio.. Clcolre i seguenti integrli indefiniti immediti generlizzti: Sin@D Cos@D ; Å + Log@D ; - - Cos@D Sin@D ; + ; Tn@D. Cos@D Settembre 008

33 . Integrli indefiniti 85 Esercizio..3 Adoperndo il metodo di decomposizione, clcolre i seguenti integrli indefiniti: ; Cos@D 3 Sin@D ; ; +. Esercizio..4 Adoperndo il metodo di decomposizione, clcolre i seguenti integrli indefiniti: 3 + Hdividere il numertore per il denomintorel; ; + ; 5 + ; Esercizio..5 Clcolre i seguenti integrli indefiniti immediti. 4 + ; Nuov tvol Reset Esercizio..6 Clcolre i seguenti integrli indefiniti immediti generlizzti. Nuov tvol Reset Esercizio..7 Utilizzndo gli integrli indefiniti immediti (nche generlizzti) e l'integrzione per decomposizione, clcolre i seguenti integrli indefiniti. Nuov funzione Soluzione Reset 3. Integrzione per prti Considerimo l formul di derivzione del prodotto: D[f[]g[]] = f'[]g[] + f[]g'[]; d ess si deduce che: f[]g'[] = D[f[]g[]] - f'[]g[]. Settembre 008

34 . Integrli indefiniti 86 Pssndo ll'integrle indefinito, e ricordndo che Ÿ D@ g@dd = g@d + C, si h l seguente formul, che viene dett formul di integrzione per prti: f@d g'@d = f@d g@d - f'@d g@d. L formul di integrzione per prti consente dunque di clcolre l'integrle indefinito di un funzione che si present come prodotto di un funzione per un derivt g '@D, purché si sppi clcolre l'integrle indefinito di f '@D g@d. In molti csi questo secondo integrle è molto più semplice di quello dto, e quindi l'uso dell formul risult conveniente. Il fttore prende il nome di fttore finito, mentre g '@D si dice fttore differenzile. In prtic spesso conviene ssumere, come fttore differenzile, quello del qule si s clcolre fcilmente un primitiv, e, come fttore finito, quello l cui derivt è più semplice, come si vede nel seguente esempio. Esempio.3. Clcolre l'integrle: Log@D. L funzione d integrre, cioé Log@D, si present come il prodotto delle due funzioni e Log@D; non possimo utilizzre né gli integrli immediti, né quelli generlizzti. Volendo doperre l formul di integrzione per prti, dobbimo nzitutto decidere qule dei due fttori dobbimo prendere come fttore finito e qule come fttore differenzile, tenendo presente che, del fttore differenzile dobbimo essere cpci di clcolre un primitiv. Nel nostro cso, dobbimo prendere come fttore differenzile, dto che, l momento, non simo in grdo di clcolre un primitiv di Log@D. Invece un primitiv di è, ovvimente,. Scrivimo dunque: Log@D = Log@D = Log@D DB F = Log@D - D@Log@DD. L'ultimo integrle si clcol immeditmente: D@Log@DD = Å = Å = Å 4 + C, pertnto si h: Esempio.3. Clcolre l'integrle: Log@D = Log@D -Å 4 + C. Cos@D. In questo cso possimo ssumere si che Cos@D come fttori differenzili, inftti conoscimo si un primitiv di (e cioé ) che di Cos@D (cioé Sin@D). Assumimo come fttore differenzile, d esempio, Cos@D. Si h: Cos@D = Sin@D - D@D Sin@D = = Sin@D - Sin@D = Sin@D + Cos@D + C. Dunque il risultto cercto è: Settembre 008

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